Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(A) પદાર્થોની અવરોધકતા નીચે મુજબ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. વાહકો (ધાતુઓ): $10^{-8} \Omega \cdot m$ થી $10^{-6} \Omega \cdot m$.
$2$. અર્ધવાહકો: $10^{-5} \Omega \cdot m$ થી $10^6 \Omega \cdot m$.
$3$. અવાહકો: $10^6 \Omega \cdot m$ થી $10^{18} \Omega \cdot m$.
આપેલ પદાર્થની અવરોધકતા $10^8 \Omega \cdot m$ છે,જે અવાહકોની શ્રેણીમાં આવે છે.
તેથી,આ પદાર્થ અવાહક છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે બે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{1} + R_{2}$
તારની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ સમાન છે $(A_{1} = A_{2} = A)$.
$R_{eq} = \frac{\rho_{1} l_{1}}{A} + \frac{\rho_{2} l_{2}}{A} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{A}$
સમતુલ્ય તાર માટે,કુલ લંબાઈ $L = l_{1} + l_{2}$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે. સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho_{eq}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$R_{eq} = \frac{\rho_{eq} (l_{1} + l_{2})}{A}$
$R_{eq}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\rho_{eq} (l_{1} + l_{2})}{A} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{A}$
$\rho_{eq} = \frac{\rho_{1} l_{1} + \rho_{2} l_{2}}{l_{1} + l_{2}}$

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \cdot l$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$ મળે છે.
અહીં અવરોધકતા $\rho$ અને કદ $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
આપેલ છે કે લંબાઈ બમણી થાય છે,તેથી $l_2 = 2l_1$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2 = \left( \frac{2l_1}{l_1} \right)^2 = 2^2 = 4$.
આમ,$R_2 : R_1 = 4 : 1$ થાય.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે તારને $n$ ગણો ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L' = nL$ થાય છે.
તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \times L = A' \times L'$.
તેથી,$A' = \frac{A \times L}{L'} = \frac{A \times L}{nL} = \frac{A}{n}$.
નવો અવરોધ $R'$ આ રીતે મળે છે: $R' = \rho \frac{L'}{A'} = \rho \frac{nL}{A/n} = n^2 \left( \rho \frac{L}{A} \right) = n^2 R$.

(C) તાંબાના તારનું દળ અચળ રહે છે. દળ $= \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times \ell) \times \sigma$,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ એ લંબાઈ છે અને $\sigma$ એ ઘનતા છે.
સમાન દળના બે તાર માટે: $\pi r_1^2 \ell_1 \sigma = \pi r_2^2 \ell_2 \sigma \implies \frac{\ell_1}{\ell_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
આપેલ વ્યાસ $d_1 = 1 \ mm$ અને $d_2 = 2 \ mm$ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1} = 2$ થાય. આમ,$\frac{\ell_1}{\ell_2} = (2)^2 = 4$.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A} = \rho \frac{\ell}{\pi r^2}$ છે.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = 4 \times (2)^2 = 4 \times 4 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \rho \frac{\ell}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેનું કદ $V = A \ell$ અચળ રહે છે,તેથી $A = \frac{V}{\ell}$ થાય.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{\ell^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto \ell^2$ થાય.
નવી લંબાઈ $\ell_2 = 3 \ell_1$ આપેલ છે,તેથી નવા અવરોધ $R_2$ અને મૂળ અવરોધ $R_1$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{\ell_2}{\ell_1}\right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{5 \Omega} = (3)^2 = 9$.
તેથી,$R_2 = 5 \Omega \times 9 = 45 \Omega$ થાય.

(D) વિદ્યુત વાહકતા એ ચાર્જ ટ્રાન્સપોર્ટ માટે ઉપલબ્ધ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Copper$ $(Cu)$ એ એક સંક્રાંતિ ધાતુ છે જેમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા ખૂબ વધારે હોય છે અને અવરોધકતા ઓછી હોય છે,જે તેને વીજળીનો ઉત્તમ વાહક બનાવે છે. જોકે $Gold$ અને $Platinum$ પણ સારા વાહક છે,પરંતુ $Copper$ તેની શ્રેષ્ઠ વાહકતા અને કિંમતના ગુણોત્તરને કારણે વિદ્યુત વાયરિંગમાં વ્યાપકપણે વપરાય છે. $Silicon$ એ અર્ધવાહક છે,વાહક નથી.

(A) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ પ્રવાહની દિશામાં વાહકની લંબાઈ છે,અને $A$ એ પ્રવાહની દિશાને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અવરોધ $R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે લંબાઈ $l$ ને મહત્તમ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ને ન્યૂનતમ બનાવવાની જરૂર છે.
જ્યારે બેટરી $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ ની બાજુઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહ $10 \text{ cm}$ ની લંબાઈ સાથે વહે છે. તેથી,$l = 10 \text{ cm}$ અને $A = 1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}^2$ થાય.
અવરોધ $R = \rho \frac{10}{0.5} = 20\rho$ મળે છે.
અન્ય બે દિશાઓ માટે,લંબાઈ $l$ કાં તો $1 \text{ cm}$ અથવા $0.5 \text{ cm}$ હશે,અને ક્ષેત્રફળ $A$ મોટું હશે,જેના પરિણામે અવરોધનું મૂલ્ય ઓછું મળે છે.
તેથી,જ્યારે બેટરી $1 \text{ cm} \times 0.5 \text{ cm}$ ની બાજુઓ પર જોડવામાં આવે ત્યારે અવરોધ મહત્તમ હોય છે.