Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Hindi

(D) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$E$ विद्युत क्षेत्र है,$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
जब धातु के तार का तापमान बढ़ता है,तो धातु जालक (lattice) में परमाणु अधिक आयाम के साथ कंपन करते हैं।
इसके कारण इलेक्ट्रॉनों और जालक आयनों के बीच बार-बार टक्कर होती है,जिससे विश्रांति काल $\tau$ कम हो जाता है।
चूंकि $v_d \propto \tau$,इसलिए अनुगमन वेग $v_d$ घट जाता है।
इसके अतिरिक्त,इलेक्ट्रॉनों का ऊष्मीय वेग परम तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है $(v_{th} \propto \sqrt{T})$,इसलिए जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,इलेक्ट्रॉनों का ऊष्मीय वेग बढ़ता है।

(B) अनुगमन वेग का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{n e A}$ है।
यहाँ, $I = 5 \,A$, $n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, और $A = 4 \times 10^{-6} \,m^{2}$ है।
मान रखने पर:
$v_{d} = \frac{5}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{5}{5 \times 1.6 \times 4 \times 10^{26-19-6}}$
$v_{d} = \frac{1}{6.4 \times 10^{1}}$
$v_{d} = \frac{1}{64} = 0.015625 \,ms^{-1} = 1.56 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$.

(A) चालक का व्यास $d = 0.1 \text{ mm} = 10^{-4} \text{ m}$ है।
बेलनाकार चालक का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \frac{\pi d^2}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
$\pi \simeq 3$ का उपयोग करने पर,$A = \frac{3 \times (10^{-4})^2}{4} = \frac{3 \times 10^{-8}}{4} = 0.75 \times 10^{-8} \text{ m}^2$ प्राप्त होता है।
चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $I = 90 \text{ mA} = 90 \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
धारा घनत्व $J$ को $J = \frac{I}{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$J = \frac{90 \times 10^{-3}}{0.75 \times 10^{-8}} = \frac{90}{0.75} \times 10^{5} = 120 \times 10^{5} = 1.2 \times 10^{7} \text{ Am}^{-2}$ प्राप्त होता है।

(D) धारा $I$ का सूत्र $I = nAev_d$ है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $v_d$ अनुगमन वेग है।
$L$ लंबाई और $V = AL$ आयतन वाले चालक में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = nAL$ है।
धारा के सूत्र से,$nA = I / (ev_d)$।
इस मान को $N$ के सूत्र में रखने पर,$N = (I / (ev_d)) \times L = IL / (ev_d)$।
इलेक्ट्रॉनों का कुल संवेग $P = N \times m_e \times v_d$ है,जहाँ $m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
संवेग के समीकरण में $N$ का मान रखने पर: $P = (IL / (ev_d)) \times m_e \times v_d = (I \times L \times m_e) / e$।
दिया गया है $I = 80 \ A$,$L = 10 \ m$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$।
$P = (80 \times 10 \times 9.1 \times 10^{-31}) / (1.6 \times 10^{-19})$।
$P = (728 \times 10^{-30}) / (1.6 \times 10^{-19}) = 455 \times 10^{-11} \ Ns$।

(D) विद्युत चालकता $\sigma$ का सूत्र $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$ है, जहाँ $n$ आवेश वाहक घनत्व है, $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है, $\tau$ विश्रांति काल (संघट्टनों के बीच का औसत समय) है, और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
$\tau$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है $\tau = \frac{\sigma m}{ne^2}$.
दिए गए मान: $n = 9.1 \times 10^{28} \,m^{-3}$, $\sigma = 6.4 \times 10^7 \,S \,m^{-1}$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\tau = \frac{(6.4 \times 10^7) \times (9.1 \times 10^{-31})}{(9.1 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^7 \times 9.1 \times 10^{-31}}{9.1 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^{-24}}{2.56 \times 10^{-10}}$
$\tau = 2.5 \times 10^{-14} \,s$.
अतः, दो क्रमिक संघट्टनों के बीच का औसत समय $2.5 \times 10^{-14} \,s$ है।

(D) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
दिया गया है:
लंबाई $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
विभवांतर $V = 30 \ V$.
गतिशीलता $\mu = 2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$.
विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{l} = \frac{30}{0.2} = 150 \ V/m$.
अब,अनुगमन वेग $v_d = \mu E$.
$v_d = (2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}) \times (150 \ V/m) = 300 \times 10^{-6} \ ms^{-1} = 3 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) विद्युत धारा $I$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $I = n A e v_d$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $e$ मूल आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ है।
दिया गया है:
$I = 6.4 \,A$
$A = 4 \times 10^{-7} \,m^2$
$n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$v_d$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v_d = \frac{I}{n A e}$
मान रखने पर:
$v_d = \frac{6.4}{(8 \times 10^{28}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$
$v_d = \frac{6.4}{32 \times 10^{21} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{6.4}{51.2 \times 10^2} = \frac{6.4}{5120} = 0.00125 \,m/s$
इसे $10^{-3} \,m/s$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$v_d = 1.25 \times 10^{-3} \,m/s$.
अतः,अनुगमन वेग $1.25$ है।

(A) चालक में इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग $(v_d)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_d = \frac{eE\tau}{m}$
जहाँ:
$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,
$E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है,
$\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है,
$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
चूंकि एक निश्चित तापमान पर चालक के लिए $e$,$\tau$ और $m$ स्थिर होते हैं,इसलिए अपवाह वेग विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,$v_d \propto E$।

(C) दिया गया है: अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 0.3 \, m^2$, इलेक्ट्रॉन सांद्रता $n = 2 \times 10^{25} \, m^{-3}$, आवेश $q = (3t^2 + 5t + 2) \, C$, और समय $t = 2 \, s$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत धारा $i = \frac{dq}{dt}$ होती है।
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \, s$ पर, $i = 6(2) + 5 = 17 \, A$.
अपवाह वेग का सूत्र $V_d = \frac{i}{neA}$ है।
मान रखने पर: $V_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$V_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \, m/s = 1.77 \times 10^{-5} \, m/s$.

(B) अनुगमन वेग $v_{d}$ का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{neA}$ है।
चूंकि $I = \frac{V}{R}$ और $R = \frac{\rho \ell}{A}$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v_{d} = \frac{V}{neAR} = \frac{V}{neA (\frac{\rho \ell}{A})} = \frac{V}{ne \rho \ell}$.
यहाँ,$V$ विभवांतर है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\rho$ प्रतिरोधकता है और $\ell$ तार की लंबाई है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $v_{d} \propto \frac{1}{\ell}$.
यदि लंबाई $\ell$ को दोगुना कर दिया जाए $(\ell' = 2\ell)$,तो नया अनुगमन वेग $v_{d}'$ होगा:
$v_{d}' = \frac{V}{ne \rho (2\ell)} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{ne \rho \ell} \right) = \frac{V_{d}}{2}$.
ध्यान दें कि जब विभवांतर $V$ स्थिर रखा जाता है,तो अनुगमन वेग के व्यंजक में अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ कट जाता है।

(A) कथन $(A)$ सत्य है: बाहरी विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में,मुक्त इलेक्ट्रॉन तापीय ऊर्जा के कारण सभी दिशाओं में यादृच्छिक रूप से गति करते हैं। दो क्रमिक टक्करों के बीच,इलेक्ट्रॉन पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए यह एक स्थिर वेग से सीधी रेखा में गति करता है।
कथन $(B)$ सत्य है: जब विद्युत क्षेत्र $E$ लागू किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन $F = -eE$ बल का अनुभव करते हैं। यह बल एक स्थिर औसत त्वरण $a = -eE/m$ उत्पन्न करता है। अपवाह वेग को $v_d = a\tau$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $\tau$ औसत विश्रांति काल (relaxation time) है। दिए गए चालक और तापमान के लिए $a$ और $\tau$ स्थिर होते हैं,इसलिए अपवाह वेग $v_d$ समय से स्वतंत्र होता है।

(A) धारा घनत्व $J$ को $J(r) = \beta(r + r_0)^2$ के रूप में दिया गया है।
त्रिज्यीय दूरी $r$ पर $dr$ मोटाई और $d\theta$ कोणीय चौड़ाई वाले एक छोटे क्षेत्रफल $dA$ पर विचार करें। क्षेत्रफल अवयव $dA = r dr d\theta$ है।
इस अवयव से गुजरने वाली धारा $di = J(r) dA = \beta(r + r_0)^2 r dr d\theta$ है।
छायांकित क्षेत्र दो सेक्टरों से बना है,जिनमें से प्रत्येक की कोणीय चौड़ाई $\pi/6$ है। कुल कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta = \pi/6 + \pi/6 = \pi/3$ है।
छायांकित क्षेत्र से गुजरने वाली कुल धारा $I$ प्राप्त करने के लिए $di$ का $r=0$ से $R$ तक और $\theta$ का कुल कोणीय चौड़ाई $\Delta \theta$ पर समाकलन करने पर:
$I = \int_0^{\pi/3} d\theta \int_0^R \beta(r^2 + 2rr_0 + r_0^2) r dr$
$I = \frac{\pi}{3} \beta \int_0^R (r^3 + 2r_0r^2 + r_0^2r) dr$
$I = \frac{\pi \beta}{3} \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{2r_0r^3}{3} + \frac{r_0^2r^2}{2} \right]_0^R$
$I = \frac{\pi \beta}{3} \left[ \frac{R^4}{4} + \frac{2r_0R^3}{3} + \frac{r_0^2R^2}{2} \right]$
$I = \pi \beta \left[ \frac{R^4}{12} + \frac{2r_0R^3}{9} + \frac{r_0^2R^2}{6} \right]$

(D) अनुगमन वेग (drift velocity) $v_d$,तार की लंबाई $L$ और उसे पार करने में लगे समय $t$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$v_d = \frac{L}{t} = \frac{2 \ m}{40 \times 10^3 \ s} = 0.5 \times 10^{-4} \ m/s = 5 \times 10^{-5} \ m/s$.
चालक में धारा $I$ और मुक्त इलेक्ट्रॉनों के संख्या घनत्व $n$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$I = n e A v_d$
जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यहाँ $A = 4 \ mm^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$ और $I = 1.6 \ A$ दिया गया है,इसलिए $n$ के लिए सूत्र:
$n = \frac{I}{e A v_d}$
$n = \frac{1.6}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-5})}$
$n = \frac{1.6}{1.6 \times 10^{-19} \times 20 \times 10^{-11}}$
$n = \frac{1}{20 \times 10^{-30}} = \frac{1}{2} \times 10^{29} = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$.

(B) दिया गया है: तार की लंबाई $l = 3 \,m$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 6.14 \times 10^{-6} \,m^2$,धारा $I = 6 \,A$,परमाणु भार $M = 108 \,g/mol = 0.108 \,kg/mol$,घनत्व $\rho = 10500 \,kg/m^3$,आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.023 \times 10^{23} /mol$,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
प्रति इकाई आयतन परमाणुओं की संख्या $n = \frac{\rho N_A}{M}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रत्येक परमाणु एक इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है,प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{10500 \times 6.023 \times 10^{23}}{0.108} \approx 5.86 \times 10^{28} \,m^{-3}$ है।
अपवाह वेग $v_d$ का सूत्र $I = n e A v_d$ है।
$v_d$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v_d = \frac{I}{n e A}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{6}{(5.86 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.14 \times 10^{-6})}$.
$v_d = \frac{6}{5.86 \times 1.6 \times 6.14 \times 10^{3}} \approx \frac{6}{57.56 \times 10^3} \approx 1.04 \times 10^{-4} \,m/s$.
अतः,अपवाह वेग $10^{-4} \,m/s$ के करीब है।

(A) चालक में धारा $I = nAev_d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $v_d$ अपवाह वेग है।
चालक की $l$ लंबाई में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या $N = nAl$ है।
इन इलेक्ट्रॉनों का कुल संवेग $P = Nmv_d = (nAl)mv_d$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
हम धारा के समीकरण को $v_d = I / (nAe)$ के रूप में लिख सकते हैं।
संवेग समीकरण में $v_d$ का मान रखने पर: $P = nAlm \times (I / (nAe)) = (lmI) / e$.
विशिष्ट आवेश $s$ को $s = e/m$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका अर्थ है $m/e = 1/s$.
अतः,प्रति इकाई लंबाई संवेग $P/l = (mI) / e = I / s$ है।

(A) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है।
चूंकि धारा $I = \frac{V}{R}$ और प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ है, हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v_d = \frac{V/R}{neA} = \frac{V}{(\rho l/A)neA} = \frac{V}{\rho l ne}$.
यहाँ, $V$ सेल का विभवांतर है, $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है, $l$ छड़ की लंबाई है, $n$ मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
अंतिम व्यंजक से देखा जा सकता है कि $v_d$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए, जब अक्ष के अनुदिश एक छेद किया जाता है, तो अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल बदल जाता है, लेकिन अनुगमन वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(B) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है,जहाँ $E = \frac{V}{l}$ है।
$E$ का मान रखने पर,हमें $v_d = \frac{eV\tau}{ml}$ प्राप्त होता है।
चूंकि विभवांतर $V$ स्थिर है,इसलिए $v_d \propto \frac{1}{l}$ होगा।
यदि लंबाई $l$ को बढ़ाकर $4l$ कर दिया जाए,तो नया अनुगमन वेग $v_{d'} = \frac{eV\tau}{m(4l)} = \frac{v_d}{4}$ हो जाएगा।
अतः,अनुगमन वेग $4$ गुना घट जाएगा।

(B) जब धारा के प्रवाह के कारण प्रतिरोधक गर्म होता है,तो उसका तापमान बढ़ जाता है।
$1$. अनुगमन वेग $(v_d)$ का सूत्र $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,विश्रांति काल (relaxation time,$\tau$) घटता है,इसलिए अनुगमन वेग बदल जाता है।
$2$. चालक की प्रतिरोधकता $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,$\tau$ घटता है,इसलिए प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
$3$. प्रतिरोध $(R)$ का सूत्र $R = \rho \frac{l}{A}$ है। चूंकि प्रतिरोधकता तापमान के साथ बदलती है,इसलिए प्रतिरोध भी बदल जाता है।
$4$. प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ पदार्थ का एक गुण है और तापमान परिवर्तन के साथ अपरिवर्तित रहती है।
अतः,केवल मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(D)$ अपरिवर्तित रहती है।

(A) एक चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का सूत्र है: $I = n e v_d A = n e v_d \pi R^2$.
यहाँ,$n$ मुक्त आवेश वाहकों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$v_d$ अनुगमन वेग है और $R$ तार की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों तार एक ही पदार्थ के बने हैं,इसलिए संख्या घनत्व $n$ दोनों के लिए समान होगा।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए धारा $I$ समान है $(I_A = I_B)$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$n e v_A \pi R_A^2 = n e v_B \pi R_B^2$
दोनों पक्षों को $n e \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_A R_A^2 = v_B R_B^2$
अनुपात $\frac{v_A}{v_B}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$
दिया गया है कि $R_A = 2R_B$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{2R_B}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) आवेश वाहकों की गतिशीलता $\mu$ को अपवाह वेग $v_d$ और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\mu = \frac{v_d}{E}$
दिया गया है:
अपवाह वेग $v_d = 0.3 \ m s^{-1}$
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \ V m^{-1}$
गणना:
$\mu = \frac{0.3}{2} = 0.15 \ m^2 V^{-1} s^{-1}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तार एक ही बैटरी से समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होगा।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R}$,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A}$ है। अतः,$I = \frac{VA}{\rho L}$।
इसे अनुगमन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v_d = \frac{VA}{neA\rho L} = \frac{V}{ne\rho L}$।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए $n$,$e$ और $\rho$ स्थिर हैं। साथ ही,$V$ भी स्थिर है।
इसलिए,$v_d \propto \frac{1}{L}$।
लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2 = 2 : 3$ है।
अतः,अनुगमन वेग का अनुपात $\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{3}{2}$ होगा।

(D) दिया गया है:
चालक की लंबाई,$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
विभवांतर,$V = 16 \ V$
अनुगमन वेग,$V_d = 2.4 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$
विद्युत क्षेत्र,$E = \frac{V}{\ell} = \frac{16}{0.2} = 80 \ V/m$
इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu = \frac{V_d}{E}$ द्वारा परिभाषित होती है।
मान रखने पर:
$\mu = \frac{2.4 \times 10^{-4}}{80}$
$\mu = \frac{2.4}{80} \times 10^{-4} = 0.03 \times 10^{-4} = 3 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 1.5 \ m$,क्षेत्रफल $A = 3 \times 10^{-5} \ m^2$,प्रतिरोध $R = 15 \ \Omega$,विद्युत क्षेत्र $E = 21 \ Vm^{-1}$।
हम जानते हैं कि धारा घनत्व $J = \sigma E$ होता है।
चूंकि चालकता $\sigma = \frac{l}{RA}$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$J = \left( \frac{l}{RA} \right) E$
$J = \frac{1.5 \times 21}{15 \times 3 \times 10^{-5}}$
$J = \frac{31.5}{45 \times 10^{-5}}$
$J = 0.7 \times 10^5 \ Am^{-2}$।

(A) विद्युत प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए व्यंजक $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ है।
विश्रांति काल $\tau$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\tau = \frac{m}{ne^2 \rho}$
दिए गए मान:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{23.04 \times 10^{-18}}$
$\tau \approx 0.39 \times 10^{-13} \ s = 3.9 \times 10^{-14} \ s$
निकटतम मान लेने पर, हमें $\tau \approx 4 \times 10^{-14} \ s$ प्राप्त होता है।

(B) प्रतिरोधक में क्षयित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I$ धारा है और $R$ प्रतिरोध है。
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\rho = 10^{-6} \, \Omega \cdot m$, $l = 0.04 \, m$, और $A = \pi r^2 = \pi (7 \times 10^{-3})^2 \, m^2$ है。
शक्ति समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right) \Rightarrow I = \sqrt{\frac{P A}{\rho l}}$.
धारा घनत्व $J$ को $J = \frac{I}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है。
$I$ का मान रखने पर: $J = \frac{1}{A} \sqrt{\frac{P A}{\rho l}} = \sqrt{\frac{P}{\rho l A}}$.
मान रखने पर: $J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times (7 \times 10^{-3})^2}}$.
$J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times 49 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.54}{1.96 \times 10^{-9} \times \pi}} \approx 5 \times 10^5 \, A/m^2$.

(B) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $V_d$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\mu = \frac{V_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$।
दिए गए मान हैं:
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$
औसत टक्कर समय (विश्रांति काल) $\tau = 9.1 \times 10^{-15} \,s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (9.1 \times 10^{-15} \,s)}{9.1 \times 10^{-31} \,kg}$
$\mu = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}$
$\mu = 1.6 \times 10^{-19 - 15 + 31} \,m^2/V \cdot s$
$\mu = 1.6 \times 10^{-3} \,m^2/V \cdot s$।

(A) धारा घनत्व $J$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के बीच संबंध $J = \frac{E}{\rho}$ है, जहाँ $\rho$ पदार्थ की प्रतिरोधकता है。
हम जानते हैं कि धारा घनत्व $J = \frac{I}{A}$ होता है。
इसलिए, $E = J \cdot \rho = \frac{I \cdot \rho}{A}$。
दिए गए मान $I = 5 \, A$, $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$ और $\rho = 3.0 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$ हैं。
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{5 \times 3.0 \times 10^{-8}}{1 \times 10^{-6}} = 15 \times 10^{-2} = 0.15 \, V/m$。

(C) दिया गया है, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
आवेश घनत्व, $n = 3 \times 10^{23} \,m^{-3}$.
तार में प्रवाहित धारा, $I = 24 \,mA = 24 \times 10^{-3} \,A$.
हम जानते हैं कि चालकों के लिए, धारा और अनुगमन वेग के बीच संबंध $I = n A e v_d$ है, जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
अनुगमन वेग के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $v_d = \frac{I}{n A e}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{23} \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{4.8 \times 10^{0}} = \frac{24}{4.8} \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-3} \,m/s$.

(B) दिया है: क्षेत्रफल $A = 0.3 \,m^2$,आवेश घनत्व $n = 2 \times 10^{25} / m^3$,और आवेश $q = 3t^2 + 5t + 2$.
सबसे पहले,$t = 2 \,s$ पर विद्युत धारा $i$ की गणना $i = \frac{dq}{dt}$ का उपयोग करके करें।
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \,s$ पर,$i = 6(2) + 5 = 17 \,A$.
विद्युत धारा और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच संबंध $i = n e A v_d$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$v_d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v_d = \frac{i}{n e A}$.
मान रखने पर: $v_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$v_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \,m/s = 1.77 \times 10^{-5} \,m/s$.

(C) विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) तापमान और पदार्थ की प्रकृति दोनों पर निर्भर करता है। इसलिए,कथन $(I)$ गलत है।
जब एक तार को उसकी मूल लंबाई से $n$ गुना खींचा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R' = n^2 R$ हो जाता है। यहाँ,$n = 4$ और $R = 6 \ \Omega$ है,इसलिए $R' = 4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96 \ \Omega$ होगा। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।
अनुगमन वेग वह औसत वेग है जिसके साथ मुक्त इलेक्ट्रॉन लागू विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में अनुगमन (drift) करते हैं। इसलिए,कथन $(III)$ सही है।
अतः,केवल कथन $(III)$ सत्य है।

(D) प्रतिरोधकता $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ है,जहाँ $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = v_d \tau$ है,जहाँ $v_d$ अपवाह चाल है।
प्रतिरोधकता के सूत्र से,$\tau = \frac{m}{ne^2\rho}$।
इस मान को माध्य मुक्त पथ के सूत्र में रखने पर:
$\lambda = v_d \left( \frac{m}{ne^2\rho} \right) = \frac{m v_d}{ne^2\rho}$।
दिया गया है: $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v_d = 1.6 \times 10^6 \ m/s$,$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$।
$\lambda = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$।
$\lambda = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}} = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{23.04 \times 10^{-18}} = 0.625 \times 10^{-7} \ m = 62.5 \ nm$।

(B) तार में इलेक्ट्रॉन की गति विद्युत क्षेत्र (विभवांतर के कारण) और चुंबकीय क्षेत्र (यदि लागू हो) द्वारा नियंत्रित होती है। इन बलों को विद्युतचुंबकीय बल के अंतर्गत वर्गीकृत किया जाता है। परमाणु स्तर पर गुरुत्वाकर्षण बल नगण्य होता है,जबकि प्रबल और दुर्बल नाभिकीय बल केवल नाभिक के भीतर ही कार्य करते हैं। इसलिए,प्रभावी बल विद्युतचुंबकीय बल है।

(B) गतिशीलता $\mu$ को अनुगमन वेग $v_d$ और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सूत्र $\mu = \frac{e \tau}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $e$ आवेश है (मात्रक: $A \cdot s$), $\tau$ विश्रांति काल है (मात्रक: $s$), और $m$ द्रव्यमान है (मात्रक: $kg$)।
इन मात्रकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\mu$ का मात्रक = $\frac{(A \cdot s) \cdot s}{kg} = \frac{A \cdot s^2}{kg}$।
इसे $kg^{-1} \,s^2 \,A$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) अनुगमन वेग $v_{d}$ का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{neA}$ है,जहाँ $I$ धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि $I = \frac{E}{R}$ और $R = \rho \frac{l}{A}$,इसलिए $I = \frac{E A}{\rho l}$ होता है।
इस मान को अनुगमन वेग के सूत्र में रखने पर:
$v_{d} = \frac{E A}{\rho l n e A} = \frac{E}{\rho l n e}$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $v_{d} \propto \frac{1}{l}$ है।
यदि लंबाई बदलकर $l' = 2l$ कर दी जाए,तो नया अनुगमन वेग $v_{d}'$ होगा:
$v_{d}' = \frac{E}{\rho (2l) n e} = \frac{1}{2} \left( \frac{E}{\rho l n e} \right) = \frac{v_{d}}{2}$.

(A) दिया गया है: लंबाई $l = 2 \ m$,क्षेत्रफल $A = 0.2 \ mm^{2} = 0.2 \times 10^{-6} \ m^{2}$,धारा $I = 1.6 \ A$,वोल्टेज $V = 2 \ V$,सांद्रता $n = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$,आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
अनुगमन वेग $V_{d} = \frac{I}{neA}$ द्वारा दिया जाता है।
गतिशीलता $\mu = \frac{V_{d}}{E}$ है,जहाँ $E = \frac{V}{l}$ विद्युत क्षेत्र है।
मान रखने पर,$\mu = \frac{I \cdot l}{neA \cdot V}$.
$\mu = \frac{1.6 \times 2}{5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 \times 10^{-6} \times 2} = 1 \times 10^{-3} \ m^{2}/V \cdot s$.
अतः,$\alpha = 1$.

(D) धारा $I$ और अपवाह वेग $v_d$ के बीच का संबंध $I = n e A v_d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
इससे,अपवाह वेग को $v_d = \frac{I}{neA}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है कि नई धारा $I' = 2I$ और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = 2A$ है,तो नया अपवाह वेग $v'_d$ इस प्रकार होगा:
$v'_d = \frac{I'}{neA'} = \frac{2I}{ne(2A)} = \frac{I}{neA} = v_d$.
अतः,अपवाह वेग अपरिवर्तित रहता है। विकल्प $(D)$ सही है।