Current Density, Drift Velocity and Mobility Questions in Gujarati

(D) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
જ્યારે ધાતુના તારનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે ધાતુની લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓ વધુ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.
આના કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચે વારંવાર અથડામણ થાય છે,જેનાથી રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટે છે.
જેથી $v_d \propto \tau$ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ ઘટે છે.
વધુમાં,ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(v_{th} \propto \sqrt{T})$,તેથી જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનનો થર્મલ વેગ વધે છે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{n e A}$ છે।
અહીં, $I = 5 \,A$, $n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, અને $A = 4 \times 10^{-6} \,m^{2}$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$v_{d} = \frac{5}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{5}{5 \times 1.6 \times 4 \times 10^{26-19-6}}$
$v_{d} = \frac{1}{6.4 \times 10^{1}}$
$v_{d} = \frac{1}{64} = 0.015625 \,ms^{-1} = 1.56 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$.

(A) વાહકનો વ્યાસ $d = 0.1 \text{ mm} = 10^{-4} \text{ m}$ છે.
નળાકાર વાહકનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\pi \simeq 3$ લેતા,$A = \frac{3 \times (10^{-4})^2}{4} = \frac{3 \times 10^{-8}}{4} = 0.75 \times 10^{-8} \text{ m}^2$ મળે છે.
વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 90 \text{ mA} = 90 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $J$ ની વ્યાખ્યા $J = \frac{I}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$J = \frac{90 \times 10^{-3}}{0.75 \times 10^{-8}} = \frac{90}{0.75} \times 10^{5} = 120 \times 10^{5} = 1.2 \times 10^{7} \text{ Am}^{-2}$ થાય છે.

(D) પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = nAev_d$ છે,જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
$L$ લંબાઈ અને $V = AL$ કદ ધરાવતા વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = nAL$ છે.
પ્રવાહના સૂત્ર પરથી,$nA = I / (ev_d)$.
આ કિંમત $N$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$N = (I / (ev_d)) \times L = IL / (ev_d)$.
ઇલેક્ટ્રોનનું કુલ વેગમાન $P = N \times m_e \times v_d$ છે,જ્યાં $m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
વેગમાનના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા: $P = (IL / (ev_d)) \times m_e \times v_d = (I \times L \times m_e) / e$.
આપેલ છે કે $I = 80 \ A$,$L = 10 \ m$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$P = (80 \times 10 \times 9.1 \times 10^{-31}) / (1.6 \times 10^{-19})$.
$P = (728 \times 10^{-30}) / (1.6 \times 10^{-19}) = 455 \times 10^{-11} \ Ns$.

(D) વિદ્યુત વાહકતા $\sigma$ નું સૂત્ર $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$ છે, જ્યાં $n$ એ વિદ્યુતભાર વાહકની ઘનતા છે, $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે, $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય (અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય) છે, અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે।
$\tau$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે છે $\tau = \frac{\sigma m}{ne^2}$.
આપેલ કિંમતો: $n = 9.1 \times 10^{28} \,m^{-3}$, $\sigma = 6.4 \times 10^7 \,S \,m^{-1}$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{(6.4 \times 10^7) \times (9.1 \times 10^{-31})}{(9.1 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^7 \times 9.1 \times 10^{-31}}{9.1 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}}$
$\tau = \frac{6.4 \times 10^{-24}}{2.56 \times 10^{-10}}$
$\tau = 2.5 \times 10^{-14} \,s$.
આમ, બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $2.5 \times 10^{-14} \,s$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\mu = \frac{v_d}{E}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 30 \ V$.
મોબિલિટી $\mu = 2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{l} = \frac{30}{0.2} = 150 \ V/m$.
હવે,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \mu E$.
$v_d = (2 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}) \times (150 \ V/m) = 300 \times 10^{-6} \ ms^{-1} = 3 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = n A e v_d$,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $e$ એ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \,C)$ છે.
આપેલ છે:
$I = 6.4 \,A$
$A = 4 \times 10^{-7} \,m^2$
$n = 8 \times 10^{28} \,m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
$v_d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v_d = \frac{I}{n A e}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_d = \frac{6.4}{(8 \times 10^{28}) \times (4 \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19})}$
$v_d = \frac{6.4}{32 \times 10^{21} \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$v_d = \frac{6.4}{51.2 \times 10^2} = \frac{6.4}{5120} = 0.00125 \,m/s$
આને $10^{-3} \,m/s$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$v_d = 1.25 \times 10^{-3} \,m/s$.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $1.25$ છે.

(A) વાહકમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_d = \frac{eE\tau}{m}$
જ્યાં:
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,
$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
$\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે,
$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
આપેલ તાપમાને વાહક માટે $e$,$\tau$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$v_d \propto E$.

(C) આપેલ છે: આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.3 \, m^2$, ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n = 2 \times 10^{25} \, m^{-3}$, વિદ્યુતભાર $q = (3t^2 + 5t + 2) \, C$, અને સમય $t = 2 \, s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{dq}{dt}$.
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \, s$ સમયે, $i = 6(2) + 5 = 17 \, A$.
ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $V_d = \frac{i}{neA}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$V_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \, m/s = 1.77 \times 10^{-5} \, m/s$.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ નું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{neA}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{V}{R}$ અને $R = \frac{\rho \ell}{A}$,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{d} = \frac{V}{neAR} = \frac{V}{neA (\frac{\rho \ell}{A})} = \frac{V}{ne \rho \ell}$.
અહીં,$V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\rho$ એ અવરોધકતા છે અને $\ell$ એ તારની લંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{d} \propto \frac{1}{\ell}$.
જો લંબાઈ $\ell$ બમણી કરવામાં આવે $(\ell' = 2\ell)$,તો નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}'$ નીચે મુજબ થશે:
$v_{d}' = \frac{V}{ne \rho (2\ell)} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{ne \rho \ell} \right) = \frac{V_{d}}{2}$.
નોંધો કે જ્યારે પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ અચળ રાખવામાં આવે ત્યારે ડ્રિફ્ટ વેગના સમીકરણમાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઉડી જાય છે.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે બધી દિશાઓમાં યાદચ્છિક રીતે ગતિ કરે છે. બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે,ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી,તેથી તે અચળ વેગથી સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે: જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન $F = -eE$ બળ અનુભવે છે. આ બળને કારણે અચળ સરેરાશ પ્રવેગ $a = -eE/m$ ઉદભવે છે. ડ્રિફ્ટ વેગને $v_d = a\tau$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ સરેરાશ રિલેક્સેશન સમય છે. આપેલ વાહક અને તાપમાન માટે $a$ અને $\tau$ અચળ હોવાથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ સમયથી સ્વતંત્ર રહે છે.

(A) પ્રવાહ ઘનતા $J$ એ $J(r) = \beta(r + r_0)^2$ તરીકે આપવામાં આવેલ છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ તથા $d\theta$ કોણીય પહોળાઈ ધરાવતા નાના ક્ષેત્રફળ $dA$ નો વિચાર કરો. ક્ષેત્રફળ ઘટક $dA = r dr d\theta$ છે.
આ ઘટકમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $di = J(r) dA = \beta(r + r_0)^2 r dr d\theta$ છે.
છાયાંકિત ભાગ બે સેક્ટરનો બનેલો છે,જે દરેકની કોણીય પહોળાઈ $\pi/6$ છે. કુલ કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta = \pi/6 + \pi/6 = \pi/3$ છે.
છાયાંકિત ભાગમાંથી પસાર થતો કુલ પ્રવાહ $I$ મેળવવા માટે $di$ નું $r=0$ થી $R$ અને $\theta$ નું કુલ કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta$ પર સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{\pi/3} d\theta \int_0^R \beta(r^2 + 2rr_0 + r_0^2) r dr$
$I = \frac{\pi}{3} \beta \int_0^R (r^3 + 2r_0r^2 + r_0^2r) dr$
$I = \frac{\pi \beta}{3} \left[ \frac{r^4}{4} + \frac{2r_0r^3}{3} + \frac{r_0^2r^2}{2} \right]_0^R$
$I = \frac{\pi \beta}{3} \left[ \frac{R^4}{4} + \frac{2r_0R^3}{3} + \frac{r_0^2R^2}{2} \right]$
$I = \pi \beta \left[ \frac{R^4}{12} + \frac{2r_0R^3}{9} + \frac{r_0^2R^2}{6} \right]$

(D) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ એ તારની લંબાઈ $L$ અને તેને પસાર કરવા માટે લાગતા સમય $t$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_d = \frac{L}{t} = \frac{2 \ m}{40 \times 10^3 \ s} = 0.5 \times 10^{-4} \ m/s = 5 \times 10^{-5} \ m/s$.
વાહકમાં પ્રવાહ $I$ અને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા $n$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I = n e A v_d$
જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
અહીં $A = 4 \ mm^2 = 4 \times 10^{-6} \ m^2$ અને $I = 1.6 \ A$ આપેલ છે,તેથી $n$ માટે સૂત્ર:
$n = \frac{I}{e A v_d}$
$n = \frac{1.6}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-5})}$
$n = \frac{1.6}{1.6 \times 10^{-19} \times 20 \times 10^{-11}}$
$n = \frac{1}{20 \times 10^{-30}} = \frac{1}{2} \times 10^{29} = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$.

(B) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $l = 3 \,m$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 6.14 \times 10^{-6} \,m^2$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 6 \,A$,પરમાણુ વજન $M = 108 \,g/mol = 0.108 \,kg/mol$,ઘનતા $\rho = 10500 \,kg/m^3$,એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.023 \times 10^{23} /mol$,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
એકમ કદ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = \frac{\rho N_A}{M}$ દ્વારા મળે છે.
દરેક પરમાણુ એક ઇલેક્ટ્રોન આપે છે,તેથી એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{10500 \times 6.023 \times 10^{23}}{0.108} \approx 5.86 \times 10^{28} \,m^{-3}$ છે.
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $I = n e A v_d$ છે.
$v_d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v_d = \frac{I}{n e A}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{6}{(5.86 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.14 \times 10^{-6})}$.
$v_d = \frac{6}{5.86 \times 1.6 \times 6.14 \times 10^{3}} \approx \frac{6}{57.56 \times 10^3} \approx 1.04 \times 10^{-4} \,m/s$.
આમ,ડ્રિફ્ટ વેગ $10^{-4} \,m/s$ ની નજીક છે.

(A) વાહકમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = nAev_d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે.
વાહકની $l$ લંબાઈમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $N = nAl$ છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનનું કુલ વેગમાન $P = Nmv_d = (nAl)mv_d$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
આપણે વિદ્યુતપ્રવાહના સમીકરણને $v_d = I / (nAe)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
વેગમાનના સમીકરણમાં $v_d$ ની કિંમત મૂકતા: $P = nAlm \times (I / (nAe)) = (lmI) / e$.
વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $s$ ને $s = e/m$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $m/e = 1/s$.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ વેગમાન $P/l = (mI) / e = I / s$ થાય.

(A) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે.
પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ અને અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ હોવાથી, આપણે આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$v_d = \frac{V/R}{neA} = \frac{V}{(\rho l/A)neA} = \frac{V}{\rho l ne}$.
અહીં, $V$ એ કોષનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે, $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે, $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે, $n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
અંતિમ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_d$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી, જ્યારે અક્ષ પર કાણું પાડવામાં આવે છે, ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાય છે, પરંતુ ડ્રિફ્ટ વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ છે,જ્યાં $E = \frac{V}{l}$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v_d = \frac{eV\tau}{ml}$ મળે છે.
અહીં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ હોવાથી,$v_d \propto \frac{1}{l}$ થાય.
જો લંબાઈ $l$ ને વધારીને $4l$ કરવામાં આવે,તો નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d'} = \frac{eV\tau}{m(4l)} = \frac{v_d}{4}$ થશે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $4$ ગણો ઘટશે.

(B) જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહના વહેવાને કારણે અવરોધક ગરમ થાય છે,ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે.
$1$. ડ્રિફ્ટ ઝડપ $(v_d)$ એ $v_d = \frac{eE\tau}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ ઘટે છે,તેથી ડ્રિફ્ટ ઝડપ બદલાય છે.
$2$. વાહકની અવરોધકતા $(\rho)$ એ $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ $\tau$ ઘટે છે,તેથી અવરોધકતા વધે છે.
$3$. અવરોધ $(R)$ એ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અવરોધકતા તાપમાન સાથે બદલાતી હોવાથી,અવરોધ પણ બદલાય છે.
$4$. એકમ કદ દીઠ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને તાપમાનના ફેરફાર સાથે તે અચળ રહે છે.
તેથી,માત્ર મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(D)$ બદલાતી નથી.

(A) વાહકમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = n e v_d A = n e v_d \pi R^2$.
અહીં,$n$ એ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે,$v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે અને $R$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,સંખ્યા ઘનતા $n$ બંને માટે સમાન રહેશે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન છે $(I_A = I_B)$,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$n e v_A \pi R_A^2 = n e v_B \pi R_B^2$
બંને બાજુ $n e \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$v_A R_A^2 = v_B R_B^2$
ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B}$ શોધવા માટે ગોઠવતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2$
આપેલ છે કે $R_A = 2R_B$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_A}{v_B} = \left(\frac{R_B}{2R_B}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) ચાર્જ કેરિયર્સની મોબિલિટી $\mu$ ને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ કરેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\mu = \frac{v_d}{E}$
આપેલ છે:
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = 0.3 \ m s^{-1}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2 \ V m^{-1}$
ગણતરી:
$\mu = \frac{0.3}{2} = 0.15 \ m^2 V^{-1} s^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંને તાર વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R}$,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A}$. તેથી,$I = \frac{VA}{\rho L}$.
આ કિંમત ડ્રિફ્ટ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v_d = \frac{VA}{neA\rho L} = \frac{V}{ne\rho L}$.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$n$,$e$ અને $\rho$ અચળ છે. વળી,$V$ પણ અચળ છે.
તેથી,$v_d \propto \frac{1}{L}$.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2 = 2 : 3$ છે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{3}{2}$ થશે.

(D) આપેલ છે:
વાહકની લંબાઈ,$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત,$V = 16 \ V$
ડ્રિફ્ટ વેગ,$V_d = 2.4 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = \frac{V}{\ell} = \frac{16}{0.2} = 80 \ V/m$
ઈલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu = \frac{V_d}{E}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{2.4 \times 10^{-4}}{80}$
$\mu = \frac{2.4}{80} \times 10^{-4} = 0.03 \times 10^{-4} = 3 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1.5 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 3 \times 10^{-5} \ m^2$,અવરોધ $R = 15 \ \Omega$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 21 \ Vm^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ ઘનતા $J = \sigma E$ છે.
વાહકતા $\sigma = \frac{l}{RA}$ હોવાથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$J = \left( \frac{l}{RA} \right) E$
$J = \frac{1.5 \times 21}{15 \times 3 \times 10^{-5}}$
$J = \frac{31.5}{45 \times 10^{-5}}$
$J = 0.7 \times 10^5 \ Am^{-2}$.

(A) વિદ્યુત અવરોધકતા $\rho$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ છે.
રિલેક્સેશન સમય $\tau$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\tau = \frac{m}{ne^2 \rho}$
આપેલ કિંમતો:
$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$
$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}}$
$\tau = \frac{9 \times 10^{-31}}{23.04 \times 10^{-18}}$
$\tau \approx 0.39 \times 10^{-13} \ s = 3.9 \times 10^{-14} \ s$
નજીકની કિંમત લેતા, આપણને $\tau \approx 4 \times 10^{-14} \ s$ મળે છે.

(B) અવરોધમાં વ્યય થતી પાવર $P = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R$ એ અવરોધ છે。
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho = 10^{-6} \, \Omega \cdot m$, $l = 0.04 \, m$, અને $A = \pi r^2 = \pi (7 \times 10^{-3})^2 \, m^2$.
પાવરના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $P = I^2 \left( \frac{\rho l}{A} \right) \Rightarrow I = \sqrt{\frac{P A}{\rho l}}$.
પ્રવાહ ઘનતા $J$ ને $J = \frac{I}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે。
$I$ ની કિંમત મૂકતા: $J = \frac{1}{A} \sqrt{\frac{P A}{\rho l}} = \sqrt{\frac{P}{\rho l A}}$.
કિંમતો મૂકતા: $J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times (7 \times 10^{-3})^2}}$.
$J = \sqrt{\frac{1.54}{10^{-6} \times 0.04 \times \pi \times 49 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.54}{1.96 \times 10^{-9} \times \pi}} \approx 5 \times 10^5 \, A/m^2$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $V_d$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $\mu = \frac{V_d}{E} = \frac{e \tau}{m}$.
આપેલ કિંમતો:
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$
સરેરાશ અથડામણ સમય (રિલેક્સેશન સમય) $\tau = 9.1 \times 10^{-15} \,s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (9.1 \times 10^{-15} \,s)}{9.1 \times 10^{-31} \,kg}$
$\mu = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 9.1 \times 10^{-15}}{9.1 \times 10^{-31}}$
$\mu = 1.6 \times 10^{-19 - 15 + 31} \,m^2/V \cdot s$
$\mu = 1.6 \times 10^{-3} \,m^2/V \cdot s$.

(A) પ્રવાહ ઘનતા $J$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $J = \frac{E}{\rho}$ છે, જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની અવરોધકતા છે。
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ ઘનતા $J = \frac{I}{A}$ છે。
તેથી, $E = J \cdot \rho = \frac{I \cdot \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો $I = 5 \, A$, $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$ અને $\rho = 3.0 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$ છે。
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{5 \times 3.0 \times 10^{-8}}{1 \times 10^{-6}} = 15 \times 10^{-2} = 0.15 \, V/m$.

(C) આપેલ છે, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$.
વિદ્યુતભાર ઘનતા, $n = 3 \times 10^{23} \,m^{-3}$.
તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ, $I = 24 \,mA = 24 \times 10^{-3} \,A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાહકો માટે, પ્રવાહ અને ડ્રિફ્ટ વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n A e v_d$ છે, જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ માટે સૂત્ર બનાવતા, $v_d = \frac{I}{n A e}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{23} \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_d = \frac{24 \times 10^{-3}}{4.8 \times 10^{0}} = \frac{24}{4.8} \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-3} \,m/s$.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 0.3 \,m^2$,વિદ્યુતભાર ઘનતા $n = 2 \times 10^{25} / m^3$,અને વિદ્યુતભાર $q = 3t^2 + 5t + 2$.
સૌ પ્રથમ,$t = 2 \,s$ સમયે વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ની ગણતરી $i = \frac{dq}{dt}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$i = \frac{d}{dt}(3t^2 + 5t + 2) = 6t + 5$.
$t = 2 \,s$ સમયે,$i = 6(2) + 5 = 17 \,A$.
વિદ્યુતપ્રવાહ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = n e A v_d$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$v_d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v_d = \frac{i}{n e A}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_d = \frac{17}{2 \times 10^{25} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.3}$.
$v_d = \frac{17}{0.96 \times 10^6} = 17.708 \times 10^{-6} \,m/s = 1.77 \times 10^{-5} \,m/s$.

(C) વિશિષ્ટ અવરોધ (રેઝિસ્ટિવિટી) તાપમાન અને દ્રવ્યના પ્રકાર બંને પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
જ્યારે તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતા $n$ ગણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R' = n^2 R$ થાય છે. અહીં,$n = 4$ અને $R = 6 \ \Omega$ છે,તેથી $R' = 4^2 \times 6 = 16 \times 6 = 96 \ \Omega$ થાય. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
ડ્રિફ્ટ વેગ એ સરેરાશ વેગ છે જેની સાથે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન લાગુ કરેલા વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ડ્રિફ્ટ થાય છે. તેથી,વિધાન $(III)$ સાચું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $(III)$ સાચું છે.

(D) અવરોધકતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ છે,જ્યાં $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = v_d \tau$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ ઝડપ છે.
અવરોધકતાના સૂત્ર પરથી,$\tau = \frac{m}{ne^2\rho}$.
આ કિંમત સરેરાશ મુક્ત પથના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = v_d \left( \frac{m}{ne^2\rho} \right) = \frac{m v_d}{ne^2\rho}$.
આપેલ છે: $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$v_d = 1.6 \times 10^6 \ m/s$,$n = 9 \times 10^{28} \ m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $\rho = 1 \times 10^{-8} \ \Omega \cdot m$.
$\lambda = \frac{(9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)}{(9 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1 \times 10^{-8})}$.
$\lambda = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{9 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{-8}} = \frac{14.4 \times 10^{-25}}{23.04 \times 10^{-18}} = 0.625 \times 10^{-7} \ m = 62.5 \ nm$.

(B) તારમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ વિદ્યુતક્ષેત્ર (સ્થિતિમાનના તફાવતને કારણે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જો લાગુ પડતું હોય તો) દ્વારા સંચાલિત થાય છે. આ બળોને વિદ્યુતચુંબકીય બળ હેઠળ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. પરમાણુ સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નગણ્ય હોય છે,જ્યારે સ્ટ્રોંગ અને વીક ન્યુક્લિયર બળો માત્ર ન્યુક્લિયસની અંદર જ કાર્ય કરે છે. તેથી,પ્રભાવી બળ વિદ્યુતચુંબકીય બળ છે.

(B) મોબિલિટી $\mu$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ પડેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે સૂત્ર $\mu = \frac{e \tau}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $e$ એ વિદ્યુતભાર છે (એકમ: $A \cdot s$), $\tau$ એ રિલેક્સેશન સમય છે (એકમ: $s$), અને $m$ એ દળ છે (એકમ: $kg$).
આ એકમોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu$ નો એકમ = $\frac{(A \cdot s) \cdot s}{kg} = \frac{A \cdot s^2}{kg}$.
આને $kg^{-1} \,s^2 \,A$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ નું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $I = \frac{E}{R}$ અને $R = \rho \frac{l}{A}$,તેથી $I = \frac{E A}{\rho l}$ થાય.
આ કિંમત ડ્રિફ્ટ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{d} = \frac{E A}{\rho l n e A} = \frac{E}{\rho l n e}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{d} \propto \frac{1}{l}$.
જો લંબાઈ બદલીને $l' = 2l$ કરવામાં આવે,તો નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}'$ નીચે મુજબ થશે:
$v_{d}' = \frac{E}{\rho (2l) n e} = \frac{1}{2} \left( \frac{E}{\rho l n e} \right) = \frac{v_{d}}{2}$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 2 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.2 \ mm^{2} = 0.2 \times 10^{-6} \ m^{2}$,પ્રવાહ $I = 1.6 \ A$,વોલ્ટેજ $V = 2 \ V$,સાંદ્રતા $n = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$,વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
ડ્રિફ્ટ વેગ $V_{d} = \frac{I}{neA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોબિલિટી $\mu = \frac{V_{d}}{E}$ છે,જ્યાં $E = \frac{V}{l}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,$\mu = \frac{I \cdot l}{neA \cdot V}$.
$\mu = \frac{1.6 \times 2}{5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.2 \times 10^{-6} \times 2} = 1 \times 10^{-3} \ m^{2}/V \cdot s$.
તેથી,$\alpha = 1$.

(D) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n e A v_d$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
આના પરથી,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = \frac{I}{neA}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $I' = 2I$ અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = 2A$ છે,તેથી નવો ડ્રિફ્ટ વેગ $v'_d$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$v'_d = \frac{I'}{neA'} = \frac{2I}{ne(2A)} = \frac{I}{neA} = v_d$.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.