Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) दिया गया है $a \cdot y = c$ और $a \times y = b$। चूँकि $a$ और $b$ लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$।
दूसरे समीकरण के साथ $a$ का क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$a \times (a \times y) = a \times b$
सदिश त्रिक गुणनफल नियम $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot y)a - (a \cdot a)y = a \times b$
$a \cdot y = c$ और $a \cdot a = |a|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c a - |a|^2 y = a \times b$
$y$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$|a|^2 y = c a - (a \times b)$
$y = \frac{1}{|a|^2} [c a - (a \times b)]$

(A) दिया गया है $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$।
$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$= \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,तथा $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$:
$= 0 + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 0 = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
परिमाण लेने पर: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$
सर्वसमिका $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2$ का उपयोग करने पर:
$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2 \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$
दिया है $|\overrightarrow{a}| = 2$ और $|\overrightarrow{b}| = 2$,इसलिए $|\overrightarrow{a}|^2 = 4$ और $|\overrightarrow{b}|^2 = 4$:
$|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = 2 \sqrt{(4)(4) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} = 2 \sqrt{16 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j} = a_3 \hat{j} - a_2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{j} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{j} = a_1(\hat{i} \times \hat{j}) + a_3(\hat{k} \times \hat{j}) = a_1 \hat{k} - a_3 \hat{i}$.
$\overrightarrow{a} \times \hat{k} = (a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{k} = a_1(\hat{i} \times \hat{k}) + a_2(\hat{j} \times \hat{k}) = -a_1 \hat{j} + a_2 \hat{i} = a_2 \hat{i} - a_1 \hat{j}$.
अतः,तर्क $(R)$ सत्य है।
अब,परिमाणों के वर्गों की गणना करते हैं:
$|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2 = a_3^2 + (-a_2)^2 = a_3^2 + a_2^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + (-a_3)^2 = a_1^2 + a_3^2$.
$|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = a_2^2 + (-a_1)^2 = a_2^2 + a_1^2$.
इनका योग करने पर: $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\overrightarrow{a}|^2$.
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ का सही स्पष्टीकरण है।

(A) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot a = 1$ और $b \cdot b = 1$।
वितरण गुण का उपयोग करके क्रॉस उत्पाद का विस्तार करने पर:
$(a+b) \times (a \times b) = a \times (a \times b) + b \times (a \times b)$
सदिश त्रिक उत्पाद सूत्र $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ का उपयोग करने पर:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = (a \cdot b)a - b$
$b \times (a \times b) = (b \cdot b)a - (b \cdot a)b = a - (a \cdot b)b$
इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर:
$(a \cdot b)a - b + a - (a \cdot b)b = a - b + (a \cdot b)(a - b) = (a - b)(1 + a \cdot b)$
चूंकि $(1 + a \cdot b)$ एक अदिश है,इसलिए परिणामी सदिश $(a - b)$ के समांतर है।

(C) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A=(2,3,5)$,$B=(-1,3,2)$ और $C=(3,5,-2)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (-1-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (3-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}$
अब,हम सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(21 - (-3)) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= 6\hat{i} - 24\hat{j} - 6\hat{k}$
सदिश गुणनफल का परिमाण है:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 576 + 36} = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) दिए गए शीर्ष $A=(2,3,5), B=(-1,3,2), C=(3,5,-2)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = C - A = (3-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(21 - (-3)) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= 6\hat{i} - 24\hat{j} - 6\hat{k}$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 576 + 36} = \sqrt{648}$
$\sqrt{648} = \sqrt{324 \times 2} = 18\sqrt{2}$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) माना रेखा $L_1$ के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (1, -2, 2)$ हैं और रेखा $L_2$ के दिक्-अनुपात $\vec{b} = (-2, 3, -6)$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा के दिक्-अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -6 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-2)(-6) - (2)(3)) - \hat{j}((1)(-6) - (2)(-2)) + \hat{k}((1)(3) - (-2)(-2))$
$= \hat{i}(12 - 6) - \hat{j}(-6 + 4) + \hat{k}(3 - 4)$
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(-1)$
$= (6, 2, -1)$.
अतः,$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा के दिक्-अनुपात $(6, 2, -1)$ हैं।

(C) दिए गए सदिश $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $c=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके $a$ और $b$ दोनों के लंबवत सदिश ज्ञात करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(1-1) = \hat{i} - \hat{j}$.
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $n = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{|\hat{i} - \hat{j}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
सदिश $n$ का सदिश $c$ पर प्रक्षेप का परिमाण $|n \cdot \hat{c}|$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{c} = \frac{c}{|c|}$ है।
$|c| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
प्रक्षेप का परिमाण $= \left| \left( \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{29}} \right) \right| = \left| \frac{\pm(2 - 3)}{\sqrt{2}\sqrt{29}} \right| = \left| \frac{-1}{\sqrt{58}} \right| = \frac{1}{\sqrt{58}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए कि $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूंकि रेखा दोनों के लंबवत है,इसलिए इसके दिक अनुपात $L_1$ और $L_2$ के दिक अनुपातों के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं:
$(a, b, c) = (2, -1, 1) \times (3, -3, 4) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 3) - \hat{j}(8 - 3) + \hat{k}(-6 + 3) = -1\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $(-1, -5, -3)$ या $(1, 5, 3)$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$ है।
इसलिए,दिक कोज्याएँ $\pm \frac{1}{\sqrt{35}}, \pm \frac{5}{\sqrt{35}}, \pm \frac{3}{\sqrt{35}}$ होंगी।

(D) सदिशों $\hat{j}-\hat{k}$ और $3\hat{j}-2\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_1$ का अभिलंब $\vec{n}_1$ इस प्रकार है:
$\vec{n}_1 = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3\hat{j}-2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+3) = \hat{i}$.
सदिशों $2\hat{i}+3\hat{j}$ और $\hat{i}-3\hat{j}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_2$ का अभिलंब $\vec{n}_2$ इस प्रकार है:
$\vec{n}_2 = (2\hat{i}+3\hat{j}) \times (\hat{i}-3\hat{j}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(-6-3) = -9\hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए यह $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ के समांतर है:
$\vec{a} = k(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = k(\hat{i} \times -9\hat{k}) = k(9\hat{j}) = 9k\hat{j}$.
हम $\vec{a} = \pm\hat{j}$ ले सकते हैं।
$\vec{a} = \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
दिशा $\vec{a} = -\hat{j}$ को ध्यान में रखते हुए,हमें $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) मान लीजिए कि आवश्यक सदिश $\vec{v} = a(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + b(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ है।
यह $\vec{v} = (2a+b)\hat{i} + (a-b)\hat{j} + (a+b)\hat{k}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\vec{v}$,$3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$3(2a+b) + 2(a-b) + 6(a+b) = 0$.
$6a + 3b + 2a - 2b + 6a + 6b = 0$.
$14a + 7b = 0 \implies b = -2a$.
$\vec{v}$ के व्यंजक में $b = -2a$ रखने पर:
$\vec{v} = (2a - 2a)\hat{i} + (a - (-2a))\hat{j} + (a + (-2a))\hat{k} = 0\hat{i} + 3a\hat{j} - a\hat{k} = a(3\hat{j} - \hat{k})$.
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{a(3\hat{j} - \hat{k})}{|a|\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ है।

(C) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\overrightarrow{d}_1 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{d}_2 = -\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
विकर्णों $\overrightarrow{d}_1$ और $\overrightarrow{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2|$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(1) - (-4)(2)) - \hat{j}(2(1) - (-4)(-1)) + \hat{k}(2(2) - 3(-1))$
$= \hat{i}(3 + 8) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(4 + 3)$
$= 11 \hat{i} + 2 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2| = \sqrt{11^2 + 2^2 + 7^2} = \sqrt{121 + 4 + 49} = \sqrt{174}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{174}$ है।

(A) माना शीर्षों $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i}+4\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 5\hat{i}+5\hat{j}+5\hat{k}$ हैं।
भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ है।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 6 \end{vmatrix} = -8\hat{i} + 16\hat{j} + 0\hat{k}$
परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + 0^2} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
साथ ही,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |\vec{BC}| \times p$,जहाँ $p$ शीर्ष $A$ से $BC$ पर लंब है।
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2} = 6$.
अतः,$4\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 6 \times p \implies 4\sqrt{5} = 3p \implies p = \frac{4\sqrt{5}}{3}$.

(A) दिया गया है कि $a, b, c, d$ समतलीय सदिश हैं।
चूंकि $a$ और $b$ समतलीय हैं,सदिश $a \times b$,$a$ और $b$ वाले तल के लंबवत है।
इसी प्रकार,$c$ और $d$ समतलीय हैं,इसलिए सदिश $c \times d$,$c$ और $d$ वाले तल के लंबवत है।
चूंकि $a, b, c, d$ सभी एक ही तल में स्थित हैं,इसलिए सदिश $a \times b$ और $c \times d$ दोनों एक ही तल के लंबवत हैं।
अतः,$a \times b$ और $c \times d$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
चूंकि दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है,इसलिए $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ होगा।

(D) सदिश $\vec{r}$,$\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{j} + 2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत है। अतः,$\vec{r}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ के समांतर है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = -2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
माना $\vec{r} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2\lambda(-\hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ पर $\vec{r}$ का प्रक्षेप $\frac{|\vec{r} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
$\vec{r} \cdot \vec{v} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = \lambda(-4 - 4 + 4) = -4\lambda$.
अतः,$\frac{|-4\lambda|}{3} = 1 \Rightarrow |\lambda| = \frac{3}{4}$.
$|\vec{r}| = |\lambda| \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{3}{4} \sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{3}{4} \sqrt{24} = \frac{3}{4} \times 2 \sqrt{6} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$.

(B) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
माना $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$
$(2z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-2x) \hat{k} = 3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$2z-y=3$ $(i)$
$x-z=-3 \Rightarrow z-x=3$ (ii)
$y-2x=3$ (iii)
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$,अतः $x+2y+z=3$ (iv).
(ii) से,$z=x+3$. (iv) में प्रतिस्थापित करने पर: $x+2y+x+3=3 \Rightarrow 2x+2y=0 \Rightarrow y=-x$.
(iii) में $y=-x$ रखने पर: $-x-2x=3 \Rightarrow -3x=3 \Rightarrow x=-1$.
अतः $y=1$ और $z=2$. इस प्रकार,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
अब,$\vec{c} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{vmatrix} = (3+6) \hat{i} - (-3-6) \hat{j} + (3-3) \hat{k} = 9 \hat{i}+9 \hat{j}$.
हमें $\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b} - \vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$ की गणना करनी है।
$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) = (\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (9 \hat{i}+9 \hat{j}) = 9+18=27$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-3) + (1)(3) = 3-6+3=0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$.
अतः,$27 - 0 - 3 = 24$.

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ और किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = 1$.
इसी प्रकार,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ और $\vec{c} \cdot \vec{a} = 1$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{x} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = 1 \cdot \vec{b} - 1 \cdot \vec{c} = \vec{b} - \vec{c}$.
अब,$|\vec{x}|^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 2 + 2 - 2(1) = 2$.
इसी प्रकार,$\vec{y} = \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = 1 \cdot \vec{c} - 1 \cdot \vec{a} = \vec{c} - \vec{a}$.
अब,$|\vec{y}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 2 + 2 - 2(1) = 2$.
चूंकि $|\vec{x}|^2 = 2$ और $|\vec{y}|^2 = 2$,इसलिए $|\vec{x}| = |\vec{y}| = \sqrt{2}$ है।

(C) चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल पर लंब है,इसलिए यह $\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 4) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-2 - 1) = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
हम $\vec{d} = \mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ लिख सकते हैं जहाँ $\mu = -3\lambda$.
दिया गया है कि $\vec{d} \cdot \vec{c} = 2$,अतः $\vec{c} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ रखने पर:
$\mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2$
$\mu(2 + 1 - 1) = 2 \Rightarrow 2\mu = 2 \Rightarrow \mu = 1$.
इसलिए,$\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।

(A) माना $\vec{a} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ है।
दिया गया है $\vec{a} \times \hat{i} = \hat{j} + \hat{k}$।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \times \hat{i} = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \times \hat{i} = -y \hat{k} + z \hat{j} = z \hat{j} - y \hat{k}$।
$\hat{j} + \hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $z = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \hat{i} = 1$,इसलिए $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \hat{i} = x = 1$।
अतः,$\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$।
बिंदु $\vec{p} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाली और $\vec{a}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + t \vec{a}$ है।
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+t) \hat{i} + (1-t) \hat{j} + (1+t) \hat{k}$।

(A) दिया गया है कि $\vec{p} = \vec{q} + \vec{r}$,अतः:
$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = (d \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k})$
$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = (d + 3) \hat{i} + 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = d + 3 \Rightarrow d = a - 3$,$b = 4$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
$\vec{q}$ और $\vec{r}$ द्वारा निर्मित $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}| = 5 \sqrt{6}$ है।
$\vec{q} \times \vec{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ d & 3 & 4 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 4) - \hat{j}(-2d - 12) + \hat{k}(d - 9) = -10 \hat{i} + (2d + 12) \hat{j} + (d - 9) \hat{k}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{(-10)^2 + (2d + 12)^2 + (d - 9)^2} = 5 \sqrt{6}$.
$\sqrt{100 + 4d^2 + 48d + 144 + d^2 - 18d + 81} = 10 \sqrt{6}$.
$5d^2 + 30d + 325 = 600 \Rightarrow 5d^2 + 30d - 275 = 0 \Rightarrow d^2 + 6d - 55 = 0$.
$(d + 11)(d - 5) = 0$,अतः $d = 5$ या $d = -11$.
यदि $d = 5$,तो $a = 5 + 3 = 8$. अतः $|a| + |b| + |c| = 8 + 4 + 2 = 14$.
यदि $d = -11$,तो $a = -11 + 3 = -8$. अतः $|a| + |b| + |c| = |-8| + 4 + 2 = 14$.

(B) $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{r} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 20) - \hat{j}(-6 - 5) + \hat{k}(-12 + 1) = 22\hat{i} + 11\hat{j} - 11\hat{k} = 11(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
अतः,$\vec{r} = \lambda(11)(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
दिया है $\vec{r} \cdot \vec{a} = 11$,इसलिए $11\lambda(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 11$.
$11\lambda(2(1) + 1(2) - 1(3)) = 11 \implies 11\lambda(2 + 2 - 3) = 11 \implies 11\lambda(1) = 11 \implies \lambda = 1$.
अतः,$\vec{r} = 11(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$.
एक सदिश $\vec{p}$,$\vec{r}$ के लंबवत होगा यदि $\vec{r} \cdot \vec{p} = 0$,जिसका अर्थ है $(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot \vec{p} = 0$.
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 1(-1) - 1(1) = 2 - 1 - 1 = 0$.
अतः,सदिश $\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ सदिश $\vec{r}$ के लंबवत है।

(D) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-2) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(4+3) = 7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$
इसके बाद,$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ की गणना करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 7 & 7 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-7)) - \hat{j}(0 - 7) + \hat{k}(-7 - 7) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 14\hat{k}$
यह दिया गया है कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$,$\vec{d}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(7\hat{i} + 7\hat{j} - 14\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + x\hat{k}) = 0$
$7(1) + 7(1) - 14(x) = 0$
$14 - 14x = 0$
$14x = 14$
$x = 1$

(C) दिया गया है,$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{j}-\hat{k}$.
माना $\vec{b}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ से,$(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})=3$,जिसका अर्थ है $x+y+z=3$ ... $(1)$.
$\vec{a} \times \vec{b}=\vec{c}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j}-\hat{k}$
$\hat{i}(z-y) - \hat{j}(z-x) + \hat{k}(y-x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$z-y=0 \Rightarrow z=y$
$-(z-x)=1 \Rightarrow x-z=1 \Rightarrow x=z+1$
$y-x=-1 \Rightarrow x=y+1$.
$y=z$ और $x=z+1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(z+1) + z + z = 3 \Rightarrow 3z+1=3 \Rightarrow 3z=2 \Rightarrow z=\frac{2}{3}$.
अतः,$y=\frac{2}{3}$ और $x=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$.
इसलिए,$\vec{b}=\frac{5}{3}\hat{i}+\frac{2}{3}\hat{j}+\frac{2}{3}\hat{k}$.

(D) माना $\vec{a}$ अभीष्ट इकाई सदिश है। चूँकि $\vec{a}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{d} = 2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{n} = \vec{c} \times \vec{d}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(-1-2) = 0\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
चूँकि $\vec{a}$,$\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के भी लंबवत है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{b} \times \vec{n}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{b} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-9) - \hat{j}(-3-0) + \hat{k}(3-0) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{b} \times \vec{n}}{|\vec{b} \times \vec{n}|} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{27}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
नोट: सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ और $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ समान हैं।

(D) भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,जहां $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है:
सबसे पहले,$\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
दिया गया है $|\vec{b}| = 6$ और $\theta = \frac{\pi}{6}$.
इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |\vec{a}| \times |\vec{b}| \times \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(A) माना कि $b=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
सदिश गुणनफल $a \times b$ सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}(z-y) - \hat{j}(z-x) + \hat{k}(y-x) = (z-y) \hat{i} + (x-z) \hat{j} + (y-x) \hat{k}$.
दिया गया है कि $a \times b = c = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}$,अतः घटकों की तुलना करने पर:
$z-y = 0 \Rightarrow y=z$
$x-z = 1 \Rightarrow z=x-1$
$y-x = -1 \Rightarrow y=x-1$.
साथ ही,$a \cdot b = 3$ दिया गया है,इसलिए $x+y+z = 3$.
$y$ और $z$ का मान $x$ के पदों में रखने पर:
$x + (x-1) + (x-1) = 3$
$3x - 2 = 3 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
अतः $y = z = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$b = \frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$.

(B) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,$b=7 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,और $c=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $x$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $x$ को क्रॉस प्रोडक्ट $a \times b$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$x = \lambda(a \times b)$।
क्रॉस प्रोडक्ट $a \times b$ की गणना करने पर:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 7 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-8) - \hat{j}(-6-28) + \hat{k}(4+21) = \hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k}$।
इसलिए,$x = \lambda(\hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k})$।
दिया गया है कि $x \cdot c = 60$,हम $x$ और $c$ के मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda \hat{i} + 34 \lambda \hat{j} + 25 \lambda \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 60$।
$\lambda + 34 \lambda + 25 \lambda = 60$।
$60 \lambda = 60$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \hat{i} + 34 \hat{j} + 25 \hat{k}$।

(A) मान लीजिए $\vec{a}$,$Z$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाता है और $\vec{b}$,$X$-अक्ष के साथ $\beta$ कोण बनाता है। दिक कोज्या के गुण $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ का उपयोग करते हुए:
सदिश $\vec{a}$ के लिए: $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\vec{a} = 2(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \cos 60^{\circ} \hat{j} + \cos \alpha \hat{k}) = 2(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$.
सदिश $\vec{b}$ के लिए: $\cos^2 \beta + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 1 \Rightarrow \cos^2 \beta + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \cos \beta = 0$.
अतः,$\vec{b} = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \cos 45^{\circ} \hat{j} + \cos 45^{\circ} \hat{k}) = \sqrt{2}(0 \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}) = \hat{j} + \hat{k}$.
अब,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & \pm \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (\pm \sqrt{2})) - \hat{j}(1 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = (1 \mp \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर,हमें $(1 - \sqrt{2}) \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $C$ रेखा पर एक बिंदु है ताकि $\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ के समांतर हो और $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{189}$ हो।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1-12) + \hat{k}(0-8) = 2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{BC}$,$\vec{v}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{BC} = \lambda(2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k})$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow{BC}| = |\lambda| \sqrt{2^2 + 11^2 + (-8)^2} = |\lambda| \sqrt{4 + 121 + 64} = |\lambda| \sqrt{189}$ है।
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{189}$ दिया गया है,इसलिए $|\lambda| = 1$,अर्थात $\lambda = \pm 1$.
$C$ का स्थिति सदिश $\vec{OC} = \vec{OB} + \overrightarrow{BC} = (4\hat{i} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 11\hat{j} - 8\hat{k})$ है।
$\lambda = 1$ के लिए,$\vec{OC} = (4+2)\hat{i} + (0+11)\hat{j} + (1-8)\hat{k} = 6\hat{i} + 11\hat{j} - 7\hat{k}$.

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ ज्ञात करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-6) - \hat{j}(6+3) + \hat{k}(-4-1) = -3 \hat{i} - 9 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
इसके बाद,सदिश गुणनफल $c \times d$ ज्ञात करें:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+4) + \hat{k}(-1-1) = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
अंत में,प्राप्त दो सदिशों का सदिश गुणनफल करें:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -9 & -5 \\ 6 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(18-10) - \hat{j}(6+30) + \hat{k}(6+54) = 8 \hat{i} - 36 \hat{j} + 60 \hat{k}$.

(D) दिए गए समीकरण $r \times a = b \times a$ और $r \times b = a \times b$ हैं।
पहले समीकरण से,$r \times a - b \times a = 0$,जिसका अर्थ है $(r - b) \times a = 0$।
दूसरे समीकरण से,$r \times b - a \times b = 0$,जिसका अर्थ है $(r - a) \times b = 0$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$।
चूंकि $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए $r \times (a + b) = 0$।
यह दर्शाता है कि $r$,$(a + b)$ के समानांतर है।
अतः,किसी अदिश $k$ के लिए $r = k(a + b)$।
$r = a + b$ को मूल समीकरणों में रखने पर:
$(a + b) \times a = a \times a + b \times a = 0 + b \times a = b \times a$ (संतुष्ट)।
$(a + b) \times b = a \times b + b \times b = a \times b + 0 = a \times b$ (संतुष्ट)।
इसलिए,$r = a + b = (\hat{i} + \hat{j}) + (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4 \hat{i} - \hat{j}$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a|=|b|=|c|=1$.
दिया गया है $a+b+c=0$.
$a$ और $b$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$a+b+c=0$ का $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$a \times (a+b+c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
चूंकि $a \times a = 0$,हमें प्राप्त होता है $a \times b = c \times a$.
परिमाण लेने पर,$|a \times b| = |c \times a|$.
इसी प्रकार,$b$ के साथ सदिश गुणन लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|a \times b| = |b \times c|$.
अतः,$|a \times b| = |b \times c| = |c \times a|$.
इसलिए,$|a \times b| + |b \times c| + |c \times a| = 3|a \times b|$.
सूत्र $|a \times b| = |a||b| \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$|a \times b| = 1 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$3|a \times b| = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(D) दिया गया है: $|a|=1, |b|=2$ और कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
हमें व्यंजक ${(a+3b) \times (3a-b)}^2$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सदिश गुणन का विस्तार करें:
$(a+3b) \times (3a-b) = a \times (3a) - a \times b + (3b) \times (3a) - (3b) \times b$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,इसलिए:
$= 0 - (a \times b) + 9(b \times a) - 0$
चूंकि $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार होगा:
$= -(a \times b) - 9(a \times b) = -10(a \times b)$
अब,परिमाण का वर्ग करें:
${(-10)(a \times b)}^2 = 100 |a \times b|^2$
सूत्र $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ का उपयोग करते हुए:
$|a \times b| = 1 \times 2 \times \sin 120^{\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
अतः,$100 |a \times b|^2 = 100 \times (\sqrt{3})^2 = 100 \times 3 = 300$.

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$,$\overrightarrow{c}=\hat{i}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(1-1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
अब,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}$ ज्ञात करें:
$(-\hat{i} + \hat{j}) \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(0-1) = -\hat{k}$.
हमें दिया गया है $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{b}$.
सदिशों का मान रखने पर: $-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$.
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\hat{i}$ के लिए: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{j}$ के लिए: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{k}$ के लिए: $\lambda = -1$.
अतः,$\lambda + \mu$ का मान $0$ है।

(B) स्थिति सदिशों $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ वाले शीर्षों के त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$
चूंकि $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$,इसलिए:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))$
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$-\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$,और $-\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,हमें प्राप्त होता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(2+1) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ है।
मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ है। दिया गया है $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{v}| = |\vec{a}| |\vec{v}| \sin \theta$ होता है।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,इसलिए $|\vec{a} \times \vec{v}| = 1 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$।

(C) दिया गया है,$a=2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,तो $|a|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=3$.
दिया गया है $|c-a|=2 \sqrt{2}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|c-a|^2=8$.
$|c|^2+|a|^2-2(a \cdot c)=8$.
$|a|=3$ और $a \cdot c=|c|$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $|c|^2+9-2|c|=8$.
$|c|^2-2|c|+1=0 \Rightarrow (|c|-1)^2=0 \Rightarrow |c|=1$.
अब,$a \times b$ ज्ञात करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+1) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(-2-0) = -\hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
अतः $|a \times b| = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
सदिश गुणन का परिमाण $|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$|(a \times b) \times c| = 3 \times 1 \times \sin \frac{\pi}{3} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(A) दिया गया है कि,$|x|=|y|=|z|=\sqrt{2}$ और $\theta=60^{\circ}$.
अतः,$x \cdot y = |x||y| \cos 60^{\circ} = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) \times \frac{1}{2} = 1$.
इसी प्रकार,$y \cdot z = z \cdot x = 1$ और $x \cdot x = y \cdot y = z \cdot z = |x|^2 = 2$.
अब,$a = x \times (y \times z) = (x \cdot z)y - (x \cdot y)z = 1 \cdot y - 1 \cdot z = y - z$ $\dots(i)$.
साथ ही,$b = y \times (z \times x) = (y \cdot x)z - (y \cdot z)x = 1 \cdot z - 1 \cdot x = z - x$ $\dots(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$a + b = y - x$,अतः $y - x = a + b$ $\dots(iii)$.
दिया है $c = x \times y$. क्रमशः $x$ और $y$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$x \times c = x \times (x \times y) = (x \cdot y)x - (x \cdot x)y = x - 2y$ $\dots(iv)$.
$y \times c = y \times (x \times y) = (y \cdot y)x - (y \cdot x)y = 2x - y$ $\dots(v)$.
$(iv)$ में से $(v)$ घटाने पर,$(x - y) \times c = (x - 2y) - (2x - y) = -x - y$,जिसका अर्थ है $x + y = (y - x) \times c$.
$(iii)$ से $y - x = a + b$ प्रतिस्थापित करने पर,$x + y = (a + b) \times c$ $\dots(vi)$.
$(vi)$ में से $(iii)$ घटाने पर,$(x + y) - (y - x) = (a + b) \times c - (a + b)$.
$2x = (a + b) \times c - (a + b)$.
अतः,$x = \frac{1}{2}[(a + b) \times c - (a + b)]$.

(D) दिया गया है,$\vec{r} \times \vec{a}=\vec{b}$.
दोनों पक्षों में $\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $(\vec{r} \times \vec{a}) \times \vec{a}=\vec{b} \times \vec{a}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{C})\vec{A}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{r} = \vec{b} \times \vec{a}$.
चूँकि $|\vec{a}|=2$,हमारे पास $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 4$ है।
अतः,$4\vec{r} = (\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})$.
अब,$|\vec{r} \times \vec{a}| = |\vec{b}| \Rightarrow |\vec{r}||\vec{a}|\sin \theta = \sqrt{3}$.
$1 \times 2 \sin \theta = \sqrt{3} \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$.
तब,$\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}|\cos \theta = 1 \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
समीकरण $4\vec{r} = (\vec{r} \cdot \vec{a})\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})$ में $\vec{r} \cdot \vec{a} = 1$ रखने पर:
$4\vec{r} = \vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a}) \Rightarrow \vec{r} = \frac{1}{4}[\vec{a} - (\vec{b} \times \vec{a})]$.

(D) दिया गया है $\bar{a} = \bar{i} - 2\bar{j} - 2\bar{k}$ और $\bar{b} = 2\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$।
हमें $(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b})$ की गणना करनी है।
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b}) = \bar{a} \times (3\bar{a}) - \bar{a} \times \bar{b} + (2\bar{b}) \times (3\bar{a}) - (2\bar{b}) \times \bar{b}$।
चूंकि $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,इसलिए $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण: $0 - (\bar{a} \times \bar{b}) + 6(\bar{b} \times \bar{a}) - 0$।
चूंकि $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,हमें प्राप्त होता है:
$-(\bar{a} \times \bar{b}) - 6(\bar{a} \times \bar{b}) = -7(\bar{a} \times \bar{b})$।
अब,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bar{i}(-4 - (-2)) - \bar{j}(2 - (-4)) + \bar{k}(1 - (-4)) = -2\bar{i} - 6\bar{j} + 5\bar{k}$।
अंत में,$-7(\bar{a} \times \bar{b}) = -7(-2\bar{i} - 6\bar{j} + 5\bar{k}) = 14\bar{i} + 42\bar{j} - 35\bar{k}$।

(B) चूंकि $\bar{d}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{d}$ को $\bar{a} \times \bar{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \bar{i}(2+2) - \bar{j}(-2-1) + \bar{k}(-2+1) = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$.
मान लीजिए $\bar{d} = k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
दिया गया है $|\bar{d} \times \bar{c}| = 14$. ध्यान दें कि $\bar{d} \times \bar{c} = k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \times (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k})$.
$(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \times (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \bar{i}(-6+3) - \bar{j}(-8+6) + \bar{k}(12-18) = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,$|\bar{d} \times \bar{c}| = |k| \times 7 = 14$,जिसका अर्थ है $|k| = 2$.
अब,$|\bar{d} \cdot \bar{c}| = |k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \cdot (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k})| = |k| |24 + 9 + 2| = 2 \times 35 = 70$.

(C) माना बिंदु $P(\vec{r}) = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ है। निश्चित बिंदु $A(1, 0, 0)$ और $B(0, 1, 0)$ हैं।
सदिश $\vec{AP} = (x-1)\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ और सदिश $\vec{AB} = -\hat{i} + \hat{j}$ है।
$\triangle ABP$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AP} \times \vec{AB}|$ द्वारा दिया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना:
$\vec{AP} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x-1 & y & z \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-z) - \hat{j}(0 - (-z)) + \hat{k}((x-1) - (-y)) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x+y-1)\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{AB}| = \sqrt{(-z)^2 + (-z)^2 + (x+y-1)^2} = \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{2} \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 = \sqrt{2z^2 + (x+y-1)^2} \Rightarrow 4 = 2z^2 + (x+y-1)^2$।