Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = ai + bj + ck$ है।
$\vec{v}$ के $\vec{u_1} = i + j + 2k$ और $\vec{u_2} = i + 2j + k$ के साथ समतलीय होने के लिए,यह $\vec{u_1}$ और $\vec{u_2}$ का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} = p(i + j + 2k) + r(i + 2j + k) = (p+r)i + (p+2r)j + (2p+r)k$।
घटकों की तुलना करने पर,$a = p+r$,$b = p+2r$,और $c = 2p+r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{w} = i + j + k$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(ai + bj + ck) \cdot (i + j + k) = a + b + c = 0$।
$a, b, c$ के मान रखने पर:
$(p+r) + (p+2r) + (2p+r) = 4p + 4r = 0$,जिसका अर्थ है $p = -r$।
$p = -r$ को $a, b, c$ में रखने पर:
$a = -r + r = 0$,
$b = -r + 2r = r$,
$c = 2(-r) + r = -r$।
इस प्रकार,$\vec{v} = r(j - k)$।
$\vec{v}$ के इकाई सदिश होने के लिए,$|\vec{v}| = 1$:
$\sqrt{0^2 + r^2 + (-r)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{2r^2} = 1 \Rightarrow |r|\sqrt{2} = 1 \Rightarrow r = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(j - k)$ है।

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v} = x\,i + y\,j + z\,k$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a} = 3\,i + j - 4\,k$ और $\vec{b} = 6\,i + 5\,j - 2\,k$ के लंबवत है,इसलिए यह $\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 1 & -4 \\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} = i(-2 - (-20)) - j(-6 - (-24)) + k(15 - 6) = 18\,i - 18\,j + 9\,k$.
सरल करने पर,हम दिशा सदिश $\vec{u} = 2\,i - 2\,j + k$ ले सकते हैं।
$\vec{u}$ का परिमाण $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
चूंकि अभीष्ट सदिश की लंबाई $3$ है,इसलिए सदिश $\pm(2\,i - 2\,j + k)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$2\,i - 2\,j + k$ सही विकल्प है।

(D) माना दो सदिश $\vec{a} = i + 2j + k$ और $\vec{b} = i + j + 2k$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित सदिश $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = (i + 2j + k) - (i + j + 2k) = j - k$ है।
अब,जाँचें कि क्या $\vec{v}$,$2i + j + k$ के लंबवत है: $(j - k) \cdot (2i + j + k) = (0)(2) + (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$।
अतः,$j - k$ अभीष्ट समतल में है और $2i + j + k$ के लंबवत है।
इसलिए,इकाई सदिश $\frac{j - k}{|j - k|} = \frac{j - k}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{j - k}{\sqrt{2}}$ होगा।

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
चूँकि $a \times b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a \times b| = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $1 = (1)(1) \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\sin \theta = 1$ है।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) तीन बिंदुओं $A(a), B(b), C(c)$ के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ समानांतर होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि उनका सदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{AB} \times \vec{BC} = 0$।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(b - a) \times (c - b) = 0$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $b \times c - b \times b - a \times c + a \times b = 0$।
चूंकि $b \times b = 0$,व्यंजक $b \times c - a \times c + a \times b = 0$ में सरल हो जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a \times b + b \times c + c \times a = 0$ प्राप्त होता है।

(A) सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(a - b) \times (a + b) = a \times a + a \times b - b \times a - b \times b$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणन शून्य होता है ($a \times a = 0$ और $b \times b = 0$):
$= 0 + a \times b - b \times a - 0$
$= a \times b - b \times a$
चूंकि सदिश गुणन एंटी-कम्यूटेटिव होता है $(b \times a = -(a \times b))$:
$= a \times b - (-(a \times b))$
$= a \times b + a \times b$
$= 2(a \times b)$

(C) दिया गया है कि $a + b + c = 0.$
दोनों पक्षों में $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$a \times (a + b + c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
चूंकि $a \times a = 0,$ इसलिए $a \times b + a \times c = 0,$ जिसका अर्थ है $a \times b = - (a \times c) = c \times a$ .....$(i)$
इसी प्रकार,दोनों पक्षों में $b$ के साथ सदिश गुणन लेने पर:
$b \times (a + b + c) = b \times 0$
$b \times a + b \times b + b \times c = 0$
चूंकि $b \times b = 0,$ इसलिए $b \times a + b \times c = 0,$ जिसका अर्थ है $-(a \times b) = b \times c,$ या $a \times b = b \times c$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $a \times b = b \times c = c \times a$ प्राप्त होता है।

(B) सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(2a + 3b) \times (5a + 7b) = 2a \times (5a + 7b) + 3b \times (5a + 7b)$
$= 2a \times 5a + 2a \times 7b + 3b \times 5a + 3b \times 7b$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$:
$= 0 + 14(a \times b) + 15(b \times a) + 0$
गुणधर्म $a \times b = -(b \times a)$ का उपयोग करते हुए:
$= 14(a \times b) - 15(a \times b) = -1(a \times b) = b \times a$.

(C) और $b$ के लंबवत सदिश उनके क्रॉस प्रोडक्ट $a \times b$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 - 0) - j(1 - 0) + k(1 - 0) = i - j + k$.
इस सदिश का परिमाण $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|}$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,इकाई सदिश $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(i - j + k)$ हैं।
इसलिए,ऐसे कुल $2$ सदिश हैं।

(D) माना $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$.
दिया है $a \cdot b = 1$,अतः $(i - j + k) \cdot (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = 1 \Rightarrow b_1 - b_2 + b_3 = 1$ ... $(i)$
दिया है $a \times b = c$,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = i(-b_3 - b_2) - j(b_3 - b_1) + k(b_2 + b_1) = (-b_2 - b_3)i + (b_1 - b_3)j + (b_1 + b_2)k$.
इसे $c = -i - j + 0k$ के साथ तुलना करने पर:
$-b_2 - b_3 = -1 \Rightarrow b_2 + b_3 = 1$ ... $(ii)$
$b_1 - b_3 = -1$ ... $(iii)$
$b_1 + b_2 = 0$ ... $(iv)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $b_1 = 2/3, b_2 = -2/3, b_3 = -1/3$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) दिया गया है कि $a \times b = b \times c \ne 0.$
इसे $a \times b - b \times c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सदिश गुणन के गुण $b \times c = -(c \times b)$ का उपयोग करने पर,हमें $a \times b + c \times b = 0$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणन को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(a + c) \times b = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दो सदिशों का सदिश गुणन शून्य है,इसलिए सदिश समांतर होने चाहिए।
अतः,$a + c$ सदिश $b$ के समांतर है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k$ के लिए $a + c = k\,b$ होगा।

(C) सदिश क्रॉस गुणन के गुणों के अनुसार,हम जानते हैं कि क्रॉस गुणन एंटी-कम्यूटेटिव होता है,अर्थात $u \times v = -(v \times u)$।
व्यंजक $a \times (b - c)$ पर विचार करें।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$।
अब दाहिने पक्ष पर विचार करें: $(c - b) \times a = c \times a - b \times a$।
एंटी-कम्यूटेटिव गुण का उपयोग करते हुए,$c \times a = -(a \times c)$ और $b \times a = -(a \times b)$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $(c - b) \times a = -(a \times c) - (-(a \times b)) = a \times b - a \times c$।
चूंकि दोनों पक्ष समान हैं,इसलिए कथन $a \times (b - c) = (c - b) \times a$ सत्य है।

(B) दिया गया है कि $a \times b = b \times c \ne 0$.
इसे $a \times b - b \times c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सदिश गुणन के गुण $b \times c = -c \times b$ का उपयोग करने पर,हमें $a \times b + c \times b = 0$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणन को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(a + c) \times b = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दो सदिशों का सदिश गुणन शून्य है,इसलिए सदिश समांतर होने चाहिए।
अतः,$(a + c) \parallel b$.

(A) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।
समतल में दो सदिश: $\vec{AB} = i + j - 3k$ और $\vec{BC} = -2i + 2j + 2k$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 8i + 4j + 4k$.
इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{8i + 4j + 4k}{\sqrt{96}} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$.

(C) दिया गया है $a = 2i + 3j - 5k$ और $b = mi + nj + 12k$। चूँकि $a \times b = 0$,सदिश संरेख हैं।
सदिश गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & -5 \\ m & n & 12 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$i(36 - (-5n)) - j(24 - (-5m)) + k(2n - 3m) = 0$
$(36 + 5n)i - (24 + 5m)j + (2n - 3m)k = 0$
शून्य सदिश के लिए,प्रत्येक घटक शून्य होना चाहिए:
$36 + 5n = 0 \Rightarrow n = -\frac{36}{5}$
$24 + 5m = 0 \Rightarrow m = -\frac{24}{5}$
$2n - 3m = 2(-\frac{36}{5}) - 3(-\frac{24}{5}) = -\frac{72}{5} + \frac{72}{5} = 0$ (यह मानों की पुष्टि करता है)।
अतः,$(m, n) = \left( -\frac{24}{5}, -\frac{36}{5} \right)$।

(D) माना $\vec{a} = i + 2j - 2k$ और $\vec{b} = -i + 2j + 2k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - (-4)) - j(2 - 2) + k(2 - (-2)) = 8i - 0j + 4k = 8i + 4k$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{8i + 4k}{4\sqrt{5}} = \pm \frac{2i + k}{\sqrt{5}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{1}{\sqrt{5}}(2i + k)$ है।

(C) माना $\vec{a} = 6i + 2j + 3k$ और $\vec{b} = 3i - 6j - 2k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 6 & 2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = i(-4 - (-18)) - j(-12 - 9) + k(-36 - 6) = 14i + 21j - 42k$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{14^2 + 21^2 + (-42)^2} = \sqrt{196 + 441 + 1764} = \sqrt{2401} = 49$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{14i + 21j - 42k}{49} = \pm \frac{2i + 3j - 6k}{7}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही इकाई सदिश $\frac{2i + 3j - 6k}{7}$ है।

(C) हम जानते हैं कि दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2 \theta)$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$
चूंकि अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$.

(C) माना $\vec{a} = 3i + 2j - k$ और $\vec{b} = 12i + 5j - 5k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 12 & 5 & -5 \end{vmatrix}$
$= i(2(-5) - (-1)(5)) - j(3(-5) - (-1)(12)) + k(3(5) - 2(12))$
$= i(-10 + 5) - j(-15 + 12) + k(15 - 24)$
$= -5i + 3j - 9k$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}$ है।
अतः,दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-5i + 3j - 9k}{\sqrt{115}}$ होगा।

(A) माना $\vec{a} = 3i + 2j - k$ और $\vec{b} = 12i + 5j - 5k$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ इस प्रकार है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 12 & 5 & -5 \end{vmatrix} = i(-10 - (-5)) - j(-15 - (-12)) + k(15 - 24) = -5i + 3j - 9k$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}$ है।
सदिशों के परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25 + 25} = \sqrt{194}$ हैं।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\sqrt{115}}{\sqrt{14}\sqrt{194}}$।

(D) दो सदिशों $a$ और $b$ का सदिश गुणनफल $a \times b = |a||b| \sin(\theta) \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
यदि $a \times b = 0$ है,तो $|a||b| \sin(\theta) = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि या तो $|a| = 0$,$|b| = 0$,या $\sin(\theta) = 0$ है।
यदि $\sin(\theta) = 0$ है,तो $\theta = 0$ या $\theta = \pi$ होगा,जिसका अर्थ है कि सदिश $a$ और $b$ समांतर या संरेख हैं।
चूंकि $a \times b = 0$ की स्थिति तब भी सत्य हो सकती है जब $a \neq 0$ और $b \neq 0$ हों (जब वे समांतर हों),इसलिए विकल्प $A, B,$ या $C$ में से कोई भी आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) सदिश योग पर सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
$b \times (c + a) = b \times c + b \times a$
$c \times (a + b) = c \times a + c \times b$
इन व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(a \times b + a \times c) + (b \times c + b \times a) + (c \times a + c \times b)$
$u \times v = -(v \times u)$ के एंटी-कम्यूटेटिव गुण का उपयोग करते हुए:
$a \times b + a \times c + b \times c - a \times b - c \times a + c \times b$
चूंकि $a \times c = -(c \times a)$,इसलिए पद कट जाएंगे:
$a \times b - a \times b + a \times c - a \times c + b \times c - b \times c = 0$
अतः,परिणाम $0$ है।

(A) सदिश गुणनफल $a \times b$ इकाई सदिशों $i, j, k$ और सदिशों $a$ तथा $b$ के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= i((2)(2) - (-1)(-3)) - j((2)(2) - (-1)(6)) + k((2)(-3) - (2)(6))$
$= i(4 - 3) - j(4 + 6) + k(-6 - 12)$
$= i(1) - j(10) + k(-18)$
$= i - 10j - 18k$.

(B) माना कि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
अतः,$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$.
अब,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = a_1(\hat{i} \times \hat{i}) + a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = 0 - a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
इसलिए,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = |a_3\hat{j} - a_2\hat{k}|^2 = a_3^2 + a_2^2$.
इसी प्रकार,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = |a_1\hat{k} - a_3\hat{i}|^2 = a_1^2 + a_3^2$.
और,$|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = |a_2\hat{i} - a_1\hat{j}|^2 = a_2^2 + a_1^2$.
इन तीनों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\vec{a}|^2$.

(B) मान लीजिए बिंदु $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ और $R(0, 2, 1)$ हैं।
सबसे पहले,हम समतल में दो सदिश ज्ञात करते हैं: $\overrightarrow{PQ} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$ और $\overrightarrow{PR} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$.
समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1)) = 8i + 4j + 4k$.
सरल बनाने के लिए,हम एक समानांतर सदिश $\vec{v} = 2i + j + k$ ले सकते हैं।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$ है।

(B) माना $\vec{a} = 4i - j + 3k$ और $\vec{b} = -2i + j - 2k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(-2) - (3)(1)) - j((4)(-2) - (3)(-2)) + k((4)(1) - (-1)(-2))$
$= i(2 - 3) - j(-8 + 6) + k(4 - 2)$
$= -i + 2j + 2k$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{-i + 2j + 2k}{3} = \frac{1}{3}(-i + 2j + 2k)$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) सबसे पहले,सदिशों $a + b$ और $b + c$ की गणना करें:
$a + b = (i + j - k) + (-i + 2j + k) = 3j$
$b + c = (-i + 2j + k) + (-i + 2j - k) = -2i + 4j$
$a + b$ और $b + c$ दोनों के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम उनका क्रॉस गुणनफल लेते हैं:
$(a + b) \times (b + c) = (3j) \times (-2i + 4j) = -6(j \times i) + 12(j \times j)$
चूंकि $j \times i = -k$ और $j \times j = 0$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$(a + b) \times (b + c) = -6(-k) + 0 = 6k$
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{6k}{|6k|} = \pm k$ है।
दिए गए विकल्पों में से,$k$ सही इकाई सदिश है।

(A) यह दिया गया है कि $a, c, b$ एक दाहिने हाथ की प्रणाली बनाते हैं,इसलिए सदिश $c$ को $b$ और $a$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा $c = b \times a$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए सदिशों $a = xi + yj + zk$ और $b = j$ का मान रखने पर:
$c = j \times (xi + yj + zk)$
इकाई सदिशों के क्रॉस गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए ($j \times i = -k$,$j \times j = 0$,$j \times k = i$):
$c = x(j \times i) + y(j \times j) + z(j \times k)$
$c = x(-k) + y(0) + z(i)$
$c = zi - xk$.

(B) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु है और $B, C$ तथा $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।
तब $\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}, \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}, \overrightarrow{CA} = -\vec{c},$ और $\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}$ होगा।
अब, व्यंजक पर विचार करें:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{BD}|$
$= |\vec{b} \times (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{b}) \times \vec{d} - \vec{c} \times (\vec{d} - \vec{b})|$
$= |\vec{b} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{d} - \vec{c} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b}|$
$= |-\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b}|$
$= |-\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}| = |-2(\vec{b} \times \vec{c})| = 2|\vec{b} \times \vec{c}|$
चूंकि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}|$ है, इसलिए $|\vec{b} \times \vec{c}| = 2\Delta$ होगा।
अतः, व्यंजक का मान $2(2\Delta) = 4\Delta$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$r \times a = b \times a \implies r \times a - b \times a = 0 \implies (r - b) \times a = 0$
$r \times b = a \times b \implies r \times b + b \times a = 0 \implies (r + a) \times b = 0$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$
$r \times (a + b) = b \times a - b \times a = 0$
चूंकि $r \times (a + b) = 0$,इसलिए $r$ को $(a + b)$ के समानांतर होना चाहिए,अतः $r = k(a + b)$ किसी अदिश $k$ के लिए।
पहले समीकरण में $r = k(a + b)$ रखने पर:
$k(a + b) \times a = b \times a$
$k(a \times a + b \times a) = b \times a$
$k(0 + b \times a) = b \times a$
$k(b \times a) = b \times a$
चूंकि $a$ लंबवत नहीं है $b$ के और $a \ne \lambda b$,इसलिए $b \times a \ne 0$,अतः $k = 1$ है।
इसलिए,$r = a + b$.

(A) माना $\vec{a} = 2i - j + k$ और $\vec{b} = 3i + 4j - k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनका सदिश गुणनफल (cross product) $\vec{a} \times \vec{b}$ होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix} = i(1 - 4) - j(-2 - 3) + k(8 + 3) = -3i + 5j + 11k$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 11^2} = \sqrt{9 + 25 + 121} = \sqrt{155}$ है।
अतः,दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-3i + 5j + 11k}{\sqrt{155}}$ होगा।

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = i + j + k$,$\vec{B} = 2i + 3j - 4k$,और $\vec{C} = 7i + 4j + 9k$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = i + 2j - 5k$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = 6i + 3j + 8k$.
समतल के लंबवत सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -5 \\ 6 & 3 & 8 \end{vmatrix} = 31i - 38j - 9k$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{31^2 + (-38)^2 + (-9)^2} = \sqrt{2486}$ है।
अतः,समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{31i - 38j - 9k}{\sqrt{2486}}$ है।

(B) त्रिभुज $ABC$ के तल के लंबवत इकाई सदिश का सूत्र है: $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}$।
चूंकि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $a, b, c$ हैं,इसलिए $\overrightarrow{AB} = b - a$ और $\overrightarrow{AC} = c - a$ होगा।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(b - a) \times (c - a) = b \times c - b \times a - a \times c + a \times a$।
हम जानते हैं कि $a \times a = 0$,$-b \times a = a \times b$ और $-a \times c = c \times a$,इसलिए: $(b - a) \times (c - a) = a \times b + b \times c + c \times a$।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{a \times b + b \times c + c \times a}{|a \times b + b \times c + c \times a|}$ है।

(B) $\Delta ABC$ में,भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश $BC = a$,$CA = b$,और $AB = c$ हैं।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,एक त्रिभुज की परिधि के अनुदिश सदिशों का योग शून्य होता है: $a + b + c = 0$।
दोनों पक्षों में $a$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $a \times (a + b + c) = a \times 0 \implies a \times a + a \times b + a \times c = 0$।
चूंकि $a \times a = 0$,हमें $a \times b = c \times a$ प्राप्त होता है (क्योंकि $a \times c = -c \times a$)।
इसी प्रकार,$b$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $b \times (a + b + c) = b \times 0 \implies b \times a + b \times b + b \times c = 0$।
चूंकि $b \times b = 0$,हमें $b \times a + b \times c = 0 \implies b \times c = a \times b$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $a \times b = b \times c = c \times a$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\vec{a} = i + j + k$ और $\vec{b} = i + j$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$= i(0 - 1) - j(0 - 1) + k(1 - 1)$
$= -i + j + 0k = -i + j$.
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत कोई भी सदिश $-i + j$ का एक अदिश गुणज होता है,जिसे किसी अदिश $c$ के लिए $c(i - j)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) और $b$ दोनों के लंबवत सदिश $a \times b$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a$ और $b$ वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश $\frac{a \times b}{|a \times b|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -6 & -3 \\ 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$a \times b = i(6 + 9) - j(-2 + 12) + k(6 + 24) = 15i - 10j + 30k$.
इसके बाद,परिमाण $|a \times b| = \sqrt{15^2 + (-10)^2 + 30^2} = \sqrt{225 + 100 + 900} = \sqrt{1225} = 35$ की गणना करें।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{15i - 10j + 30k}{35} = \frac{3i - 2j + 6k}{7}$ है।

(A) मान लीजिए $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(2 - (-2)) = -4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है।
दोनों सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4\sqrt{3}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है।

(C) माना कि दिए गए सदिश $\vec{a} = i - j + k$ और $\vec{b} = 2i + 3j - k$ हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(-1) - (1)(3)) - j((1)(-1) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-1)(2))$
$= i(1 - 3) - j(-1 - 2) + k(3 + 2)$
$= -2i + 3j + 5k$
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$ है।
दोनों सदिशों के लंबवत इकाई सदिश $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-2i + 3j + 5k}{\sqrt{38}}$ है।

(B) सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना सारणिक (determinant) का उपयोग करके की जाती है:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$= i((-3)(-2) - (-1)(4)) - j((2)(-2) - (-1)(1)) + k((2)(4) - (-3)(1))$
$= i(6 + 4) - j(-4 + 1) + k(8 + 3)$
$= i(10) - j(-3) + k(11)$
$= 10i + 3j + 11k$

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है $|a| = 4$,$|b| = 2$,और $\theta = \frac{\pi}{6}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $|a \times b| = 4 \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $|a \times b| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
अतः,$|a \times b|^2 = 4^2 = 16$.

(A) सदिश गुणनफल $a \times b$ को सारणिक (determinant) का उपयोग करके इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= i(4 \times 3 - (-5) \times 2) - j(2 \times 3 - (-5) \times 1) + k(2 \times 2 - 4 \times 1)$
$= i(12 + 10) - j(6 + 5) + k(4 - 4)$
$= 22i - 11j + 0k$
अब,परिमाण $|a \times b|$ की गणना करें:
$|a \times b| = \sqrt{(22)^2 + (-11)^2 + (0)^2}$
$= \sqrt{484 + 121}$
$= \sqrt{605}$
$= \sqrt{121 \times 5} = 11\sqrt{5}$.

(D) माना $\vec{a} = i + j$ और $\vec{b} = j + k$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 - 0) - j(1 - 0) + k(1 - 0) = i - j + k$।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{i - j + k}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{i - j + k}{\sqrt{3}}$ है।

(B) त्रिभुज के शीर्ष $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$ और $C(3, -1, 2)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (2-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 2\hat{i}$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - (-6)) + \hat{k}(0 - 4) = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ वर्ग इकाई है।

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)i + (0 - (-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$
$\overrightarrow{AC} = (0-1)i + (2 - (-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1))$
$= i(8) - j(-4) + k(4) = 8i + 4j + 4k$
सदिश गुणनफल का परिमाण:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} (4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.

(C) माना शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(2, 5, -1)$ और $C(-1, 1, 2)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-3 - 4) - \hat{j}(-1 - 8) + \hat{k}(-1 + 6)$
$= -7\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + 9^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 81 + 25} = \sqrt{155}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{155} = \frac{\sqrt{155}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निरूपित हैं,उनके सदिश गुणन (cross product) के परिमाण द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
यहाँ $\vec{a} = 3i + 0j - k$ और $\vec{b} = i + 2j + 0k$ दिया गया है।
सदिश गुणन की गणना इस प्रकार है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= i(0(0) - (-1)(2)) - j(3(0) - (-1)(1)) + k(3(2) - 0(1))$
$= i(0 + 2) - j(0 + 1) + k(6 - 0)$
$= 2i - j + 6k$.
क्षेत्रफल इस सदिश का परिमाण है:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (6)^2}$
$= \sqrt{4 + 1 + 36}$
$= \sqrt{41}$.

(B) विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(12 + 2) + \hat{k}(-9 - 1)$
$= -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2}$
$= \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
अंत में,क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} (10\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}$.

(D) स्थिति सदिश $\vec{OA} = \vec{i} + \vec{j}$,$\vec{OB} = \vec{j} + \vec{k}$,और $\vec{OC} = \vec{k} + \vec{i}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\vec{j} + \vec{k}) - (\vec{i} + \vec{j}) = -\vec{i} + \vec{k}$
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (\vec{k} + \vec{i}) - (\vec{i} + \vec{j}) = -\vec{j} + \vec{k}$
$\Delta ABC$ का सदिश क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(\vec{AB} \times \vec{AC})$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \vec{i}(0 - (-1)) - \vec{j}(-1 - 0) + \vec{k}(1 - 0) = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
अतः,सदिश क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k})$ है।
इसे $\pm \frac{1}{2} \vec{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\vec{\alpha} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ प्राप्त होता है।

(C) मूल बिंदु $O$,$A$ और $B$ शीर्षों वाले त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$
$= i(2(1) - (-1)(3)) - j(3(1) - (-1)(1)) + k(3(3) - 2(1))$
$= i(2 + 3) - j(3 + 1) + k(9 - 2)$
$= 5i - 4j + 7k$.
अब,हम इस सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 16 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
अंत में,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\Delta = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3}{2}\sqrt{10}$.

(C) एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी आसन्न भुजाएँ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}|$.
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2 - (-6)) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-2 - 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.