Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) सदिश भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
यहाँ $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ और $\vec{b} = -5\hat{i} + 7\hat{j}$ दिया गया है।
उनका सदिश गुणनफल (cross product):
$\vec{a} \times \vec{b} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \times (-5\hat{i} + 7\hat{j})$
$= 3 \times 7 (\hat{i} \times \hat{j}) + 4 \times (-5) (\hat{j} \times \hat{i})$
$= 21(\hat{k}) - 20(-\hat{k}) = 21\hat{k} + 20\hat{k} = 41\hat{k}$.
इसका परिमाण $|41\hat{k}| = 41$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 41 = \frac{41}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ है।
यहाँ $\vec{d_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d_2} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 + 2) + \hat{k}(2 - 3)$
$= -4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ वर्ग इकाई होगा।

(B) माना समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = 2\vec{a} - \vec{b}$ और $\vec{d_2} = 4\vec{a} - 5\vec{b}$ हैं।
विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\vec{a} - \vec{b}) \times (4\vec{a} - 5\vec{b}).$
$= 2\vec{a} \times 4\vec{a} - 2\vec{a} \times 5\vec{b} - \vec{b} \times 4\vec{a} + \vec{b} \times 5\vec{b}.$
चूँकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0,$ इसलिए:
$= -10(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{b} \times \vec{a}) = -10(\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{a} \times \vec{b}) = -6(\vec{a} \times \vec{b}).$
दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं $(|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1)$ और उनके बीच का कोण $45^{\circ}$ है,
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin(45^{\circ}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
अतः,$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = |-6(\vec{a} \times \vec{b})| = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.$
इसलिए,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।

(C) मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ सदिश $\vec{a} = i - 2j + 3k$ और $\vec{b} = 2i + j - 4k$ हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है: $\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{vmatrix}$
$= i((-2)(-4) - (3)(1)) - j((1)(-4) - (3)(2)) + k((1)(1) - (-2)(2))$
$= i(8 - 3) - j(-4 - 6) + k(1 + 4)$
$= 5i + 10j + 5k$.
अब,प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 10^2 + 5^2}$
$= \sqrt{25 + 100 + 25}$
$= \sqrt{150}$
$= \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$.
अतः,क्षेत्रफल $5\sqrt{6}$ वर्ग इकाई है।

(D) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$।
यहाँ $\vec{d_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{d_2} = \hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-4 - (-6)) - \hat{j}(-12 - (-2)) + \hat{k}(9 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(-10) + \hat{k}(8) = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 8\hat{k}$।
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 100 + 64} = \sqrt{168}$।
अतः,क्षेत्रफल है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{168} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 42} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{42} = \sqrt{42}$ वर्ग इकाई।

(A) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ सदिश $\vec{a} = i + 2j + 3k$ और $\vec{b} = -3i - 2j + k$ हैं।
आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण,$|\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= i(2(1) - 3(-2)) - j(1(1) - 3(-3)) + k(1(-2) - 2(-3))$
$= i(2 + 6) - j(1 + 9) + k(-2 + 6)$
$= 8i - 10j + 4k$.
अब,हम इस सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(8)^2 + (-10)^2 + (4)^2}$
$= \sqrt{64 + 100 + 16}$
$= \sqrt{180}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए विकर्ण $\overrightarrow{d_1} = a + b$ और $\overrightarrow{d_2} = b + c$ हैं।
विकर्णों की गणना:
$\overrightarrow{d_1} = (i + j + k) + (i + 3j + 5k) = 2i + 4j + 6k$
$\overrightarrow{d_2} = (i + 3j + 5k) + (7i + 9j + 11k) = 8i + 12j + 16k$
विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल $\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$ की गणना:
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 12 & 16 \end{vmatrix}$
$= i(4 \times 16 - 6 \times 12) - j(2 \times 16 - 6 \times 8) + k(2 \times 12 - 4 \times 8)$
$= i(64 - 72) - j(32 - 48) + k(24 - 32)$
$= -8i + 16j - 8k$
अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 256 + 64} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$.
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 8\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$ है।

(A) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{d_1} = \frac{3}{2}i + \frac{1}{2}j - k$ और $\vec{d_2} = 2i - 6j + 8k$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -1 \\ 2 & -6 & 8 \end{vmatrix}$
$= i(4 - 6) - j(12 + 2) + k(-9 - 1) = -2i - 14j - 10k$.
अब,इसका परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ है।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = (1, -2, 3)$,$B = (-2, 3, -1)$,और $C = (4, -7, 7)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (-2 - 1)i + (3 - (-2))j + (-1 - 3)k = -3i + 5j - 4k$
$\overrightarrow{AC} = (4 - 1)i + (-7 - (-2))j + (7 - 3)k = 3i - 5j + 4k$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3 & 5 & -4 \\ 3 & -5 & 4 \end{vmatrix}$
$= i(5 \times 4 - (-4) \times (-5)) - j((-3) \times 4 - (-4) \times 3) + k((-3) \times (-5) - 5 \times 3)$
$= i(20 - 20) - j(-12 + 12) + k(15 - 15) = 0i + 0j + 0k = \vec{0}$.
चूंकि सदिश गुणनफल शून्य सदिश है,इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{0}| = 0$ है।
यह दर्शाता है कि बिंदु $A, B,$ और $C$ संरेख हैं।

(C) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}|$ के बराबर होता है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(3 - 0) + \hat{k}(2 - 0)$
$= 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$
अतः,परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.

(D) किसी बिंदु के परितः बल $\overrightarrow{F}$ का आघूर्ण $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\overrightarrow{r} = 2i - j + k$ और $\overrightarrow{F} = i + 2j + 3k$.
$\overrightarrow{M} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(3) - (1)(2)) - j((2)(3) - (1)(1)) + k((2)(2) - (-1)(1))$
$= i(-3 - 2) - j(6 - 1) + k(4 + 1)$
$= -5i - 5j + 5k$.

(C) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = 2i - j + 0k$ है।
बल सदिश $\overrightarrow{F} = 2i + j - k$ है।
मूल बिंदु के परितः बल का आघूर्ण $\overrightarrow{M}$,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{M} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(-1) - (0)(1)) - j((2)(-1) - (0)(2)) + k((2)(1) - (-1)(2))$
$= i(1 - 0) - j(-2 - 0) + k(2 + 2)$
$= i + 2j + 4k$.

(C) यह दिया गया है कि $n$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश है,इसलिए यह $a \times b$ के क्रॉस प्रोडक्ट के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,$a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0) - j(0) + k(1 - (-1)) = 2k$.
चूंकि $n$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $n = \pm \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{2k}{2} = \pm k$.
अब,$|c \cdot n|$ की गणना करें:
$|c \cdot n| = |(i + 3j + 5k) \cdot (\pm k)| = |\pm 5| = 5$.

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 1)$
$= -2\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ज्ञात करें।
अतः इकाई सदिश $\pm \frac{-2\hat{i} - 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{-(\hat{i} + \hat{j})}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।

(A) और $b$ दोनों के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $n = a \times b$ की गणना करते हैं।
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = i(-4 - 3) - j(2 - 9) + k(1 + 6) = -7i + 7j + 7k$.
$n$ का परिमाण $|n| = \sqrt{(-7)^2 + 7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$ है।
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{n}{|n|} = \pm \frac{-7i + 7j + 7k}{7\sqrt{3}} = \pm \frac{-i + j + k}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{-i + j + k}{\sqrt{3}}$ या $\frac{i - j - k}{\sqrt{3}}$ है। विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{-i + j + k}{\sqrt{3}}$ सही विकल्प है।

(A) सदिश $b \times c$,$b$ और $c$ सदिशों वाले तल के लंबवत होता है।
चूंकि $a \times (b \times c)$,सदिश $a$ और सदिश $(b \times c)$ का क्रॉस गुणनफल है,इसलिए परिणामी सदिश $(b \times c)$ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि $(b \times c)$,$b$ और $c$ के तल के लंबवत है,इसलिए $(b \times c)$ के लंबवत कोई भी सदिश $b$ और $c$ के तल में ही स्थित होगा।
अतः,$a \times (b \times c)$,$b$ और $c$ के साथ समतलीय है।

(A) दिए गए सदिश $a = i + 2j - 2k$,$b = 2i - j + k$,और $c = i + 3j - k$ हैं।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $(b \times c)$ की गणना करें:
$b \times c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(1 - 3) - j(-2 - 1) + k(6 + 1) = -2i + 3j + 7k$.
अब,$a \times (b \times c)$ की गणना करें:
$a \times (b \times c) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -2 \\ -2 & 3 & 7 \end{vmatrix} = i(14 - (-6)) - j(7 - 4) + k(3 - (-4)) = 20i - 3j + 7k$.

(B) सदिश त्रिक गुणन का सूत्र $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ है।
दिया गया है कि $a \times (b \times c) = 0,$
इसका अर्थ है कि $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = 0.$
यह समीकरण तब सत्य होता है जब $b$ और $c$ संरेख (collinear) हों,अर्थात $b \parallel c,$ जिससे $b \times c = 0$ हो जाता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $a$ एक शून्य सदिश है,तो गुणनफल शून्य होता है,लेकिन दिए गए विकल्पों में से,$b \parallel c$ की स्थिति दो सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के शून्य होने के लिए मानक ज्यामितीय व्याख्या है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ और $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$।
चूंकि $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{c}$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $\vec{a} = \vec{b} \times \vec{c}$,$\vec{a}$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं।
अब,दूसरे समीकरण में $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{a} = \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{x} \cdot \vec{y})\vec{z}$ का उपयोग करने पर:
$\vec{a} = (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}$
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,अतः:
$\vec{a} = b^2 \vec{a}$
चूंकि $\vec{a} \neq \vec{0}$,हमारे पास $b^2 = 1$ है,जिसका अर्थ है $b = 1$।
अब,$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ का मापांक लेने पर:
$c = |\vec{a} \times \vec{b}| = ab \sin(90^\circ) = ab$।
चूंकि $b = 1$,हमें $c = a$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि इकाई सदिशों का क्रॉस गुणनफल $j \times k = i$ द्वारा दिया जाता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $i \times (j \times k) = i \times i$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश होता है,इसलिए $i \times i = 0$ होता है।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(0 - (-2)) + k(2 - 1) = 2i - 2j + k$.
अब,$a \times b$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|a \times b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
दिया गया है कि $|c - a| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|c - a|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
$|c|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 = 8$.
चूंकि $a \cdot c = |c|$ और $|a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9$:
$|c|^2 - 2|c| + 9 = 8 \Rightarrow |c|^2 - 2|c| + 1 = 0 \Rightarrow (|c| - 1)^2 = 0 \Rightarrow |c| = 1$.
अंत में,$|(a \times b) \times c|$ का परिमाण सूत्र $|u \times v| = |u||v|\sin\theta$ का उपयोग करके ज्ञात करें:
$|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin 30^\circ = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(2 - (-3)) - j(-1 - (-6)) + k(1 - (-4))$
$= i(5) - j(5) + k(5) = 5i - 5j + 5k$
अब,$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ की गणना करें:
$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 5 & -5 & 5 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$
$= i(10 - 15) - j(-10 - 5) + k(15 - (-5))$
$= i(-5) - j(-15) + k(20)$
$= -5i + 15j + 20k$
$= 5(-i + 3j + 4k)$.

(C) दिया गया है कि $a$ और $b$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करते हुए.
सबसे पहले,$a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b = 0 - |a|^2 b = -|a|^2 b$ का मूल्यांकन करें।
इसके बाद,$a \times \{ a \times (a \times b) \} = a \times (-|a|^2 b) = -|a|^2 (a \times b)$ का मूल्यांकन करें।
अंत में,$a \times \{ a \times \{ a \times (a \times b) \} \} = a \times (-|a|^2 (a \times b)) = -|a|^2 (a \times (a \times b))$ का मूल्यांकन करें।
पहले चरण के परिणाम को प्रतिस्थापित करने पर: $-|a|^2 (-|a|^2 b) = |a|^4 b$।

(B) स्थिति सदिश वाले बिंदु से रेखा $r = a + t\,b$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|(c - a) \times b|}{|b|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $P$ रेखा $r = a + t\,b$ पर कोई बिंदु है। बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $a$) से बिंदु $C$ (स्थिति सदिश $c$) तक का सदिश $(c - a)$ है।
लंबवत दूरी $d$,सदिश $(c - a)$ का $b$ के लंबवत दिशा में घटक का परिमाण है।
यह मान $\frac{|(c - a) \times b|}{|b|}$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) अभीष्ट रेखा बिंदु $A = i + 3j + 2k$ से गुजरती है।
चूंकि रेखा उन रेखाओं पर लंबवत है जिनके दिशा सदिश $v_1 = 2i + j + k$ और $v_2 = i + 2j + 3k$ हैं,इसलिए इसका दिशा सदिश $b$ सदिश गुणनफल $v_1 \times v_2$ के समानांतर होना चाहिए।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$b = v_1 \times v_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 2) - j(6 - 1) + k(4 - 1) = i - 5j + 3k$.
बिंदु $a$ से गुजरने वाली और दिशा सदिश $b$ वाली रेखा का समीकरण $r = a + \lambda b$ होता है।
अतः,$r = (i + 3j + 2k) + \lambda (i - 5j + 3k)$.
ध्यान दें कि सदिश $(i - 5j + 3k)$,सदिश $(-i + 5j - 3k)$ के समानांतर है।
इसलिए,$r = (i + 3j + 2k) + \lambda (-i + 5j - 3k)$ भी उसी रेखा का एक मान्य समीकरण है।

(B) $u$ और $v$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{u \times v}{|u \times v|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $u \times v$ की गणना करें:
$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= i(4 - 3) - j(4 - (-6)) + k(-6 - 12)$
$= i(1) - j(10) + k(-18) = i - 10j - 18k$.
अब,इसका परिमाण $|u \times v|$ ज्ञात करें:
$|u \times v| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$.
अतः,इकाई सदिश $\pm \frac{i - 10j - 18k}{5\sqrt{17}}$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{1}{5\sqrt{17}}i - \frac{10}{5\sqrt{17}}j - \frac{18}{5\sqrt{17}}k = \frac{1}{\sqrt{17}} \left( \frac{1}{5}i - 2j - \frac{18}{5}k \right)$.
यह विकल्प $B$ के साथ मेल खाता है।

(D) दिया गया है कि $d \times b = c \times b$,जिसका अर्थ है $(d - c) \times b = 0$।
इसका मतलब है कि $(d - c)$ सदिश $b$ के समानांतर है,इसलिए $d - c = \lambda b$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
अतः,$d = c + \lambda b = (4i - 3j + 7k) + \lambda(i + j + k) = (4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k$।
हमें दिया गया है कि $d \cdot a = 0$,जहाँ $a = 2i + k$ है।
$d$ और $a$ का मान रखने पर: $((4 + \lambda)i + (-3 + \lambda)j + (7 + \lambda)k) \cdot (2i + 0j + k) = 0$।
$2(4 + \lambda) + 0(-3 + \lambda) + 1(7 + \lambda) = 0$।
$8 + 2\lambda + 7 + \lambda = 0$।
$15 + 3\lambda = 0 \implies \lambda = -5$।
$d$ के समीकरण में $\lambda = -5$ रखने पर:
$d = (4 - 5)i + (-3 - 5)j + (7 - 5)k = -i - 8j + 2k$।

(A) सदिशों $a$ और $b$ द्वारा निर्मित समतल $P_1$ के लंबवत सदिश $n_1 = a \times b$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों $c$ और $d$ द्वारा निर्मित समतल $P_2$ के लंबवत सदिश $n_2 = c \times d$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ यह दर्शाती है कि सदिश $n_1$,सदिश $n_2$ के समानांतर है (अर्थात $n_1 \parallel n_2$)।
चूंकि समतलों के अभिलंब सदिश समानांतर हैं,इसलिए समतल $P_1$ और $P_2$ एक-दूसरे के समानांतर हैं।
अतः,समतलों $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण $0^o$ है।

(B) दिया गया है कि $p, q, r$ समान परिमाण के परस्पर लंबवत सदिश हैं,मान लीजिए $|p| = |q| = |r| = c$ है।
अतः,$p \cdot q = q \cdot r = r \cdot p = 0$ और $p \cdot p = q \cdot q = r \cdot r = c^2$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं:
$p \times \{(x - q) \times p\} = (p \cdot p)(x - q) - (p \cdot (x - q))p = c^2(x - q) - (p \cdot x)p$.
इसी प्रकार,$q \times \{(x - r) \times q\} = c^2(x - r) - (q \cdot x)q$ और $r \times \{(x - p) \times r\} = c^2(x - p) - (r \cdot x)r$.
इनका योग करने पर:
$c^2(x - q + x - r + x - p) - [(p \cdot x)p + (q \cdot x)q + (r \cdot x)r] = 0$.
$c^2(3x - (p + q + r)) - [(p \cdot x)p + (q \cdot x)q + (r \cdot x)r] = 0$.
यदि हम $x = \frac{1}{2}(p + q + r)$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो $p \cdot x = \frac{1}{2}c^2$,$q \cdot x = \frac{1}{2}c^2$,और $r \cdot x = \frac{1}{2}c^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$c^2(3(\frac{1}{2}(p + q + r)) - (p + q + r)) - [\frac{1}{2}c^2 p + \frac{1}{2}c^2 q + \frac{1}{2}c^2 r] = 0$.
$c^2(\frac{3}{2}(p + q + r) - (p + q + r)) - \frac{1}{2}c^2(p + q + r) = 0$.
$c^2(\frac{1}{2}(p + q + r)) - \frac{1}{2}c^2(p + q + r) = 0$.
यह पुष्टि करता है कि $x = \frac{1}{2}(p + q + r)$ ही हल है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाओं के दिक्-सदिश $\vec{v_1} = (l_1, m_1, n_1)$ और $\vec{v_2} = (l_2, m_2, n_2)$ हैं।
दोनों रेखाओं के लंबवत रेखा का दिक्-सदिश,दोनों रेखाओं के दिक्-सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट (cross product) के समानांतर होगा।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = \hat{i}(m_1n_2 - m_2n_1) - \hat{j}(l_1n_2 - l_2n_1) + \hat{k}(l_1m_2 - l_2m_1)$.
यह सरल होकर $\hat{i}(m_1n_2 - m_2n_1) + \hat{j}(n_1l_2 - n_2l_1) + \hat{k}(l_1m_2 - l_2m_1)$ हो जाता है।
अतः,दोनों के लंबवत रेखा के दिक्-अनुपात $(m_1n_2 - m_2n_1), (n_1l_2 - n_2l_1), (l_1m_2 - l_2m_1)$ हैं।
चूंकि मूल रेखाएं लंबवत हैं और उनके दिक्-सदिश इकाई सदिश हैं,इसलिए क्रॉस प्रोडक्ट एक ऐसा सदिश देता है जिसके घटक सामान्य लंबवत रेखा की दिक्-कोज्याओं को दर्शाते हैं।

(A) चूंकि $a$,$b$ और $a \times b$ त्रिविमीय आकाश के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं,हम $r = xa + yb + z(a \times b)$ लिख सकते हैं,जहाँ $x, y, z$ अदिश हैं।
दिया गया है $r \times a = b$,अतः $r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$b = (xa + yb + z(a \times b)) \times a$
$b = x(a \times a) + y(b \times a) + z((a \times b) \times a)$
हम जानते हैं कि $a \times a = 0$ और $b \times a = -(a \times b)$:
$b = -y(a \times b) + z((a \cdot a)b - (a \cdot b)a)$
चूंकि $a \perp b$,इसलिए $a \cdot b = 0$,अतः:
$b = -y(a \times b) + z(a \cdot a)b$
दोनों पक्षों में $b$ और $(a \times b)$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-y = 0 \implies y = 0$
$z(a \cdot a) = 1 \implies z = \frac{1}{a \cdot a}$
अतः,$r = xa + \frac{1}{a \cdot a}(a \times b)$.

(A) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{v} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$ के रूप में होगा।
पहले,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(2 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ की गणना करें।
साथ ही,सदिश $\vec{c} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} = \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 6 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-6)) - \hat{j}(-15 - 12) + \hat{k}(-5 - 4) = 0\hat{i} + 27\hat{j} - 9\hat{k} = 9(3\hat{j} - \hat{k})$।
इकाई सदिश $\pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ है।

(C) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{c}-\vec{a})| = \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $V = |\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}|$ है।
सर्वसमिका $\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD} = 2 (\overline{AB} \times \overline{AC})$ का उपयोग करते हुए,
हम सदिशों को प्रतिस्थापित करते हैं: $\overline{AB} \times (\vec{d}-\vec{c}) + \overline{BC} \times (\vec{d}-\vec{a}) + \overline{CA} \times (\vec{d}-\vec{b})$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $\overline{AB} \times \vec{d} - \overline{AB} \times \vec{c} + \overline{BC} \times \vec{d} - \overline{BC} \times \vec{a} + \overline{CA} \times \vec{d} - \overline{CA} \times \vec{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = 0$,इसलिए $\vec{d}$ वाले पदों का योग शून्य हो जाता है।
इस प्रकार,व्यंजक $|-\overline{AB} \times \vec{c} - \overline{BC} \times \vec{a} - \overline{CA} \times \vec{b}|$ में सरल हो जाता है।
$\vec{c} = \vec{a} + \overline{AC}$ और $\vec{b} = \vec{a} + \overline{AB}$ का उपयोग करने पर,यह $2 |\overline{AB} \times \overline{AC}|$ में बदल जाता है।
चूंकि $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$ है,इसलिए हमारे पास $2 |\overline{AB} \times \overline{AC}| = 4 \times (\Delta ABC \text{ का क्षेत्रफल})$ है।
अतः,$\lambda = 4$।

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
सबसे पहले,सदिश $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$
$\overrightarrow{AC} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1))$
$= i(8) - j(-4) + k(4) = 8i + 4j + 4k$
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$
अंत में,त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} (4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})$
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर: $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b}$
हम जानते हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$,$\vec{a} \times \vec{c} = -(\vec{c} \times \vec{a})$,और $\vec{b} \times \vec{c} = -(\vec{c} \times \vec{b})$
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$= (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c})$
$= \vec{0}$

(A) माना दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
हमें एक ऐसा इकाई सदिश $\vec{u}$ चाहिए जो $\vec{a}$ के लंबवत हो और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ समतलीय हो।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय सदिश $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
चूँकि $\vec{u}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{u}$,$\vec{a} \times \vec{v}$ की दिशा में होगा।
$\vec{a} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{50}}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि $c$ एक सदिश है जो $u$ और $v$ दोनों के लंबवत है। तब $c = u \times v$ होगा।
$c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$c = i(4 - 3) - j(4 - (-6)) + k(-6 - 12)$
$c = i(1) - j(10) + k(-18) = i - 10j - 18k$.
अब,$c$ का परिमाण $|c| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$ है।
$u$ और $v$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{c}{|c|}$ है।
$\frac{c}{|c|} = \frac{i - 10j - 18k}{5\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \left( \frac{1}{5}i - 2j - \frac{18}{5}k \right)$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक $\vec{a}_1 = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{a}$ का $\vec{b}$ के लंबवत घटक $\vec{a}_2 = \vec{a} - \vec{a}_1 = \vec{a} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
अब,सदिश गुणनफल $\vec{a}_1 \times \vec{a}_2$ की गणना करें:
$\vec{a}_1 \times \vec{a}_2 = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \right) \times \left( \vec{a} - \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \right)$
सदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} (\vec{b} \times \vec{a}) - \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{|\vec{b}|^4} (\vec{b} \times \vec{b})$
चूंकि $\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$,इसलिए दूसरा पद शून्य हो जाता है:
$= \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{b}|^2}$.

(C) सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना सारणिक (determinant) का उपयोग करके की जाती है:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= i((2)(2) - (-1)(-3)) - j((2)(2) - (-1)(6)) + k((2)(-3) - (2)(6))$
$= i(4 - 3) - j(4 + 6) + k(-6 - 12)$
$= i(1) - j(10) + k(-18)$
$= i - 10j - 18k$

(C) एक बंद षट्भुज $PQRSTU$ में,इसकी भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों का योग शून्य होता है:
$\overline{PQ} + \overline{QR} + \overline{RS} + \overline{ST} + \overline{TU} + \overline{UP} = \vec{0}$.
कथन-$2$ दावा करता है कि $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \vec{0}$ और $\overline{PQ} \times \overline{ST} = \vec{0}$। इसका अर्थ है कि $\overline{PQ}$ सदिश $\overline{RS}$ के समांतर है और $\overline{PQ}$ सदिश $\overline{ST}$ के समांतर है। यदि $\overline{PQ} \parallel \overline{RS}$ और $\overline{PQ} \parallel \overline{ST}$ है,तो $\overline{RS}$ और $\overline{ST}$ को एक-दूसरे के समांतर होना चाहिए। यह किसी भी सामान्य षट्भुज के लिए हमेशा सत्य नहीं होता है। अतः,कथन-$2$ असत्य है।
कथन-$1$ के लिए,$\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) = \overline{PQ} \times \overline{RS} + \overline{PQ} \times \overline{ST}$। चूंकि एक सामान्य षट्भुज की भुजाएं आवश्यक रूप से समांतर नहीं होती हैं,इसलिए यह सदिश गुणनफल सामान्यतः शून्य नहीं होता है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।

(D) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{u}_1 = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{u}_2 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2$ के लंबवत होगा।
सबसे पहले,$\vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अब,$\vec{v}$,$\vec{n}$ के लंबवत है और $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के भी लंबवत है।
अतः,$\vec{v}$,$\vec{n} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(-3-1) + \hat{k}(-3-1) = 4\hat{j} - 4\hat{k}$ की दिशा में है।
यह सदिश $\hat{j} - \hat{k}$ के समानुपाती है। विकल्प $D$ में $-\hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है,जो समान दिशा में है। अतः सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ और $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ है।
दूसरे समीकरण में $\bar{c} = \bar{a} \times \bar{b}$ रखने पर: $\bar{b} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = \bar{a}$।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\bar{b} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{b} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{b} = |\bar{b}|^2 \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{b}$।
अतः,$|\bar{b}|^2 \bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{b} = \bar{a}$।
चूंकि $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$,इसलिए $\bar{b}$,$\bar{a}$ के लंबवत है,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
यह मान रखने पर,हमें $(|\bar{b}|^2 - 1)\bar{a} = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\bar{a} \neq 0$,इसलिए $|\bar{b}|^2 = 1$,यानी $|\bar{b}| = 1$।
$\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ से,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{c}|$।
चूंकि $\bar{a} \perp \bar{b}$,इसलिए $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin(90^\circ) = |\bar{a}|(1)(1) = |\bar{a}|$।
अतः,$|\bar{c}| = |\bar{a}|$। इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ है।
दिया है $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$,अतः:
$\hat{j} - \hat{k} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)\hat{i} - (b_3 - b_1)\hat{j} + (b_2 - b_1)\hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$b_3 - b_2 = 0 \implies b_3 = b_2$
$b_1 - b_3 = 1 \implies b_1 = b_3 + 1 = b_2 + 1$
$b_2 - b_1 = -1$ (यह उपरोक्त समीकरणों के साथ संगत है)।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,अतः:
$b_1 + b_2 + b_3 = 1$
$b_1 = b_2 + 1$ और $b_3 = b_2$ रखने पर:
$(b_2 + 1) + b_2 + b_2 = 1$
$3b_2 + 1 = 1 \implies 3b_2 = 0 \implies b_2 = 0$।
अतः,$b_3 = 0$ और $b_1 = 0 + 1 = 1$ है।
इसलिए,$\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$।

(A) दिया गया है $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$.
सदिश गुणनफल (cross product) की गणना करने पर: $\vec{u} \times \vec{v} = (\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b})$.
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,तथा $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,इसलिए $\vec{u} \times \vec{v} = 0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$.
परिमाण लेने पर: $|\vec{u} \times \vec{v}| = 2|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ का उपयोग करने पर.
यहाँ $|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 2$ है,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 4$ और $|\vec{b}|^2 = 4$ होगा।
अतः,$|\vec{u} \times \vec{v}| = 2 \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = 2 \sqrt{4 \times 4 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = 2 \sqrt{16 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$.

(C) माना $\vec{u} = (\vec{a} \times \vec{b})$ और $\vec{v} = (\vec{a} \times 2\vec{b})$ है।
यहाँ ध्यान दें कि $\vec{v} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) = 2\vec{u}$ है।
चूँकि $\vec{v}$,$\vec{u}$ का अदिश गुणज है,इसलिए सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ संरेख (समांतर) हैं।
किन्हीं भी दो संरेख सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य सदिश होता है,अर्थात $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$।
अतः,$[(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times 2\vec{b})] = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{0} = 0$ होगा।

(A) माना $\vec{n}_1$ और $\vec{n}_2$ क्रमशः $(\hat{i}, \hat{i} + \hat{j})$ और $(\hat{i} - \hat{j}, \hat{i} + \hat{k})$ द्वारा परिभाषित समतलों के अभिलंब सदिश हैं।
$\vec{n}_1 = \hat{i} \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{k}$.
$\vec{n}_2 = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{k} - \hat{j} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{k} = -\hat{j} + \hat{k} - \hat{i} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि $\vec{a}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ के समांतर है।
$\vec{a} = \lambda (\vec{n}_1 \times \vec{n}_2) = \lambda \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \lambda (\hat{i} - \hat{j})$.
माना $\vec{a} = \lambda(\hat{i} - \hat{j})$ और $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|\lambda(1 + 2)|}{\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3|\lambda|}{\sqrt{2}|\lambda| \sqrt{9}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v} = ai + bj + ck$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{u_1} = i + 2j + k$ और $\vec{u_2} = i + j + 2k$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{v} = p(i + 2j + k) + r(i + j + 2k)$ होगा।
इससे हमें $a = p + r$,$b = 2p + r$,और $c = p + 2r$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{w} = i + j + k$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $a + b + c = 0$.
$a, b, c$ के मान रखने पर: $(p + r) + (2p + r) + (p + 2r) = 0 \implies 4p + 4r = 0 \implies p = -r$.
$p = -r$ को $a, b, c$ के व्यंजकों में रखने पर: $a = -r + r = 0$,$b = -2r + r = -r$,$c = -r + 2r = r$.
अतः,$\vec{v} = r(-j + k) = -r(j - k)$.
$\vec{v}$ के इकाई सदिश होने के लिए,$|\vec{v}| = 1 \implies \sqrt{0^2 + (-r)^2 + r^2} = 1 \implies \sqrt{2r^2} = 1 \implies r^2 = 1/2 \implies r = \pm 1/\sqrt{2}$.
इसलिए,अभीष्ट इकाई सदिश $\pm \frac{j - k}{\sqrt{2}}$ है।

(A) दिया गया है कि $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ है।
मान लीजिए $u = (a \times b)$ और $v = (c \times d)$ है। स्थिति $u \times v = 0$ का अर्थ है कि सदिश $u$ और $v$ समांतर हैं।
सदिश $u = (a \times b)$ समतल $P_1$ का अभिलंब सदिश है जिसमें $a$ और $b$ स्थित हैं।
सदिश $v = (c \times d)$ समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश है जिसमें $c$ और $d$ स्थित हैं।
चूंकि $u$ और $v$ समांतर हैं,इसलिए समतल $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश भी समांतर हैं।
यदि दो समतलों के अभिलंब सदिश समांतर होते हैं,तो वे समतल स्वयं भी समांतर होते हैं।
अतः,समतल $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण $0$ है।

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है $|\vec{a}| = 4$,$|\vec{b}| = 2$,और $\theta = \frac{\pi}{6}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$
अतः,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (4)^2 = 16$।

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
यह दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$1 = (3) \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$1 = \sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ होगा।