Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $\vec{u} \cdot \hat{n} = 0$ और $\vec{v} \cdot \hat{n} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\hat{n}$,$\vec{u}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$\hat{n}$ को सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{u} \times \vec{v} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k} - \hat{k} = -2\hat{k}$.
इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \pm \frac{-2\hat{k}}{2} = \pm \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अब,$|\vec{w} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\pm \hat{k})| = |\pm 3| = 3$ होगा।

(A) दिए गए सदिश $a = i + j + 2k$ और $b = 3i + j + k$ हैं।
सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना सारणिक (determinant) का उपयोग करके इस प्रकार की जाती है:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$a \times b = i(1 \times 1 - 2 \times 1) - j(1 \times 1 - 2 \times 3) + k(1 \times 1 - 1 \times 3)$
$a \times b = i(1 - 2) - j(1 - 6) + k(1 - 3)$
$a \times b = -i - j(-5) + k(-2)$
$a \times b = -i + 5j - 2k$

(B) त्रिभुज $\Delta ABC$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{0}$ होता है।
दिया गया है कि $\vec{BC} = \vec{a}$,$\vec{CA} = \vec{b}$ और $\vec{AB} = \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर: $\vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{0}$।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$,हमें $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} = \vec{0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ सदिश गुणन करने पर: $\vec{b} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} \times \vec{0}$।
इससे $\vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$।

(D) दिया गया है कि $\hat{u}$ और $\hat{v}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{u}| = 1$ और $|\hat{v}| = 1$.
मान लीजिए $\vec{w} = 2\hat{u} \times 3\hat{v} = 6(\hat{u} \times \hat{v})$.
हमें दिया गया है कि $\vec{w}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{w}| = 1$.
अतः,$|6(\hat{u} \times \hat{v})| = 1$.
$6|\hat{u}||\hat{v}|\sin\theta = 1$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\hat{u}$ और $\hat{v}$ के बीच का कोण है।
चूँकि $|\hat{u}| = 1$ और $|\hat{v}| = 1$,हमारे पास $6(1)(1)\sin\theta = 1$ है।
$6\sin\theta = 1$,जिसका अर्थ है $\sin\theta = \frac{1}{6}$.
चूँकि $\theta$ एक न्यून कोण है,$\sin\theta$ धनात्मक है,और अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में $\theta$ का केवल एक ही मान है जिसके लिए $\sin\theta = \frac{1}{6}$ होता है,जो $\theta = \arcsin(\frac{1}{6})$ है।
अतः,$\theta$ का केवल एक ही निश्चित मान संभव है।

(C) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(1 - 1)$
$= -\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k} = -(\hat{i} - \hat{j})$.
दोनों के लंबवत कोई भी सदिश इस सदिश का अदिश गुणज होता है,जिसे किसी अदिश $c$ के लिए $c(\hat{i} - \hat{j})$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) माना $\vec{a} = 3i + 2j - k$ और $\vec{b} = 12i + 5j - 5k$ है।
दोनों सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत एक सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 12 & 5 & -5 \end{vmatrix}$
$= i(2(-5) - (-1)(5)) - j(3(-5) - (-1)(12)) + k(3(5) - 2(12))$
$= i(-10 + 5) - j(-15 + 12) + k(15 - 24)$
$= -5i + 3j - 9k$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-5i + 3j - 9k}{\sqrt{115}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{-5i + 3j - 9k}{\sqrt{115}}$ है।

(B) त्रिभुज $ABC$ में,भुजाओं को सदिशों $\vec{BC} = a$,$\vec{CA} = b$,और $\vec{AB} = c$ द्वारा दर्शाया गया है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,एक क्रम में ली गई त्रिभुज की भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों का योग शून्य होता है।
अतः,$\vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB} = 0$,जिसका अर्थ है $a + b + c = 0$।
इस समीकरण का $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$a \times (a + b + c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
चूंकि $a \times a = 0$,हमें $a \times b = c \times a$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$b$ के साथ सदिश गुणन लेने पर:
$b \times (a + b + c) = b \times 0$
$b \times a + b \times b + b \times c = 0$
$b \times a + b \times c = 0 \implies a \times b = b \times c$।
अतः,$a \times b = b \times c = c \times a$ होता है।

(A) दिया गया है $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b}$.
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
हम $\vec{r}$ को $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{a} \times \vec{b}$ के रैखिक संयोजन के रूप में लिख सकते हैं:
$\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ जहाँ $x, y, z$ अदिश हैं।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$(\vec{r} \times \vec{a}) = (x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})) \times \vec{a}$
$\vec{b} = x(\vec{a} \times \vec{a}) + y(\vec{b} \times \vec{a}) + z((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a})$
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}$:
$\vec{b} = y(\vec{b} \times \vec{a}) + z((\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - 0)$
$\vec{b} = -y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$
$\vec{b}$ और $(\vec{a} \times \vec{b})$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-y = 0 \implies y = 0$
$z(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 1 \implies z = \frac{1}{\vec{a} \cdot \vec{a}}$
इन मानों को $\vec{r}$ के समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = x\vec{a} + \frac{1}{\vec{a} \cdot \vec{a}} (\vec{a} \times \vec{b})$.

(C) सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -3 \\ 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-1) - (-3)(3)) - \hat{j}((2)(-1) - (-3)(4)) + \hat{k}((2)(3) - (-6)(4))$
$= \hat{i}(6 + 9) - \hat{j}(-2 + 12) + \hat{k}(6 + 24)$
$= 15\hat{i} - 10\hat{j} + 30\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{15^2 + (-10)^2 + 30^2} = \sqrt{225 + 100 + 900} = \sqrt{1225} = 35$.
इकाई सदिश $\pm \frac{15\hat{i} - 10\hat{j} + 30\hat{k}}{35} = \pm \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है,जो $\frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ है।

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta$ का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 - (-4)) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.
अब,सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
अंत में,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\sin \theta = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{84}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{21}} = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}\sqrt{3}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$.

(C) मान लीजिए बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{r}_2 = 2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
बल $\vec{F} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{r}_1$ पर कार्य करता है और $-\vec{F}$,$\vec{r}_2$ पर कार्य करता है।
बल-युग्म का आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$.
$\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 4) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-2 - 6) = -6\hat{i} + 5\hat{j} - 8\hat{k}$.
आघूर्ण का परिमाण $|\vec{\tau}| = \sqrt{(-6)^2 + 5^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 25 + 64} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

(A) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।
समतल में स्थित दो सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$
$\vec{AC} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$
समतल के लंबवत सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1)) = 8i + 4j + 4k$.
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ है।
$|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$.
$\hat{n} = \pm \frac{8i + 4j + 4k}{4\sqrt{6}} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$.

(B) चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $\triangle OAB$ और $\triangle OBC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में गणना की जा सकती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times (10\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |10(\vec{a} \times \vec{a}) + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
$\triangle OBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{1}{2} |(10\vec{a} + 2\vec{b}) \times \vec{b}| = \frac{1}{2} |10(\vec{a} \times \vec{b}) + 2(\vec{b} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |10(\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = 5|\vec{a} \times \vec{b}|$.
अतः,$p = |\vec{a} \times \vec{b}| + 5|\vec{a} \times \vec{b}| = 6|\vec{a} \times \vec{b}|$.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $q$ जिसकी आसन्न भुजाएँ $OA$ और $OC$ हैं,$q = |\vec{a} \times \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$p/q = \frac{6|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = 6$.

(B) सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ को इकाई सदिशों और सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के रूप में ज्ञात किया जाता है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= \hat{i} ((2)(2) - (-1)(-3)) - \hat{j} ((2)(2) - (-1)(6)) + \hat{k} ((2)(-3) - (2)(6))$
$= \hat{i} (4 - 3) - \hat{j} (4 + 6) + \hat{k} (-6 - 12)$
$= \hat{i} (1) - \hat{j} (10) + \hat{k} (-18)$
$= \hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k}$

(B) बिंदु $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ और $R(0, 2, 1)$ वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश को खोजने के लिए,हम पहले समतल में स्थित दो सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
अब,सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$ ज्ञात करें:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
इस सदिश को $4$ से विभाजित करने पर,हमें लंबवत दिशा में सदिश प्राप्त होता है: $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ है।
अतः,इकाई सदिश $\frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ है।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-2)) - j(0 - (-2)) + k(2 - 1) = 2i - 2j + k$.
इसका परिमाण $|a \times b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ है।
दिया गया है कि $|c - a| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|c - a|^2 = 8$ प्राप्त होता है।
$|c|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 = 8$.
चूंकि $a \cdot c = |c|$ और $|a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9$,इसलिए:
$|c|^2 - 2|c| + 9 = 8 \implies |c|^2 - 2|c| + 1 = 0 \implies (|c| - 1)^2 = 0 \implies |c| = 1$.
अंत में,सदिश गुणनफल का परिमाण:
$|(a \times b) \times c| = |a \times b| |c| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट),जिसे $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक ऐसा सदिश प्रदान करता है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों वाले तल के लंबवत होता है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम इस क्रॉस प्रोडक्ट को इसके परिमाण (magnitude) से विभाजित करते हैं।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ है।

(B) दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a| |b| \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है $|a| = 4, |b| = 2$ और $\theta = \pi/6$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|a \times b| = 4 \times 2 \times \sin(\pi/6)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin(\pi/6) = 1/2$,इसलिए $|a \times b| = 4 \times 2 \times (1/2) = 4$।
अतः,$|a \times b|^{2} = (4)^{2} = 16$।

(B) माना स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 7\hat{i} + 4\hat{j} + 9\hat{k}$ हैं।
समतल में दो सदिश $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ हैं।
समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 6 & 3 & 8 \end{vmatrix}$ है।
$\vec{n} = \hat{i}(16 + 15) - \hat{j}(8 + 30) + \hat{k}(3 - 12) = 31\hat{i} - 38\hat{j} - 9\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{31^2 + (-38)^2 + (-9)^2} = \sqrt{961 + 1444 + 81} = \sqrt{2486}$ है।
इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{31\hat{i} - 38\hat{j} - 9\hat{k}}{\sqrt{2486}}$ है।
विकल्प $B$ सही है।

(A) पहला समतल सदिशों $\vec{n}_1 = \vec{i}$ और $\vec{n}_2 = \vec{i} + \vec{j}$ द्वारा परिभाषित है। इस समतल का अभिलंब $\vec{N}_1 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \vec{i} \times (\vec{i} + \vec{j}) = \vec{k}$ है।
दूसरा समतल सदिशों $\vec{n}_3 = \vec{i} - \vec{j}$ और $\vec{n}_4 = \vec{i} + \vec{k}$ द्वारा परिभाषित है। इस समतल का अभिलंब $\vec{N}_2 = \vec{n}_3 \times \vec{n}_4 = (\vec{i} - \vec{j}) \times (\vec{i} + \vec{k}) = \vec{i} \times \vec{i} + \vec{i} \times \vec{k} - \vec{j} \times \vec{i} - \vec{j} \times \vec{k} = 0 - \vec{j} + \vec{k} - \vec{i} = -\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ है।
सदिश $\vec{a}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,इसलिए $\vec{a}$ सदिश $\vec{N}_1 \times \vec{N}_2 = \vec{k} \times (-\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}) = -(\vec{k} \times \vec{i}) - (\vec{k} \times \vec{j}) + (\vec{k} \times \vec{k}) = -\vec{j} + \vec{i} + 0 = \vec{i} - \vec{j}$ के समानांतर है।
माना $\vec{b} = \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2) = 1 + 2 = 3$.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$। चूंकि सदिश $\vec{a}$ विपरीत दिशा में भी हो सकता है,इसलिए कोण $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ भी हो सकता है।

(B) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 - 1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
अतः,दोनों रेखाओं के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है।

(A) दिया गया है कि $2\vec{u} \times 3\vec{v}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए इसका परिमाण $1$ होना चाहिए।
अतः,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 1$।
चूंकि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{u}| = 1$ और $|\vec{v}| = 1$।
सदिश गुणन के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 6|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta = 6(1)(1)\sin\theta = 6\sin\theta$।
प्रश्न के अनुसार,$6\sin\theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sin\theta = \frac{1}{6}$।
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\theta = \arcsin(\frac{1}{6})$ के लिए $\theta$ का केवल एक ही मान संभव है।

(D) मान लीजिए $\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ है।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$,जहाँ $\vec{a} = 0\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}$ है।
अतः,$(0)(x) + (1)(y) + (-1)(z) = 3 \Rightarrow y - z = 3 \quad \dots(1)$.
साथ ही,$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c} = -(\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}) = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z + y)\vec{i} - (z)\vec{j} - (x)\vec{k}$ है।
तुलना करने पर,$z + y = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर,$y - (-1) = 3 \Rightarrow y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2$ प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $\vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(-2) = 1 + 2 = 3$ (सही है)।
$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = -\vec{c}$ (सही है)।
अतः,सही उत्तर $-\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$ है।

(C) दिया गया है $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ और $\vec b = \hat i + \hat j$।
सबसे पहले,$\vec a$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$।
अब,सदिश गुणनफल $\vec a \times \vec b$ ज्ञात करें:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$।
इसका परिमाण $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ है।
दिया गया है कि $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = 3$ और $\vec c$ तथा $\vec a \times \vec b$ के बीच का कोण $30^\circ$ है,इसलिए सूत्र $|\vec u \times \vec v| = |\vec u||\vec v| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$|\vec a \times \vec b||\vec c| \sin 30^\circ = 3 \implies 3 \cdot |\vec c| \cdot \frac{1}{2} = 3 \implies |\vec c| = 2$।
अब,$|\vec c - \vec a| = 3$ शर्त का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec c - \vec a|^2 = 3^2 \implies |\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$।
मान रखने पर: $2^2 + 3^2 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 4 + 9 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9 \implies 13 - 2(\vec a \cdot \vec c) = 9$।
अतः,$2(\vec a \cdot \vec c) = 4 \implies \vec a \cdot \vec c = 2$।

(D) माना $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$ है।
दिया है $a \cdot b = 3$,अतः $b_1 + b_2 + b_3 = 3$ ......$(i)$।
दिया है $a \times b = c$,जहाँ $a = (1, 1, 1)$ और $c = (0, 1, -1)$ है,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (b_3 - b_2)i + (b_1 - b_3)j + (b_2 - b_1)k$।
इसे $c = (0, 1, -1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b_3 - b_2 = 0$ ......$(ii)$
$b_1 - b_3 = 1$ ......$(iii)$
$b_2 - b_1 = -1$ ......$(iv)$
$(ii)$ से,$b_2 = b_3$। इस मान को $(i)$ में रखने पर,$b_1 + 2b_2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ से,$b_1 = 1 + b_3 = 1 + b_2$।
$b_1$ का मान $b_1 + 2b_2 = 3$ में रखने पर,$(1 + b_2) + 2b_2 = 3$,अतः $3b_2 = 2$,जिसका अर्थ है $b_2 = \frac{2}{3}$।
अतः $b_3 = \frac{2}{3}$ और $b_1 = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
इस प्रकार,$b = \left( \frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$।

(B) दिए गए सदिश $a = 3i - 5j$ और $b = 6i + 3j$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $c = a \times b$ की गणना करते हैं:
$c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(9 - (-30)) = 39k$.
अब,हम सदिशों के परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$|c| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 39^2} = 39$.
अतः,अनुपात $|a|:|b|:|c|$ का मान $\sqrt{34} : \sqrt{45} : 39$ है।

(A) सदिशों $i$ और $i + j$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_1 = i \times (i + j) = k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot k = 0$ है,जिसका अर्थ है $z = 0.$
सदिशों $i - j$ और $i + k$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $n_2 = (i - j) \times (i + k) = -i - j + k$ है। इस समतल का समीकरण $r \cdot (-i - j + k) = 0$ है,जिसका अर्थ है $x + y - z = 0.$
सदिश $a$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए $a$ को अभिलंबों $n_1$ और $n_2$ के सदिश गुणनफल के समांतर होना चाहिए: $v = n_1 \times n_2 = k \times (-i - j + k) = i - j.$
अतः,$a$ सदिश $i - j$ के समांतर है।
मान लीजिए $a = i - j$ और $b = i - 2j + 2k$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} = \frac{(1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2)}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
चूंकि $a$ सदिश $i - j$ या $-(i - j)$ की दिशा में हो सकता है,इसलिए $\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) दिया गया है $2\hat{a} = \hat{b} \times \hat{c} + 2\hat{b}$.
दोनों पक्षों का $\hat{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = (\hat{b} \times \hat{c}) \cdot \hat{b} + 2(\hat{b} \cdot \hat{b})$
चूंकि $(\hat{b} \times \hat{c}) \cdot \hat{b} = 0$ और $\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$,हमें $2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $\hat{a} \cdot \hat{b} = 1$.
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,$\hat{a} \cdot \hat{b} = 1$ का अर्थ है $\hat{a} = \hat{b}$.
मूल समीकरण में $\hat{a} = \hat{b}$ रखने पर: $2\hat{b} = \hat{b} \times \hat{c} + 2\hat{b}$,जिसका अर्थ है $\hat{b} \times \hat{c} = 0$.
इसका अर्थ है $\hat{c} = \hat{b}$ या $\hat{c} = -\hat{b}$.
स्थिति $1$: यदि $\hat{c} = \hat{b}$ है,तो $|2\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}| = |2\hat{b} + \hat{b} + \hat{b}| = |4\hat{b}| = 4$.
स्थिति $2$: यदि $\hat{c} = -\hat{b}$ है,तो $|2\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}| = |2\hat{b} + \hat{b} - \hat{b}| = |2\hat{b}| = 2$.
संभावित मानों का योग $4 + 2 = 6$ है।

(B) दिया गया है $|\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{2}$ और $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 5$।
$2 + 2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 5 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$।
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (2)(2) - (\frac{1}{2})^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$।
दिया गया है $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 2(\vec{a} \times \vec{b})$।
चूंकि $\vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |2(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2$।
$|\vec{c}|^2 = 2 + 4(2) + 4(\frac{1}{2}) + 4(\frac{15}{4}) = 2 + 8 + 2 + 15 = 27$।
अतः,$|\vec{c}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।

(D) सदिश $\vec{B}$ को $\vec{B} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $A_x, A_y, A_z$ क्रमशः $yz, zx, xy$ समतलों पर $\Delta PQR$ के प्रक्षेपों के क्षेत्रफल हैं।
सदिश क्षेत्रफल के गुणधर्म के अनुसार,$\vec{B} = \frac{1}{2} (\vec{PQ} \times \vec{PR})$ होता है।
दिया गया है $P(1, 2, -3)$,$Q(-2, 1, -4)$ और $R(3, 4, -2)$,अतः:
$\vec{PQ} = (-2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (-4 - (-3))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{PR} = (3-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-2 - (-3))\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
अब,$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-2)) - \hat{j}(-3 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-2)) = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
इस प्रकार,$\vec{B} = \frac{1}{2} (\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k})$.
अतः,$|\vec{B}|^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 (1^2 + 1^2 + (-4)^2) = \frac{1}{4} (1 + 1 + 16) = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$.

(C) माना $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ और समतल को परिभाषित करने वाले दो सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं।
माना $\theta$ सदिश $\vec{v}$ और समतल के बीच का कोण है। तब सदिश $\vec{v}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $90^{\circ} - \theta$ होगा।
दिया है $\cot \theta = \sqrt{2}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करने पर: $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|x - y - z|}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{(x - y - z)^2}{3(x^2 + y^2 + z^2)}$.
$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy + 2yz - 2zx$.
$0 = -2xy + 2yz - 2zx$.
$xy + zx = yz$,अर्थात $x(y + z) = yz$.

(A) दिया गया है कि $|\vec c - \vec a| = \sqrt{14}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 14$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ है,इसलिए $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
अतः,$|\vec c|^2 + 9 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 14$,जिसका अर्थ है कि $|\vec c|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 5$ ........$(1)$।
दिया गया है कि $\vec a \cdot \vec c + 2|\vec c| = 0$,इसलिए $\vec a \cdot \vec c = -2|\vec c|$।
इस मान को $(1)$ में रखने पर,$|\vec c|^2 - 2(-2|\vec c|) = 5$ प्राप्त होता है,जो $|\vec c|^2 + 4|\vec c| - 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(|\vec c| + 5)(|\vec c| - 1) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $|\vec c| > 0$,इसलिए $|\vec c| = 1$ है।
अब,$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$।
अतः $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
अब सदिश गुणन का परिमाण $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = |\vec a \times \vec b| |\vec c| \sin(30^o) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $\vec{r}_1 = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ और $\vec{r}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $a^2 + b^2 + c^2 = 1$,इसलिए $|\vec{r}_1| = 1$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{r}_1 \times \vec{r}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & c \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4b - 3c) - \hat{j}(4a - 2c) + \hat{k}(3a - 2b)$ है।
इसके परिमाण का वर्ग $|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2|^2 = (4b - 3c)^2 + (4a - 2c)^2 + (3a - 2b)^2$ है।
गुणधर्म $|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2| = |\vec{r}_1| |\vec{r}_2| \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है।
यहाँ $|\vec{r}_1| = 1$ और $|\vec{r}_2| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है,इसलिए $|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2| = \sqrt{29} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{r}_1 \times \vec{r}_2|^2 = 29 \sin^2 \theta$ है।
चूँकि $\sin^2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए व्यंजक का अधिकतम मान $29 \times 1 = 29$ है।

(B) माना $\vec{x} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$.
चूंकि $\vec{x}$ एक इकाई सदिश है,$a^2 + b^2 + c^2 = 1$.
सदिश गुणनफल:
$\vec{x} \times (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a & b & c \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (b+2c)\hat{i} - (a-c)\hat{j} + (-2a-b)\hat{k}$.
इसे $-\hat{i} + \hat{k}$ के बराबर रखने पर:
$b + 2c = -1$,$a - c = 0$,और $-2a - b = 1$.
$a = c$ लेने पर,$b + 2a = -1$ और $-2a - b = 1$ प्राप्त होता है,जो समान समीकरण है।
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ में मान रखने पर,$a^2 + (-1-2a)^2 + a^2 = 1$.
$a^2 + 1 + 4a + 4a^2 + a^2 = 1 \Rightarrow 6a^2 + 4a = 0$.
अतः,$2a(3a + 2) = 0$,जिसका अर्थ है $a = 0$ या $a = -\frac{2}{3}$.
यदि $a = 0$,तो $c = 0$ और $b = -1$,इसलिए $\vec{x} = -\hat{j}$.
यदि $a = -\frac{2}{3}$,तो $c = -\frac{2}{3}$ और $b = -1 - 2(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$\vec{x} = -\frac{2}{3}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k} = -\frac{1}{3}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$.

(B) दिया गया है,$2\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
इस समीकरण से,$\vec{c} = -(2\vec{a} + 3\vec{b})$.
अब,व्यंजक $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$ पर विचार करें।
$\vec{c} = -(2\vec{a} + 3\vec{b})$ का मान रखने पर:
$= \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times (-(2\vec{a} + 3\vec{b})) + (-(2\vec{a} + 3\vec{b})) \times \vec{a}$
क्रॉस प्रोडक्ट के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:
$= \vec{a} \times \vec{b} - 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b}) - 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{a})$
हम जानते हैं कि $\vec{x} \times \vec{x} = \vec{0}$ और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$:
$= \vec{a} \times \vec{b} - 2(-(\vec{a} \times \vec{b})) - 3(\vec{0}) - 2(\vec{0}) - 3(-(\vec{a} \times \vec{b}))$
$= \vec{a} \times \vec{b} + 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{a} \times \vec{b})$
$= 6(\vec{a} \times \vec{b})$.
वैकल्पिक रूप से,$2\vec{a} + 3\vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ में $\vec{b}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर:
$2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{b}) + (\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow 2(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{b} \times \vec{c})$.
इस मान को $6(\vec{a} \times \vec{b})$ में रखने पर,हमें $6 \times \frac{1}{2}(\vec{b} \times \vec{c}) = 3(\vec{b} \times \vec{c})$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ और $\vec{v} = \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$.
हम जानते हैं कि $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$.
चूँकि $\vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत है,और $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ भी $\vec{a}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{u} \perp \vec{v}$ है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका एक कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अब,$|\vec{u}| = \sqrt{3}|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta = \sqrt{3}|\vec{b}|\sin \theta$,जहाँ $\theta$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
साथ ही,$|\vec{v}| = |\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{a}| \sin(90^{\circ}) = |\vec{b}|\sin \theta$.
समकोण त्रिभुज में,मान लीजिए $\alpha$,भुजाओं $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
तब $\tan \alpha = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{3}|\vec{b}|\sin \theta}{|\vec{b}|\sin \theta} = \sqrt{3}$.
इसलिए,$\alpha = \frac{\pi}{3}$.
तीसरा कोण $\pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,त्रिभुज के कोण $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ हैं।

(B) माना विकर्ण $\vec{d_1} = 8\hat{i} - 6\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 12\hat{k}$ हैं।
विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72\hat{i} + 96\hat{j} + 50\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2}$
$= \sqrt{5184 + 9216 + 2500}$
$= \sqrt{16900} = 130$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया है $\vec{b} = 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{b_1}$,$\vec{a}$ के समांतर है,इसलिए $\vec{b_1} = \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 3$.
$|\vec{a}|^2 = |\hat{i} + \hat{j}|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
अतः,$\vec{b_1} = \frac{3}{2}(\hat{i} + \hat{j}) = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
चूंकि $\vec{b} = \vec{b_1} + \vec{b_2}$,इसलिए $\vec{b_2} = \vec{b} - \vec{b_1} = (3\hat{j} + 4\hat{k}) - (\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ की गणना करें:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3/2 & 3/2 & 0 \\ -3/2 & 3/2 & 4 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i} \left( (3/2)(4) - (0)(3/2) \right) - \hat{j} \left( (3/2)(4) - (0)(-3/2) \right) + \hat{k} \left( (3/2)(3/2) - (3/2)(-3/2) \right)$.
$= \hat{i}(6) - \hat{j}(6) + \hat{k}(9/4 + 9/4) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.

(D) दिया गया है $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ और $\vec b = \hat i + \hat j$।
सबसे पहले,$\vec a$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$।
अब,सदिश गुणनफल $\vec a \times \vec b$ ज्ञात करें:
$\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat i - 2\hat j + \hat k$।
इसका परिमाण $|\vec a \times \vec b| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ है।
दिया गया है $|\vec c - \vec a| = 2\sqrt 2$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec c - \vec a|^2 = 8$।
विस्तार करने पर,$|\vec c|^2 + |\vec a|^2 - 2(\vec c \cdot \vec a) = 8$।
$|\vec a| = 3$ और $\vec a \cdot \vec c = |\vec c|$ रखने पर,$|\vec c|^2 + 9 - 2|\vec c| = 8$।
यह $|\vec c|^2 - 2|\vec c| + 1 = 0$ में सरल होता है,अर्थात $(|\vec c| - 1)^2 = 0$,इसलिए $|\vec c| = 1$।
अंत में,सदिश गुणनफल का परिमाण $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c| = |\vec a \times \vec b| |\vec c| \sin 30^o$ है।
मान रखने पर: $3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

(D) माना $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ अभीष्ट इकाई सदिश है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$ होगा।
$2x - y + 2z = 0$ ...... $(i)$
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{v} = p\vec{b} + q\vec{c}$ होगा।
$\vec{v} = (p + 2q)\hat{i} + (p + 2q)\hat{j} - (p + q)\hat{k}$।
अतः $x = p + 2q, y = p + 2q, z = -(p + q)$।
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर: $2(p + 2q) - (p + 2q) + 2(-p - q) = 0$।
$2p + 4q - p - 2q - 2p - 2q = 0 \Rightarrow -p = 0 \Rightarrow p = 0$।
अतः $x = 2q, y = 2q, z = -q$।
चूंकि $\vec{v}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ होगा।
$(2q)^2 + (2q)^2 + (-q)^2 = 1 \Rightarrow 9q^2 = 1 \Rightarrow q = \pm \frac{1}{3}$।
$q = \frac{1}{3}$ लेने पर,$\vec{v} = \frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{1}{3}\hat{k} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$।
यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(B) माना शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$P(1, 2, 1)$,$Q(2, 1, 3)$,और $R(-1, 1, 2)$ हैं।
फलकों $OPQ$ और $PQR$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम इन फलकों के अभिलंब सदिश (normal vectors) ज्ञात करते हैं।
फलक $OPQ$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
फलक $PQR$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$.
$\vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{PR} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+1+9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1.$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}.$
दिया है $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{b},$ इसलिए $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \frac{1}{2} \vec{b}.$
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha = 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^{\circ}.$
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \beta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 60^{\circ}.$
अतः,$|\alpha - \beta| = |90^{\circ} - 60^{\circ}| = 30^{\circ}.$

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ का सदिश $\vec{n}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ है।
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$ है।
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।
अतः,प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $r = |\vec{a} \times \vec{b}|$ ज्ञात करें:
$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$
$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$
$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}\right) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}\right) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,इसलिए $r^2$ का न्यूनतम मान $\frac{75}{2}$ है।
अतः,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
इस प्रकार,शर्त $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(A) दिया गया है $\vec{\alpha} = 3\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{\beta} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}.$
चूंकि $\vec{\beta}_1$ सदिश $\vec{\alpha}$ के समांतर है,इसलिए $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}).$
दिया गया है $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2,$ इसलिए $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}) - (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = (3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
चूंकि $\vec{\beta}_2$ सदिश $\vec{\alpha}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0.$
$((3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j}) = 0.$
$3(3\lambda - 2) + 1(\lambda + 1) = 0 \implies 9\lambda - 6 + \lambda + 1 = 0 \implies 10\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{1}{2}.$
अतः,$\vec{\beta}_1 = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$ और $\vec{\beta}_2 = (\frac{3}{2} - 2)\hat{i} + (\frac{1}{2} + 1)\hat{j} - 3\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}.$
अब,$\vec{\beta}_1 \times \vec{\beta}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -3 \end{vmatrix}.$
$= \hat{i}(-\frac{3}{2} - 0) - \hat{j}(-\frac{9}{2} - 0) + \hat{k}(\frac{9}{4} - (-\frac{1}{4})) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{10}{4}\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{5}{2}\hat{k}.$
$= \frac{1}{2}(-3\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k}).$

(A) सबसे पहले,$\vec{a} + \vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j}$ और $\vec{a} - \vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
दोनों सदिशों के लंबवत सदिश उनका क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k} = 8(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
इस सदिश का परिमाण $8 \times 3 = 24$ है।
$12$ परिमाण वाला सदिश प्राप्त करने के लिए,हमें इसे $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ से गुणा करना होगा।
अतः,अभीष्ट सदिश $\pm 4(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$,जिसे हम $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\vec{c} - \vec{a}$ सदिश $\vec{b}$ के समांतर है,अतः $\vec{c} - \vec{a} = k\vec{b}$ किसी अदिश $k$ के लिए।
इस प्रकार,$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$.
दिया गया है कि $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,अतः $\vec{c}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 + k(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
परिमाण और अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
इन मानों को रखने पर: $6 + k(4) = 0 \Rightarrow 4k = -6 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$.
अब,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{b}|^2$.
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = \frac{8-9}{2} = -\frac{1}{2}$.