Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(D) कुल बल $\vec{F}$ दिए गए बलों का योग है:
$\vec{F} = (4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 7\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
विस्थापन सदिश $\vec{d}$ अंतिम स्थिति और प्रारंभिक स्थिति का अंतर है:
$\vec{d} = (5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
किया गया कार्य $W$ कुल बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (7\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (4\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40$ इकाई।

(A) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{A} = \vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}$,$\vec{B} = 2\vec{l} + \lambda\vec{m} - 4\vec{n}$ और $\vec{C} = -7\vec{m} + 10\vec{n}$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ समांतर होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AB} = k\vec{AC}$ होगा।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2\vec{l} + \lambda\vec{m} - 4\vec{n}) - (\vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}) = \vec{l} + (\lambda + 2)\vec{m} - 7\vec{n}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-7\vec{m} + 10\vec{n}) - (\vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}) = -\vec{l} - 5\vec{m} + 7\vec{n}$.
चूंकि $\vec{AB} = k\vec{AC}$,हमारे पास है $\vec{l} + (\lambda + 2)\vec{m} - 7\vec{n} = k(-\vec{l} - 5\vec{m} + 7\vec{n})$.
$\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{l}$ के लिए: $1 = -k \implies k = -1$.
$\vec{n}$ के लिए: $-7 = 7k \implies k = -1$.
$\vec{m}$ के लिए: $\lambda + 2 = -5k$.
$\vec{m}$ के समीकरण में $k = -1$ रखने पर:
$\lambda + 2 = -5(-1) = 5$.
$\lambda = 5 - 2 = 3$.

(B) दिया गया है कि $(\bar{a} + 2\bar{b})$ और $(5\bar{a} - 4\bar{b})$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (5\bar{a} - 4\bar{b}) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$:
$5(1)^2 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1)^2 = 0$
$5 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8 = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
मान लीजिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}||\bar{b}|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^o$.

(B) माना कि दिया गया सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{a}$ का रेखा पर प्रक्षेप,$\vec{a}$ का इसके दिशा सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप है,जो सूत्र $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(2) + (1)(3) = 1 + 2 + 3 = 6$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{6}{\sqrt{14}}$ है।

(C) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{r}$ के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) के रूप में परिभाषित है।
गणितीय रूप से,$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$ होता है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल हमेशा एक अदिश राशि प्रदान करता है।
इसलिए,किया गया कार्य एक अदिश राशि है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है और कारण $(R)$ असत्य है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(D) परिणामी बल $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (2\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) + (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (6\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - (4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ है।
किया गया कार्य $W$ परिणामी बल और विस्थापन सदिश का अदिश गुणनफल है: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k})$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(1) = 2 - 12 + 5 = -5$ इकाई।

(B) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ हो।
दिया गया है कि $(a + \lambda b)$,$(a - \lambda b)$ के लंबवत है,इसलिए:
$(a + \lambda b) \cdot (a - \lambda b) = 0$
अदिश गुणनफल के गुण $(u + v) \cdot (u - v) = |u|^2 - |v|^2$ का उपयोग करने पर:
$|a|^2 - |\lambda b|^2 = 0$
$|a|^2 - \lambda^2 |b|^2 = 0$
दिए गए मान $|a| = 3$ और $|b| = 4$ रखने पर:
$3^2 - \lambda^2 (4^2) = 0$
$9 - 16\lambda^2 = 0$
$16\lambda^2 = 9$
$\lambda^2 = \frac{9}{16}$
$\lambda = \pm \frac{3}{4}$

(C) किया गया कार्य $W$,बल सदिश $\vec{F}$ और विस्थापन सदिश $\vec{d}$ का अदिश गुणनफल (Dot Product) होता है।
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})$
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य का मान $0$ का उपयोग करने पर:
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$
$W = 6 - 2 + 5$
$W = 9$ इकाई।

(NONE) परिणामी बल $\vec{F}$ दो बल सदिशों का योग है।
सबसे पहले,दी गई दिशाओं में इकाई सदिश ज्ञात करें:
$\hat{u}_1 = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3}$
$\hat{u}_2 = \frac{2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2}} = \frac{2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7}$
अब,बल सदिशों की गणना करें:
$\vec{F}_1 = 6 \hat{u}_1 = 2(-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{F}_2 = 7 \hat{u}_2 = 1(2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$
परिणामी बल $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (-2+2)\hat{i} + (-4-3)\hat{j} + (4-6)\hat{k} = 0\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{PQ} = (5-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (0\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) = (0)(3) + (-7)(0) + (-2)(4) = -8$ इकाई।

(D) दिया गया है कि $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है,इसलिए $1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$,अतः $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1/2$ $(1)$।
अब,दिए गए समीकरण $\vec{c} - \vec{a} - 2\vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b})$ पर विचार करें।
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(\vec{c} - \vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$।
$\vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 3[\vec{a} \vec{b} \vec{b}]$।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{b}] = 0$ होता है (क्योंकि दो सदिश समान हैं),हमें प्राप्त होता है:
$\vec{c} \cdot \vec{b} - 1/2 - 2(1) = 0$।
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 1/2 + 2 = 5/2$।

(D) दिए गए सदिश $a = i + 2j - 3k$ और $b = 3i - j + 2k$ हैं।
सबसे पहले,सदिशों का योग और अंतर ज्ञात करें:
$a + b = (1+3)i + (2-1)j + (-3+2)k = 4i + j - k$
$a - b = (1-3)i + (2-(-1))j + (-3-2)k = -2i + 3j - 5k$
मान लीजिए $u = a + b$ और $v = a - b$ है। सदिशों $u$ और $v$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल $u \cdot v = (4)(-2) + (1)(3) + (-1)(-5) = -8 + 3 + 5 = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $u$ और $v$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = 90^o$।

(A) दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य हो।
दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$(1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$
$1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$
$6x^2 + 6y^2 = 1$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $\frac{1}{\sqrt{6}}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,बिंदु $(x, y)$ का बिंदुपथ एक वृत्त है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
उनके बीच का कोण $2\theta$ है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ होता है।
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos(2\theta) = 2 - 2 \cos(2\theta)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos(2\theta) = 2 \sin^2(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(1 - \cos(2\theta)) = 2(2 \sin^2(\theta)) = 4 \sin^2(\theta)$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|\vec{a} - \vec{b}| = 2|\sin(\theta)|$ प्राप्त होता है।
शर्त $|\vec{a} - \vec{b}| < 1$ दी गई है,इसलिए $2|\sin(\theta)| < 1$,जिसका अर्थ है कि $|\sin(\theta)| < 1/2$।
चूंकि $0 \le \theta \le \pi$ है,$\sin(\theta)$ ऋणेतर है,इसलिए $\sin(\theta) < 1/2$।
यह असमिका $\theta \in [0, \pi/6) \cup (5\pi/6, \pi]$ के लिए सत्य है।

(C) मान लीजिए कि इकाई सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूँकि ये इकाई सदिश हैं,$|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 1 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) = 4\cos^2(\frac{\theta}{2})$.
अतः,$|\vec{a} + \vec{b}| = 2\cos(\frac{\theta}{2})$ (यह मानते हुए कि $0 \le \theta \le \pi$ के लिए $\cos(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ है)।
इसी प्रकार,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 1 - 2\cos\theta = 2(1 - \cos\theta) = 4\sin^2(\frac{\theta}{2})$.
अतः,$|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sin(\frac{\theta}{2})$.
मान लीजिए $f(\theta) = |\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{b}| = 2(\cos(\frac{\theta}{2}) + \sin(\frac{\theta}{2}))$.
सर्वसमिका $\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर,हमें $f(\theta) = 2\sqrt{2}\sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
$\sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{2}$)।
अतः,अधिकतम मान $2\sqrt{2} \times 1 = 2\sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$।
हमें $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण ज्ञात करना है,इसलिए हम $\vec{b} + \vec{c} = -\vec{a}$ लिखते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |-\vec{a}|^2$।
$|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$।
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + 3^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 7^2$।
$25 + 9 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 49$।
$34 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 49$।
$2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 15 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{15}{2}$।
मान लीजिए $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब $\cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{15/2}{5 \times 3} = \frac{15/2}{15} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^o$ है।

(C) माना समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ $\vec{u} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a} - 3\vec{b}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{u} + \vec{v}$ और $\vec{d_2} = \vec{u} - \vec{v}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$\vec{d_1} = (5\vec{a} + 2\vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b}) = 6\vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{d_2} = (5\vec{a} + 2\vec{b}) - (\vec{a} - 3\vec{b}) = 4\vec{a} + 5\vec{b}$.
दिया गया है $|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$,$|\vec{b}| = 3$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
$|\vec{d_1}|^2 = |6\vec{a} - \vec{b}|^2 = 36|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36(8) + 9 - 12(6) = 288 + 9 - 72 = 225$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{d_2}|^2 = |4\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = 16|\vec{a}|^2 + 25|\vec{b}|^2 + 40(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 16(8) + 25(9) + 40(6) = 128 + 225 + 240 = 593$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{593}$.
चूँकि $\sqrt{593} > 15$,इसलिए बड़े विकर्ण की लंबाई $\sqrt{593}$ है।

(C) दो सदिशों $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ और $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2)$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 - 6 - 2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$.
इसका विस्तार करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
दिए गए परिमाण $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{c}| = 3$ का मान रखने पर:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$1 + 4 + 9 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$14 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -14$.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -7$.

(D) दिए गए सदिश $\vec{u} = \hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + a\hat{k}$ हैं।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ है।
यहाँ $\theta = \pi/3$ है,इसलिए $\cos(\pi/3) = 1/2$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (0)(-1) + (1)(a) = 1 + a$ है।
सदिशों का परिमाण $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + a^2} = \sqrt{2 + a^2}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1 + a}{\sqrt{2} \sqrt{2 + a^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{(1 + a)^2}{2(2 + a^2)} \implies \frac{1}{2} = \frac{1 + 2a + a^2}{2 + a^2}$।
वज्र गुणन करने पर: $2 + a^2 = 2(1 + 2a + a^2) = 2 + 4a + 2a^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^2 + 4a = 0 \implies a(a + 4) = 0$।
अतः,$a = 0$ या $a = -4$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $a = 0$ है।

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $DB$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$M$,$AC$ का भी मध्यबिंदु है।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\vec{OA} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{OC} = \hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$।
$\vec{OM} = \frac{(3+1)\hat{i} + (3-5)\hat{j} + (5-5)\hat{k}}{2} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j}$।
$\vec{OM}$ का $\vec{OC}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{OM} \cdot \vec{OC} = (2)(1) + (-1)(-5) + (0)(-5) = 2 + 5 + 0 = 7$।
$|\vec{OC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}$।
अतः,प्रक्षेप का मान $\frac{7}{\sqrt{51}}$ है।

(B) की दिशा में $a$ का सदिश घटक ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{घटक} = \frac{(a \cdot b)b}{|b|^2}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b$ की गणना करें:
$a \cdot b = (4i + 6j) \cdot (3j + 4k) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 18$।
अब,$b$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{घटक} = \frac{18}{25}(3j + 4k)$।

(A) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{B} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{C} = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
अब,समकोण की पहचान करने के लिए अदिश गुणनफल (dot product) की जाँच करें:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(1) + (1)(2) + (2)(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
चूंकि $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle A = 90^{\circ}$ है।

(B) बिंदु $P$ (स्थिति सदिश $\vec{p}$) की उस रेखा से दूरी $d$ जो बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $\vec{a}$) से गुजरती है और सदिश $\vec{b}$ के समांतर है,का सूत्र है: $d = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$,$\vec{p} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$,और $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
सबसे पहले,$\vec{p} - \vec{a} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 - (-6)) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
दूरी $d = \frac{\sqrt{2989}}{\sqrt{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(D) दिए गए बिंदु $A = (k, 1, -1)$,$B = (2k, 0, 2)$,और $C = (2 + 2k, k, 1)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = B - A = (2k - k, 0 - 1, 2 - (-1)) = (k, -1, 3)$ है।
सदिश $\vec{BC} = C - B = (2 + 2k - 2k, k - 0, 1 - 2) = (2, k, -1)$ है।
चूंकि $AB \perp BC$ है,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ होगा।
$(k)(2) + (-1)(k) + (3)(-1) = 0$.
$2k - k - 3 = 0$.
$k - 3 = 0$.
अतः,$k = 3$।

(A) सदिश $\vec{AB} = (3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ है।
सदिश $\vec{CD} = (3-1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)$ है।
$\vec{AB}$ का $\vec{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CD}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(2) + (2)(3) + (-2)(4) = 2 + 6 - 8 = 0$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $AB$ का $CD$ पर प्रक्षेप $0$ होगा।

(A) दिया गया है कि शीर्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{A} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,और $\vec{C} = a\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $m\angle C = 90^\circ$ है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{CA}$ और $\overrightarrow{CB}$ लंबवत होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य है।
सबसे पहले,$\overrightarrow{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (2-a)\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\overrightarrow{CB} = \vec{B} - \vec{C} = (1-a)\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$ रखें:
$((2-a)\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot ((1-a)\hat{i} - 6\hat{k}) = 0$.
$(2-a)(1-a) + (2)(0) + (0)(-6) = 0$.
$(2-a)(1-a) = 0$.
इससे $a = 2$ या $a = 1$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ एक ही समतल में हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$
$\begin{vmatrix} \alpha & 2 & \beta \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(1-0) - 2(1-0) + \beta(1-0) = 0 \Rightarrow \alpha - 2 + \beta = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = 2 \dots (i)$
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\vec{a}$ को $\vec{b}$ और $\vec{c}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए:
$\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}}, \hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{(0, 1, 1)}{\sqrt{2}}$
$\vec{a} = k(\hat{b} + \hat{c}) = \frac{k}{\sqrt{2}}(1, 2, 1)$
$\vec{a} = (\alpha, 2, \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{k}{\sqrt{2}} = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \sqrt{2}$.
अतः,$\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{c} = \alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ के लिए: $(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = \alpha - 1 + 2\beta = 0 \implies \alpha + 2\beta = 1$ (समीकरण $1$).
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ के लिए: $(2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = 2\alpha + 4 + \beta = 0 \implies 2\alpha + \beta = -4$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$\beta = -4 - 2\alpha$. इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + 2(-4 - 2\alpha) = 1 \implies \alpha - 8 - 4\alpha = 1 \implies -3\alpha = 9 \implies \alpha = -3$.
$\alpha = -3$ को $\beta = -4 - 2\alpha$ में रखने पर: $\beta = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (-3, 2)$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$ और $\vec{d} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$ और $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$ होने के कारण,
$5(1) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1) = 0$।
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3 = 0$।
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) मान लीजिए $E$ शीर्ष $B$ से भुजा $AD$ पर डाले गए लंब का पाद है। सदिश $\vec{AE}$,$\vec{AB}$ का $\vec{AD}$ पर प्रक्षेप है।
अतः,$\vec{AE} = \text{proj}_{\vec{p}} \vec{q} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p}$ है।
$\triangle ABE$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमारे पास $\vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AE}$ है।
दिया गया है कि $\vec{AB} = \vec{q}$ और $\vec{BE} = \vec{r}$,इसलिए $\vec{q} + \vec{r} = \vec{AE}$ है।
अतः,$\vec{r} = \vec{AE} - \vec{q}$ है।
$\vec{AE}$ का मान रखने पर,हमें $\vec{r} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p} - \vec{q}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $\vec{u}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,हम लिख सकते हैं $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
दिया गया है $\vec{u} \perp \vec{a}$,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \implies x|\vec{a}|^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + 3^2 + (-1)^2 = 14$ की गणना करें।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (3)(1) + (-1)(1) = 2$ की गणना करें।
अतः,$14x + 2y = 0 \implies y = -7x$.
इस प्रकार,$\vec{u} = x\vec{a} - 7x\vec{b} = x(\vec{a} - 7\vec{b})$.
$\vec{a} - 7\vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 7(\hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.
दिया गया है $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$,इसलिए $x(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = 24$.
$(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - 7|\vec{b}|^2 = 2 - 7(2) = -12$.
अतः,$x(-12) = 24 \implies x = -2$.
इसलिए,$\vec{u} = -2(2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}) = -4\hat{i} + 8\hat{j} + 16\hat{k}$.
$|\vec{u}|^2 = (-4)^2 + 8^2 + 16^2 = 16 + 64 + 256 = 336$.

(C) दिया गया है कि $|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5$ है।
चूँकि $a$ और $(b + c)$ परस्पर लंबवत हैं,$a \cdot (b + c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ .....$(i)$
चूँकि $b$ और $(c + a)$ परस्पर लंबवत हैं,$b \cdot (c + a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ .....$(ii)$
चूँकि $c$ और $(a + b)$ परस्पर लंबवत हैं,$c \cdot (a + b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ .....$(iii)$
समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$a + b + c$ का मापांक इस प्रकार है:
$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a + b + c|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0)$
$|a + b + c|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|a + b + c| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(C) माना समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बनाने वाले दो सदिश $u = 5a + 2b$ और $v = a - 3b$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = u + v$ और $d_2 = u - v$ द्वारा दिए जाते हैं।
$d_1 = (5a + 2b) + (a - 3b) = 6a - b$.
$d_2 = (5a + 2b) - (a - 3b) = 4a + 5b$.
हम उनके परिमाणों का वर्ग ज्ञात करते हैं:
$|d_1|^2 = |6a - b|^2 = 36|a|^2 + |b|^2 - 12(a \cdot b)$.
दिया है $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$,और $\theta = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $a \cdot b = |a||b|\cos(\frac{\pi}{4}) = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
$|d_1|^2 = 36(8) + 9 - 12(6) = 288 + 9 - 72 = 225$,अतः $|d_1| = 15$.
$|d_2|^2 = |4a + 5b|^2 = 16|a|^2 + 25|b|^2 + 40(a \cdot b)$.
$|d_2|^2 = 16(8) + 25(9) + 40(6) = 128 + 225 + 240 = 593$.
$|d_2| = \sqrt{593}$.
दोनों की तुलना करने पर,$\sqrt{593} > 15$,इसलिए बड़ा विकर्ण $\sqrt{593}$ है।

(D) दिया गया है कि $|a| = |b| = |c| = 2$ और किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $60^\circ$ है।
अतः,$a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = |a||b| \cos 60^\circ = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$.
अब,अदिश गुणनफल (dot product) पर विचार करें:
$(2a + 3b - 5c) \cdot (4a - 6b + 10c) = 8(a \cdot a) - 12(a \cdot b) + 20(a \cdot c) + 12(b \cdot a) - 18(b \cdot b) + 30(b \cdot c) - 20(c \cdot a) + 30(c \cdot b) - 50(c \cdot c)$.
चूंकि $a \cdot b = b \cdot a$,$a \cdot c = c \cdot a$,और $b \cdot c = c \cdot b$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होगा:
$8|a|^2 - 18|b|^2 - 50|c|^2 + (-12 + 12)(a \cdot b) + (20 - 20)(a \cdot c) + (30 + 30)(b \cdot c)$.
$= 8(2)^2 - 18(2)^2 - 50(2)^2 + 60(b \cdot c)$.
$= 8(4) - 18(4) - 50(4) + 60(2)$.
$= 32 - 72 - 200 + 120$.
$= -120$.

(A) माना $c = (c_1, c_2, c_3).$ चूंकि $|a| = |b| = |c|,$ इसलिए $|c|^2 = |a|^2 = |b|^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$ अतः,$c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 2.$
यह दिया गया है कि सदिश युग्मों में समान कोण $\varphi$ बनाते हैं,इसलिए $\cos \varphi = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{(i+j) \cdot (j+k)}{2} = \frac{1}{2}.$
चूंकि सदिश $a$ और $c$ के बीच का कोण $\varphi$ है,इसलिए $\frac{a \cdot c}{|a||c|} = \frac{1}{2} \implies \frac{c_1 + c_2}{2} = \frac{1}{2} \implies c_1 + c_2 = 1.$
इसी प्रकार,$b$ और $c$ के लिए,$\frac{b \cdot c}{|b||c|} = \frac{1}{2} \implies \frac{c_2 + c_3}{2} = \frac{1}{2} \implies c_2 + c_3 = 1.$
इनसे,$c_1 = 1 - c_2$ और $c_3 = 1 - c_2.$
$c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 2$ में मान रखने पर,$(1 - c_2)^2 + c_2^2 + (1 - c_2)^2 = 2.$
$1 - 2c_2 + c_2^2 + c_2^2 + 1 - 2c_2 + c_2^2 = 2 \implies 3c_2^2 - 4c_2 = 0.$
इससे $c_2(3c_2 - 4) = 0,$ अर्थात $c_2 = 0$ या $c_2 = \frac{4}{3}.$
यदि $c_2 = 0,$ तो $c_1 = 1$ और $c_3 = 1,$ जिससे $c = (1, 0, 1).$
यदि $c_2 = \frac{4}{3},$ तो $c_1 = -\frac{1}{3}$ और $c_3 = -\frac{1}{3},$ जिससे $c = (-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{1}{3}).$
चूंकि $(1, 0, 1)$ एक विकल्प है,इसलिए सही उत्तर $A$ है।

(A) $R$ और $S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\frac{3p + 2q}{5}$ और $3p - 2q$ हैं।
अतः,$\overrightarrow{OR} = \frac{3p + 2q}{5}$ और $\overrightarrow{OS} = 3p - 2q.$
चूंकि $\overrightarrow{OR} \perp \overrightarrow{OS},$ उनका अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए $\overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = 0.$
$\left( \frac{3p + 2q}{5} \right) \cdot (3p - 2q) = 0$
$9|p|^2 - 6(p \cdot q) + 6(q \cdot p) - 4|q|^2 = 0$
$9|p|^2 - 4|q|^2 = 0$
$9|p|^2 = 4|q|^2$
दिया गया है कि $|p| = p$ और $|q| = q,$ इसलिए हमें $9p^2 = 4q^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना इकाई सदिश $\vec{u} = x\,i + y\,j$ है। चूंकि यह एक इकाई सदिश है,$x^2 + y^2 = 1$ होगा।
सदिश $\vec{a} = i + j$ के साथ कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{a} = |\vec{u}| |\vec{a}| \cos(45^{\circ})$.
$(x\,i + y\,j) \cdot (i + j) = (1)(\sqrt{1^2 + 1^2}) \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x + y = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
सदिश $\vec{b} = 3i - 4j$ के साथ कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{b} = |\vec{u}| |\vec{b}| \cos(60^{\circ})$.
$(x\,i + y\,j) \cdot (3i - 4j) = (1)(\sqrt{3^2 + (-4)^2}) \frac{1}{2} \Rightarrow 3x - 4y = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$.
हमारे पास समीकरण हैं: $x + y = 1$ और $3x - 4y = 2.5$.
पहले समीकरण से,$y = 1 - x$. दूसरे समीकरण में रखने पर: $3x - 4(1 - x) = 2.5 \Rightarrow 3x - 4 + 4x = 2.5 \Rightarrow 7x = 6.5 \Rightarrow x = \frac{13}{14}$.
अतः $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$.
इकाई सदिश की शर्त की जाँच करने पर: $x^2 + y^2 = (\frac{13}{14})^2 + (\frac{1}{14})^2 = \frac{170}{196} \neq 1$.
चूंकि कोई भी विकल्प इन शर्तों को पूरा नहीं करता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(C) माना दो सदिश $\vec{a} = cxi - 6j + 3k$ और $\vec{b} = xi + 2j + 2cxk$ हैं।
चूंकि सदिश एक अधिक कोण बनाते हैं, इसलिए उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (cx)(x) + (-6)(2) + (3)(2cx) = cx^2 - 12 + 6cx$।
हमें सभी वास्तविक $x$ के लिए $cx^2 + 6cx - 12 < 0$ की आवश्यकता है।
एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C < 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु, $A < 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC < 0$ होना चाहिए।
यहाँ, $A = c$, $B = 6c$, और $C = -12$ है।
शर्त $1$: $c < 0$।
शर्त $2$: $D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0
\Rightarrow 36c^2 + 48c < 0
\Rightarrow 12c(3c + 4) < 0$।
चूंकि $c < 0$, हम $12c$ से भाग देते हैं (जिससे असमिका का चिह्न बदल जाएगा): $3c + 4 > 0
\Rightarrow 3c > -4
\Rightarrow c > -\frac{4}{3}$।
$c < 0$ और $c > -\frac{4}{3}$ को संयोजित करने पर, हमें $-\frac{4}{3} < c < 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $b = 3j + 4k$ और $a = i + j$।
चूंकि $b_1$,$a$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $b_1 = \lambda a = \lambda(i + j) = \lambda i + \lambda j$।
हम जानते हैं कि $b = b_1 + b_2$,जहाँ $b_2$,$a$ के लंबवत है।
अतः,$b_2 = b - b_1 = (0 - \lambda)i + (3 - \lambda)j + 4k = -\lambda i + (3 - \lambda)j + 4k$।
चूंकि $b_2 \perp a$,उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $b_2 \cdot a = 0$।
$(-\lambda i + (3 - \lambda)j + 4k) \cdot (i + j) = 0$।
$-\lambda + (3 - \lambda) = 0$।
$3 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$b_1 = \frac{3}{2}(i + j)$।

(C) दिया गया है कि $|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3$ है। चूंकि $v \perp w$,इसलिए $v \cdot w = 0$ है।
$u$ की दिशा में $v$ का प्रक्षेप = $u$ की दिशा में $w$ का प्रक्षेप,अतः $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{w \cdot u}{|u|}$ है।
चूंकि $|u| = 1$,इसलिए $v \cdot u = w \cdot u$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(v - w) \cdot u = 0$ है।
हमें $|u - v + w|$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $X = u - (v - w)$ है।
तब $|X|^2 = |u - (v - w)|^2 = |u|^2 + |v - w|^2 - 2u \cdot (v - w)$ है।
चूंकि $u \cdot (v - w) = 0$,इसलिए $|X|^2 = |u|^2 + |v - w|^2$ प्राप्त होता है।
$|v - w|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2(v \cdot w) = 2^2 + 3^2 - 2(0) = 4 + 9 = 13$ है।
अतः,$|u - v + w|^2 = 1^2 + 13 = 14$ है।
इसलिए,$|u - v + w| = \sqrt{14}$ है।

(C) दिशा $\vec{a} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{25 + 9 + 16}} = \frac{5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{5\sqrt{2}}$ है।
दिशा $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ में इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}}{5\sqrt{2}}$ है।
बल $\vec{F_1} = 3\hat{a} = \frac{3(5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{5\sqrt{2}}$ और $\vec{F_2} = 2\hat{b} = \frac{2(3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})}{5\sqrt{2}}$ हैं।
कुल बल $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = \frac{1}{5\sqrt{2}} [(15\hat{i} + 9\hat{j} + 12\hat{k}) + (6\hat{i} + 8\hat{j} - 10\hat{k})] = \frac{21\hat{i} + 17\hat{j} + 2\hat{k}}{5\sqrt{2}}$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = (3 - 1)\hat{i} + (3 - (-1))\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \frac{1}{5\sqrt{2}} (21\hat{i} + 17\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$ है।
$W = \frac{1}{5\sqrt{2}} (21 \times 2 + 17 \times 4 + 2 \times 2) = \frac{42 + 68 + 4}{5\sqrt{2}} = \frac{114}{5\sqrt{2}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर: $W = \frac{114\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{57\sqrt{2}}{5}$ इकाई।

(D) दिया गया है कि $|a \times b| = 4$ और $|a \cdot b| = 2$ है।
हम जानते हैं कि $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta = 4$ और $|a \cdot b| = |a| |b| |\cos \theta| = 2$ होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$|a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta = 16$
$|a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta = 4$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$|a|^2 |b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 16 + 4$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है,इसलिए:
$|a|^2 |b|^2 = 20$.

(C) माना मूल बिंदु समबाहु त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र $O$ है। माना $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं और $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है।
चूंकि $O$ परिकेंद्र है,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R,$ जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
$s=1$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
चूंकि $P$ परिवृत्त पर स्थित है,$|\vec{r}| = R = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
हमें $S = |\vec{r}-\vec{a}|^2 + |\vec{r}-\vec{b}|^2 + |\vec{r}-\vec{c}|^2$ की गणना करनी है।
इसका विस्तार करने पर:
$S = (\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{r}-\vec{a}) + (\vec{r}-\vec{b}) \cdot (\vec{r}-\vec{b}) + (\vec{r}-\vec{c}) \cdot (\vec{r}-\vec{c})$
$S = 3|\vec{r}|^2 + (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2\vec{r} \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}).$
मूल बिंदु पर केंद्रित समबाहु त्रिभुज के लिए,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}.$
साथ ही,$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = R^2 = \frac{1}{3}$ और $|\vec{r}|^2 = R^2 = \frac{1}{3}.$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = 3(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - 2\vec{r} \cdot \vec{0}$
$S = 1 + 1 - 0 = 2.$

(D) दिया गया है कि $OACB$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ है।
चूँकि $AC$,$OB$ के समांतर है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB} = \vec{b}$ होगा।
$M$ का स्थिति सदिश $AC$ पर स्थित है। चूँकि $M$,$AC$ पर है,हम $\overrightarrow{OM} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
तब $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB} = \vec{a} + \lambda \vec{b} - \vec{b} = \vec{a} + (\lambda - 1)\vec{b}$ होगा।
चूँकि $BM \perp AC$,इसलिए $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ होगा।
$(\vec{a} + (\lambda - 1)\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + (\lambda - 1)|\vec{b}|^2 = 0$.
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ और $|\vec{b}| = 2$,इसलिए $|\vec{b}|^2 = 4$.
$1 + (\lambda - 1)(4) = 0 \implies 4(\lambda - 1) = -1 \implies \lambda - 1 = -\frac{1}{4} \implies \lambda = \frac{3}{4}$.
अब,$\overrightarrow{BM} = \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.
$|\overrightarrow{BM}|^2 = |\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + \frac{1}{16}|\vec{b}|^2 - \frac{2}{4}(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\overrightarrow{BM}|^2 = 4 + \frac{4}{16} - \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{16 + 1 - 2}{4} = \frac{15}{4}$.
अतः,$|\overrightarrow{BM}| = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

(C) दिया गया है कि $\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 0$,$\vec b \cdot (\vec c + \vec a) = 0$,और $\vec c \cdot (\vec a + \vec b) = 0$.
इसका अर्थ है:
$(i) \quad \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c = 0$
$(ii) \quad \vec b \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec a = 0$
$(iii) \quad \vec c \cdot \vec a + \vec c \cdot \vec b = 0$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a = 0$.
अब,$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + |\vec c|^2 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a)$.
दिए गए परिमाण $|\vec a| = 3, |\vec b| = 4, |\vec c| = 5$ रखने पर:
$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$.
अतः,$|\vec a + \vec b + \vec c| = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$.

(B) हम समुच्चय $\{\vec{a}, \vec{b_1}, \vec{c_2}\}$ की लंबवतता की जाँच करते हैं।
सबसे पहले,$\vec{a} \cdot \vec{b_1} = \vec{a} \cdot \left( \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \right) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$.
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b_1}$ परस्पर लंबवत हैं।
इसके बाद,$\vec{a} \cdot \vec{c_2} = \vec{a} \cdot \left( \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1} \right) = \vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} |\vec{a}|^2 - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2} (\vec{a} \cdot \vec{b_1}) = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - 0 = 0$.
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{c_2}$ परस्पर लंबवत हैं।
अंत में,$\vec{b_1} \cdot \vec{c_2} = \vec{b_1} \cdot \left( \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1} \right) = \vec{b_1} \cdot \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} (\vec{b_1} \cdot \vec{a}) - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2} |\vec{b_1}|^2 = \vec{b_1} \cdot \vec{c} - 0 - \vec{c} \cdot \vec{b_1} = 0$.
अतः,$\vec{b_1}$ और $\vec{c_2}$ परस्पर लंबवत हैं।
चूंकि सभी युग्म लंबवत हैं,इसलिए $\{\vec{a}, \vec{b_1}, \vec{c_2}\}$ परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ इकाई सदिश हैं।
हमारे पास $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ है।
सर्वसमिका $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 1$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ इकाई सदिश हैं,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d})$ का अधिकतम मान $1$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{d}$ हो।
यह इंगित करता है कि सदिश विशिष्ट विन्यास में समतलीय हैं।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
यदि $\vec{b}$ और $\vec{d}$ समांतर होते,तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ की शर्त पूरी नहीं होती।
ज्यामिति के विश्लेषण से,यदि $\vec{b}$ और $\vec{d}$ समांतर होते,तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो जाता,जो परिणाम का विरोधाभास करता है।
अतः,$\vec{b}$ और $\vec{d}$ समांतर नहीं होने चाहिए।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{d} \times \vec{b}$,जिसे हम $(\vec{a} - \vec{d}) \times \vec{b} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} - \vec{d}$ सदिश $\vec{b}$ के समांतर है,अतः $\vec{a} - \vec{d} = \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
इस प्रकार,$\vec{d} = \vec{a} - \lambda \vec{b}$।
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \lambda (\vec{b} \cdot \vec{c})$।
दिया है $\vec{d} \cdot \vec{c} = 8$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(1) + (3)(1) + (1)(1) = 6$,और $\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 1$।
इन मानों को रखने पर: $8 = 6 - \lambda(1) \Rightarrow \lambda = -2$।
अतः,$\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + 2(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$।
अंत में,$\vec{d} \cdot \vec{b} = (4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (4)(1) + (1)(-1) + (3)(1) = 4 - 1 + 3 = 6$।

(A) दिया गया है कि $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 2$ और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta = 4 \sin \theta$ है।
अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta = 4 \cos \theta$ है।
दिया गया समीकरण $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ है।
मान रखने पर,हमें $4 \sin \theta + 4 \cos \theta = \sqrt{2} (2)(2) = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$4$ से भाग देने पर,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = 1$ प्राप्त होता है,जो $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$ है।
अतः,$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta = (2)(2) \sin(\frac{\pi}{4}) = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
दिया गया है $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.
हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणन का सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{w} \times \vec{z}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})(\vec{v} \cdot \vec{z}) - (\vec{u} \cdot \vec{z})(\vec{v} \cdot \vec{w})$ है।
प्रत्येक पद के लिए यह सूत्र लागू करने पर:
$1$. $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0 - (\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}))(1) = -(\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b}) = -(1 + 0) = -1$.
$2$. $(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{c} \cdot \vec{a}) - (\vec{b} \cdot \vec{a})(\vec{c} \cdot \vec{c}) = (\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}))(\vec{c} \cdot \vec{a}) - 0 = (\vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b})(\vec{c} \cdot \vec{a}) = (0 + 1)(\vec{c} \cdot \vec{a}) = \vec{c} \cdot \vec{a} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 1 + 0 = 1$.
$3$. $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 0 - ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b})(1) = -(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}) = -(0 + 1) = -1$.
इन मानों का योग करने पर: $-1 + 1 - 1 = -1$.