यदि $A = (k, 1, -1)$,$B = (2k, 0, 2)$,और $C = (2 + 2k, k, 1)$ है,और $AB \perp BC$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}$ का $\bar{b}+\bar{c}$ पर प्रक्षेप,$\bar{b}+\bar{c}$ के $\bar{a}$ पर प्रक्षेप का दोगुना है,और यदि $|\bar{b}|=2 \sqrt{2}$,$|\bar{c}|=4$ तथा $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $|\bar{a}|=$

यदि $|a+b|^{2}+|a \cdot b|^{2}=144$ और $|a|=6$ है,तो $|b|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{c}$ और $\vec{d}$ ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{c}+\vec{d}|=\sqrt{29}$ और $\vec{c}\times(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})=(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})\times\vec{d}$ है। यदि $\lambda_1, \lambda_2$ $(\lambda_1 > \lambda_2)$ $(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ के संभावित मान हैं,तो समीकरण $K^{2}x^{2}+(K^{2}-5K+\lambda_{1})xy+(3K+\frac{\lambda_{2}}{2})y^{2}-8x+12y+\lambda_{2}=0$ एक वृत्त को दर्शाता है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9$ को संतुष्ट करते हैं,तो $|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $\vec{AB} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$,$\vec{AC} = s \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,और $\vec{CB} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ एक $\triangle ABC$ बनाते हैं,तो $p, q, r$ और $s$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि उस $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $5 \sqrt{6}$ हो।