Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$ है।
चूंकि $\vec{c} = \hat{a} + 2\hat{b}$ और $\vec{d} = 5\hat{a} - 4\hat{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है,अर्थात $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$ है।
$(\hat{a} + 2\hat{b}) \cdot (5\hat{a} - 4\hat{b}) = 0$
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{a} = |\hat{a}|^2 = 1$ और $\hat{b} \cdot \hat{b} = |\hat{b}|^2 = 1$ है,इसलिए:
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 3$
$\hat{a} \cdot \hat{b} = 1 / 2$
हम जानते हैं कि $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण है।
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = 1 / 2$
$\cos \theta = 1 / 2$
$\theta = \pi / 3$.

(A) चूंकि सदिश लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ के बराबर होना चाहिए।
$(a\hat{i} + 6\hat{j} - \hat{k}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j} + 17\hat{k}) = 0$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(a)(7) + (6)(-3) + (-1)(17) = 0$
$7a - 18 - 17 = 0$
$7a - 35 = 0$
$7a = 35$
$a = 5$

(A) दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो। चूंकि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
सबसे पहले,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ है।
अब,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$(1)(\lambda) + (-1)(1) + (2)(\mu) = 0 \implies \lambda - 1 + 2\mu = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1$ (समीकरण $1$)।
अब,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ का उपयोग करते हुए:
$(2)(\lambda) + (4)(1) + (1)(\mu) = 0 \implies 2\lambda + 4 + \mu = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,$\mu = -4 - 2\lambda$।
इसे समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda + 2(-4 - 2\lambda) = 1
\lambda - 8 - 4\lambda = 1
-3\lambda = 9
\lambda = -3$।
अब $\mu$ का मान ज्ञात करते हैं: $\mu = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$।
अतः,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$।

(D) $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(1, 0, 0)$,$B(0, 1, 0)$ और $C(0, 0, 1)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$
$\vec{AC} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$
कोण $A$,सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के बीच का कोण है।
अदिश गुणनफल (dot product) सूत्र का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$
अदिश गुणनफल की गणना:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1$
परिमाण (magnitudes) की गणना:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$\cos A = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
अतः,$A = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया है कि $c = 2 \lambda (a \times b) + 3 \mu (b \times a)$.
चूँकि $b \times a = -(a \times b)$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$c = 2 \lambda (a \times b) - 3 \mu (a \times b)$
$c = (2 \lambda - 3 \mu) (a \times b)$
हमें दिया गया है कि $c \cdot (a \times b) = 0$.
$c$ का मान रखने पर:
$(2 \lambda - 3 \mu) (a \times b) \cdot (a \times b) = 0$
$(2 \lambda - 3 \mu) |a \times b|^2 = 0$
चूँकि $a \times b \neq 0$,इसलिए $|a \times b|^2 \neq 0$ होगा।
अतः,$2 \lambda - 3 \mu = 0$,जिसका अर्थ है कि $2 \lambda = 3 \mu$।

(C) दिया गया है कि $x$ और $y$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|x| = 1$ और $|y| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2(x \cdot y)$ होता है।
चूंकि $x \cdot y = |x||y| \cos \phi = (1)(1) \cos \phi = \cos \phi$ है,इसलिए:
$|x - y|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \phi = 2 - 2 \cos \phi$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \phi = 2 \sin^2(\phi / 2)$ का उपयोग करने पर:
$|x - y|^2 = 2(1 - \cos \phi) = 2(2 \sin^2(\phi / 2)) = 4 \sin^2(\phi / 2)$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|x - y| = 2 |\sin(\phi / 2)|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2} |x - y| = \frac{1}{2} \times 2 |\sin(\phi / 2)| = |\sin(\phi / 2)|$।

(B) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$.
इसका अर्थ है कि $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{d}) = 0$.
चूंकि सदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए सदिश $(\vec{c} - \vec{d})$ को $\vec{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,हम लिख सकते हैं कि $\vec{c} - \vec{d} = \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
इससे हमें $\vec{d} = \vec{c} - \lambda \vec{b}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b})$.
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,इसलिए $0 = \vec{a} \cdot \vec{c} - \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b})$.
इस प्रकार,$\lambda = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$.
$\lambda$ का मान वापस रखने पर,हमें $\vec{d} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$ प्राप्त होता है।

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(a, -3, 1)$ हैं।
चूँकि $\angle C = \pi/2$,सदिश $\vec{CA}$ और $\vec{CB}$ परस्पर लंब होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनका डॉट गुणनफल शून्य है।
$\vec{CA} = (2-a)\hat{i} + (-1 - (-3))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = (2-a)\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\vec{CB} = (1-a)\hat{i} + (-3 - (-3))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = (1-a)\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\angle C = 90^\circ$ के लिए,$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$.
$(2-a)(1-a) + (2)(0) + (0)(-6) = 0$.
$(2-a)(1-a) = 0$.
इससे $a = 2$ या $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ के मान $2$ और $1$ हैं।

(B) दिया गया है $|a + b| = |a - b|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |a - b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$ है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b$.
समीकरण को सरल करने पर: $2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$,जिसका अर्थ है $4(a \cdot b) = 0$.
अतः,$a \cdot b = 0$.
चूंकि दो गैर-शून्य सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य है,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\overline{AB} \cdot \overline{AC} + \overline{BC} \cdot \overline{BA} + \overline{CA} \cdot \overline{CB}$ है।
चूंकि $\triangle ABC$,$C$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\overline{CA} \cdot \overline{CB} = 0$ क्योंकि $\overline{CA} \perp \overline{CB}$ है।
अब,सदिश योग के गुण का उपयोग करते हुए,$\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$ है,इसलिए:
$\overline{AB} \cdot \overline{AC} + \overline{BC} \cdot \overline{BA} + 0$
$= \overline{AB} \cdot \overline{AC} - \overline{BC} \cdot \overline{AB}$
$= \overline{AB} \cdot (\overline{AC} - \overline{BC})$
$= \overline{AB} \cdot (\overline{AC} + \overline{CB})$
$= \overline{AB} \cdot \overline{AB} = |\overline{AB}|^2 = p^2$.

(C) मान लीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि $(\vec{a} + 3\vec{b})$,$(7\vec{a} - 5\vec{b})$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$7(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 21(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 15(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$
$7|\vec{a}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 15|\vec{b}|^2 = 0$
$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \cos \theta$ का मान रखने पर:
$7(1)^2 + 16 \cos \theta - 15(1)^2 = 0$
$7 + 16 \cos \theta - 15 = 0$
$16 \cos \theta - 8 = 0$
$16 \cos \theta = 8$
$\cos \theta = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$2\vec{a} + \vec{b}$ की गणना करें:
$2\vec{a} + \vec{b} = 2(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + (4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})$
$= (2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}) + (4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})$
$= 6\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$
इसके बाद,$\vec{a} - 2\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} - 2\vec{b} = (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) - 2(4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})$
$= (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) - (8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k})$
$= -7\hat{i} + 7\hat{j} - 10\hat{k}$
अब,अदिश गुणनफल $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ ज्ञात करें:
$= (6\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-7\hat{i} + 7\hat{j} - 10\hat{k})$
$= (6)(-7) + (4)(7) + (0)(-10)$
$= -42 + 28 + 0$
$= -14$

(B) माना $\bar{x} = (2, -m, 3m)$ और $\bar{y} = (1 + m, -2m, 1)$ है।
सदिशों के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य से अधिक होना चाहिए।
$\bar{x} \cdot \bar{y} > 0$
$2(1 + m) + (-m)(-2m) + (3m)(1) > 0$
$2 + 2m + 2m^2 + 3m > 0$
$2m^2 + 5m + 2 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$2m^2 + 4m + m + 2 > 0$
$2m(m + 2) + 1(m + 2) > 0$
$(2m + 1)(m + 2) > 0$
यहाँ मूल $m = -2$ और $m = -\frac{1}{2}$ हैं।
गुणनफल धनात्मक होने के लिए,$m$ का मान $[-2, -\frac{1}{2}]$ अंतराल के बाहर होना चाहिए।
अतः,$m < -2$ या $m > -\frac{1}{2}$।

(C) चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$ लिख सकते हैं।
$\vec{v} = x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + y(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (x+y)\hat{i} + (x-y)\hat{j} + (x+y)\hat{k}$.
$\vec{v}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
यहाँ $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = ((x+y)\hat{i} + (x-y)\hat{j} + (x+y)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (x+y) + (x-y) - (x+y) = x - y$.
इस प्रकार,$x - y = 1$.
इस शर्त के अनुसार विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(C) चूंकि $\bar{r}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के समतल में स्थित है,हम $\bar{r} = \bar{b} + m\bar{c}$ लिख सकते हैं,जहाँ $m \in \mathbb{R}$ है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\bar{r} = (\bar{i} + 2\bar{j} - \bar{k}) + m(\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k}) = (1+m)\bar{i} + (2+m)\bar{j} - (1+2m)\bar{k}$।
$\bar{r}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\bar{r} \cdot \bar{a}|}{|\bar{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
$|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{|2(1+m) - (2+m) - (1+2m)|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$।
$|2 + 2m - 2 - m - 1 - 2m| = 2$।
$|-m - 1| = 2$,जिसका अर्थ है $m+1 = 2$ या $m+1 = -2$।
स्थिति $1$: $m = 1$। तब $\bar{r} = 2\bar{i} + 3\bar{j} - 3\bar{k}$।
स्थिति $2$: $m = -3$। तब $\bar{r} = -2\bar{i} - \bar{j} + 5\bar{k}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही सदिश $-2\bar{i} - \bar{j} + 5\bar{k}$ है।

(B) माना तीन बिंदुओं के स्थिति सदिश $P = -2b + 3c$,$Q = 2a + mb - 4c$ और $R = -7b + 10c$ हैं।
बिंदुओं $P, Q, R$ के संरेख होने के लिए,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ समांतर होने चाहिए।
$\vec{PQ} = Q - P = 2a + (m + 2)b - 7c$.
$\vec{PR} = R - P = -5b + 7c$.
यदि हम मान लें कि पहला बिंदु $a - 2b + 3c$ है,तो $B-A = a+(m+2)b-7c$ और $C-A = -a-5b+7c$ प्राप्त होता है।
समांतर होने के लिए,$B-A = -1(C-A)$ होना चाहिए।
अतः,$a+(m+2)b-7c = a+5b-7c$.
तुलना करने पर,$m+2 = 5$,अर्थात $m = 3$।

(D) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{19}{9}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $p\vec{r} + (\vec{r} \cdot \vec{b})\vec{a} = \vec{c}$ है।
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।
दिए गए समीकरण का $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$p(\vec{r} \cdot \vec{b}) + (\vec{r} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{b}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ होने के कारण,यह $p(\vec{r} \cdot \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{b}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{b} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p}$।
अब,इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$p\vec{r} + \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p} \right)\vec{a} = \vec{c}$.
$p\vec{r} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p} \right)\vec{a}$.
$p$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{r} = \frac{\vec{c}}{p} - \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p^2} \right)\vec{a}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(x) + (1)(y) + (1)(z) = x + y + z$ है।
हमें $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ दिया गया है,इसलिए $x + y + z = 10$ है।
चूँकि $x, y, z \in \mathbb{N}$ (प्राकृत संख्याएँ,जहाँ $x, y, z \ge 1$) है,इसलिए हम समीकरण $x_1 + x_2 + \dots + x_k = n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए $\binom{n-1}{k-1}$ सूत्र का उपयोग करेंगे।
यहाँ $n = 10$ और $k = 3$ है।
हलों की संख्या = $\binom{10-1}{3-1} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

(B) माना $\vec{a} = 3i + 2j + 8k$ और $\vec{b} = 2i + xj + k$ है।
चूंकि सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
$(3i + 2j + 8k) \cdot (2i + xj + k) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(3)(2) + (2)(x) + (8)(1) = 0$।
$6 + 2x + 8 = 0$।
$2x + 14 = 0$।
$2x = -14$।
$x = -7$।

(A) यहाँ दिए गए सदिश $\vec{a} = (1, 1, 1)$ और $\vec{b} = (2, 2, 1)$ हैं।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप सदिश ज्ञात करने का सूत्र है:
$\text{प्रक्षेप सदिश} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(2) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$
अब,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{b}|^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{प्रक्षेप सदिश} = \left( \frac{5}{9} \right) (2, 2, 1) = \frac{5}{9}(2, 2, 1)$

(A) चूंकि $c$,$a$ और $b$ के साथ समतलीय है,हम $c = xa + yb$ लिख सकते हैं।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $c = x(2i + j + k) + y(i + 2j - k) = (2x + y)i + (x + 2y)j + (x - y)k$.
दिया गया है कि $c$,$a$ के लंबवत है,इसलिए $a \cdot c = 0$.
$2(2x + y) + 1(x + 2y) + 1(x - y) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$y = -2x$ को $c$ के व्यंजक में रखने पर:
$c = (2x - 2x)i + (x - 4x)j + (x + 2x)k = -3xj + 3xk = 3x(-j + k)$.
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,$|c| = 1$.
$|3x(-j + k)| = 1 \implies |3x| \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 1 \implies |3x| \sqrt{2} = 1$.
$|x| = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
अतः,$c = 3(\pm \frac{1}{3\sqrt{2}})(-j + k) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$ है।

(A) दिया गया है $|2\vec{a} - \vec{b}| = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25$।
$4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 3$ रखने पर: $4(4) + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$।
$16 + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies 25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
अब,$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 16 + 9 + 0 = 25$।
अतः,$|2\vec{a} + \vec{b}| = 5$। इसलिए,कथन $A$ सत्य है।
कारण $R$ के लिए,$|\vec{p} - \vec{q}| = |\vec{p} + \vec{q}|$ का अर्थ है कि $|\vec{p} - \vec{q}|^2 = |\vec{p} + \vec{q}|^2$।
$|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - 2(\vec{p} \cdot \vec{q}) = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 + 2(\vec{p} \cdot \vec{q}) \implies 4(\vec{p} \cdot \vec{q}) = 0 \implies \vec{p} \cdot \vec{q} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\vec{p} \perp \vec{q}$। चूंकि यह कारण योग और अंतर सदिशों के परिमाण के समान होने की शर्त को सही ढंग से समझाता है,इसलिए $R$ सत्य है और $A$ की सही व्याख्या है।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसका वर्ग करने पर,हमें $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसका वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (\vec{a} \cdot \vec{a}) (\vec{b} \cdot \vec{b})$।

(B) माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप का मान $\frac{19}{9}$ है।

(A) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
हम जानते हैं कि $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ होता है।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = (1)(1) \cos \theta = \cos \theta$,इसलिए:
$|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \theta = 2 - 2 \cos \theta = 2(1 - \cos \theta)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$|a - b|^2 = 2(2 \sin^2(\theta/2)) = 4 \sin^2(\theta/2)$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|a - b| = 2 \sin(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\theta/2) = \frac{1}{2}|a - b|$।

(D) सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$(-3\hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + 2x\hat{j} + \hat{k}) > 0$
$-3x + 2x^2 + 1 > 0$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$
$(2x - 1)(x - 1) > 0$
इससे $x < 1/2$ या $x > 1$ प्राप्त होता है।
$\vec{b}$ और $x$-अक्ष $(\hat{i})$ के बीच का कोण $\pi/2$ और $\pi$ के बीच होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए:
$\vec{b} \cdot \hat{i} < 0$
$(x\hat{i} + 2x\hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i} < 0$
$x < 0$
अतः,$x < 1/2$ या $x > 1$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $x < 0$ प्राप्त होता है।

(D) $xy$-समतल में इकाई सदिश को $\vec{u} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ मानिए।
दिया गया है कि $\vec{u}$,$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$\vec{u}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\cos 45^{\circ} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{a}}{|\vec{u}| |\vec{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\cos \theta + \sin \theta}{1 \cdot \sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta + \sin \theta = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$,इसलिए $\sin 2\theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$ या $\theta = 90^{\circ}$.
यदि $\theta = 0$,तो $\vec{u} = \hat{i}$. यदि $\theta = 90^{\circ}$,तो $\vec{u} = \hat{j}$.
अब,$\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$ के साथ कोण की जाँच करें।
$\vec{u} = \hat{i}$ के लिए,$\cos \phi = \frac{\hat{i} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j})}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5} \neq \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\vec{u} = \hat{j}$ के लिए,$\cos \phi = \frac{\hat{j} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j})}{1 \cdot 5} = \frac{-4}{5} \neq \frac{1}{2}$.
अतः,कोई भी सदिश दूसरी शर्त को पूरा नहीं करता है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) माना $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ है।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (3)(-1) + (1)(-1) = 4 - 3 - 1 = 0$.
चूंकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) मान लीजिए $(a + b)$ और $a$ के बीच का कोण $\theta_1$ है,और $(a + b)$ और $b$ के बीच का कोण $\theta_2$ है। दिया गया है कि $\theta_1 = \theta_2$,इसलिए $\cos \theta_1 = \cos \theta_2$ होगा।
$\frac{(a + b) \cdot a}{|a + b| |a|} = \frac{(a + b) \cdot b}{|a + b| |b|}$
$\Rightarrow \frac{|a|^2 + b \cdot a}{|a + b| |a|} = \frac{a \cdot b + |b|^2}{|a + b| |b|}$
$\Rightarrow \frac{|a|^2}{|a + b| |a|} + \frac{b \cdot a}{|a + b| |a|} = \frac{a \cdot b}{|a + b| |b|} + \frac{|b|^2}{|a + b| |b|}$
$\Rightarrow \frac{|a|}{|a + b|} + \frac{a \cdot b}{|a + b| |a|} = \frac{a \cdot b}{|a + b| |b|} + \frac{|b|}{|a + b|}$
$\Rightarrow \frac{|a| - |b|}{|a + b|} + \frac{a \cdot b}{|a + b|} \left( \frac{1}{|a|} - \frac{1}{|b|} \right) = 0$
$\Rightarrow \frac{|a| - |b|}{|a + b|} + \frac{a \cdot b}{|a + b|} \left( \frac{|b| - |a|}{|a| |b|} \right) = 0$
$\Rightarrow (|a| - |b|) \left( \frac{1}{|a + b|} - \frac{a \cdot b}{|a + b| |a| |b|} \right) = 0$
$\Rightarrow (|a| - |b|) \left( 1 - \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \right) = 0$
इसका अर्थ है कि $|a| = |b|$ या $\frac{a \cdot b}{|a| |b|} = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = 1$,इसलिए $a$ और $b$ के बीच का कोण $0$ है।

(C) बल-युग्म का आघूर्ण $\vec{\tau} = (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{r}_1$ और $\vec{r}_2$ बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं।
यहाँ $\vec{r}_1 = 5\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{r}_2 = -5\hat{i} - \hat{k}$ है।
अतः,$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (5\hat{i} + \hat{k}) - (-5\hat{i} - \hat{k}) = 10\hat{i} + 2\hat{k}$ है।
बल $\vec{F} = 9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ का उपयोग करते हुए,
$\vec{\tau} = (10\hat{i} + 2\hat{k}) \times (9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
$= 10\hat{i} \times (9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + 2\hat{k} \times (9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
$= 0 - 10\hat{k} + 20\hat{j} + 18\hat{j} + 2\hat{i} + 0$
$= 2\hat{i} + 38\hat{j} - 10\hat{k}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होता है,तो उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x)(2x) + (-3)(x) + (-1)(-1) = 2x^2 - 3x + 1 > 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x - 1) > 0$.
यह असमिका $x < 1/2$ या $x > 1$ के लिए सत्य है।
जब सदिश $\vec{b}$ और $y$-अक्ष $(\hat{j})$ के बीच का कोण अधिककोण होता है,तो उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए: $\vec{b} \cdot \hat{j} < 0$.
$\vec{b} \cdot \hat{j} = (2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{j} = x < 0$.
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $(x < 1/2 \text{ या } x > 1)$ और $(x < 0)$.
इन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन $x < 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना सदिशों का परिमाण $|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\vec{r}| = a$ है।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{q} \cdot \vec{r} = \vec{r} \cdot \vec{p} = 0$ है।
माना $\vec{v} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$ है।
हमें $\vec{p}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करना है।
कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{v}}{|\vec{p}| |\vec{v}|}$ है।
सबसे पहले,$\vec{p} \cdot \vec{v} = \vec{p} \cdot (\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) = \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{p} \cdot \vec{r} = |\vec{p}|^2 + 0 + 0 = a^2$ की गणना करें।
इसके बाद,$|\vec{v}|^2 = (\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) \cdot (\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 + 2(\vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{r} + \vec{r} \cdot \vec{p}) = a^2 + a^2 + a^2 + 0 = 3a^2$ की गणना करें।
अतः,$|\vec{v}| = \sqrt{3}a$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot (\sqrt{3}a)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(1/\sqrt{3})$।

(C) माना दो सदिश $\vec{a} = cx\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = x\hat{i} + 2\hat{j} + 2cx\hat{k}$ हैं।
सदिशों के बीच का कोण अधिक कोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$।
$(cx\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + 2\hat{j} + 2cx\hat{k}) < 0$
$cx^2 - 12 + 6cx < 0$
अतः,$cx^2 + 6cx - 12 < 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य होना चाहिए।
किसी द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C < 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$x^2$ का गुणांक $A < 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = c < 0$।
विविक्तकर $D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0$।
$36c^2 + 48c < 0$।
$12$ से भाग देने पर: $3c^2 + 4c < 0$।
$c(3c + 4) < 0$।
यह असमिका $-4/3 < c < 0$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $(\vec{a} + 2\vec{b})$ और $(5\vec{a} - 4\vec{b})$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $0$ होगा।
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$
$5|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 8|\vec{b}|^2 = 0$
$5(1) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1) = 0$
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3 = 0$
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^\circ$.

(B) दिया गया है कि $(3\vec{a} - 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 0$।
$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$
$6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad \dots(i)$
साथ ही,$(\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (-\vec{a} + \vec{b}) = 0$।
$-|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$
$|\vec{a}|^2 - 4|\vec{b}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से $\vec{a} \cdot \vec{b}$ को विलुप्त करने पर,समीकरण $(ii)$ को $7$ से और $(i)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 - 21\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 28|\vec{b}|^2 + 21\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
दोनों को जोड़ने पर: $25|\vec{a}|^2 - 43|\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{a}|^2 = \frac{43}{25}|\vec{b}|^2 \implies |\vec{a}| = \frac{\sqrt{43}}{5}|\vec{b}|$।
समीकरण $(ii)$ से,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75}|\vec{b}|^2 = \frac{57}{75}|\vec{b}|^2 = \frac{19}{25}|\vec{b}|^2$।
अब,$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\frac{19}{25}|\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5}|\vec{b}|)|\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
इसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए मान $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$ और $|\vec{c}| = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec a \perp (\vec b + \vec c)$,$\vec b \perp (\vec c + \vec a)$,और $\vec c \perp (\vec a + \vec b)$ है।
इसका अर्थ है कि अदिश गुणनफल (dot product) शून्य है:
$\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 0 \Rightarrow \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c = 0$
$\vec b \cdot (\vec c + \vec a) = 0 \Rightarrow \vec b \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec a = 0$
$\vec c \cdot (\vec a + \vec b) = 0 \Rightarrow \vec c \cdot \vec a + \vec c \cdot \vec b = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec c = \vec c \cdot \vec a = 0$ है।
अब,$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + |\vec c|^2 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a)$ पर विचार करें।
दिए गए परिमाण और अदिश गुणनफल के मान रखने पर:
$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$.
अतः,$|\vec a + \vec b + \vec c| = \sqrt{14}$।

(C) माना शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(3, -4, -4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:
$|\vec{AB}| = |(1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k}| = |-\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$|\vec{BC}| = |(3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k}| = |2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = |(2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k}| = |-\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
चूंकि $|\vec{AB}|^2 = 41$ और $|\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 6 + 35 = 41$,इसलिए $|\vec{AB}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2$ है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(D) चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के समतल में स्थित है,हम $\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$ लिख सकते हैं।
$\vec{a} = x(\hat{i} + \hat{j}) + y(\hat{j} + \hat{k}) = x\hat{i} + (x+y)\hat{j} + y\hat{k}$.
इसे $\vec{a} = \alpha \hat{i} + 2\hat{j} + \beta \hat{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \alpha$,$y = \beta$,और $x+y = 2$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha + \beta = 2$.
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,$\vec{a}$ को $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए।
$\hat{b} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ और $\hat{c} = \frac{\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$.
$\hat{b} + \hat{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.
अतः,$\vec{a} = k(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\alpha = k$,$2 = 2k$,और $\beta = k$ प्राप्त होता है।
$2 = 2k$ से,$k = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha = 1$ और $\beta = 1$।

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है। तब पद इस प्रकार हैं:
$a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$,$c = AR^{r-1}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log a = \log A + (p-1)\log R$
$\log b = \log A + (q-1)\log R$
$\log c = \log A + (r-1)\log R$
अब,अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)$ पर विचार करें।
$\log a$,$\log b$ और $\log c$ के मान रखने पर:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = [\log A + (p-1)\log R](q-r) + [\log A + (q-1)\log R](r-p) + [\log A + (r-1)\log R](p-q)$
$= \log A(q-r+r-p+p-q) + \log R[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= \log A(0) + \log R[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + \log R(0) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
$P$ ($\overline{BC}$ का मध्य बिंदु) का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ है।
$Q$ ($\overline{AD}$ का मध्य बिंदु) का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$ है।
अब,व्यंजक $\vec{AB} + \vec{DC}$ पर विचार करें:
$\vec{AB} + \vec{DC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{d})$
$= (\vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{d})$
$= 2 \left( \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} \right) - 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} \right)$
$= 2(\vec{p} - \vec{q})$
$= 2\vec{QP}$.

(B) दिए गए सदिश $\vec{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
मान लीजिए $\vec{AB}$ और $\vec{AD}$ के बीच का कोण $\alpha$ है। तब $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| |\vec{AD}|} = \frac{(2)(-1) + (10)(2) + (11)(2)}{15 \times 3} = \frac{-2 + 20 + 22}{45} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\vec{AD'}$ को $\vec{AD}$ को $\theta$ कोण से घुमाकर प्राप्त किया जाता है ताकि $\vec{AD'} \perp \vec{AB}$,इसलिए $\vec{AD'}$ और $\vec{AB}$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
$\vec{AD}$ और $\vec{AD'}$ के बीच का कोण $\theta$ है। अतः,$\theta = |\alpha - 90^\circ|$ या $\theta = |90^\circ - \alpha|$.
इसलिए,$\cos \theta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
चूंकि $\cos \alpha = 8/9$,इसलिए $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \sqrt{1 - 64/81} = \sqrt{17/81} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $A$ पर है। तब $\vec{A} = \vec{0}$,$\vec{B} = \vec{q}$,और $\vec{D} = \vec{p}$ है।
मान लीजिए $M$,$B$ से $AD$ रेखा पर डाले गए लंब का पाद है। चूँकि $M$,$AD$ रेखा पर स्थित है,किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{AM} = k\vec{p}$ होगा।
सदिश $\vec{BM}$,$\vec{AD}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{BM} \cdot \vec{AD} = 0$ होगा।
चूँकि $\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB} = k\vec{p} - \vec{q}$,हमारे पास $(k\vec{p} - \vec{q}) \cdot \vec{p} = 0$ है।
$k(\vec{p} \cdot \vec{p}) - \vec{q} \cdot \vec{p} = 0$,जिससे $k = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{\vec{p} \cdot \vec{p}}$ प्राप्त होता है।
सदिश $\vec{r}$ लंब सदिश $\vec{BM} = k\vec{p} - \vec{q} = \frac{(\vec{p} \cdot \vec{q})}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \vec{p} - \vec{q}$ है।
अतः,$\vec{r} = -\vec{q} + \frac{(\vec{p} \cdot \vec{q})}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \vec{p}$।

(B) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिया गया है $\vec{a} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 24\hat{k}$।
आइए विकल्प $B$ के लिए अदिश गुणनफल की जाँच करें: $\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (-6)(5) + (-24)(-1) = 6 - 30 + 24 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a}$ के लंबवत है।

(B) माना कि कोण $A$ का समद्विभाजक $BC$ को बिंदु $D$ पर मिलता है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,$BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{A} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{C} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
परिमाण (Magnitude) ज्ञात करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
अनुपात $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{D} = \frac{1(\vec{B}) + 2(\vec{C})}{1+2} = \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + 2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k})}{3}$.
$\vec{D} = \frac{6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k})$.

(D) जब सदिशों $\vec{a} = 2\hat{i} + (\log_3 x)\hat{j} + a\hat{k}$ और $\vec{b} = -3\hat{i} + (a \log_3 x)\hat{j} + (\log_3 x)\hat{k}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होता है,तो उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(-3) + (\log_3 x)(a \log_3 x) + (a)(\log_3 x) > 0$.
$-6 + a(\log_3 x)^2 + a(\log_3 x) > 0$.
मान लीजिए $y = \log_3 x$ है। चूँकि $x > 0$,इसलिए $y$ कोई भी वास्तविक मान $y \in \mathbb{R}$ ले सकता है।
असमिका $ay^2 + ay - 6 > 0$ बन जाती है जो सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य होनी चाहिए।
द्विघात समीकरण $Ay^2 + By + C > 0$ के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य होने हेतु,$A > 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = a$,$B = a$,और $C = -6$ है।
शर्त $1$: $a > 0$.
शर्त $2$: $D = a^2 - 4(a)(-6) = a^2 + 24a < 0$.
$a(a + 24) < 0$ को हल करने पर $a \in (-24, 0)$ प्राप्त होता है।
$a > 0$ और $a \in (-24, 0)$ को संयोजित करने पर,$a$ का कोई भी ऐसा वास्तविक मान नहीं है जो दोनों शर्तों को पूरा करता हो। अतः,ऐसा कोई $a$ संभव नहीं है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$। चूंकि वे लंबवत हैं,$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
दिया गया है कि $\bar{c}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\bar{c}| = 1$। $\bar{c}$ और $\bar{a}$ के बीच का कोण $\theta$ है,इसलिए $\bar{c} \cdot \bar{a} = |\bar{c}||\bar{a}| \cos \theta = \cos \theta$।
$\bar{c} = \alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})$ रखने पर:
$\bar{c} \cdot \bar{a} = (\alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})) \cdot \bar{a} = \alpha |\bar{a}|^2 + \beta (\bar{b} \cdot \bar{a}) + r((\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a}) = \alpha(1) + \beta(0) + r(0) = \alpha$।
अतः,$\alpha = \cos \theta$।
इसी प्रकार,$\bar{c} \cdot \bar{b} = \beta = \cos \theta$।
अब,$\bar{c} = \cos \theta \bar{a} + \cos \theta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})$।
चूंकि $|\bar{c}|^2 = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$|\cos \theta \bar{a} + \cos \theta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})|^2 = 1$।
यह गुणधर्म उपयोग करते हुए कि $\bar{a}, \bar{b}, (\bar{a} \times \bar{b})$ परस्पर लंबवत हैं:
$\cos^2 \theta |\bar{a}|^2 + \cos^2 \theta |\bar{b}|^2 + r^2 |\bar{a} \times \bar{b}|^2 = 1$।
चूंकि $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin 90^\circ = 1$,हमें मिलता है:
$\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + r^2(1) = 1$।
$2 \cos^2 \theta + r^2 = 1$।
$r^2 = 1 - 2 \cos^2 \theta = - (2 \cos^2 \theta - 1) = - \cos 2\theta$।

(D) दिया गया है कि $\bar{a} = (x, -3, -1)$ और $\bar{b} = (2x, x, -1)$.
$1$. $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} > 0$.
$(x)(2x) + (-3)(x) + (-1)(-1) > 0$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$
$(2x - 1)(x - 1) > 0$
इससे $x < 1/2$ या $x > 1$ प्राप्त होता है। ... $(1)$
$2$. $\bar{b}$ और $y$-अक्ष (सदिश $\bar{j} = (0, 1, 0)$) के बीच का कोण अधिककोण है,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{j} < 0$.
$(2x, x, -1) \cdot (0, 1, 0) < 0$
$0 + x + 0 < 0$
$x < 0$. ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,उभयनिष्ठ हल $x < 0$ प्राप्त होता है।

(C) यदि त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
यहाँ,$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})|$.
सदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$,और $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$,हमें प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।