Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) दिया गया है $x + y + z = 0$,अतः $x = -(y + z)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|x|^2 = |y + z|^2$.
$|x|^2 = |y|^2 + |z|^2 + 2(y \cdot z)$.
चूंकि $|x| = |y| = |z| = 2$,इसलिए $4 = 4 + 4 + 2(2)(2) \cos \theta$.
$4 = 8 + 8 \cos \theta$.
$8 \cos \theta = -4$,जिससे $\cos \theta = -1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 120^{\circ}$.
अब,$\csc^2(120^{\circ}) + \cot^2(120^{\circ}) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$.
$= \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) सदिश $\vec{a} = 2i + j - 3k$ का सदिश $\vec{b} = i - 2j + k$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है:
$\text{प्रक्षेप} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-2) + (-3)(1) = 2 - 2 - 3 = -3$
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\text{प्रक्षेप} = \frac{-3}{\sqrt{6}} = -\frac{3}{\sqrt{2 \times 3}} = -\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{\frac{3}{2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $|a| = 1$,$|b| = 1$,और $|a + b| = \sqrt{3}$।
समीकरण $|a + b| = \sqrt{3}$ का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ का उपयोग करने पर,$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 3$।
$2 + 2(a \cdot b) = 3 \implies 2(a \cdot b) = 1 \implies a \cdot b = \frac{1}{2}$।
अब,$(3a - 4b) \cdot (2a + 5b)$ व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(3a - 4b) \cdot (2a + 5b) = 6(a \cdot a) + 15(a \cdot b) - 8(b \cdot a) - 20(b \cdot b)$।
चूँकि $a \cdot a = |a|^2 = 1$,$b \cdot b = |b|^2 = 1$,और $a \cdot b = b \cdot a$,इसलिए:
$6(1) + 7(a \cdot b) - 20(1) = 6 - 20 + 7 \left(\frac{1}{2}\right)$।
$= -14 + \frac{7}{2} = \frac{-28 + 7}{2} = -\frac{21}{2}$।

(D) दिया गया है कि $a \perp (b + c)$,$b \perp (c + a)$,और $c \perp (a + b)$ है।
इसका अर्थ है:
$a \cdot (b + c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ .....$(i)$
$b \cdot (c + a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ .....$(ii)$
$c \cdot (a + b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ .....$(iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है।
अब,परिमाणों के वर्गों का योग लें:
$|a + b|^2 + |b + c|^2 + |c + a|^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 = 36 + 64 + 100 = 200$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(|a|^2 + |b|^2 + 2a \cdot b) + (|b|^2 + |c|^2 + 2b \cdot c) + (|c|^2 + |a|^2 + 2c \cdot a) = 200$
$2(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 200$.
चूंकि $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$,इसलिए $2(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) = 200$,अर्थात $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 100$ है।
हम जानते हैं कि $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ होता है।
मान रखने पर: $|a + b + c|^2 = 100 + 0 = 100$।
अतः,$|a + b + c| = \sqrt{100} = 10$।

(C) दिया गया है कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$.
सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$
यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अशून्य सदिश हैं,तो दोनों पक्षों को $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$
$\tan \theta = 1$
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,इसलिए $0 \leq \theta \leq \pi$। $\tan \theta = 1$ के लिए $\theta$ का मान $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(B) सदिश $a$ का सदिश $b$ की दिशा में घटक,$a$ का $b$ पर प्रक्षेप है,जो $a \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|b|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $a$ का सदिश $b$ के लंबवत घटक $a \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$,इसलिए $a \sin \theta = \frac{|a \times b|}{|b|}$ होता है।
अतः,घटक $\frac{a \cdot b}{|b|}$ और $\frac{|a \times b|}{|b|}$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
इसलिए,$(a \times b)^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(a \times b)^2 = |a|^2 |b|^2 (1 - \cos^2 \theta) = |a|^2 |b|^2 - |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$।
चूंकि $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$,इसलिए $(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$।
अतः,$(a \times b)^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$।
ध्यान दें कि $|a|^2 = a \cdot a$ और $|b|^2 = b \cdot b$।
इसलिए,$(a \times b)^2 = (a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)(b \cdot a)$।
यह व्यंजक ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक के बराबर है:
$\left| \begin{matrix} a \cdot a & a \cdot b \\ b \cdot a & b \cdot b \end{matrix} \right| = (a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)(b \cdot a)$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $a \cdot b = a \cdot c$ और $a \times b = a \times c$।
पहले समीकरण से,$a \cdot b - a \cdot c = 0$,जिसका अर्थ है $a \cdot (b - c) = 0$।
इसका मतलब है कि या तो $a = 0$ या $(b - c) = 0$ या $a \perp (b - c)$।
दूसरे समीकरण से,$a \times b - a \times c = 0$,जिसका अर्थ है $a \times (b - c) = 0$।
इसका मतलब है कि या तो $a = 0$ या $(b - c) = 0$ या $a \parallel (b - c)$।
चूंकि $a \neq 0$,हमारे पास एक साथ $a \perp (b - c)$ और $a \parallel (b - c)$ है।
एक अशून्य सदिश किसी अन्य सदिश के समानांतर और लंबवत दोनों नहीं हो सकता जब तक कि दूसरा सदिश शून्य सदिश न हो।
इसलिए,$b - c = 0$,जिसका अर्थ है $b = c$।

(D) हम जानते हैं कि $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta$.
दिया गया है: $|a| = 2$,$|b| = 5$,और $|a \times b| = 8$.
मान रखने पर: $8 = 2 \times 5 \times \sin \theta$.
$8 = 10 \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{3}{5}$.
अब,$a \cdot b = |a| |b| \cos \theta = 2 \times 5 \times (\pm \frac{3}{5}) = \pm 6$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $6$ है।

(B) दिया गया है कि $|a \cdot b| = |a||b| \cos \theta = 3$ $(i)$
और $|a \times b| = |a||b| \sin \theta = 4$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{|a||b| \sin \theta}{|a||b| \cos \theta} = \frac{4}{3}$
$\tan \theta = \frac{4}{3}$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{4}{3}$,इसलिए कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ होगा।
अतः,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1} \frac{3}{5}$.

(A) दिया गया समीकरण $la + mb = c$ है।
$l$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का $b$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$(la + mb) \times b = c \times b$
$l(a \times b) + m(b \times b) = c \times b$
चूंकि $b \times b = 0$,हमें $l(a \times b) = c \times b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $(a \times b)$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$l(a \times b) \cdot (a \times b) = (c \times b) \cdot (a \times b)$
$l|a \times b|^2 = (c \times b) \cdot (a \times b)$
$l = \frac{(c \times b) \cdot (a \times b)}{|a \times b|^2}$.
इसी प्रकार,$m$ ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण का $a$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$(la + mb) \times a = c \times a$
$l(a \times a) + m(b \times a) = c \times a$
चूंकि $a \times a = 0$,हमें $m(b \times a) = c \times a$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $(b \times a)$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$m|b \times a|^2 = (c \times a) \cdot (b \times a)$
$m = \frac{(c \times a) \cdot (b \times a)}{|b \times a|^2}$.

(D) हम जानते हैं कि सदिश गुणन और अदिश गुणन के बीच का संबंध $|a \times r|^2 + |a \cdot r|^2 = |a|^2 |r|^2$ है।
यहाँ दिया गया है कि $a \times r = j$,इसलिए $|a \times r| = |j| = 1$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $1^2 + (a \cdot r)^2 = |a|^2 |r|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a \cdot r)^2 = |a|^2 |r|^2 - 1$ है।
यह दर्शाता है कि $a \cdot r$ का मान $|r|$ पर निर्भर करता है,जो कि निश्चित नहीं है।
इसलिए,$a \cdot r$ एक स्वेच्छ अदिश (Arbitrary scalar) है।

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{A} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{B} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12$ ज्ञात करें।
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें: $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ और $|\overrightarrow{B}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$।
सूत्र $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|}$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{84}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 \theta = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$।

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$|a \times b|^2 + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$
$= |a|^2 |b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$|a \times b|^2 + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2$.
चूँकि $|a|^2 = a \cdot a$ और $|b|^2 = b \cdot b$,इसलिए परिणाम $(a \cdot a)(b \cdot b)$ है।

(A) माना $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
हम जानते हैं कि सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$
अतः,अनुपात इस प्रकार होगा:
$\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|} = \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|} = |\tan \theta|$
यदि हम मान लें कि $\theta$ अंतराल $[0, \pi]$ में कोण है,तो यह व्यंजक $0 \le \theta < \pi/2$ के लिए $\tan \theta$ के बराबर होगा।

(B) माना अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{a}$ है। चूँकि $\hat{a}$,$\vec{u} = 2i + j + k$ और $\vec{v} = i - j + k$ के समतल में स्थित है,इसे $\hat{a} = \alpha(2i + j + k) + \beta(i - j + k)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
सरल करने पर,हमें $\hat{a} = (2\alpha + \beta)i + (\alpha - \beta)j + (\alpha + \beta)k$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $(2\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 = 1$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $6\alpha^2 + 4\alpha\beta + 3\beta^2 = 1$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\hat{a}$,$\vec{w} = 5i + 2j + 6k$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $5(2\alpha + \beta) + 2(\alpha - \beta) + 6(\alpha + \beta) = 0$।
यह $18\alpha + 9\beta = 0$ में सरल हो जाता है,जिससे $\beta = -2\alpha$ प्राप्त होता है।
$\beta = -2\alpha$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$6\alpha^2 + 4\alpha(-2\alpha) + 3(-2\alpha)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$6\alpha^2 - 8\alpha^2 + 12\alpha^2 = 1$,जिसका अर्थ है $10\alpha^2 = 1$,अतः $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$।
तब $\beta = -2(\pm \frac{1}{\sqrt{10}}) = \mp \frac{2}{\sqrt{10}}$।
इन मानों को $\hat{a}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\hat{a} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} [ (2 - 2)i + (1 + 2)j + (1 - 2)k ] = \pm \frac{3j - k}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $a \times b = 2a \times c$,जिसे हम $a \times (b - 2c) = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि सदिश $(b - 2c)$ सदिश $a$ के समांतर है।
दिया गया है $b - 2c = \lambda a$,अतः $|b - 2c|^2 = \lambda^2 |a|^2$ होगा।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $|b|^2 + 4|c|^2 - 4(b \cdot c) = \lambda^2 (1)^2$।
$|b| = 4$ और $|c| = 1$ रखने पर,$16 + 4(1) - 4(b \cdot c) = \lambda^2$,अर्थात $20 - 4(b \cdot c) = \lambda^2$।
हमें $|b \times c| = \sqrt{15}$ दिया गया है।
चूँकि $|b \times c| = |b||c| \sin \alpha = \sqrt{15}$,जहाँ $\alpha$ सदिशों $b$ और $c$ के बीच का कोण है,तो $(4)(1) \sin \alpha = \sqrt{15}$,जिससे $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$,जिससे $\cos \alpha = \pm \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b \cdot c = |b||c| \cos \alpha = (4)(1) \cos \alpha = 4 \cos \alpha$,तो $b \cdot c = 4(\pm \frac{1}{4}) = \pm 1$ होगा।
इस मान को $\lambda^2$ के समीकरण में रखने पर: $\lambda^2 = 20 - 4(\pm 1) = 20 \mp 4$।
यदि $b \cdot c = 1$ है,तो $\lambda^2 = 16$,अतः $\lambda = \pm 4$।
इस प्रकार,$\lambda = \pm 4$।

(C) स्थिति सदिश $a, b, c$ वाले शीर्षों के त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{AC}$
चूँकि $\vec{AB} = b - a$ और $\vec{AC} = c - a$,इसलिए:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (b - a) \times (c - a)$
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (b \times c - b \times a - a \times c + a \times a)$
चूँकि $a \times a = 0$ और $-b \times a = a \times b$,तथा $-a \times c = c \times a$:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (a \times b + b \times c + c \times a)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) बिंदु $P$ पर कार्य कर रहे बल $\overrightarrow{F}$ का बिंदु $C$ के परितः आघूर्ण (moment),$C$ के सापेक्ष $P$ के स्थिति सदिश और बल सदिश $\overrightarrow{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,आघूर्ण $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{CP}$ है।
अतः,आघूर्ण $\overrightarrow{CP} \times \overrightarrow{F}$ है।

(B) माना बल $\vec{F_1} = i + 2j - 3k$,$\vec{F_2} = 2i + 3j + 4k$,और $\vec{F_3} = i - j + k$ हैं।
परिणामी बल $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = (1+2+1)i + (2+3-1)j + (-3+4+1)k = 4i + 4j + 2k$ है।
कण बिंदु $A(0, 1, 2)$ पर है और हमें बिंदु $B(1, -2, 0)$ के परितः आघूर्ण ज्ञात करना है।
स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{OA} - \vec{OB} = (0-1)i + (1-(-2))j + (2-0)k = -i + 3j + 2k$ है।
आघूर्ण $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & 2 \end{vmatrix}$ है।
सारणिक की गणना करने पर: $\vec{M} = i(6 - 8) - j(-2 - 8) + k(-4 - 12) = -2i + 10j - 16k$ प्राप्त होता है।
आघूर्ण का परिमाण $|\vec{M}| = \sqrt{(-2)^2 + 10^2 + (-16)^2} = \sqrt{4 + 100 + 256} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$ है।

(B) दिए गए बिंदु $A(-2, 2, 4)$,$B(2, 6, 3)$,और $P(1, 2, 1)$ हैं।
बल सदिश $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{AB} = (2 - (-2))\hat{i} + (6 - 2)\hat{j} + (3 - 4)\hat{k} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ है।
$P$ के सापेक्ष $A$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{PA} = (-2 - 1)\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (4 - 1)\hat{k} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$P$ के परितः बल का आघूर्ण $\vec{M} = \overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{F}$ है।
$\vec{M} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & 3 \\ 4 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 12) - \hat{j}(3 - 12) + \hat{k}(-12 - 0) = -12\hat{i} + 9\hat{j} - 12\hat{k}$ है।
आघूर्ण का परिमाण $|\vec{M}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 81 + 144} = \sqrt{369} = \sqrt{9 \times 41} = 3\sqrt{41}$ है।

(A) बिंदु $O$ के सापेक्ष बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = (4-1)i + (-1-(-3))j + (-7-2)k = 3i + 2j - 9k$ है।
सदिश $(9, 6, -2)$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{9i + 6j - 2k}{\sqrt{9^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{9i + 6j - 2k}{11}$ है।
बल सदिश $\vec{F} = 6 \hat{u} = \frac{6}{11}(9i + 6j - 2k)$ है।
बिंदु $O$ के परितः बल का आघूर्ण $\vec{M} = \overrightarrow{OA} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{M} = (3i + 2j - 9k) \times \frac{6}{11}(9i + 6j - 2k) = \frac{6}{11} \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -9 \\ 9 & 6 & -2 \end{vmatrix}$.
सारणिक का मान ज्ञात करने पर: $i(2(-2) - (-9)(6)) - j(3(-2) - (-9)(9)) + k(3(6) - 2(9)) = i(-4 + 54) - j(-6 + 81) + k(18 - 18) = 50i - 75j + 0k$.
अतः,$\vec{M} = \frac{6}{11}(50i - 75j) = \frac{6 \times 25}{11}(2i - 3j) = \frac{150}{11}(2i - 3j)$.

(D) दिया गया है कि $a \cdot i = 4$ है।
हमें $(a \times j) \cdot (2j - 3k)$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $(A \times B) \cdot C = A \cdot (B \times C)$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times j) \cdot (2j - 3k) = a \cdot \{ j \times (2j - 3k) \}$.
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर:
$j \times (2j - 3k) = 2(j \times j) - 3(j \times k)$.
चूंकि $j \times j = 0$ और $j \times k = i$,हमें प्राप्त होता है:
$j \times (2j - 3k) = 2(0) - 3(i) = -3i$.
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर:
$a \cdot (-3i) = -3(a \cdot i)$.
चूंकि $a \cdot i = 4$ दिया गया है,परिणाम है:
$-3(4) = -12$.

(D) दिए गए सदिश $a = 3i - j + 2k$ और $b = 2i + j - k$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b$ की गणना करें:
$a \cdot b = (3)(2) + (-1)(1) + (2)(-1) = 6 - 1 - 2 = 3$.
अब,व्यंजक $a \times (a \cdot b) = a \times (3) = 3(a \times 1)$ है।
हालाँकि,सदिश गुणनफल (cross product) दो सदिशों के बीच परिभाषित होता है। चूँकि $(a \cdot b)$ एक अदिश $(3)$ है,इसलिए $a \times (3)$ व्यंजक गणितीय रूप से अपरिभाषित है क्योंकि सदिश गुणनफल के लिए दो सदिशों की आवश्यकता होती है।
अतः,$a \times (a \cdot b)$ व्यंजक अर्थहीन है।

(B) माना कि अभीष्ट सदिश $\vec{v} = ai + bj + ck$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$i + j$ और $j + k$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$a(1 - 0) - b(1 - 0) + c(1 - 0) = 0 \Rightarrow a - b + c = 0$.
साथ ही,चूंकि $\vec{v}$,$2i - 2j - 4k$ के समानांतर है,इसलिए $\vec{v} = \lambda(2i - 2j - 4k) = 2\lambda i - 2\lambda j - 4\lambda k$ होगा।
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = 2\lambda$,$b = -2\lambda$,$c = -4\lambda$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतलीयता की शर्त $a - b + c = 0$ में रखने पर:
$2\lambda - (-2\lambda) + (-4\lambda) = 0$
$2\lambda + 2\lambda - 4\lambda = 0 \Rightarrow 0 = 0$.
यह पुष्टि करता है कि सदिश $\lambda(2i - 2j - 4k)$ के रूप में है।
विकल्पों की जांच करने पर,$\lambda = 0.5$ के लिए,हमें $i - j - 2k$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $(b)$ से मेल खाता है।

(B) दिए गए सदिश ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइजेशन प्रक्रिया का उपयोग करके बनाए गए हैं।
समुच्चय $\{a, b_1, c_2\}$ के लिए:
$1$. $a \cdot b_1 = a \cdot (b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} a) = a \cdot b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) = a \cdot b - b \cdot a = 0$. अतः,$a \perp b_1$.
$2$. $a \cdot c_2 = a \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = a \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (a \cdot b_1) = a \cdot c - c \cdot a - 0 = 0$. अतः,$a \perp c_2$.
$3$. $b_1 \cdot c_2 = b_1 \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = b_1 \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (b_1 \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (b_1 \cdot b_1) = b_1 \cdot c - 0 - c \cdot b_1 = 0$. अतः,$b_1 \perp c_2$.
चूंकि सभी जोड़े लंबवत हैं,इसलिए समुच्चय $\{a, b_1, c_2\}$ परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) x + y = a$
$(ii) x \times y = b$
$(iii) x \cdot a = 1$
समीकरण $(i)$ का $a$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:
$a \cdot (x + y) = a \cdot a$
$a \cdot x + a \cdot y = |a|^2$
$1 + a \cdot y = |a|^2 \implies a \cdot y = |a|^2 - 1$ $(iv)$
समीकरण $(ii)$ का $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$a \times (x \times y) = a \times b$
$(a \cdot y)x - (a \cdot x)y = a \times b$
$(iii)$ और $(iv)$ का मान रखने पर:
$(|a|^2 - 1)x - y = a \times b$ $(v)$
$(i)$ से,$y = a - x$. इसे $(v)$ में रखने पर:
$(|a|^2 - 1)x - (a - x) = a \times b$
$(|a|^2 - 1 + 1)x = a + (a \times b)$
$|a|^2 x = a + (a \times b)$
$x = \frac{a + (a \times b)}{|a|^2}$
अतः $y = a - x = a - \frac{a + (a \times b)}{|a|^2} = \frac{(|a|^2 - 1)a - (a \times b)}{|a|^2}$
चूंकि गणना किए गए मान दिए गए विकल्पों से मेल नहीं खाते हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) मान लीजिए $P(r)$ बिंदुओं $A(a)$ और $B(b)$ से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु है।
अतः,दूरी $PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
सदिश रूप में,यह $|r - a|^2 = |r - b|^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(r - a) \cdot (r - a) = (r - b) \cdot (r - b)$ प्राप्त होता है।
$|r|^2 - 2(r \cdot a) + |a|^2 = |r|^2 - 2(r \cdot b) + |b|^2$।
$-2(r \cdot a) + 2(r \cdot b) = |b|^2 - |a|^2$।
$2r \cdot (b - a) = |b|^2 - |a|^2$।
वैकल्पिक रूप से,यह बिंदुपथ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
मान लीजिए $M$,$AB$ का मध्य बिंदु है। $M$ का स्थिति सदिश $\frac{1}{2}(a + b)$ है।
चूंकि $PM$,$AB$ पर लंब है,इसलिए सदिश $PM$,सदिश $AB$ पर लंब है।
अतः,$(r - \frac{1}{2}(a + b)) \cdot (b - a) = 0$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $[r - \frac{1}{2}(a + b)] \cdot (a - b) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि $a, b$ और $a \times b$ असमतलीय हैं,हम $r$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $r = xa + yb + z(a \times b)$ जहाँ $x, y, z$ अदिश हैं।
दिए गए समीकरण $r \times a = b$ में $r$ का मान रखने पर:
$b = (xa + yb + z(a \times b)) \times a$
सदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$b = x(a \times a) + y(b \times a) + z((a \times b) \times a)$
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times a = -(a \times b)$:
$b = -y(a \times b) + z((a \cdot a)b - (a \cdot b)a)$
चूंकि $a$ और $b$ लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$:
$b = -y(a \times b) + z(a \cdot a)b$
दोनों पक्षों में $b$ और $(a \times b)$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$(a \times b)$ के गुणांक के लिए,$-y = 0$,अतः $y = 0$.
$b$ के गुणांक के लिए,$z(a \cdot a) = 1$,अतः $z = \frac{1}{a \cdot a}$.
इन मानों को $r$ के समीकरण में रखने पर:
$r = xa + 0b + \frac{1}{a \cdot a}(a \times b) = xa + \frac{1}{a \cdot a}(a \times b)$.

(C) दिए गए सदिश $a = i + j$ और $b = 2i - k$ हैं। मान लीजिए $r = xi + yj + zk$ है।
पहली रेखा $r \times a = b \times a$ के लिए, $(r - b) \times a = 0$ है। इसका अर्थ है कि $(r - b)$, $a$ के समांतर है।
$r - b = (x - 2)i + yj + (z + 1)k$ है।
$(r - b) \times a = 0$ होने के कारण, सदिश गुणनफल:
$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ x-2 & y & z+1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right| = 0$
$-(z+1)i + (z+1)j + (x - 2 - y)k = 0$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर, $z + 1 = 0 \Rightarrow z = -1$ और $x - y - 2 = 0 \Rightarrow x - y = 2$ प्राप्त होता है।
दूसरी रेखा $r \times b = a \times b$ के लिए, $(r - a) \times b = 0$ है। इसका अर्थ है कि $(r - a)$, $b$ के समांतर है।
$r - a = (x - 1)i + (y - 1)j + zk$ है।
$(r - a) \times b = 0$ होने के कारण, सदिश गुणनफल:
$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ x-1 & y-1 & z \\ 2 & 0 & -1 \end{matrix} \right| = 0$
$-(y-1)i + (x - 1 + 2z)j - 2(y-1)k = 0$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर, $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$ और $x + 2z - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$y = 1$ को $x - y = 2$ में रखने पर, $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$ प्राप्त होता है।
$z = -1$ को $x + 2z = 1$ में रखने पर, $x + 2(-1) = 1 \Rightarrow x = 3$ प्राप्त होता है।
अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $r = 3i + j - k$ है।

(A) चतुष्फलक के दो फलकों के बीच का कोण उन फलकों के अभिलंबों (normals) के बीच का कोण होता है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ के क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके फलक $OAB$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात करें:
$\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
इसके बाद,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके फलक $ABC$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{35}$,$|\vec{n_2}| = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(B) दिया गया है कि $a$,$b$ और $c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
हम जानते हैं कि $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2(a \cdot b) = 2 - 2(a \cdot b)$.
इसी प्रकार,$|b - c|^2 = 2 - 2(b \cdot c)$ और $|c - a|^2 = 2 - 2(c \cdot a)$.
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$|a - b|^2 + |b - c|^2 + |c - a|^2 = 6 - 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
हम यह भी जानते हैं कि $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
इसलिए,$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = |a + b + c|^2 - 3$.
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर:
$|a - b|^2 + |b - c|^2 + |c - a|^2 = 6 - (|a + b + c|^2 - 3) = 9 - |a + b + c|^2$.
चूंकि $|a + b + c|^2 \ge 0$,इसलिए व्यंजक का अधिकतम मान $9 - 0 = 9$ है।
अतः,व्यंजक का मान $9$ से अधिक नहीं हो सकता।

(B) दिया गया है कि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं और लंबवत हैं,इसलिए $|a| = 1, |b| = 1$ और $a \cdot b = 0$ है।
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|c| = 1$ है।
सदिश $c$,$a$ और $b$ दोनों के साथ $\theta$ कोण बनाता है,इसलिए $c \cdot a = |c||a| \cos \theta = \cos \theta$ और $c \cdot b = |c||b| \cos \theta = \cos \theta$ है।
दिया गया है $c = \alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)$।
$a$ के साथ डॉट गुणन लेने पर: $c \cdot a = \alpha (a \cdot a) + \beta (b \cdot a) + \gamma ((a \times b) \cdot a) = \alpha (1) + \beta (0) + 0 = \alpha$। अतः,$\alpha = \cos \theta$ है।
$b$ के साथ डॉट गुणन लेने पर: $c \cdot b = \alpha (a \cdot b) + \beta (b \cdot b) + \gamma ((a \times b) \cdot b) = \alpha (0) + \beta (1) + 0 = \beta$। अतः,$\beta = \cos \theta$ है।
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $c \cdot c = 1$ है।
$c \cdot c = (\alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)) \cdot (\alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)) = \alpha^2 |a|^2 + \beta^2 |b|^2 + \gamma^2 |a \times b|^2 = 1$ है।
चूंकि $|a \times b| = |a||b| \sin 90^\circ = 1$ है,इसलिए हमारे पास $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$ है।
$\alpha = \beta = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \cos^2 \theta + \gamma^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\gamma^2 = 1 - 2 \cos^2 \theta = - (2 \cos^2 \theta - 1) = - \cos 2\theta$ है।

(B) मान लीजिए कि $(a + b)$ और $a$ के बीच का कोण $\theta_1$ है,और $(a + b)$ और $b$ के बीच का कोण $\theta_2$ है।
चूंकि $(a + b)$,$a$ और $b$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\cos \theta_1 = \cos \theta_2$ होगा।
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\cos \theta_1 = \frac{(a + b) \cdot a}{|a + b||a|}$ और $\cos \theta_2 = \frac{(a + b) \cdot b}{|a + b||b|}$ है।
इन्हें बराबर करने पर,हमें $\frac{|a|^2 + a \cdot b}{|a + b||a|} = \frac{a \cdot b + |b|^2}{|a + b||b|}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{|a|^2 + a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot b + |b|^2}{|b|}$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $|a||b|$ से गुणा करने पर,$|b|(|a|^2 + a \cdot b) = |a|(a \cdot b + |b|^2)$ प्राप्त होता है।
$|a|^2|b| + |b|(a \cdot b) = |a|(a \cdot b) + |a||b|^2$.
$|a|^2|b| - |a||b|^2 + |b|(a \cdot b) - |a|(a \cdot b) = 0$.
$|a||b|(|a| - |b|) - (a \cdot b)(|a| - |b|) = 0$.
$(|a| - |b|)(|a||b| - a \cdot b) = 0$.
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $a$ और $b$ के बीच का कोण है,इसलिए $(|a| - |b|)(|a||b| - |a||b| \cos \theta) = 0$ होगा।
$|a||b|(|a| - |b|)(1 - \cos \theta) = 0$.
इसका अर्थ है कि $|a| = |b|$ या $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 0$।

(D) हमारे पास $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = (a - 2b) - b = a - 3b$ है।
हमारे पास $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2a + 3b) - a = a + 3b$ है।
मान लीजिए $\theta$,$\overrightarrow{BD}$ और $\overrightarrow{AC}$ के बीच का कोण है।
तब $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{(a - 3b) \cdot (a + 3b)}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{|a|^2 - 9|b|^2}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|}$ होगा।
दिया गया है कि $|a| = 3|b|$,इसलिए $|a|^2 = 9|b|^2$ होगा।
इस मान को रखने पर,$\cos \theta = \frac{9|b|^2 - 9|b|^2}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) माना $\overrightarrow{V} = \overrightarrow{A} + t\overrightarrow{B}$ है।
$\overrightarrow{V} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$
$\overrightarrow{V} = (1 - t)\hat{i} + (2 + 2t)\hat{j} + (3 + t)\hat{k}$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{V}$,$\overrightarrow{C} = 3\hat{i} + \hat{j}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$\overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{C} = 0$
$3(1 - t) + 1(2 + 2t) = 0$
$3 - 3t + 2 + 2t = 0$
$5 - t = 0 \Rightarrow t = 5$.

(D) मान लीजिए $r = \lambda b + \mu c$. यहाँ $b = 4i + 3j$ है,इसलिए $|b| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
चूँकि $c$,$xy$-समतल में $b$ के लंबवत है,इसलिए $c$,$3i - 4j$ के समानांतर होना चाहिए। मान लीजिए $c = k(3i - 4j)$ है। $r$ का $c$ पर प्रक्षेप $2$ होने के लिए,हम $c$ को इकाई सदिश के रूप में लेते हैं,जिससे $c = \pm \frac{1}{5}(3i - 4j)$ प्राप्त होता है।
$r$ का $b$ पर प्रक्षेप $= \frac{r \cdot b}{|b|} = \lambda |b| = 5\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$।
$r$ का $c$ पर प्रक्षेप $= \frac{r \cdot c}{|c|} = \mu |c| = \mu = 2$।
अतः,$r = \frac{1}{5}(4i + 3j) \pm 2 \cdot \frac{1}{5}(3i - 4j)$।
स्थिति $1$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j + 6i - 8j) = \frac{10i - 5j}{5} = 2i - j$।
स्थिति $2$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j - 6i + 8j) = \frac{-2i + 11j}{5} = -\frac{2}{5}i + \frac{11}{5}j$।

(A) और $c$ के समतल में कोई भी सदिश $r = b + tc$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सदिशों का मान रखने पर,$r = (i + 2j - k) + t(i + j - 2k) = (1 + t)i + (2 + t)j - (1 + 2t)k$ प्राप्त होता है।
$r$ का $a$ पर प्रक्षेप $\frac{|r \cdot a|}{|a|} = \sqrt{2/3}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$r \cdot a = (1 + t)(2) + (2 + t)(-1) + (-1 - 2t)(1) = 2 + 2t - 2 - t - 1 - 2t = -t - 1$ की गणना करें।
साथ ही,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,$\frac{|-t - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$।
इस प्रकार,$|-t - 1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-t - 1 = 2$ या $-t - 1 = -2$।
यदि $-t - 1 = 2$,तो $t = -3$। $t = -3$ को $r$ में रखने पर,$r = -2i - j + 5k$ प्राप्त होता है।
यदि $-t - 1 = -2$,तो $t = 1$। $t = 1$ को $r$ में रखने पर,$r = 2i + 3j - 3k$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट सदिश $2i + 3j - 3k$ और $-2i - j + 5k$ हैं।

(B) दिया गया है $a \times r = b + \lambda a$ और $a \cdot r = 3.$
$a \times r = b + \lambda a$ के दोनों पक्षों में $a$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(a \times r) \cdot a = b \cdot a + \lambda (a \cdot a)$
चूँकि $(a \times r) \cdot a = 0$,इसलिए $0 = b \cdot a + \lambda |a|^2$.
$a = 2i + j - k \implies |a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6$.
$b \cdot a = (-i - 2j + k) \cdot (2i + j - k) = -2 - 2 - 1 = -5$.
अतः,$0 = -5 + \lambda(6) \implies \lambda = \frac{5}{6}$.
अब,$a \times r = b + \frac{5}{6}a$.
दोनों पक्षों में $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$a \times (a \times r) = a \times (b + \frac{5}{6}a) = a \times b + 0$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times (a \times r) = (a \cdot r)a - (a \cdot a)r$ का उपयोग करने पर:
$(3)a - 6r = a \times b$.
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = i(1-2) - j(2-1) + k(-4+1) = -i - j - 3k$.
$3(2i + j - k) - 6r = -i - j - 3k$.
$6i + 3j - 3k - 6r = -i - j - 3k$.
$6r = 7i + 4j \implies r = \frac{7}{6}i + \frac{2}{3}j$.

(A) माना कि $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$ है।
दिया गया है $a \times b = j - k$,इसलिए:
$j - k = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
$j - k = i(b_3 - b_2) - j(b_3 - b_1) + k(b_2 - b_1)$
घटकों की तुलना करने पर:
$b_3 - b_2 = 0 \Rightarrow b_3 = b_2$
$b_1 - b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3 + 1 = b_2 + 1$
$b_2 - b_1 = -1 \Rightarrow b_2 - (b_2 + 1) = -1$ (जो सुसंगत है)।
दिया गया है $a \cdot b = 1$,इसलिए:
$(i + j + k) \cdot (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = 1$
$b_1 + b_2 + b_3 = 1$
$b_1 = b_2 + 1$ और $b_3 = b_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(b_2 + 1) + b_2 + b_2 = 1$
$3b_2 + 1 = 1$
$3b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = 0$
अतः,$b_3 = 0$ और $b_1 = 0 + 1 = 1$ है।
इसलिए,$b = 1i + 0j + 0k = i$।

(A) बल सदिश $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{AB} = (3 - 1)i + (-4 - 2)j + (2 - (-3))k = 2i - 6j + 5k$ है।
बिंदु $M$ के परितः बल $\overrightarrow{F}$ का आघूर्ण $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{F}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,स्थिति सदिश $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} = (1 - (-2))i + (2 - 4)j + (-3 - (-6))k = 3i - 2j + 3k$ ज्ञात करें।
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 5 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= i((-2)(5) - (3)(-6)) - j((3)(5) - (3)(2)) + k((3)(-6) - (-2)(2))$.
$= i(-10 + 18) - j(15 - 6) + k(-18 + 4)$.
$= 8i - 9j - 14k$.

(A) मान लीजिए $b$ और $c$ दो गैर-संरेख इकाई सदिश हैं। चूंकि वे गैर-संरेख हैं,$b, c,$ और $k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ अंतरिक्ष $\mathbb{R}^3$ के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।
किसी भी सदिश $a$ को इन आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k$
$k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + \left(a \cdot \frac{b \times c}{|b \times c|}\right) \frac{b \times c}{|b \times c|}$
यहाँ,$\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|} (b \times c) = (a \cdot k) (|b \times c| k) = (a \cdot k) (\sin \alpha) k$ होता है,जहाँ $\alpha$ सदिश $b$ और $c$ के बीच का कोण है।
चूंकि $|b \times c| = \sin \alpha$,यह पद $(a \cdot k)k$ में सरल हो जाता है।
अतः,$(a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k = a$.

(A) और $b$ की दिशा में इकाई सदिश इस प्रकार हैं:
$\hat{a} = \frac{a}{|a|} = \frac{7i - 4j - 4k}{9}$
$\hat{b} = \frac{b}{|b|} = \frac{-2i - j + 2k}{3} = \frac{-6i - 3j + 6k}{9}$
आंतरिक समद्विभाजक सदिश $\hat{a} + \hat{b} = \frac{1}{9}(i - 7j + 2k)$ के समानुपाती है।
माना $c = \lambda(\hat{a} + \hat{b}) = \frac{\lambda}{9}(i - 7j + 2k)$.
दिया गया है कि $|c| = 5\sqrt{6}$,इसलिए $|c|^2 = 150$.
$|c|^2 = \frac{\lambda^2}{81}(1 + 49 + 4) = \frac{54\lambda^2}{81} = \frac{2\lambda^2}{3} = 150$.
अतः,$\lambda^2 = 225$,जिसका अर्थ है $\lambda = 15$.
इस प्रकार,$c = \frac{15}{9}(i - 7j + 2k) = \frac{5}{3}(i - 7j + 2k)$.

(A) चूंकि $c$,$a$ और $b$ के साथ समतलीय है,हम लिख सकते हैं $c = xa + yb$,जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$c = x(2i + j + k) + y(i + 2j - k) = (2x + y)i + (x + 2y)j + (x - y)k$.
दिया गया है कि $c$,$a$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$a \cdot c = 0 \implies 2(2x + y) + 1(x + 2y) + 1(x - y) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$y = -2x$ को $c$ के समीकरण में रखने पर:
$c = (2x - 2x)i + (x - 4x)j + (x + 2x)k = -3xj + 3xk = 3x(-j + k)$.
चूंकि $c$ एक इकाई सदिश है,$|c| = 1$:
$|3x| \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 1 \implies |3x| \sqrt{2} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
अतः,$c = 3(\pm \frac{1}{3\sqrt{2}})(-j + k) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $r \times a = b \times a$ और $r \times b = a \times b$ हैं।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$
$r \times (a + b) = b \times a - b \times a = 0$
इसका अर्थ है कि $r$,$(a + b)$ के समांतर है।
दिया गया है $a = i + j$ और $b = 2i - k$,इसलिए $a + b = (i + j) + (2i - k) = 3i + j - k$।
अतः,$r = \lambda(3i + j - k)$।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $r = a + b$ मूल समीकरणों को संतुष्ट करता है।
यदि $r = 3i + j - k$ है,तो $r \times a = (3i + j - k) \times (i + j) = 3(i \times i) + 3(i \times j) + (j \times i) + (j \times j) - (k \times i) - (k \times j) = 0 + 3k - k + 0 - j + i = i - j + 2k$।
इसी प्रकार $b \times a = (2i - k) \times (i + j) = 2(i \times i) + 2(i \times j) - (k \times i) - (k \times j) = 0 + 2k - j + i = i - j + 2k$।
चूँकि $r = 3i + j - k$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $3i + j - k$ है।

(B) $O$ के निर्देशांक $(0, 0, 0)$,$P$ के $(1, -2, 1)$ और $Q$ के $(2, 3, 4)$ हैं।
रेखा $OP$ के दिक अनुपात $(1-0, -2-0, 1-0) = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखा $OQ$ के दिक अनुपात $(2-0, 3-0, 4-0) = (2, 3, 4)$ हैं।
दो रेखाएं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे लंबवत होती हैं यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(1 \times 2) + (-2 \times 3) + (1 \times 4) = 2 - 6 + 4 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखाएं $OP$ और $OQ$ लंबवत हैं,अर्थात $OP \perp OQ$।

(B) सबसे पहले,दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें।
$AB = \sqrt{(7-5)^2 + (-4 - (-1))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$BC = \sqrt{(1-7)^2 + (-6 - (-4))^2 + (10-7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$CD = \sqrt{(-1-1)^2 + (-3 - (-6))^2 + (4-10)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$DA = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं $(AB = BC = CD = DA = 7)$,चतुर्भुज या तो वर्ग है या समचतुर्भुज।
अब,यह जांचने के लिए कि क्या कोण $90^\circ$ है,आसन्न सदिशों का डॉट गुणनफल ज्ञात करें।
$\overrightarrow{AB} = (2, -3, 6)$.
$\overrightarrow{BC} = (-6, -2, 3)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(-6) + (-3)(-2) + (6)(3) = -12 + 6 + 18 = 12 \neq 0$.
चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए कोण $90^\circ$ नहीं है। अतः,$ABCD$ एक समचतुर्भुज है।

(B) सदिश $\vec{PQ} = (4-3)\hat{i} + (6-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$\vec{PQ}$ का परिमाण $|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
सदिश $\vec{RS} = (1 - (-1))\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
$\vec{RS}$ का $\vec{PQ}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{RS} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{RS} \cdot \vec{PQ} = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(-2) = 2 - 4 - 2 = -4$ होता है।
अतः,प्रक्षेप $\frac{-4}{3}$ है।

(C) माना कि दो रेखाओं के दिक् अनुपात $\vec{a} = (1, 1, 2)$ और $\vec{b} = (\sqrt{3} - 1, -\sqrt{3} - 1, 4)$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$
डॉट प्रोडक्ट की गणना:
$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 1(\sqrt{3} - 1) + 1(-\sqrt{3} - 1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
परिमाण (magnitudes) की गणना:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (-\sqrt{3} - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 + 1 - 2\sqrt{3}) + (3 + 1 + 2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^o$ है।

(A) रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ हैं।
रेखाखंड $CD$ के दिक अनुपात $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (3-1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)$ हैं।
मान लीजिए $AB$ के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, -2)$ हैं और $CD$ के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (2, 3, 4)$ हैं।
दिक सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करने पर: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (1)(2) + (2)(3) + (-2)(4) = 2 + 6 - 8 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएं $AB$ और $CD$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।