यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन शून्येतर,असमतलीय सदिश हैं और $\vec{b_1} = \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$,$\vec{b_2} = \vec{b} + \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a}$,और $\vec{c_1} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} + \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_2} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_3} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{a} + \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_2}}{|\vec{c}|^2}\vec{b_1}$,$\vec{c_4} = \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}|^2}\vec{b_1}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह है?

  • A
    $\{\vec{a}, \vec{b_1}, \vec{c_1}\}$
  • B
    $\{\vec{a}, \vec{b_1}, \vec{c_2}\}$
  • C
    $\{\vec{a}, \vec{b_2}, \vec{c_3}\}$
  • D
    $\{\vec{a}, \vec{b_2}, \vec{c_4}\}$

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$xy$-समतल में एक ऐसा इकाई सदिश ज्ञात कीजिए जो सदिश $i + j$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण और सदिश $3i - 4j$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।

मान लीजिए $\overline{A}=2 \hat{i}+\hat{k}$,$\overline{B}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{C}=4 \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ है। यदि एक सदिश $\overline{R}$,$\overline{R} \times \overline{B}=\overline{C} \times \overline{B}$ और $\overline{R} \cdot \overline{A}=0$ को संतुष्ट करता है,तो $\overline{R}$ ज्ञात कीजिए।

यदि परस्पर लंब इकाई सदिशों $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ की दाहिने हाथ की प्रणाली के संदर्भ में,$\vec{\alpha} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{\beta} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है,तो $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta} = \vec{\beta}_{1} + \vec{\beta}_{2}$ के रूप में व्यक्त करें,जहाँ $\vec{\beta}_{1}$,$\vec{\alpha}$ के समानांतर है और $\vec{\beta}_{2}$,$\vec{\alpha}$ के लंबवत है।

मान लीजिए कि तीन सदिश $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ इस प्रकार हैं कि $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के साथ समतलीय है,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 7$ और $\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$ के लंबवत है,जहाँ $\overrightarrow{a} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{k}$ है। तो $2|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^{2}$ का मान ......... है।

जिनके शीर्ष $P, Q, R, S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं,उस आयत का क्षेत्रफल क्या है?

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