Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 12$ है।
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{x} - \vec{a} \cdot \vec{a} = 12$।
चूंकि अदिश गुणन क्रमविनिमेय है,$\vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{x}$,इसलिए वे कट जाएंगे:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 12$।
दिया गया है कि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{a}|^2 = 1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 12$।
$|\vec{x}|^2 = 13$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\vec{x}| = \sqrt{13}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}.$
चूंकि $(\vec{a}+\lambda \vec{b}), \vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
$[(2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}] \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$3(2-\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(3+\lambda) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8.$

यह दर्शाने के लिए कि दो सदिश लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ होना चाहिए।
माना $\vec{u} = |\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ और $\vec{v} = |\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v}$ की गणना करते हैं:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot (|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$
अदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$= |\vec{a}|^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{b} \cdot \vec{a}) + |\vec{b}||\vec{a}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ और $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2$
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
$= 0$
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ और $|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
हमें समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} = |\vec{0}|^{2}$
अदिश गुणन का विस्तार करने पर:
$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0$
$|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} + |\vec{c}|^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
परिमाण $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
अभीष्ट व्यंजक के लिए हल करने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(N/A) मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ है।
तब,उनका अदिश गुणनफल:
$\vec{a} \cdot \vec{b}=(2)(3)+(4)(3)+(3)(-6)=6+12-18=0$ है।
अब हम उनके परिमाण (magnitude) का अवलोकन करते हैं:
$|\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+4^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29} \neq 0.$
$|\vec{b}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+9+36}=\sqrt{54} \neq 0.$
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ है लेकिन $\vec{a} \neq \vec{0}$ और $\vec{b} \neq \vec{0}$ है,इसलिए दिए गए कथन का विलोम सत्य होना आवश्यक नहीं है।

(A) $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(1,2,3), B(-1,0,0),$ और $C(0,1,2)$ दिए गए हैं।
$\angle ABC$ सदिशों $\overrightarrow{BA}$ और $\overrightarrow{BC}$ के बीच का कोण है।
$\overrightarrow{BA} = (1 - (-1))\hat{i} + (2 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = (0 - (-1))\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (2 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(1) + (2)(1) + (3)(2) = 2 + 2 + 6 = 10$.
$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए: $\cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{10}{\sqrt{17} \times \sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{102}}$.
अतः,$\angle ABC = \cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right)$.

माना बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$,और $\overrightarrow{OC} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} - 4 \hat{k}$ हैं।
$\Delta ABC$ की भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिश हैं:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (1-2) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (-5-1) \hat{k} = -\hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (3-1) \hat{i} + (-4+3) \hat{j} + (-4+5) \hat{k} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (3-2) \hat{i} + (-4+1) \hat{j} + (-4-1) \hat{k} = \hat{i} - 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$
अब,भुजाओं के परिमाणों के वर्गों की गणना करते हैं:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\overrightarrow{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\overrightarrow{AC}|^2 = (1)^2 + (-3)^2 + (-5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
चूंकि $|\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\overrightarrow{AB}|^2$,भुजाएं पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं।
अतः,$\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\vec{b}_1 = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \left| \frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{|\vec{b}_1| |\vec{b}_2|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2 = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{b}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}_2| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \left| \frac{19}{3 \times 7} \right| = \frac{19}{21}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(A) ये दो रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि इनके दिशा सदिश समान हैं,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
हमारे पास $\vec{a}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{a}_{2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|\vec{b} \times (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (3-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-5 - (-4))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b} \times (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(-2-12) + \hat{k}(2-6) = -9\hat{i} + 14\hat{j} - 4\hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b} \times (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})| = \sqrt{(-9)^2 + 14^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,दूरी $d = \frac{\sqrt{293}}{7}$ है।

(A) माना कि $Q$ दी गई रेखाओं के बीच का कोण है।
दी गई रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने का सूत्र,$\cos Q = \left| \frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|} \right|$ है।
दी गई रेखाएं क्रमशः $\vec{b}_{1} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ और $\vec{b}_{2} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ सदिशों के समानांतर हैं।
सदिशों के परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{b}_{1}| = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b}_{2}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$= (3 \times 1) + (2 \times 2) + (6 \times 2) = 3 + 4 + 12 = 19$.
मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos Q = \frac{19}{7 \times 3} = \frac{19}{21}$.
अतः,$Q = \cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।

(A) दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3\hat{i}-5\hat{j}-4\hat{k}$ के समांतर हैं।
सबसे पहले,सदिशों के परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{b}_{1}|=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$
$|\vec{b}_{2}|=\sqrt{(3)^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
अब,अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}$ ज्ञात करें:
$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4) = 3 + 5 + 8 = 16$
रेखाओं के बीच का कोण $Q$ इस प्रकार दिया गया है:
$\cos Q = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$
मान रखने पर:
$\cos Q = \frac{16}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$
अतः,$Q = \cos^{-1}\left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right)$।

(D) मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $l_1 = (a, b, c)$ और $l_2 = (b-c, c-a, a-b)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात कीजिए:
$a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सूत्र का अंश $0$ होगा।
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(N/A) मान लीजिए $\vec{a} = l_{1}\hat{i} + m_{1}\hat{j} + n_{1}\hat{k}$,$\vec{b} = l_{2}\hat{i} + m_{2}\hat{j} + n_{2}\hat{k}$,और $\vec{c} = l_{3}\hat{i} + m_{3}\hat{j} + n_{3}\hat{k}$ तीन परस्पर लंबवत रेखाओं की दिशा में इकाई सदिश हैं।
मान लीजिए $\vec{d} = (l_{1}+l_{2}+l_{3})\hat{i} + (m_{1}+m_{2}+m_{3})\hat{j} + (n_{1}+n_{2}+n_{3})\hat{k} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $\vec{d}$ और $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के बीच के कोण हैं।
तब $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{a}| |\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{d}|}$.
चूंकि रेखाएं परस्पर लंबवत हैं,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,और $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
इसी प्रकार,$\cos \beta = \frac{\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$ और $\cos \gamma = \frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{|\vec{d}|} = \frac{1}{|\vec{d}|}$.
चूंकि $\cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma$,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$. अतः,यह रेखा तीन परस्पर लंबवत रेखाओं के साथ समान कोण बनाती है।

(A) यह दिया गया है कि $|\vec{a}|=3$ और $|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$ है।
हम जानते हैं कि क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
चूँकि $\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए इसका परिमाण $1$ होना चाहिए,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta = 1$
$\sqrt{2} \sin \theta = 1$
$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूँकि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश है यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

(D) माना $\theta$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$
$\overrightarrow{CD} = (\hat{i} - 6\hat{j} - \hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$
परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
अदिश गुणन (dot product) की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(-2) + (4)(-8) + (-1)(2) = -2 - 32 - 2 = -36$
कोण $\cos \theta$ की गणना करें:
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-36}{(3\sqrt{2})(6\sqrt{2})} = \frac{-36}{18 \times 2} = \frac{-36}{36} = -1$
चूंकि $\cos \theta = -1$,इसलिए $\theta = \pi$ है।
चूंकि सदिशों के बीच का कोण $\pi$ है,इसलिए सदिश संरेख हैं (विशेष रूप से,वे विपरीत दिशाओं में हैं)। वैकल्पिक रूप से,$\overrightarrow{CD} = -2(\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) = -2\overrightarrow{AB}$,जो पुष्टि करता है कि वे संरेख हैं।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0$,और $\vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.
इसका विस्तार करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
दी गई शर्तों से:
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
$\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$
$\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2$.
दिए गए मान रखने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$.
इसलिए,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(B) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0.$
अदिश गुणन (dot product) का विस्तार करने पर,हमें मिलता है $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0.$
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$1^2 + 4^2 + 2^2 + 2\mu = 0.$
$1 + 16 + 4 + 2\mu = 0.$
$21 + 2\mu = 0.$
$2\mu = -21.$
$\mu = -\frac{21}{2}.$

मान लीजिए $\vec{\beta}_{1} = \lambda \vec{\alpha}$,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है। अतः $\vec{\beta}_{1} = 3\lambda \hat{i} - \lambda \hat{j}$।
अब,$\vec{\beta}_{2} = \vec{\beta} - \vec{\beta}_{1} = (2 - 3\lambda) \hat{i} + (1 + \lambda) \hat{j} - 3\hat{k}$।
चूंकि $\vec{\beta}_{2}$,$\vec{\alpha}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}_{2} = 0$ होगा।
$3(2 - 3\lambda) - 1(1 + \lambda) = 0$
$6 - 9\lambda - 1 - \lambda = 0$
$5 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$।
अतः,$\vec{\beta}_{1} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j}$ और $\vec{\beta}_{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}$।

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
माना $\vec{b} = (2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}) + (\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$.
$\vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^{2}+6^{2}+(-2)^{2}}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$.
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \hat{b} = 1$.
$\Rightarrow \frac{(2+\lambda)(1) + (6)(1) + (-2)(1)}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$.
$\Rightarrow \frac{\lambda+6}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$.
$\Rightarrow \lambda+6 = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\lambda+6)^{2} = \lambda^{2}+4 \lambda+44$.
$\Rightarrow \lambda^{2}+12 \lambda+36 = \lambda^{2}+4 \lambda+44$.
$\Rightarrow 8 \lambda = 8$.
$\Rightarrow \lambda = 1$.

चूंकि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ है।
यह दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$ है।
माना सदिश $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ क्रमशः $\theta_{1}, \theta_{2}$ और $\theta_{3}$ कोण बनाता है।
तब,हमारे पास है:
$\cos \theta_{1} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|^2}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{a}|} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|}$.
इसी प्रकार,$\cos \theta_{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{b}|} = \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|}$ और $\cos \theta_{3} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| |\vec{c}|} = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|}$.
चूंकि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$ है,इसलिए $\cos \theta_{1} = \cos \theta_{2} = \cos \theta_{3}$ है,जिसका अर्थ है कि $\theta_{1} = \theta_{2} = \theta_{3}$ है।
अतः,सदिश $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समान कोण पर झुका हुआ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^{2}$,$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^{2}$,और अदिश गुणन क्रमविनिमेय है $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$:
$|\vec{a}|^{2} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}$ घटाने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
चूंकि $\vec{a} \neq \vec{0}$ और $\vec{b} \neq \vec{0}$,दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य तभी होता है जब वे लंबवत हों। अतः,$\vec{a} \perp \vec{b}$।

(C) माना $\theta$ दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
मान लीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अशून्य सदिश हैं,इसलिए उनके परिमाण $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ धनात्मक हैं।
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$,इसलिए $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \geq 0$ होगा।
चूंकि $|\vec{a}| > 0$ और $|\vec{b}| > 0$,इसलिए $\cos \theta \geq 0$ होगा।
दो सदिशों के बीच के कोण $\theta$ के लिए,हम जानते हैं कि $0 \leq \theta \leq \pi$ होता है।
इस अंतराल में,$\cos \theta \geq 0$ तब होता है जब $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ हो।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} \geq 0$ तब होता है जब $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ हो।
सही उत्तर $C$ है।

(D) मान लीजिए कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो इकाई सदिश हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है।
अतः,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.
अब,$\vec{a}+\vec{b}$ एक इकाई सदिश है यदि $|\vec{a}+\vec{b}| = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 1^2$.
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = 1$.
$|\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta + |\vec{b}|^2 = 1$.
चूंकि $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$,इसलिए $1^2 + 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 1$.
$1 + 2 \cos \theta + 1 = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि अक्षों के अनुदिश इकाई सदिशों $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के लिए,क्रॉस गुणनफल $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,और $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ होते हैं।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k})+\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{k} \cdot(\hat{i} \times \hat{j})$
$= \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot \hat{k}$
$= 1 - \hat{j} \cdot \hat{j} + 1$
$= 1 - 1 + 1$
$= 1$
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(A) माना $\theta$ दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अशून्य सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| > 0$ और $|\vec{b}| > 0$ है।
दी गई शर्त $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
अदिश गुणन और सदिश गुणन की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए,$|\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}| |\sin \theta|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ धनात्मक हैं,इसलिए दोनों पक्षों को $|\vec{a}||\vec{b}|$ से विभाजित करने पर,हमें $|\cos \theta| = |\sin \theta|$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $|\tan \theta| = 1$ है।
$\theta$ के $[0, \pi]$ अंतराल में,$\tan \theta = 1$ लेने पर $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,यह शर्त तब पूरी होती है जब $\theta = \frac{\pi}{4}$ हो।
सही उत्तर $A$ है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{v} = \lambda\vec{b} + \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (\lambda + 1)\hat{i} + (\lambda + 3)\hat{j} - (2\lambda + 1)\hat{k}$।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{v}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$।
$(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((\lambda + 1)\hat{i} + (\lambda + 3)\hat{j} - (2\lambda + 1)\hat{k}) = 0$
$2(\lambda + 1) - 1(\lambda + 3) + 1(-2\lambda - 1) = 0$
$2\lambda + 2 - \lambda - 3 - 2\lambda - 1 = 0$
$-\lambda - 2 = 0$
$\lambda = -2$।

(N/A) माना $\widehat{OP}$ और $\widehat{OQ}$ इकाई सदिश हैं जो $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ क्रमशः $A$ और $B$ कोण बनाते हैं। तब $\angle QOP = A-B$ (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
हम जानते हैं कि $\widehat{OP} = \cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}$ और $\widehat{OQ} = \cos B \hat{i} + \sin B \hat{j}$ है।
अदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = |\widehat{OP}| |\widehat{OQ}| \cos(A-B)$।
चूंकि $\widehat{OP}$ और $\widehat{OQ}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\widehat{OP}| = 1$ और $|\widehat{OQ}| = 1$ है।
अतः,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos(A-B) \quad \dots(1)$।
घटकों के रूप में,$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = (\cos A \hat{i} + \sin A \hat{j}) \cdot (\cos B \hat{i} + \sin B \hat{j})$ है।
गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\widehat{OP} \cdot \widehat{OQ} = \cos A \cos B + \sin A \sin B \quad \dots(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$।

(A) माना $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ है।
दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-1)(4) + (1)(-1) = 6 - 4 - 1 = 1$.
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{156}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 39}} = \frac{1}{2\sqrt{39}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{39}}\right)$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12$ ज्ञात करें।
इसके बाद,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$।
सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{84}} = \frac{3}{\sqrt{21}}$ प्राप्त होता है।
अब,सर्वसमिका $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ का उपयोग करें।
$\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{\sqrt{21}})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{21}} = \sqrt{\frac{12}{21}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$।

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\overrightarrow{OA} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{OB} = 2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$,$\overrightarrow{OC} = 2\hat{i}-3\hat{k}$,और $\overrightarrow{OD} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (2-1)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} = (3-2)\hat{i} + (-2-0)\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{CD}$ पर $\overrightarrow{AB}$ का प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (1)(1) + (0)(-2) + (2)(4) = 1 + 0 + 8 = 9$.
$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{21} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ इकाई है।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$,इसलिए $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r}$,$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$ के समांतर है।
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2-7)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (4 - (-6))\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ की गणना करें।
अतः,$\overrightarrow{r} = \lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k})$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$,$\overrightarrow{r}$ का मान रखने पर:
$\lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$ है।
$\lambda(-5 - 8 + 10) = -3 \Rightarrow -3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = 1$ है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{r} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ है।
अंत में,$\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = (-5)(2) + (-4)(-3) + (10)(1) = -10 + 12 + 10 = 12$ है।

(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $\overrightarrow{AB} = \vec{p}$ और $\overrightarrow{AD} = \vec{q}$ है। अतः $\overrightarrow{BC} = \vec{q}$ होगा।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{p} + \vec{q} = \vec{a} \quad \dots(i)$
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \vec{q} - \vec{p} = \vec{b} \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{q} \Rightarrow \vec{q} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$\vec{a} - \vec{b} = 2\vec{p} \Rightarrow \vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$ प्राप्त होता है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{p} \times \vec{q}|$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{p} \times \vec{q}| = |\frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) \times \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})| = \frac{1}{4} |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}|$.
चूँकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,तथा $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$,इसलिए:
$|\vec{p} \times \vec{q}| = \frac{1}{4} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{4} |2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.
अब,विकर्णों $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ के लिए:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 3) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(6 + 1) = -2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 7^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 9 + 49} = \frac{\sqrt{62}}{2} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
दिए गए समीकरण $|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{c}|^{2}=8$ का विस्तार करने पर:
$(|\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + |\vec{c}|^{2} - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
चूंकि $|\vec{a}|^{2} = |\vec{b}|^{2} = |\vec{c}|^{2} = 1$,इसलिए:
$(1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 1 - 2\vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$4 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 8$
$-2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}) = 4$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$
अब,$|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{c}|^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$= (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{b}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{a}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{b}) + (1 + 4 + 4\vec{a}\cdot\vec{c})$
$= 10 + 4(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c})$
$\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = -2$ का मान रखने पर:
$= 10 + 4(-2) = 10 - 8 = 2$.

(C) विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है:
$\overrightarrow{OP} = \frac{\lambda(2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) + 1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})}{\lambda+1} = \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \frac{\lambda+1}{\lambda+1}\hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k}$
अब,$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP} = (2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}) \cdot \left( \frac{2\lambda+1}{\lambda+1}\hat{i} + \hat{j} + \frac{3\lambda+1}{\lambda+1}\hat{k} \right) = \frac{4\lambda+2 + \lambda+1 + 9\lambda+3}{\lambda+1} = \frac{14\lambda+6}{\lambda+1}$
इसके बाद,$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} & 1 & \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} \end{vmatrix} = \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - 1 \right)\hat{i} - \left( \frac{3\lambda+1}{\lambda+1} - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{j} + \left( 1 - \frac{2\lambda+1}{\lambda+1} \right)\hat{k}$
$= \frac{2\lambda}{\lambda+1}\hat{i} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{j} - \frac{\lambda}{\lambda+1}\hat{k}$
$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}|^{2} = \frac{4\lambda^{2} + \lambda^{2} + \lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} = \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}}$
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$\frac{14\lambda+6}{\lambda+1} - 3 \left( \frac{6\lambda^{2}}{(\lambda+1)^{2}} \right) = 6$
$(\lambda+1)^{2}$ से गुणा करने पर:
$(14\lambda+6)(\lambda+1) - 18\lambda^{2} = 6(\lambda+1)^{2}$
$14\lambda^{2} + 20\lambda + 6 - 18\lambda^{2} = 6(\lambda^{2} + 2\lambda + 1)$
$-4\lambda^{2} + 20\lambda + 6 = 6\lambda^{2} + 12\lambda + 6$
$10\lambda^{2} - 8\lambda = 0$
चूंकि $\lambda > 0$,इसलिए $10\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 0.8$.

(D) मान लीजिए $\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ और $\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$ है।
दिया गया है $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$,इसलिए $|\vec{p}| = 1$ और $|\vec{q}| = 1$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{p} \cdot \vec{q} = ab + bc + ca$ है।
मान लीजिए $a \cos \theta = b \cos \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = c \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) = k$ है।
अतः $a = \frac{k}{\cos \theta}$,$b = \frac{k}{\cos(\theta + 2\pi/3)}$,$c = \frac{k}{\cos(\theta + 4\pi/3)}$ है।
सेकेंट के योग के सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$a+b+c = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए $(a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ca) = 0$ है।
चूँकि $1 + 2(ab + bc + ca) = 0$,इसलिए $ab + bc + ca = -1/2$ है।
अतः $\cos \phi = \frac{-1/2}{1} = -1/2$,जिससे $\phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{b}$ का प्रक्षेप = $\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{c}$ का प्रक्षेप।
$\Rightarrow \frac{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} \Rightarrow \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$.
साथ ही,$\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ पर लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
मान लीजिए $k = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$k^2 = |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,पद कट जाएंगे:
$k^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) - 2(0) = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2$.
दिए गए परिमाण $|\overrightarrow{a}|=2, |\overrightarrow{b}|=4, |\overrightarrow{c}|=4$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$k^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36$.
अतः,$k = \sqrt{36} = 6$.

(A) दिया गया है कि $|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overrightarrow{x}|^2+|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}|^2$
$|\overrightarrow{y}|^2+2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=0$ --- $(1)$
दिया गया है कि $(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})$,$\overrightarrow{y}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(2\overrightarrow{x}+\lambda\overrightarrow{y})\cdot\overrightarrow{y}=0$
$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=-|\overrightarrow{y}|^2$। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$-|\overrightarrow{y}|^2+\lambda|\overrightarrow{y}|^2=0$
$(\lambda-1)|\overrightarrow{y}|^2=0$
चूंकि $\overrightarrow{y}$ एक शून्येतर सदिश है,इसलिए $|\overrightarrow{y}|^2 \neq 0$। अतः,$\lambda-1=0$,जिससे $\lambda=1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\theta$ इकाई सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है।
हम जानते हैं कि $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{1+1+2\cos \theta} = \sqrt{2+2\cos \theta} = 2|\cos(\theta/2)|$.
इसी प्रकार,$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} = \sqrt{2-2\cos \theta} = 2|\sin(\theta/2)|$.
व्यंजक $f(\theta) = \sqrt{3}(2|\cos(\theta/2)|) + 2|\sin(\theta/2)|$ बन जाता है।
कॉची-श्वार्ट्ज असमिका या $a\cos x + b\sin x \leq \sqrt{a^2+b^2}$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर,अधिकतम मान $\sqrt{(\sqrt{3} \times 2)^2 + 2^2} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{r}$,जिसे हम $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$.
इसका मतलब है कि $\overrightarrow{r}$,$(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ के समानांतर है।
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
अतः,$\overrightarrow{r} = \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
$\overrightarrow{r}$ का मान $\overrightarrow{r} \cdot (\alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3$ में रखने पर:
$\lambda(3\alpha - 2 + 2) = 3 \Rightarrow 3\lambda\alpha = 3 \Rightarrow \lambda\alpha = 1$.
$\overrightarrow{r}$ का मान $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} - \alpha\hat{k}) = -1$ में रखने पर:
$\lambda(6 - 5 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda(1 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda - 2\lambda\alpha = -1$.
चूंकि $\lambda\alpha = 1$,इसलिए $\lambda - 2(1) = -1 \Rightarrow \lambda = 1$.
तब $\alpha = 1/\lambda = 1$.
इस प्रकार,$\overrightarrow{r} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{r}|^{2} = 3^{2} + (-1)^{2} + 2^{2} = 9 + 1 + 4 = 14$.
अंत में,$\alpha + |\overrightarrow{r}|^{2} = 1 + 14 = 15$.

(C) चूंकि $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\overrightarrow{x} = \lambda\overrightarrow{a} + \mu\overrightarrow{b} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2\lambda + \mu)\hat{i} + (2\mu - \lambda)\hat{j} + (\lambda - \mu)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{x} \perp (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$,इसलिए $\overrightarrow{x} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(2\lambda + \mu) + 2(2\mu - \lambda) - 1(\lambda - \mu) = 0 \implies 6\lambda + 3\mu + 4\mu - 2\lambda - \lambda + \mu = 0 \implies 3\lambda + 8\mu = 0 \implies \lambda = -\frac{8}{3}\mu$.
$\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{x}$ का प्रक्षेप $\frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{17\sqrt{6}}{2}$ है।
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} = (2\lambda + \mu)(2) + (2\mu - \lambda)(-1) + (\lambda - \mu)(1) = 4\lambda + 2\mu - 2\mu + \lambda + \lambda - \mu = 6\lambda - \mu$.
अतः,$\frac{6\lambda - \mu}{\sqrt{6}} = \frac{17\sqrt{6}}{2} \implies 6\lambda - \mu = 51$.
$\lambda = -\frac{8}{3}\mu$ को $6\lambda - \mu = 51$ में प्रतिस्थापित करने पर: $6(-\frac{8}{3}\mu) - \mu = 51 \implies -16\mu - \mu = 51 \implies -17\mu = 51 \implies \mu = -3$.
अतः $\lambda = -\frac{8}{3}(-3) = 8$.
इस प्रकार,$\overrightarrow{x} = 8(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - 3(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (16-3)\hat{i} + (-8-6)\hat{j} + (8+3)\hat{k} = 13\hat{i} - 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
$|\overrightarrow{x}|^{2} = 13^2 + (-14)^2 + 11^2 = 169 + 196 + 121 = 486$.

(B) माना $\vec{c} = \overline{AB}, \vec{b} = \overline{AC},$ और $\vec{a} = \overline{BC}.$ दिया गया है $|\vec{a}|=8, |\vec{b}|=7, |\vec{c}|=10.$
$\triangle ABC$ में शीर्ष $A$ पर कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta$ सदिश $\overline{AB}$ और $\overline{AC}$ के बीच का कोण है:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$
$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos \theta$
$64 = 49 + 100 - 140 \cos \theta$
$140 \cos \theta = 149 - 64 = 85$
$\cos \theta = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}.$
सदिश $\overline{AB}$ (जो $\vec{c}$ है) का $\overline{AC}$ (जो $\vec{b}$ है) पर प्रक्षेप $|\vec{c}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}.$

(A) चूंकि $\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के साथ समतलीय है,हम $\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,इसलिए $\overrightarrow{b} \cdot (x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}) = 0$,जिसका अर्थ है $x(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + y|\overrightarrow{b}|^{2} = 0$.
यहाँ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = -1$ और $|\overrightarrow{b}|^{2} = 2^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 5$ है।
अतः,$-x + 5y = 0 \Rightarrow x = 5y$.
इस प्रकार,$\overrightarrow{c} = y(5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = y(5(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k})) = y(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})$.
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 7$,इसलिए $y((-1)(-3) + (1)(5) + (1)(6)) = 7 \Rightarrow y(3 + 5 + 6) = 7 \Rightarrow 14y = 7 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
अतः,$\overrightarrow{c} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k}) + (-\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 - 1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (1 + \frac{5}{2})\hat{j} + (1 + 1 + 3)\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} + 5\hat{k}$.
अंत में,$2|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^{2} = 2((\frac{-1}{2})^{2} + (\frac{7}{2})^{2} + 5^{2}) = 2(\frac{1}{4} + \frac{49}{4} + 25) = 2(\frac{50}{4} + 25) = 2(12.5 + 25) = 2(37.5) = 75$.

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,जिसे हम $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ के समांतर है,अतः किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}$ होगा।
दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,अतः $\overrightarrow{r}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1 + 1 = 2$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(0) = 1 - 2 = -1$.
इस प्रकार,$2 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + 2|\overrightarrow{a}|^2$.
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
अतः,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0 + 2(6) = 12$.

(D) मान लीजिए कि फर्श के शीर्ष $A(0,0,0)$,$B(10,0,0)$,$C(10,10,0)$,और $D(0,10,0)$ हैं। मान लीजिए कि हॉल की ऊँचाई $h$ है। तो छत के शीर्ष $E(0,0,h)$,$F(10,0,h)$,$G(10,10,h)$,और $H(0,10,h)$ होंगे।
सदिश $\overrightarrow{AG} = (10-0)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = 10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$ है।
सदिश $\overrightarrow{BH} = (0-10)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = -10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{AG}$ और $\overrightarrow{BH}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BH}}{|\overrightarrow{AG}| |\overrightarrow{BH}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\cos \theta = \frac{1}{5}$,तो:
$\frac{1}{5} = \frac{(10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k})}{\sqrt{10^2 + 10^2 + h^2} \sqrt{(-10)^2 + 10^2 + h^2}}$
$\frac{1}{5} = \frac{-100 + 100 + h^2}{200 + h^2} = \frac{h^2}{200 + h^2}$ है।
$200 + h^2 = 5h^2 \Rightarrow 4h^2 = 200 \Rightarrow h^2 = 50 \Rightarrow h = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ मीटर।

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
माना $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिशों का योग $\vec{b} = \vec{v_1} + \vec{v_2} = (2 - \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2 - \lambda) + (2)(6) + (1)(-2) = 2 - \lambda + 12 - 2 = 12 - \lambda$.
इसके बाद,$\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{b}| = \sqrt{(2 - \lambda)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 - 4\lambda + \lambda^2 + 36 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}$.
प्रक्षेप को $1$ के बराबर रखने पर: $\frac{12 - \lambda}{\sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(12 - \lambda)^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 24\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 44 = 24\lambda - 4\lambda$.
$100 = 20\lambda$.
$\lambda = 5$.

(C) दिया गया है कि $|2 \vec{a}+3 \vec{b}|=|3 \vec{a}+\vec{b}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|2 \vec{a}+3 \vec{b}|^{2}=|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}$ प्राप्त होता है।
$(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+3 \vec{b}) = (3 \vec{a}+\vec{b}) \cdot (3 \vec{a}+\vec{b})$.
$4|\vec{a}|^{2} + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^{2} = 9|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$8|\vec{b}|^{2} - 5|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{8} \vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\frac{1}{8} \vec{a}| = 1 \Rightarrow |\vec{a}| = 8$.
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 8 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2} = 4|\vec{b}|$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $8|\vec{b}|^{2} + 6(4|\vec{b}|) - 5(8)^{2} = 0$.
$8|\vec{b}|^{2} + 24|\vec{b}| - 320 = 0$.
$8$ से विभाजित करने पर,$|\vec{b}|^{2} + 3|\vec{b}| - 40 = 0$ प्राप्त होता है।
$(|\vec{b}| + 8)(|\vec{b}| - 5) = 0$.
चूंकि सदिश का परिमाण $|\vec{b}|$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $|\vec{b}| = 5$.

(D) मान लीजिए सदिशों का परिमाण $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ है। चूंकि वे परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ है।
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है। तब $|\vec{v}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3k^2$ है।
अतः,$|\vec{v}| = \sqrt{3}k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{a}| |\vec{v}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{k \cdot \sqrt{3}k} = \frac{|\vec{a}|^2 + 0 + 0}{\sqrt{3}k^2} = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हमें $36 \cos^2 2\theta$ का मान ज्ञात करना है। सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos 2\theta = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$36 \cos^2 2\theta = 36(-\frac{1}{3})^2 = 36(\frac{1}{9}) = 4$ है।

(A) माना $\vec{a} = \overrightarrow{BC}$,$\vec{b} = \overrightarrow{AC}$,और $\vec{c} = \overrightarrow{BA}$ है।
दिया गया है $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$,और $|\vec{c}| = 7$ है।
त्रिभुज $ABC$ में,शीर्ष $B$ पर कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{BA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2 |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos(\angle ABC)$
$5^2 = 7^2 + 3^2 - 2(7)(3) \cos(\angle ABC)$
$25 = 49 + 9 - 42 \cos(\angle ABC)$
$25 = 58 - 42 \cos(\angle ABC)$
$42 \cos(\angle ABC) = 58 - 25 = 33$
$\cos(\angle ABC) = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$ है।
सदिश $\overrightarrow{BA}$ का सदिश $\overrightarrow{BC}$ पर प्रक्षेप $|\overrightarrow{BA}| \cos(\angle ABC)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप $= 7 \times \frac{11}{14} = \frac{11}{2}$।

(A) दिया गया है $\vec{v}_{1} = \sqrt{3} p \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + (p + 1) \hat{j}$.
चूंकि घूर्णन सदिश के परिमाण को संरक्षित करता है,$|\vec{v}_{1}| = |\vec{v}_{2}|$.
$(\sqrt{3}p)^2 + 1^2 = 2^2 + (p + 1)^2$
$3p^2 + 1 = 4 + p^2 + 2p + 1$
$2p^2 - 2p - 4 = 0 \Rightarrow p^2 - p - 2 = 0$.
$p$ के लिए हल करने पर,$(p - 2)(p + 1) = 0$. चूंकि $p > 0$,इसलिए $p = 2$.
अतः,$\vec{v}_{1} = 2\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
$|\vec{v}_{1}| = \sqrt{13}$ और $|\vec{v}_{2}| = \sqrt{13}$.
$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = |\vec{v}_{1}| |\vec{v}_{2}| \cos \theta$ का उपयोग करने पर,$(2\sqrt{3})(2) + (1)(3) = 13 \cos \theta$.
$4\sqrt{3} + 3 = 13 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{4\sqrt{3} + 3}{13}$.
$\sin \theta = \frac{6\sqrt{3} - 2}{13}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{6\sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$.
$\frac{\alpha \sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $|\vec{a}|=2$ और $|\vec{b}|=5$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta = 8$.
मान रखने पर: $2 \times 5 \times \sin \theta = 8 \implies 10 \sin \theta = 8 \implies \sin \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
अतः,$|\cos \theta| = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
अब,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| |\cos \theta|$.
$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 2 \times 5 \times \frac{3}{5} = 6$.