Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $(\vec{a} + 3\vec{b}) \perp (7\vec{a} - 5\vec{b})$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 21\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$
$7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$ ...... $(i)$
इसी प्रकार,$(\vec{a} - 5\vec{b}) \perp (7\vec{a} + 3\vec{b})$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{a} - 5\vec{b}) \cdot (7\vec{a} + 3\vec{b}) = 0$
$7|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 35\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 32\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$ ...... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2) - (7|\vec{a}|^2 - 32\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2) = 0$
$48\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अशून्य सदिश हैं,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \perp \vec{b}$।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) माना $\vec a$ और $\vec b$,$\vec b$ और $\vec c$,तथा $\vec c$ और $\vec a$ के बीच के कोण क्रमशः $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ हैं।
प्रक्षेप की लंबाइयाँ $p_1 = |\vec a| \cos \theta_1 = 2 \cos \theta_1$,$p_2 = |\vec b| \cos \theta_2 = 3 \cos \theta_2$,और $p_3 = |\vec c| \cos \theta_3 = 9 \cos \theta_3$ हैं।
चूँकि ये लंबाइयाँ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $p_2^2 = p_1 p_3$ होगा।
मान रखने पर: $(3 \cos \theta_2)^2 = (2 \cos \theta_1)(9 \cos \theta_3)$.
$9 \cos^2 \theta_2 = 18 \cos \theta_1 \cos \theta_3$.
$\cos^2 \theta_2 = 2 \cos \theta_1 \cos \theta_3$.
यहाँ $\theta_1 = \frac{5\pi}{12}$ और $\theta_3 = \frac{\pi}{12}$ दिया गया है।
$\cos^2 \theta_2 = 2 \cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta_2 = \cos \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) + \cos \left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right)$.
$\cos^2 \theta_2 = \cos \left(\frac{6\pi}{12}\right) + \cos \left(\frac{4\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$\cos^2 \theta_2 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
चूँकि कोण न्यून है,$\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta_2 = \frac{\pi}{4}$।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी इकाई सदिश $\hat{u}$ के लिए,$|\hat{u}|^2 = 1$ होता है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\hat{a}+\hat{b}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b})$।
इसी प्रकार,$|\hat{b}+\hat{c}|^2 = 2 + 2(\hat{b} \cdot \hat{c})$ और $|\hat{c}+\hat{a}|^2 = 2 + 2(\hat{c} \cdot \hat{a})$।
इनका योग करने पर,$S = |\hat{a}+\hat{b}|^2 + |\hat{b}+\hat{c}|^2 + |\hat{c}+\hat{a}|^2 = 6 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a})$।
सर्वसमिका $|\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + |\hat{c}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a})$ पर विचार करें।
चूंकि $|\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}|^2 \geq 0$,इसलिए $3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) \geq -3$।
इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $S \geq 6 - 3 = 3$।
अतः,न्यूनतम मान $3$ है।

(D) रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,$\lambda$ और $\mu$ के ऐसे मान होने चाहिए कि रेखाओं पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक समान हों।
पहली रेखा $\vec{r} = (2 + \lambda)\hat{i} + (1 - 2\lambda)\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
दूसरी रेखा $\vec{r} = 1\hat{i} + (1 + \mu)\hat{j} + (-3 + 2\mu)\hat{k}$ है।
घटकों की तुलना करने पर:
$1) 2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1$
$2) 1 - 2\lambda = 1 + \mu$
$3) 1 = -3 + 2\mu$
समीकरण $(3)$ से,$2\mu = 4 \Rightarrow \mu = 2$.
समीकरण $(2)$ के साथ संगति की जाँच करने पर:
$1 - 2(-1) = 1 + 2 \Rightarrow 1 + 2 = 3 \Rightarrow 3 = 3$. यह संगत है।
अतः,$\lambda = -1$ और $\mu = 2$.
इसलिए,$(\lambda + \mu) = -1 + 2 = 1$.

(D) यहाँ हम सदिशों $\vec{u} = (3, 4, 12)$ और $\vec{v} = (a, b, c)$ के लिए कौशी-श्वार्ट्ज असमिका का उपयोग करेंगे।
कौशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}|$.
यहाँ,$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3a + 4b + 12c$ है।
सदिश $\vec{u}$ का परिमाण $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1} = 1$ है।
इसलिए,$3a + 4b + 12c \leq 13 \times 1 = 13$ है।
अतः,अधिकतम संभव मान $13$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
सदिशों के योग का परिमाण लें: $|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|^2 \ge 0$.
$|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 + 1 + 1 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c}) = 3 - 2(\frac{3}{2}) = 3 - 3 = 0$.
चूंकि $|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|^2 = 0$,इसलिए $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$,जिसका अर्थ है $\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{b}|^2 = |\vec{a} + \vec{c}|^2 \implies 1 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{c} \implies 1 = 1 + 1 + 2\vec{a} \cdot \vec{c}$.
अतः,$2\vec{a} \cdot \vec{c} = -1$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{2}$.
अब,इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{3}{2} + \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$.
अंत में,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(A) मान लीजिए $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ और $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,जहाँ $|\vec{a}| = a$ और $|\vec{b}| = b$ है। चूँकि $M$,$OB$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{b}$ है।
तब $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$ है।
कोण समद्विभाजक $\overrightarrow{OL}$,$\frac{\vec{a}}{a} + \frac{\vec{b}}{b}$ की दिशा में है। अतः,$\overrightarrow{OL} = k(\frac{\vec{a}}{a} + \frac{\vec{b}}{b})$ है।
दिया है कि $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{OL}$,इसलिए $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OL} = 0$ है।
इस समीकरण को हल करने और $|\overrightarrow{AM}|:|\overrightarrow{OL}| = 1:2$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos \theta = 4/5$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि शीर्ष सदिशों द्वारा दर्शाए गए हैं। चूंकि $ABCD$ एक समकोण समलंब है जहाँ $AB$ लंबवत है $BC$ के और $AD$ समानांतर है $BC$ के,हम $B$ को मूल बिंदु $(0)$ पर रख सकते हैं। मान लीजिए $\vec{BA} = \vec{a}$ और $\vec{BC} = \vec{c}$। चूंकि $AD \parallel BC$ और $AD:BC = 2:3$,हमारे पास $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{c}$ है। अतः,$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$।
विकर्ण $AC$ और $BD$ लंबवत हैं,इसलिए $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$।
$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}) = 0$।
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$। डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 = \frac{2}{3}|\vec{c}|^2$।
अब,विकर्णों की लंबाई का अनुपात है:
$\frac{|\vec{AC}|}{|\vec{BD}|} = \frac{|\vec{c} - \vec{a}|}{|\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}|} = \frac{\sqrt{|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2}}{\sqrt{|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{c}|^2}}$।
$|\vec{a}|^2 = \frac{2}{3}|\vec{c}|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\sqrt{|\vec{c}|^2 + \frac{2}{3}|\vec{c}|^2}}{\sqrt{\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{c}|^2}} = \frac{\sqrt{\frac{5}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \sqrt{\frac{5}{3} \times \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{3}:\sqrt{2}$ है।

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} = (4 - 2x - \sin y)\vec{b} + (x^2 - 1)\vec{c}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (4 - 2x - \sin y)\vec{b} + (x^2 - 1)\vec{c}$.
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ गैर-संरेख हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2x - \sin y$
$2$) $-\vec{a} \cdot \vec{b} = x^2 - 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - x^2$.
दिया गया है कि $(\vec{c} \cdot \vec{c})\vec{a} = \vec{c}$,दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $(\vec{c} \cdot \vec{c})(\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{c}$.
चूंकि $\vec{c} \neq 0$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - x^2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$1 + (1 - x^2) = 4 - 2x - \sin y \Rightarrow 2 - x^2 = 4 - 2x - \sin y$.
व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2x + 2 = \sin y$. चूंकि $\sin y \leq 1$,इसलिए $x^2 - 2x + 2 \leq 1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 \leq 0 \Rightarrow (x - 1)^2 \leq 0$.
चूंकि वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $(x - 1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(D) हमें दिया गया है कि $\vec{a} + \vec{b} = \mu \vec{p}$,जिसका अर्थ है $\vec{a} = \mu \vec{p} - \vec{b}$.
हमें व्यंजक $E = |(\vec{a} \cdot \vec{q}) \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{a}|$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = |(\vec{p} \times \vec{a}) \times \vec{q}|$.
$\vec{a} = \mu \vec{p} - \vec{b}$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = |(\vec{p} \times (\mu \vec{p} - \vec{b})) \times \vec{q}| = |(\mu (\vec{p} \times \vec{p}) - (\vec{p} \times \vec{b})) \times \vec{q}|$.
चूंकि $\vec{p} \times \vec{p} = 0$,यह सरल होकर:
$E = |-(\vec{p} \times \vec{b}) \times \vec{q}| = |(\vec{b} \times \vec{p}) \times \vec{q}|$.
सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$E = |(\vec{b} \cdot \vec{q}) \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{b}|$.
दिया गया है कि $\vec{b} \cdot \vec{q} = 0$ और $|\vec{b}| = 1$,इसलिए:
$E = |0 \cdot \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{b}| = |-(\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{b}| = |\vec{p} \cdot \vec{q}| \cdot |\vec{b}| = |\vec{p} \cdot \vec{q}| \cdot 1 = |\vec{p} \cdot \vec{q}|$.

(C) चूंकि $\vec{r}$ सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ के समतल में है,हम लिख सकते हैं $\vec{r} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
$\vec{r} = (\lambda + \mu)\hat{i} - (2\lambda + \mu)\hat{j} + (\lambda - \mu)\hat{k}$.
दिया गया है $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = -2$,अतः $(\lambda + \mu) - (2\lambda + \mu) = -2$,जो सरल होकर $-\lambda = -2$ यानी $\lambda = 2$ देता है।
अब,$\hat{i} - \hat{j}$ पर $\vec{r}$ का प्रक्षेप $\frac{|\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j})|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 4\sqrt{2}$ है।
$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j}) = (\lambda + \mu) + (2\lambda + \mu) = 3\lambda + 2\mu$.
$\lambda = 2$ रखने पर,हमें $3(2) + 2\mu = 6 + 2\mu$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{|6 + 2\mu|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \Rightarrow |6 + 2\mu| = 8$.
स्थिति $1$: $6 + 2\mu = 8 \Rightarrow 2\mu = 2 \Rightarrow \mu = 1$.
तब $\vec{r} = (2+1)\hat{i} - (2(2)+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$.
$|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35}$.

(D) चूंकि बिंदु $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ समतलीय हैं,इसलिए गुणांकों का योग शून्य होगा: $\sin A + 2\sin 2B + 3\sin 3C = 4$.
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,$(\sin A + 2\sin 2B + 3\sin 3C)^2 \le (1^2 + 2^2 + 3^2)(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$.
$4^2 \le (1 + 4 + 9)(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$.
$16 \le 14(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$.
$\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C \ge \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.
अतः,$\frac{21}{8}(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C) \ge \frac{21}{8} \times \frac{8}{7} = 3$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - (\lambda^2 + 3\lambda)\hat{k}$।
हमें दिया गया है कि $\vec{a}$,$\vec{c} - \lambda\vec{b}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{a} \cdot (\vec{c} - \lambda\vec{b}) = 0$।
सबसे पहले,$\vec{c} - \lambda\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{c} - \lambda\vec{b} = (\hat{i} + 3\hat{j} - (\lambda^2 + 3\lambda)\hat{k}) - \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$
$= (1 - \lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} + (2\lambda - \lambda^2 - 3\lambda)\hat{k}$
$= (1 - \lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} - (\lambda^2 + \lambda)\hat{k}$।
अब,$\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लें:
$2(1 - \lambda) - 1(3 - \lambda) + 1(-(\lambda^2 + \lambda)) = 0$
$2 - 2\lambda - 3 + \lambda - \lambda^2 - \lambda = 0$
$-\lambda^2 - 2\lambda - 1 = 0$
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$
$(\lambda + 1)^2 = 0$
$\lambda = -1$।
चूंकि $\lambda$ का केवल एक ही मान प्राप्त होता है,इसलिए विभिन्न मानों का योग $-1$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{c} + \vec{a}) = 0$,और $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$।
इनका विस्तार करने पर:
$(i)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
(ii) $\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$
(iii) $\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0
\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$।
अब,योग के परिमाण का वर्ग ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$।
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5$ रखने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$।
अतः,$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।

(B) चूंकि $a, b, c$ एक $H.P.$ के $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ पद हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।
मान लीजिए कि इस $A.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
अतः,$\frac{1}{a} = A + (p-1)D, \frac{1}{b} = A + (q-1)D, \frac{1}{c} = A + (r-1)D$.
इनको घटाने पर,हमें $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = (p-q)D$,$\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = (q-r)D$,और $\frac{1}{c} - \frac{1}{a} = (r-p)D$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(q-r) = \frac{1/b - 1/c}{D} = \frac{c-b}{bcD}$,$(r-p) = \frac{a-c}{acD}$,और $(p-q) = \frac{b-a}{abD}$।
अब,अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v} = (q-r)\frac{1}{a} + (r-p)\frac{1}{b} + (p-q)\frac{1}{c}$ की गणना करें।
मान रखने पर: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{c-b}{bcD} \cdot \frac{1}{a} + \frac{a-c}{acD} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b-a}{abD} \cdot \frac{1}{c}$।
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{abcD} (c-b + a-c + b-a) = \frac{1}{abcD} (0) = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबकोणीय हैं।

(D) दिए गए सदिश $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,$\overrightarrow{OC} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$,और $\overrightarrow{OD} = \vec{a} - 2\vec{b}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{BD}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = (\vec{a} - 2\vec{b}) - \vec{b} = \vec{a} - 3\vec{b}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\vec{a} + 3\vec{b}) - \vec{a} = \vec{a} + 3\vec{b}$.
मान लीजिए $\overrightarrow{BD}$ और $\overrightarrow{AC}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तब,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|}$ होगा।
अदिश गुणनफल $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = (\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 9|\vec{b}|^2$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = 3|\vec{b}|$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9|\vec{b}|^2$ है।
इस मान को अदिश गुणनफल में रखने पर: $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 9|\vec{b}|^2 - 9|\vec{b}|^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \perp (\vec{b} + \vec{c})$,इसलिए $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
इसी प्रकार,$\vec{b} \perp (\vec{c} + \vec{a}) \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$.
और $\vec{c} \perp (\vec{a} + \vec{b}) \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.
अब,हम जानते हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
दिए गए परिमाणों $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$.
अतः,$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है। पद इस प्रकार हैं:
$a = A + (p - 1)D$
$b = A + (q - 1)D$
$c = A + (r - 1)D$
अदिश गुणनफल $\vec x \cdot \vec y$ इस प्रकार है:
$\vec x \cdot \vec y = (q - r)a + (r - p)b + (p - q)c$
$a, b, c$ के मान रखने पर:
$\vec x \cdot \vec y = (q - r)(A + (p - 1)D) + (r - p)(A + (q - 1)D) + (p - q)(A + (r - 1)D)$
$= A(q - r + r - p + p - q) + D[(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]$
$= A(0) + D[qp - q - rp + r + rq - r - pq + p + pr - p - qr + q]$
$= 0 + D[0] = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec x$ और $\vec y$ लंबकोणीय हैं।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{b}$ और $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
दिया गया है $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 1$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
ज्ञात मान रखने पर: $1 + 1 + 1 + 2(0 + \vec{b} \cdot \vec{c} + 0) = 1$.
$3 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 1$.
$2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = -2$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = -1$.
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta = -1$,और $|\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$,इसलिए $\cos \theta = -1$.
अतः,$\theta = \pi$.

(D) रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$L_1: \vec{r} = (2 + \lambda)\hat{i} + (1 - 2\lambda)\hat{j} + \hat{k}$
$L_2: \vec{r} = \hat{i} + (1 + \mu)\hat{j} + (-3 + 2\mu)\hat{k}$
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ के ऐसे मान होने चाहिए जिनके लिए निर्देशांक समान हों:
$2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1$
$1 - 2\lambda = 1 + \mu$
$1 = -3 + 2\mu \Rightarrow 2\mu = 4 \Rightarrow \mu = 2$
दूसरे समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर: $1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$,और $1 + \mu = 1 + 2 = 3$। चूँकि दोनों पक्ष समान हैं,रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,$\lambda + \mu = -1 + 2 = 1$।

(B) दिया गया है: $\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} = \vec{0}$ और $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\vec{a} + 2\vec{c} = -2\vec{b}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\vec{a} + 2\vec{c}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{c}) = (-2\vec{b}) \cdot (-2\vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4|\vec{b}|^2$.
परिमाणों का मान रखने पर: $1 + 4(1) + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4(1)$.
$5 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4 \Rightarrow 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = -1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{4}$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = (1)(1) - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
अतः,$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को संलग्न भुजाओं के अनुपात $AB:AC$ में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3$.
अनुपात $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
$BC$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{b}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3}$.
$\vec{D} = \frac{6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k})$.

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
हमारे पास $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ है। दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}|$।
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{c}|$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{2} \quad \dots (1)$
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$।
$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3 \Rightarrow \sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta = 3 \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta)^2 + (\sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2$
$3 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 + 9$
$3 |\vec{b}|^2 = 11$
$|\vec{b}|^2 = \frac{11}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{\frac{11}{3}}$।

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{A} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k},$ $\vec{B} = -\hat{i} + 3\hat{j} + p\hat{k},$ और $\vec{C} = 5\hat{i} + q\hat{j} - 4\hat{k}$ हैं।
चूंकि त्रिभुज $A$ पर समकोण है,इसलिए $\vec{AB} \perp \vec{AC},$ जिसका अर्थ है $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0.$
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + (p + 1)\hat{k}.$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = 2\hat{i} + (q - 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
अब,अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) की गणना करें:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4)(2) + (2)(q - 1) + (p + 1)(-3) = 0.$
$-8 + 2q - 2 - 3p - 3 = 0.$
$-3p + 2q - 13 = 0 \Rightarrow 3p - 2q + 13 = 0.$
$(p, q)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,रेखा $3x - 2y + 13 = 0$ प्राप्त होती है।
ढाल-अंतःखंड रूप में व्यवस्थित करने पर: $2y = 3x + 13 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{13}{2}.$
ढाल $m = \frac{3}{2}$ है। चूंकि $m > 0,$ रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण बनाती है।

(C) माना $\vec{AB} = \vec{u}$ और $\vec{AD} = \vec{v}$ है। तब $|\vec{u}| = a$ और $|\vec{v}| = b$ है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$ होता है।
दिया है कि $|\vec{AC}| = c$,इसलिए $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = c^2$ होगा।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = c^2$ प्राप्त होता है।
परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर,$a^2 + b^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) = c^2$ मिलता है।
अतः,$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2)$ होता है।
हमें $\overline{DA} \cdot \overline{AB}$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\overline{DA} = -\overline{AD}$ है,इसलिए $\overline{DA} \cdot \overline{AB} = -(\overline{AD} \cdot \overline{AB}) = -\frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2) = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - c^2)$ होगा।

(B) माना $\vec{d} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$.
तब $\vec{d} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} - (1+2\lambda)\hat{k}$.
$\vec{a}$ पर $\vec{d}$ का प्रक्षेप $\frac{|\vec{d} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\vec{d} \cdot \vec{a} = 2(1+\lambda) - 1(2+\lambda) + 1(-1-2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$ की गणना करें।
साथ ही,$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
अतः,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
इस प्रकार,$|-\lambda - 1| = 2$,जिसका अर्थ है $|\lambda + 1| = 2$.
इससे $\lambda + 1 = 2$ या $\lambda + 1 = -2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 1$ या $\lambda = -3$.
$\lambda = 1$ के लिए,$\vec{d} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\lambda = -3$ के लिए,$\vec{d} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ है।

(B) माना $\hat{a}$ और $\hat{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
दिया गया है $\hat{a} - \sqrt{3}\hat{b} + \hat{c} = \vec{0}.$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\hat{a} + \hat{c} = \sqrt{3}\hat{b}.$
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$(\hat{a} + \hat{c}) \cdot (\hat{a} + \hat{c}) = (\sqrt{3}\hat{b}) \cdot (\sqrt{3}\hat{b}).$
विस्तार करने पर:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{a} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} + \hat{c} \cdot \hat{c} = 3(\hat{b} \cdot \hat{b}).$
चूंकि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1, \hat{b} \cdot \hat{b} = 1, \hat{c} \cdot \hat{c} = 1.$
साथ ही,$\hat{a} \cdot \hat{c} = |\hat{a}||\hat{c}| \cos \theta = \cos \theta.$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + 2\cos \theta + 1 = 3(1).$
$2 + 2\cos \theta = 3.$
$2\cos \theta = 1.$
$\cos \theta = \frac{1}{2}.$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}.$

(D) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,विकर्ण $DB$ का मध्य-बिंदु $M$,विकर्ण $AC$ का भी मध्य-बिंदु होगा।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{(3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k})}{2} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ है।
सदिश $\vec{OM}$ का $\vec{OC}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ है।
यहाँ $\vec{OM} = 2\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{OC} = \hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
अतः,अदिश गुणनफल $\vec{OM} \cdot \vec{OC} = (2)(1) + (-1)(-5) + (0)(-5) = 2 + 5 + 0 = 7$ है।
$\vec{OC}$ का परिमाण $|\vec{OC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}$ है।
इस प्रकार,प्रक्षेप का परिमाण $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \frac{7}{\sqrt{51}}$ होगा।

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
समीकरण $\vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} = 0$ से,हमें $\vec{a} \times \vec{c} = -\vec{b}$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{c}$ की गणना करने पर:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}(-z) - \hat{j}(z) + \hat{k}(y + x) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x + y)\hat{k}$.
इसे $-\vec{b} = -(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ के बराबर रखने पर:
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$.
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$ (संगत).
$x + y = -1$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$,इसलिए $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = x - y = 4$.
समीकरणों को हल करने पर:
$x + y = -1$
$x - y = 4$
दोनों को जोड़ने पर: $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
दोनों को घटाने पर: $2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$.
अतः,$\vec{c} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{5}{2}\hat{j} + 1\hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (1)^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 1 = \frac{34}{4} + 1 = \frac{17}{2} + 1 = \frac{19}{2}$.

(D) $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right)\vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि यह प्रक्षेप सदिश $\vec{a}$ है,इसलिए $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = 1$,जिसका अर्थ है $\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 1 + 2 = 4$.
अब,$\vec{b} \cdot \vec{a} = (b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = b_{1} + b_{2} + 2$.
दोनों की तुलना करने पर,$b_{1} + b_{2} + 2 = 4$,इसलिए $b_{1} + b_{2} = 2$ .....$(1)$.
यह दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{c}$,इसलिए $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + b_{1})\hat{i} + (1 + b_{2})\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (1 + b_{1})(5) + (1 + b_{2})(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0$.
$5 + 5b_{1} + 1 + b_{2} + 4 = 0 \Rightarrow 5b_{1} + b_{2} = -10$ .....$(2)$.
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4b_{1} = -12 \Rightarrow b_{1} = -3$.
$b_{1} = -3$ को $(1)$ में रखने पर: $-3 + b_{2} = 2 \Rightarrow b_{2} = 5$.
अतः,$\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 25 + 2} = \sqrt{36} = 6$.

(B) दिया गया है कि $\vec{b} = 2\vec{a}$,इसलिए $4\hat{i} + (3 - \lambda_{2})\hat{j} + 6\hat{k} = 2(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\lambda_{1}\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $3 - \lambda_{2} = 2\lambda_{1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda_{2} = 3 - 2\lambda_{1}$ ... $(i)$.
चूंकि $\vec{a} \perp \vec{c}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + (\lambda_{3} - 1)\hat{k}) = 0$.
$2(3) + \lambda_{1}(6) + 3(\lambda_{3} - 1) = 0$.
$6 + 6\lambda_{1} + 3\lambda_{3} - 3 = 0$.
$3\lambda_{3} = -3 - 6\lambda_{1} \Rightarrow \lambda_{3} = -1 - 2\lambda_{1}$ ... $(ii)$.
अतः,त्रिक $(\lambda_{1}, 3 - 2\lambda_{1}, -1 - 2\lambda_{1})$ है।
यदि $\lambda_{1} = -\frac{1}{2}$ लें,तो $\lambda_{2} = 3 - 2(-\frac{1}{2}) = 4$ और $\lambda_{3} = -1 - 2(-\frac{1}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,संभावित मान $(-\frac{1}{2}, 4, 0)$ है।

(D) स्थिति सदिश $\vec{OA} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ हैं।
$OA$ और $OB$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}_A = \frac{\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}}{2}$ और $\hat{u}_B = \frac{\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}}{2}$ हैं।
$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक सदिश $\vec{u}_A + \vec{u}_B = \frac{(\sqrt{3}+1) \hat{i} + (1+\sqrt{3}) \hat{j}}{2}$ की दिशा में है,जो रेखा $y = x$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $C$ के निर्देशांक $(\beta, 1 + \beta)$ हैं।
रेखा $x - y = 0$ से बिंदु $C(x_0, y_0)$ की दूरी $d = \frac{|x_0 - y_0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यदि हम $C$ के निर्देशांक $(\beta, 1-\beta)$ लेते हैं,तो दूरी $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{2}} = \frac{|2\beta - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ होती है।
अतः $|2\beta - 1| = 3$,जिसका अर्थ है $2\beta - 1 = 3$ या $2\beta - 1 = -3$.
$\beta = 2$ या $\beta = -1$.
मानों का योग $= 2 + (-1) = 1$.

(D) चूंकि $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{a}$ को $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,इकाई सदिश ज्ञात करें:
$\hat{b} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{c} = \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{18}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}}$
अतः,$\overrightarrow{a} = \lambda (\hat{b} + \hat{c}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} \right) = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} [3(\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k})] = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
इसे $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$ के साथ तुलना करने पर,हमारे पास $y$-घटक $2$ है। इसलिए,$\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} \times 2 = 2$,जिससे $\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\overrightarrow{a} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
विकल्पों की जांच करने पर:
$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} = 4$. इसलिए,$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} - 4 = 0$.

(A) माना बिंदु $P(1, -1, 3)$ और $Q(2, -4, 11)$ हैं। सदिश $\overrightarrow{PQ} = (2-1)\hat{i} + (-4 - (-1))\hat{j} + (11-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 8\hat{k}$ है।
माना रेखा पर स्थित बिंदु $A(-1, 2, 3)$ और $B(3, -2, 10)$ हैं। सदिश $\overrightarrow{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (10-3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ है।
$\overrightarrow{AB}$ का परिमाण $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ है।
$\overrightarrow{PQ}$ का $\overrightarrow{AB}$ पर प्रक्षेप सूत्र $\left| \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = (1)(4) + (-3)(-4) + (8)(7) = 4 + 12 + 56 = 72$ है।
अतः,प्रक्षेप $\left| \frac{72}{9} \right| = 8$ है।

(A) किया गया कार्य बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है,जिसे $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक अदिश मान देता है,इसलिए कार्य में केवल परिमाण होता है और कोई निश्चित दिशा नहीं होती है।
अतः,किया गया कार्य एक अदिश राशि है।

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$,और $\vec{c} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (3-1)\hat{i} + (-4+3)\hat{j} + (-4+5)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (2-3)\hat{i} + (-1+4)\hat{j} + (1+4)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
अब,इन भुजाओं के परिमाण के वर्गों की गणना करते हैं:
$|\vec{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\vec{CA}|^2 = (-1)^2 + (3)^2 + (5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
यहाँ ध्यान दें कि $|\vec{AB}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2$ क्योंकि $41 = 6 + 35$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण शीर्ष $C$ पर स्थित है।

(N/A) बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
सबसे पहले,हम त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिशों की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-3)\hat{i} + (-1+4)\hat{j} + (1+4)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1-2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (3-1)\hat{i} + (-4+3)\hat{j} + (-4+5)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
अब,हम इन सदिशों के परिमाणों के वर्ग ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$|\overrightarrow{BC}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\overrightarrow{CA}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
चूंकि $|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\overrightarrow{BC}|^2$,दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है।
अतः,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(A) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के अदिश गुणनफल का सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 2$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $1 = (1)(2) \cos \theta$.
यह सरल होकर $1 = 2 \cos \theta$ हो जाता है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(A) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ज्ञात कीजिए:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$
इसके बाद,परिमाण $|\vec{a}|$ और $|\vec{b}|$ ज्ञात कीजिए:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}$
अतः,अभीष्ट कोण $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ है।

हम जानते हैं कि दो शून्येतर सदिश परस्पर लंब होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो।
सबसे पहले,$\vec{a}+\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a}+\vec{b}=(5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = 6 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$
इसके बाद,$\vec{a}-\vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a}-\vec{b}=(5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})-(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = 4 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}$
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})$ ज्ञात करें:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = (6 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot (4 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k})$
$= (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2)$
$= 24 - 8 - 16$
$= 24 - 24 = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ परस्पर लंब हैं।

(B) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(2) + (2)(1) = 2 + 6 + 2 = 10$.
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
अंत में,प्रक्षेप का मान:
$\frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5}{3} \sqrt{6}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ है।
दिया गया समीकरण $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 8$ है।
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{x} - \vec{a} \cdot \vec{a} = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि अदिश गुणन क्रमविनिमेय है,$\vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{x}$,इसलिए ये पद कट जाएंगे:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 8$।
$|\vec{a}| = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{x}|^2 - 1^2 = 8$।
$|\vec{x}|^2 - 1 = 8$।
$|\vec{x}|^2 = 9$।
वर्गमूल लेने पर,चूंकि सदिश का परिमाण $|\vec{x}|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है:
$|\vec{x}| = 3$।

(A) असमिका $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ को कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के रूप में जाना जाता है।
स्थिति $1$: यदि $\vec{a} = \vec{0}$ या $\vec{b} = \vec{0}$ है,तो $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 0$ और $|\vec{a}| |\vec{b}| = 0$ होता है। अतः,$0 \leq 0$ सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $\vec{a} \neq \vec{0}$ और $\vec{b} \neq \vec{0}$ है,तो हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान लेने पर,हमें $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए हमारे पास $|\cos \theta| \leq 1$ है।
$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (जो धनात्मक है) से गुणा करने पर,हमें $|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ हमेशा सत्य है।

(B) दिया गया है कि,
$|\vec{a}| = \sqrt{3}$,$|\vec{b}| = 2$,और $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6}$.
हम जानते हैं कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{6} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

(A) माना कि दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{3^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
मान रखने पर: $10 = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cos \theta$.
$10 = 14 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$।

(A) माना $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{प्रक्षेप} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$.
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,प्रक्षेप होगा:
$\frac{0}{\sqrt{2}} = 0$.
इस प्रकार,सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $0$ है।

(A) माना कि $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{b} = 7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{प्रक्षेप} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(7) + (3)(-1) + (7)(8) = 7 - 3 + 56 = 60$.
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{b}| = \sqrt{7^{2} + (-1)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{49 + 1 + 64} = \sqrt{114}$.
अतः,प्रक्षेप का मान है:
$\frac{60}{\sqrt{114}}$।

(A) दिया गया है: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ और $|\vec{a}|=8|\vec{b}|.$
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 8$
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,इसलिए:
$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8$
समीकरण में $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$ रखने पर:
$(8|\vec{b}|)^2 - |\vec{b}|^2 = 8$
$64|\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8$
$63|\vec{b}|^2 = 8$
$|\vec{b}|^2 = \frac{8}{63}$
$|\vec{b}| = \sqrt{\frac{8}{63}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}$
अब,$|\vec{a}|$ ज्ञात कीजिए:
$|\vec{a}| = 8|\vec{b}| = 8 \times \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} = \frac{16\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}$

(A) $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b})$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणन (dot product) के वितरण नियम का उपयोग करते हैं:
$(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b}) = 3 \vec{a} \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b}) - 5 \vec{b} \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b})$
$= (3 \vec{a} \cdot 2 \vec{a}) + (3 \vec{a} \cdot 7 \vec{b}) - (5 \vec{b} \cdot 2 \vec{a}) - (5 \vec{b} \cdot 7 \vec{b})$
चूंकि अदिश गुणन क्रमविनिमेय है,$\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$,और $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^{2}$:
$= 6(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 21(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35(\vec{b} \cdot \vec{b})$
$= 6|\vec{a}|^{2} + (21-10)(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35|\vec{b}|^{2}$
$= 6|\vec{a}|^{2} + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35|\vec{b}|^{2}$

(A) माना सदिशों का परिमाण $|\vec{a}| = |\vec{b}| = x$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} = x \cdot x \cdot \cos(60^{\circ})$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = x^2 \cdot \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$1 = x^2$
वर्गमूल लेने पर (चूंकि परिमाण हमेशा धनात्मक होता है):
$x = 1$
अतः,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.