Mix Examples-Vector Algebra Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $\vec{a} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k)$.
$1$. તે એકમ સદિશ છે કે નહીં તે તપાસો:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = 1$.
તેથી,તે એકમ સદિશ છે.
$2$. તે $\vec{b} = 3i + 2j - 2k$ ને લંબ છે કે નહીં તે તપાસો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k) \cdot (3i + 2j - 2k) = \frac{1}{3}(2 \times 3 + (-2) \times 2 + 1 \times (-2)) = \frac{1}{3}(6 - 4 - 2) = \frac{1}{3}(0) = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,તેઓ લંબ છે.
$3$. તે $\vec{c} = -i + j - \frac{1}{2}k$ ને સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસો:
$\vec{a} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k) = -\frac{2}{3}(-i + j - \frac{1}{2}k) = -\frac{2}{3}\vec{c}$.
$\vec{a} = k\vec{c}$ હોવાથી,તેઓ સમાંતર છે.
બધી શરતો સંતોષાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. કારણ કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,$|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
$v = a \times b$,તેથી $|v| = |a||b| \sin \theta = \sin \theta$.
હવે,$u = a - (a \cdot b)b = a - (\cos \theta)b$.
$|u|^2 = u \cdot u = (a - \cos \theta \, b) \cdot (a - \cos \theta \, b) = |a|^2 + \cos^2 \theta |b|^2 - 2 \cos \theta (a \cdot b) = 1 + \cos^2 \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
આમ,$|u| = \sin \theta$.
$|v|$ અને $|u|$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $|v| = |u|$ મળે છે.
વળી,$u \cdot b = (a - \cos \theta \, b) \cdot b = a \cdot b - \cos \theta (b \cdot b) = \cos \theta - \cos \theta = 0$.
તેથી,$|u| + |u \cdot b| = |u| + 0 = |u| = |v|$.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\overrightarrow{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}((3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}))$
$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(8\hat{i} + 0\hat{j} + 6\hat{k})$
$\overrightarrow{AD} = 4\hat{i} + 3\hat{k}$
મધ્યગાની લંબાઈ એ $\overrightarrow{AD}$ નું માન છે:
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}$
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ units}$.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{AB} = \vec{c}$ અને $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$.
તેથી,$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+4} = \frac{4\vec{c} + \vec{b}}{5}$.
બિંદુ $E$ એ $CA$ નું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AC}}{3+2} = \frac{2\vec{b}}{5}$.
તેથી,$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{2\vec{b}}{5} - \vec{c} = \frac{2\vec{b} - 5\vec{c}}{5}$.
બિંદુ $F$ એ $AB$ નું $3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$\overrightarrow{AF} = \frac{3\overrightarrow{AB}}{3+7} = \frac{3\vec{c}}{10}$.
તેથી,$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = \frac{3\vec{c}}{10} - \vec{b} = \frac{3\vec{c} - 10\vec{b}}{10}$.
હવે,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{4\vec{c} + \vec{b}}{5} + \frac{2\vec{b} - 5\vec{c}}{5} + \frac{3\vec{c} - 10\vec{b}}{10} = \frac{8\vec{c} + 2\vec{b} + 4\vec{b} - 10\vec{c} + 3\vec{c} - 10\vec{b}}{10} = \frac{\vec{c} - 4\vec{b}}{10}$.
બિંદુ $K$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{\vec{c}}{4}$.
તેથી $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AC} = \frac{\vec{c}}{4} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - 4\vec{b}}{4}$.
ગુણોત્તર = $\frac{(\vec{c} - 4\vec{b})/10}{(\vec{c} - 4\vec{b})/4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

(C) ધારો કે $a, b, c$ અને $d$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો છે.
ધારો કે $E, F, G$ અને $H$ એ બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
આ મધ્યબિંદુઓના સ્થાન સદિશો:
$\overrightarrow{OE} = \frac{a+b}{2}, \overrightarrow{OF} = \frac{b+c}{2}, \overrightarrow{OG} = \frac{c+d}{2}, \overrightarrow{OH} = \frac{d+a}{2}$
હવે,ચતુષ્કોણ $EFGH$ ની બાજુઓ:
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} = \frac{b+c}{2} - \frac{a+b}{2} = \frac{c-a}{2}$
$\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OF} = \frac{c+d}{2} - \frac{b+c}{2} = \frac{d-b}{2}$
$EFGH$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ તેની બે પાસપાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું થાય:
$\text{Area} = |\overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{FG}| = |\frac{c-a}{2} \times \frac{d-b}{2}|$
$= \frac{1}{4} |(c-a) \times (d-b)|$
$= \frac{1}{4} |c \times d - c \times b - a \times d + a \times b|$
$= \frac{1}{4} |a \times b + b \times c + c \times d + d \times a|$

(B) આપેલ છે $r = \lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \lambda_3 r_3$.
$r_1, r_2, r_3$ અને $r$ ની કિંમતો મૂકતા:
$2a - 3b + 4c = \lambda_1(a - b + c) + \lambda_2(b + c - a) + \lambda_3(c + a + b)$
$2a - 3b + 4c = (\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3)a + (-\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)b + (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3)c$
$a, b, c$ અસમતલીય હોવાથી,સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) \lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 = 2$
$2) -\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = -3$
$3) \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 4$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2\lambda_3 = -1 \Rightarrow \lambda_3 = -\frac{1}{2}$ મળે.
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,$2\lambda_3 + 2\lambda_2 = 1 \Rightarrow -1 + 2\lambda_2 = 1 \Rightarrow \lambda_2 = 1$ મળે.
$(3)$ માં $\lambda_2$ અને $\lambda_3$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda_1 + 1 - \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow \lambda_1 = 3.5 = \frac{7}{2}$ મળે.
હવે વિકલ્પો તપાસતા:
$(B) \lambda_1 + \lambda_3 = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3$. (સાચું)
$(C) \lambda_3 + \lambda_2 = -\frac{1}{2} + 1 = 0.5 \neq 2$. (ખોટું)
આમ,માત્ર વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\overrightarrow{AD}$ છે.
સદિશો માટેના મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$\overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$.
આપેલા સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{AD} = \frac{(3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k})}{2}$
$\overrightarrow{AD} = \frac{(3+5)\hat{i} + (5-5)\hat{j} + (4+2)\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{AD} = \frac{8\hat{i} + 0\hat{j} + 6\hat{k}}{2}$
$\overrightarrow{AD} = 4\hat{i} + 3\hat{k}$
મધ્યગાની લંબાઈ એ $\overrightarrow{AD}$ નું માન છે:
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2}$
$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે નીચેના સંબંધો છે:
$\overline{AP} + \overline{PB} = \overline{AB}$
$\overline{AQ} + \overline{QB} = \overline{AB}$
$\overline{AR} + \overline{RB} = \overline{AB}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(\overline{AP} + \overline{AQ} + \overline{AR}) + (\overline{PB} + \overline{QB} + \overline{RB}) = \overline{AB} + \overline{AB} + \overline{AB}$
તેથી,પરિણામી બળ $3\,\overline{AB}$ છે.

(D) ધારો કે $ABCDEF$ એક નિયમિત ષષ્ટકોણ છે.
નિયમિત ષષ્ટકોણના ગુણધર્મો મુજબ,$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{EB} = 2\overrightarrow{FA}$ અને $\overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{AB}$ થાય.
હવે,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{FA} + 2\overrightarrow{AB}$
$= 2(\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$
$= 2(\overrightarrow{FC})$
$= 2(2\overrightarrow{AB})$
$= 4\overrightarrow{AB}$.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$.
તેથી $\overrightarrow{BC} = \vec{b} - \vec{a}$.
બિંદુ $D$ એ $BC$ નું $1:4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+4} = \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5}$.
બિંદુ $E$ એ $CA$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AA}}{5} = \frac{2\vec{b}}{5}$. તેથી $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{2\vec{b}}{5} - \vec{a} = \frac{2\vec{b} - 5\vec{a}}{5}$.
બિંદુ $F$ એ $AB$ નું $3:7$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,$\overrightarrow{AF} = \frac{3\overrightarrow{AB}}{10} = \frac{3\vec{a}}{10}$. તેથી $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = \frac{3\vec{a}}{10} - \vec{b} = \frac{3\vec{a} - 10\vec{b}}{10}$.
સરવાળો કરતા: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{8\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{b} - 5\vec{a} + 3\vec{a} - 10\vec{b}}{10} = \frac{6\vec{a} - 6\vec{b}}{10} = \frac{3}{5}(\vec{a} - \vec{b})$.
અહીં $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AC}$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ ગુણોત્તર $2:5$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = (x, y, z)$. $\vec{a}$ એ $y$-અક્ષ સાથે ગુરુકોણ બનાવતું હોવાથી,$y$-ઘટક ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $y < 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}| |\vec{c}|}$.
અહીં $|\vec{b}| = \sqrt{y^2 + 4z^2 + 9x^2}$ અને $|\vec{c}| = \sqrt{4z^2 + 9x^2 + y^2}$ હોવાથી $|\vec{b}| = |\vec{c}|$ થાય છે.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$.
$xy - 2yz + 3zx = 2zx + 3xy - yz$.
$2xy + yz - zx = 0$ ... $(i)$.
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,તેથી $x - y + 2z = 0$,જે આપણને $z = \frac{y - x}{2}$ આપે છે ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$2xy + y(\frac{y - x}{2}) - x(\frac{y - x}{2}) = 0$.
$4xy + y^2 - xy - xy + x^2 = 0$.
$x^2 + 2xy + y^2 = 0 \Rightarrow (x + y)^2 = 0 \Rightarrow y = -x$.
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$z = \frac{-x - x}{2} = -x$.
તેથી,$\vec{a} = (x, -x, -x)$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 2\sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{x^2 + (-x)^2 + (-x)^2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x|\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x| = 2$.
$y < 0$ અને $y = -x$ હોવાથી,$x = 2$ લેવું પડે.
તેથી,$x = 2, y = -2, z = -2$.
આમ,$\vec{a} = (2, -2, -2)$.

(C) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,બાજુઓ સમાન મૂલ્યની અને સામસામેની બાજુઓને સમાંતર હોય છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,સદિશ $\vec{AD}$ એ $\vec{BC}$ ને સમાંતર છે અને તેનું મૂલ્ય બમણું છે,તેથી $\vec{AD} = 2\vec{BC} = 2\vec{b}$.
વળી,$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = 2\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$.
ષટ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\vec{FA} = \vec{CD} = \vec{b} - \vec{a}$ એ દિશાને આધારે ખોટું છે,સાચો જવાબ $\vec{FA} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ છે.
તો,પરિણામી બળ એ સદિશોનો સરવાળો છે:
$\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA}$
$= (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{d})$
$= \vec{a} - \vec{b} + \vec{c} - \vec{b} + \vec{d} - \vec{c} + \vec{a} - \vec{d}$
$= 2\vec{a} - 2\vec{b}$
$= 2(\vec{a} - \vec{b})$
$= 2\vec{BA}$

(B) ત્રિકોણના સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ $\triangle ABD$ માં,$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$ મળે,તેથી $a + w = b$,એટલે કે $w = b - a$.
$\triangle ADC$ માં,$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ મળે. અહીં $v$ ની દિશા $C$ થી $D$ તરફ છે,તેથી $\vec{DC} = -v$. આમ,$b - v = c$,એટલે કે $v = b - c$.
આપેલ સમીકરણ $x - w = v$ પરથી $x = v + w$ મળે.
હવે $v$ અને $w$ ની કિંમતો મૂકતા,$x = (b - c) + (b - a) = 2b - a - c$.

(D) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $P$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$P$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સદિશ માટે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કોઈપણ બિંદુ $O$ માટે:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OP} \quad \dots(i)$
તે જ રીતે,વિકર્ણ $BD$ માટે:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OP} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{OP} = 4\overrightarrow{OP}$

(A) ધારો કે $A$ નો સ્થાનસદિશ $\vec{OA} = 6b - 2a$ છે અને $P$ નો સ્થાનસદિશ $\vec{OP} = a - b$ છે.
ધારો કે $B$ નો સ્થાનસદિશ $\vec{OB} = \vec{r}$ છે.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P$ નો સ્થાનસદિશ:
$\vec{OP} = \frac{1(\vec{OB}) + 2(\vec{OA})}{1 + 2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a - b = \frac{1(\vec{r}) + 2(6b - 2a)}{3}$
$3(a - b) = \vec{r} + 12b - 4a$
$3a - 3b = \vec{r} + 12b - 4a$
$\vec{r}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\vec{r} = 3a - 3b - 12b + 4a$
$\vec{r} = 7a - 15b$
આમ,$B$ નો સ્થાનસદિશ $7a - 15b$ છે.

(B) નિયમિત ષષ્ટકોણ $ABCDEF$ માં,આકૃતિની ભૂમિતિના આધારે આપણી પાસે નીચેના સદિશ સંબંધો છે:
$\vec{AB} = \vec{ED}$ અને $\vec{AF} = \vec{CD}$.
હવે,સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$S = \vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF}$
સરવાળામાં $\vec{AB} = \vec{ED}$ અને $\vec{AF} = \vec{CD}$ સંબંધો મૂકતા:
$S = \vec{ED} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{CD}$
પદોને જૂથબદ્ધ કરવા માટે ફરીથી ગોઠવો:
$S = (\vec{AC} + \vec{CD}) + (\vec{AE} + \vec{ED}) + \vec{AD}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$ અને $\vec{AE} + \vec{ED} = \vec{AD}$:
$S = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD}$
$S = 3\vec{AD}$
આને $k \vec{AD}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{b} - 3\vec{c} = \lambda \vec{a}$.
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ એકમ સમરેખ સદિશો છે,તેથી $\vec{c} = \pm \vec{a}$.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$(\vec{b} - 3\vec{c}) \cdot \vec{c} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{c})$
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 3|\vec{c}|^2 = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{c})$
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 3 = \lambda (\pm 1)$ (કારણ કે $|\vec{c}|=1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \pm 1$)
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 3 \pm \lambda$.
હવે,આપેલ સમીકરણ $\vec{b} - 3\vec{c} = \lambda \vec{a}$ નો વર્ગ કરતા:
$|\vec{b} - 3\vec{c}|^2 = |\lambda \vec{a}|^2$
$|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 - 6(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \lambda^2 |\vec{a}|^2$
$36 + 9 - 6(3 \pm \lambda) = \lambda^2$
$45 - 18 \mp 6\lambda = \lambda^2$
$27 \mp 6\lambda = \lambda^2$
કિસ્સો $1$: $\lambda^2 + 6\lambda - 27 = 0 \Rightarrow (\lambda + 9)(\lambda - 3) = 0 \Rightarrow \lambda = -9, 3$.
કિસ્સો $2$: $\lambda^2 - 6\lambda - 27 = 0 \Rightarrow (\lambda - 9)(\lambda + 3) = 0 \Rightarrow \lambda = 9, -3$.
આમ,$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યો $\pm 3, \pm 9$ છે.

(D) નિયમિત ષષ્ટકોણ $ABCDEF$ માં,ધારો કે $\vec{AB} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{b}$ છે.
નિયમિત ષષ્ટકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\vec{AF} = \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ થાય.
હવે,$\vec{AE} = \vec{AF} + \vec{FE}$.
અહીં $\vec{FE} = \vec{BC} = \vec{b}$ છે.
તેથી,$\vec{AE} = (\vec{b} - \vec{a}) + \vec{b} = 2\vec{b} - \vec{a}$.

(C) ધારો કે ચતુર્થાંશનો ખૂણો $90^\circ$ છે. બિંદુ $B$ ચાપ $AC$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ચાપની લંબાઈ કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણાના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\angle AOB = \frac{1}{1+2} \times 90^\circ = 30^\circ$ અને $\angle BOC = \frac{2}{1+2} \times 90^\circ = 60^\circ$ થાય.
ધારો કે $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. તો $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = |\overrightarrow{OC}| = R$.
ખૂણાઓના આધારે,$\theta_A = 90^\circ$,$\theta_B = 60^\circ$,અને $\theta_C = 0^\circ$ મળે.
વિભાજનના સૂત્ર મુજબ,$\theta_B = \frac{2\theta_A + 1\theta_C}{1+2}$ લેતા,$3\theta_B = 2\theta_A + \theta_C$ મળે.
તેથી,$\theta_C = 3\theta_B - 2\theta_A$.
આમ,સદિશ સ્વરૂપે $\overrightarrow{OC} = 3\mathbf{b} - 2\mathbf{a}$ થાય.

(C) ધારો કે $P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના સમતલમાં આવેલું કોઈ બિંદુ છે. મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય.
વધુ સામાન્ય રીતે,કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,$\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = 3\overrightarrow {PG}$ થાય.
$P = S$ (પરિકેન્દ્ર) લેતા,આપણને $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG}$ મળે છે.
આઈલર લાઇનના ગુણધર્મ મુજબ,લંબકેન્દ્ર $O$,મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને પરિકેન્દ્ર $S$ સમરેખ છે જેથી $G$ એ $SO$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $\overrightarrow {SG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {SO}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3(\frac{1}{3}\overrightarrow {SO}) = \overrightarrow {SO}$.

(C) આપેલ શરતો:
$(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$
$(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$
આને સદિશોના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\vec{DA} \cdot \vec{CB} = 0 \Rightarrow \vec{DA} \perp \vec{CB}$
$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0 \Rightarrow \vec{DB} \perp \vec{AC}$
અહીં $\vec{DA}$ એ બાજુ $BC$ ને લંબ છે અને $\vec{DB}$ એ બાજુ $AC$ ને લંબ છે,તેથી બિંદુ $D$ એ $\Delta ABC$ ના વેધનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,બિંદુ $D$ એ $\Delta ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(A) ધારો કે $y_1 = \sqrt{2 - x_1^2}$ અને $y_2 = \frac{9}{x_2}$.
તેથી $x_1^2 + y_1^2 = 2$ અને $x_2 y_2 = 9$.
ધારો કે $A = (x_1, y_1)$ અને $B = (x_2, y_2)$. આ પદાવલિ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ પરના બિંદુ $A$ અને અતિવલય $xy = 9$ પરના બિંદુ $B$ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ $AB^2$ દર્શાવે છે.
બે વક્રો વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર સામાન્ય અભિલંબ પર હોય છે.
અતિવલય $xy = 9$ પર બિંદુ $(3t, 3/t)$ આગળનો અભિલંબ $y - 3/t = t^2(x - 3t)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ હોવાથી,અભિલંબ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થવો જોઈએ.
સમીકરણમાં $(0, 0)$ મૂકતા: $-3/t = t^2(-3t)$ $\Rightarrow 3/t = 3t^3$ $\Rightarrow t^4 = 1$. $x_2 > 0$ હોવાથી,$t = 1$.
બિંદુ $B$ એ $(3, 3)$ છે અને બિંદુ $A$ એ રેખા $y = x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ નો છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
અંતર $OB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ અને $OA = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
ન્યૂનતમ અંતર $AB = OB - OA = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$AB^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$ મળે.
$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 60^{\circ} = 1 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b})$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |3(\vec{a} \times \vec{b})|^2$.
$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7$.
$|3(\vec{a} \times \vec{b})|^2 = 9 |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 9 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 9 \times \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.
$|\vec{c}|^2 = 7 + \frac{27}{4} = \frac{28 + 27}{4} = \frac{55}{4}$.
તેથી,$|\vec{c}| = \frac{\sqrt{55}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2|\vec{c}| = \sqrt{55}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ અને $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0$.
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$1+1+1+2\lambda = 0 \Rightarrow 3+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
$\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{b}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{b} = (-\vec{c}) \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તેથી,$\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b})$.
ક્રમયુક્ત જોડ $\left(-\frac{3}{2}, 3 \vec{a} \times \vec{b}\right)$ છે.

(D) સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$.
આપેલા સદિશો મૂકતા,$\vec{v} = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) + \mu(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = (\lambda+2\mu)\hat{i} + (\lambda-3\mu)\hat{j} + (2\lambda+\mu)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{v} \cdot \hat{j} = 7$,તેથી $\lambda - 3\mu = 7$ (સમીકરણ $1$).
$\vec{v}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $|\vec{c}| = \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{3}$,તેથી $\vec{v} \cdot \vec{c} = 2$.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = (\lambda+2\mu)(1) + (\lambda-3\mu)(-1) + (2\lambda+\mu)(1) = \lambda+2\mu - \lambda+3\mu + 2\lambda+\mu = 2\lambda+6\mu = 2$,તેથી $\lambda+3\mu = 1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $(\lambda-3\mu) + (\lambda+3\mu) = 7+1 \implies 2\lambda = 8 \implies \lambda = 4$.
સમીકરણ $2$ માં $\lambda=4$ મૂકતા: $4+3\mu = 1 \implies 3\mu = -3 \implies \mu = -1$.
આમ,$\vec{v} = 4(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - 1(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}$.
અંતે,$\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (2\hat{i}+7\hat{j}+7\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = 2(1) + 7(0) + 7(1) = 9$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} = \vec{v} \neq 0$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ પરથી,આપણને $(\vec{a} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} - \vec{c} = k_1 \vec{b}$ કોઈ અદિશ $k_1$ માટે.
તે જ રીતે,$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ પરથી,આપણને $(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{c} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} - \vec{a} = k_2 \vec{c}$ કોઈ અદિશ $k_2$ માટે.
આ શરતો હેઠળ,મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ માટે માત્ર $1$ શક્ય સ્થાન મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+5\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{a}+5\vec{b} = \lambda\vec{c} \implies \vec{a} = \lambda\vec{c} - 5\vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{b}+6\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $\mu$ માટે $\vec{b}+6\vec{c} = \mu\vec{a}$.
$\vec{a}$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu(\lambda\vec{c} - 5\vec{b})$
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu\lambda\vec{c} - 5\mu\vec{b}$
પદોને ગોઠવતા:
$(1+5\mu)\vec{b} + (6-\mu\lambda)\vec{c} = \vec{0}$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1+5\mu = 0 \implies \mu = -\frac{1}{5}$.
$6-\mu\lambda = 0 \implies 6 - (-\frac{1}{5})\lambda = 0 \implies 6 + \frac{\lambda}{5} = 0 \implies \lambda = -30$.
હવે,$\lambda$ ની કિંમત $\vec{a}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{a} = -30\vec{c} - 5\vec{b} \implies \vec{a} + 5\vec{b} + 30\vec{c} = \vec{0}$.
આને $\vec{a} + \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} = \vec{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5$ અને $\beta = 30$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 5 + 30 = 35$.

(B) વિધાન $-I$ માટે:
આપેલ છે $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{r} = \vec{a} \times \vec{b} \implies \vec{a} \times (\vec{r}-\vec{b}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r}-\vec{b} = k\vec{a}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
તેથી,$\vec{r} = \vec{b} + k\vec{a}$.
આપેલ છે $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{b} + k\vec{a}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{a}|^2 = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (-3)(-1) = 2+2+3 = 7$.
$|\vec{a}|^2 = 1^2+2^2+(-3)^2 = 1+4+9 = 14$.
$7 + 14k = 0 \implies k = -\frac{1}{2}$.
$\vec{r} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - \frac{1}{2}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}) = \frac{3}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
માન $|\vec{r}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
કારણ કે $\frac{\sqrt{10}}{2} \neq \sqrt{10}$,વિધાન $-I$ ખોટું છે.
વિધાન $-II$ માટે:
$\triangle ABC$ માં,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A \cos B \cos C$.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે અસમતા $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ એ પ્રમાણિત પરિણામ છે. તેથી,વિધાન $-II$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$.
$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 2$,$|\vec{c}| = 2\sqrt{3}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-|\vec{c}|^2}{2|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{4+4-12}{8} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$. એટલે કે $(A) \rightarrow q$.
$(B)$ આપેલ છે $\int_a^b(f(x)-3x) dx = a^2-b^2$.
વિકલન કરતા,$f(b) - 3b = -2b \Rightarrow f(b) = b$.
તેથી $f(x) = x$,અને $f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}$. એટલે કે $(B) \rightarrow p$.
$(C)$ સંકલનનું મૂલ્ય $\pi$ મળે છે. એટલે કે $(C) \rightarrow s$ (સુધારેલ).
$(D)$ $u = \frac{1}{1-z}$ લેતા,$|u-1| = |u|$ મળે છે,જે $u$ નો બિંદુપથ છે. મહત્તમ આર્ગ્યુમેન્ટ $\frac{\pi}{2}$ થાય છે. એટલે કે $(D) \rightarrow t$.

(A) આપેલ છે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેથી $\vec{a} + \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j})$.
$|\vec{a} + \vec{b}| = 3\sqrt{1^2 + 1^2} = 3\sqrt{2}$.
$(\vec{a} + \vec{b})$ પર $\vec{c}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}|} = 3\sqrt{2}$ છે.
$\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ હોવાથી,$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + (\alpha + \beta)(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 = 6$,$|\vec{b}|^2 = 6$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.
તેથી,$6\alpha + 6\beta + 3(\alpha + \beta) = 9(\alpha + \beta)$.
આમ,$\frac{9(\alpha + \beta)}{3\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies 9(\alpha + \beta) = 18 \implies \alpha + \beta = 2$.
હવે,$(\vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
$\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
તેથી,પદાવલિ $|\vec{c}|^2 = |\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}|^2 = 6\alpha^2 + 6\beta^2 + 6\alpha\beta = 6(\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta)$ થશે.
$\beta = 2 - \alpha$ મૂકતા: $6(\alpha^2 + (2-\alpha)^2 + \alpha(2-\alpha)) = 6(\alpha^2 - 2\alpha + 4) = 6((\alpha - 1)^2 + 3)$.
ન્યૂનતમ કિંમત $6 \times 3 = 18$ છે.

(D) $\vec{w}$ નો $\vec{PQ}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{u} = \left( \frac{\vec{w} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|^2} \right) \vec{PQ}$ છે.
તેનું માન $|\vec{u}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai+bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
તે જ રીતે,$\vec{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PS}|}{|\vec{PS}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai-bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,તેથી $\frac{a+b + |a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2}$.
જો $a \ge b$ હોય,તો $\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies 4a^2 = 2(a^2+b^2) \implies 2a^2 = 2b^2 \implies a=b$.
જો $b > a$ હોય,તો $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies a=b$.
આમ,$a=b$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(ai+bj) \times (ai-bj)| = |(-abk - abk)| = |-2abk| = 2ab = 8$.
$a=b$ હોવાથી,$2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a=2$ ($a>0$ હોવાથી). તેથી $a=2, b=2$.
$(A)$ $a+b = 2+2 = 4$ (સાચું).
$(B)$ $a-b = 2-2 = 0 \neq 2$ (ખોટું).
$(C)$ વિકર્ણ $\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS} = (ai+bj) + (ai-bj) = 2ai = 4i$. લંબાઈ $|4i| = 4$ છે (સાચું).
$(D)$ $\vec{PQ} = 2i+2j$ અને $\vec{PS} = 2i-2j$. ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશા $\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} + \frac{\vec{PS}}{|\vec{PS}|} = \frac{2i+2j}{2\sqrt{2}} + \frac{2i-2j}{2\sqrt{2}} = \frac{4i}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}i$ છે. આ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,જ્યારે $\vec{w} = i+j$ એ $45^\circ$ પર છે. (ખોટું).

(C) આપેલ છે $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$ અને $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$,તેથી $\overline{OA} \perp \overline{OB}$.
$\overline{OB} \times \overline{OC} = \overline{OB} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA}) = \frac{1}{2}(\overline{OB} \times \overline{OB} - \lambda(\overline{OB} \times \overline{OA})) = \frac{\lambda}{2}(\overline{OA} \times \overline{OB})$.
$|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{\lambda}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{\lambda}{2} (3)(3) = \frac{9\lambda}{2}$.
આપેલ છે $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$,તેથી $\frac{9\lambda}{2} = \frac{9}{2} \implies \lambda = 1$.
આમ,$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})$.
$(A)$ $\overline{OC}$ નો $\overline{OA}$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{\overline{OC} \cdot \overline{OA}}{|\overline{OA}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) \cdot \overline{OA}}{3} = \frac{1}{6}(\overline{OB} \cdot \overline{OA} - |\overline{OA}|^2) = \frac{1}{6}(0 - 9) = -\frac{3}{2}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$. કારણ કે $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) = \frac{1}{2}\overline{AB}$,તેથી $\overline{AB} = 2\overline{OC}$. $\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2\overline{OC} \times (\overline{OC} - \overline{OA})| = |\overline{OC} \times \overline{OC} - \overline{OC} \times \overline{OA}| = |\overline{OA} \times \overline{OC}| = |\overline{OA} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})| = \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{9}{2}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(C) $(P)$ આપેલ છે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2$. સદિશો $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ અને $(\vec{c} \times \vec{a})$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}))|$ દ્વારા મળે છે.
ગુણધર્મ $(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $6[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 6(2)^2 = 24$ મળે છે.
આમ,$P \rightarrow 3$.
$(Q)$ આપેલ છે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5$. ઘનફળ $[3(\vec{a}+\vec{b}) \quad (\vec{b}+\vec{c}) \quad 2(\vec{c}+\vec{a})] = 6 [(\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))]$ છે.
કારણ કે $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી ત્રિગુણિત ગુણાકાર $6 \times 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12 \times 5 = 60$ થાય છે.
આમ,$Q \rightarrow 4$.
$(R)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 20$,તેથી $|\vec{a} \times \vec{b}| = 40$. નવું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |(2\vec{a}+3\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 40 = 100$ થાય છે.
આમ,$R \rightarrow 1$.
$(S)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$. નવું ક્ષેત્રફળ $|(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$ થાય છે.
આમ,$S \rightarrow 2$.

(C) $\triangle PQR$ માં,આપણી પાસે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} + \vec{c} = -\vec{a}$.
બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2$.
$|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(4\sqrt{3})^2 + |\vec{c}|^2 + 2(24) = 12^2$.
$48 + |\vec{c}|^2 + 48 = 144 \Rightarrow |\vec{c}|^2 = 48 \Rightarrow |\vec{c}| = 4\sqrt{3}$.
હવે,વિકલ્પ $(A)$ તપાસો: $\frac{|\vec{c}|^2}{2} - |\vec{a}| = \frac{48}{2} - 12 = 24 - 12 = 12$. આમ,$(A)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસો: $\frac{|\vec{c}|^2}{2} + |\vec{a}| = 24 + 12 = 36 \neq 30$. આમ,$(B)$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે,કારણ કે $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$,આપણી પાસે $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2$ છે.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
$144 + 48 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 48 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -144 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -72$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,કારણ કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$,આપણી પાસે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ છે.
$|\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b}| = 2|\vec{a} \times \vec{b}|$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\theta) = -72 \Rightarrow 12(4\sqrt{3}) \cos(\theta) = -72 \Rightarrow 48\sqrt{3} \cos(\theta) = -72 \Rightarrow \cos(\theta) = -\frac{72}{48\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\sin(\theta) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1}{2}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = 12(4\sqrt{3})(\frac{1}{2}) = 24\sqrt{3}$.
$2|\vec{a} \times \vec{b}| = 2(24\sqrt{3}) = 48\sqrt{3}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(A, C, D)$ સાચા છે.

(A) સદિશ $\vec{u} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j}$ નો $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ પરના પ્રક્ષેપનું માન $\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{|\sqrt{3}\alpha + \beta|}{2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$|\sqrt{3}\alpha + \beta| = 2\sqrt{3}$.
આપેલ છે $\alpha = 2 + \sqrt{3}\beta$,તેથી $\beta = \frac{\alpha - 2}{\sqrt{3}}$.
કિંમત મૂકતા,$|\sqrt{3}\alpha + \frac{\alpha - 2}{\sqrt{3}}| = 2\sqrt{3} \Rightarrow |4\alpha - 2| = 6$.
તેથી $4\alpha - 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 2$ અથવા $4\alpha - 2 = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
આમ,$|\alpha| = 2$ અથવા $1$.
$(B)$ $x=1$ આગળ સાતત્ય માટે: $-3a - 2 = b + a^2 \Rightarrow b = -a^2 - 3a - 2$.
$x=1$ આગળ વિકલનીયતા માટે: $-6a = b$.
તેથી $-a^2 - 3a - 2 = -6a \Rightarrow a^2 - 3a + 2 = 0 \Rightarrow a = 1, 2$.
$(C)$ પદ $X = 3-3\omega+2\omega^2$ લેતા,સમીકરણ $X^{4n+3}(1 + \omega^{4n} + \omega^{8n}) = 0$ બને છે.
આથી $1 + \omega^{4n} + \omega^{8n} = 0$,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય.
$(D)$ $a=5-d, q=5+d, b=5+2d$ લેતા.
$HM = \frac{2ab}{a+b} = 4 \Rightarrow ab = 2(a+b)$.
સાદુરૂપ આપતા $2d^2 - 3d - 5 = 0 \Rightarrow d = 2.5, -1$.
$|q-a| = |2d| = 5, 2$.

(A) આપેલ છે $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$.
મેટ્રિક્સ સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:
$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$
$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$
$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$
આ સમીકરણો ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$. કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$. તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 \neq 0$. આમ,$(A)$ ખોટું છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ પરથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,આપણી પાસે $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ છે.
$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (કારણ કે $|\vec{b}|^2 \geq 1$),તેથી $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$. વર્ગ કરતા: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$. કારણ કે $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$. તેથી $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,તેથી $|\vec{b}| > \sqrt{10}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(B), (C), (D)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ તેના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશોની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$G = \frac{(4\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3\overrightarrow{r}) + (-5\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r}) + (2\overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2\overrightarrow{r})}{3}$
$G = \frac{(4-5+2)\overrightarrow{p} + (1+1-1)\overrightarrow{q} + (-3+2+2)\overrightarrow{r}}{3} = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબકેન્દ્ર $(O)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ અને પરિકેન્દ્ર $(C)$ સમરેખ છે,અને મધ્યકેન્દ્ર એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$G = \frac{1 \cdot O + 2 \cdot C}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $3G = O + 2C$.
આપેલ છે કે $O = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ અને $C = \alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$,તેથી:
$3 \left( \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{3} \right) = \frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4} + 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\frac{3}{4}(\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}) = 2(\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r})$
$\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r} = \frac{3}{8}\overrightarrow{p} + \frac{3}{8}\overrightarrow{q} + \frac{3}{8}\overrightarrow{r}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = \frac{3}{8}, \beta = \frac{3}{8}, \gamma = \frac{3}{8}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta + 5\gamma = \frac{3}{8} + 2(\frac{3}{8}) + 5(\frac{3}{8}) = \frac{3 + 6 + 15}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

(C) આપેલ છે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b} = -\hat{i}+\hat{j}$.
$|\vec{d}| = \sqrt{2}$.
$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8 \implies |\vec{c}|^2 + 4|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$.
$|\vec{a}|^2 = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}| = x$ લેતા,$x^2 - 4x + 4 = 0 \implies |\vec{c}| = 2$.
$\vec{d}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$|\vec{d} \times \vec{c}| = |\vec{d}||\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 2$.
તેથી,$|\vec{d} \times \vec{c}|^2 = 4$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4$.
$|2\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}|^2 = 4 \implies 3(\vec{b} \cdot \vec{c})^2 - 20(\vec{b} \cdot \vec{c}) + 32 = 0$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 4$ અથવા $\frac{8}{3}$ મળે.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{8}{3}$ લેતા,$|10 - 3(\frac{8}{3})| + 4 = 2+4 = 6$.

(A) આપેલ છે $\vec{w} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$. કારણ કે $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$,તેથી $\vec{u} \perp \vec{w}$ અને $\vec{v} \perp \vec{w}$.
વળી,$\vec{v} \times \vec{w} = \vec{u}$,જે સૂચવે છે કે $\vec{u} \perp \vec{w}$ અને $\vec{v} \perp \vec{w}$.
સમીકરણોની સિસ્ટમ $-t\alpha + \beta + \gamma = 0$,$\alpha - t\beta + \gamma = 0$,$\alpha + \beta - t\gamma = 0$ નો બિન-તુચ્છ ઉકેલ ત્યારે મળે જો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} -t & 1 & 1 \\ 1 & -t & 1 \\ 1 & 1 & -t \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow -(t^3 - 1) - 1(-t - 1) + 1(1 + t) = 0 \Rightarrow -t^3 + 1 + t + 1 + 1 + t = 0 \Rightarrow t^3 - 2t - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા $(t+1)(t^2 - t - 3) = 0$ મળે છે. આપેલી શરતો માટે,$t = -1$ અથવા $t = 2$.
જો $t = 2$,તો $\alpha = \beta = \gamma$. કારણ કે $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$,$\alpha + \beta - 2\gamma = 0 \Rightarrow 2\alpha - 2\alpha = 0$,જે સુસંગત છે.
$|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$3\alpha^2 = 6 \Rightarrow \alpha^2 = 2$. તેથી $\alpha = \pm \sqrt{2}$. $t=2$ માટે,$t+3 = 5$.
જો $t = -1$,તો $\alpha + \beta + \gamma = 0$. વળી $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta - 2\gamma = 0$.
બાદબાકી કરતા $3\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 0$ મળે. પછી $\beta = -\alpha$.
$\alpha = \sqrt{3}$ માટે,$\gamma^2 = 0$ અને $(\beta + \gamma)^2 = (-\sqrt{3} + 0)^2 = 3$.
આમ,$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (1), (R) \rightarrow (4), (S) \rightarrow (5)$.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = (\lambda x) \hat{i} + (y) \hat{j} + (4z) \hat{k}$,$\vec{b} = (y) \hat{i} + (x) \hat{j} + (3y) \hat{k}$,અને $\vec{c} = (-z) \hat{i} + (-2z) \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ છે.
શરત $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ મુજબ ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$i$-ઘટક: $\lambda x + y - z = 0$ $(1)$
$j$-ઘટક: $y + x - 2z = 0$ $(2)$
$k$-ઘટક: $4z + 3y - (\lambda + 1) = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x + y = 2z$. આ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવતા $\lambda = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $|\bar{a}| = \sqrt{31}$,$|\bar{b}| = \frac{1}{2}$,$|\bar{c}| = 2$,અને $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$2(\bar{a} \times \bar{b}) = 3(\bar{c} \times \bar{a})$ પરથી,આપણે $2(\bar{a} \times \bar{b}) + 3(\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ એ $(2\bar{b} + 3\bar{c})$ ને સમાંતર છે. ધારો કે $2\bar{b} + 3\bar{c} = k\bar{a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|2\bar{b} + 3\bar{c}|^2 = k^2|\bar{a}|^2$.
$4|\bar{b}|^2 + 9|\bar{c}|^2 + 12(\bar{b} \cdot \bar{c}) = k^2(31)$.
$4(\frac{1}{4}) + 9(4) + 12(\frac{1}{2})(2)\cos(\frac{2\pi}{3}) = 31k^2$.
$1 + 36 + 12(-1/2) = 31k^2 \implies 31 = 31k^2 \implies k^2 = 1$.
આપણે $X = \left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2$ શોધવાનું છે.
$\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$ હોવાથી,$2(\bar{a} \times \bar{b}) = -3(\bar{a} \times \bar{c})$,તેથી $\bar{a} \times \bar{c} = -\frac{2}{3}(\bar{a} \times \bar{b})$.
તેથી $|\bar{a} \times \bar{c}|^2 = \frac{4}{9}|\bar{a} \times \bar{b}|^2$.
ગણતરી કરતા અંતિમ જવાબ $11$ મળે છે.

(A) મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\overrightarrow{OG} = \frac{(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-4\hat{j}-3\hat{k}) + (-3\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})}{3} = \frac{0\hat{i}-6\hat{j}+0\hat{k}}{3} = -2\hat{j}$.
તેથી,$|\overrightarrow{OG}|^2 = (-2)^2 = 4$.
હવે,બાજુઓ માટે સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
$BC^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 = 16 + 25 + 25 = 66$.
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = 5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$.
$CA^2 = |\overrightarrow{CA}|^2 = 25 + 16 + 1 = 42$.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = -\hat{i} - \hat{j} - 4\hat{k}$.
$AB^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 = 1 + 1 + 16 = 18$.
અંતે,પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$BC^2 + CA^2 + AB^2 + 9(OG)^2 = 66 + 42 + 18 + 9(4) = 126 + 36 = 162$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m \vec{d} \quad (i)$
અને $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d} \Rightarrow \vec{d}=n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c} \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=m(n \vec{a}-\vec{b}-\vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=mn \vec{a}-m \vec{b}-m \vec{c}$
$\Rightarrow (1-mn) \vec{a}+(1+m) \vec{b}+(1+m) \vec{c}=\vec{0}$
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1-mn=0 \Rightarrow mn=1$ અને $1+m=0 \Rightarrow m=-1$.
$m=-1$ ને $mn=1$ માં મૂકતા,આપણને $n=-1$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(-1) \vec{d} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}$.
હવે,$3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d} = \vec{a} + 2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) + \vec{d} = \vec{a} + 2(-\vec{d}) + \vec{d} = \vec{a}-\vec{d}$.

(C) આપેલ છે કે,$\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}) \implies x\hat{d} = \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} \implies \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} - x\hat{d} = 0$.
તે જ રીતે,$\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) \implies y\hat{d} = \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} \implies \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} - y\hat{d} = 0$.
કારણ કે $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ અસમતલીય છે,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
આપેલ સમીકરણો પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(A) દરેક પદનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$ ને $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,$(A)$ એ $3$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z})\mathbf{y} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z})\mathbf{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$. તેથી,$(B)$ એ $5$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(C)$ એ $2$ સાથે જોડાય છે.
$(D)$ અદિશ ગુણાકાર $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ ને $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેથી,$(D)$ એ $1$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $A-3, B-5, C-2, D-1$ છે.

(C) ધારો કે માંગેલ સદિશ $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{u_1} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{u_2} = \hat{j} + \hat{k}$ સાથે એક જ સમતલમાં હોવાથી,તે $\vec{u_1}$ અને $\vec{u_2}$ નું રેખીય સંયોજન હોવું જોઈએ.
તેથી,$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{j} + \hat{k}) = \lambda \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + \mu \hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = \lambda$,$c = \mu$ અને $b = \lambda + \mu$ મળે છે. $\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$b = a + c$ મળે છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{v} = k(2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$.
વિકલ્પ $C$ માટે,$\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ માં $a = 1, b = -1, c = -2$ છે.
શરત $b = a + c$ ચકાસતા: $1 + (-2) = -1$,જે $b$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સદિશ $\hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A-(IV), B-(III), C-(II), D-(I)) આપેલ છે: $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$.
$A$. $a-b = (2-1)\hat{i} + (3-(-3))\hat{j} + (1-(-5))\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$a-b$ ની વિરુદ્ધ દિશાનો સદિશ $-(a-b) = -\hat{i} - 6\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
માન $\sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+36+36} = \sqrt{73}$.
એકમ સદિશ $\frac{-\hat{i}-6\hat{j}-6\hat{k}}{\sqrt{73}} = -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{k}}{\sqrt{73}}$. જે $(iv)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$B$. $\triangle ABC$ માં,$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$.
તેથી,$\vec{CA} = -(\vec{AB} + \vec{BC}) = -(a+b) = -(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} + \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -(3\hat{i}-4\hat{k}) = -3\hat{i}+4\hat{k}$. જે $(iii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$C$. મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{a+b+c}{3} = \frac{(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (3\hat{i}-4\hat{k})}{3} = \frac{6\hat{i} + 0\hat{j} - 8\hat{k}}{3} = 2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{k}$. જે $(ii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$D$. $d$ એ $a$ ને સમાંતર છે,તેથી $d = k a = k(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})$.
માન $|d| = |k|\sqrt{2^2+3^2+1^2} = |k|\sqrt{14}$.
આપેલ છે $|d| = 2\sqrt{14}$,તેથી $|k|=2$. $k=2$ લેતા,$d = 4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$.
તેથી $b+d = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}) = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$. જે $(i)$ સાથે બંધ બેસે છે.