Mix Examples-Vector Algebra Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે,$\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = x\vec{d}$.
તેમજ,$\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \implies \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = y\vec{d}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = x\vec{d} - y\vec{d}$.
આથી $\vec{a} - \vec{d} = (x - y)\vec{d}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} = (x - y + 1)\vec{d}$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $\vec{d}$ એ આ સદિશોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો પરથી,આપણે તારવી શકીએ કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = 0$ એ શરત છે જે અસમતલીય સદિશો માટે સંતોષાય છે.
તેથી,$\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(B) આપેલ છે: $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}=2(\vec{b} \times \vec{c})$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=2(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(i)$
વળી,$\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$
બંને બાજુ $(\vec{b}-\vec{c})$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times(\vec{b}-\vec{c}))+l^2(\vec{c} \times(\vec{b}-\vec{c}))=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} \times \vec{b}-\vec{b} \times \vec{c})+l^2(\vec{c} \times \vec{b}-\vec{c} \times \vec{c})=0$
કારણ કે $\vec{b} \times \vec{b}=0$ અને $\vec{c} \times \vec{c}=0$,તેથી:
$\vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})-l(\vec{b} \times \vec{c})-l^2(\vec{b} \times \vec{c})=0$
$\Rightarrow \vec{a} \times(\vec{b}-\vec{c})=(l+l^2)(\vec{b} \times \vec{c}) \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,$l^2+l=2$
$l^2+l-2=0$
$(l+2)(l-1)=0$
આમ,$l=-2$ અથવા $l=1$.
$l$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ છે.
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = (1)(1) + (-1)(-1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
આમ,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$,જે $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
આમ,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$,જે $(A)$ ને અનુરૂપ છે.
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - 1(-1-1) + 1(1+1) = 0 + 2 + 2 = 4$,જે $(F)$ ને અનુરૂપ છે.
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(1+1) = 2\hat{j} + 2\hat{k}$,જે $(E)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડ $i-C, ii-A, iii-F, iv-E$ છે.

(A) આપેલ છે કે $b$ અને $c$ અસમરેખ સદિશો છે અને $|c| \neq 0$.
$(c \cdot c) a=c$ પરથી,બંને બાજુ $c$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,$(c \cdot c)(a \cdot c) = (c \cdot c)$ મળે. $|c| \neq 0$ હોવાથી,$c \cdot c \neq 0$,તેથી $a \cdot c = 1$ $(i)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $a \times(b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c + (a \cdot b) b = (4-2 \beta-\sin \alpha) b + (\beta^2-1) c$.
બંને બાજુ $b$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$b$ નો સહગુણક: $a \cdot c + a \cdot b = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$ $(ii)$.
$c$ નો સહગુણક: $-a \cdot b = \beta^2 - 1$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$1 + (1 - \beta^2) = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$.
$2 - \beta^2 = 4 - 2 \beta - \sin \alpha$.
$\sin \alpha = \beta^2 - 2 \beta + 2 = (\beta - 1)^2 + 1$.
$\sin \alpha \leq 1$ અને $(\beta - 1)^2 + 1 \geq 1$ હોવાથી,માત્ર ઉકેલ $(\beta - 1)^2 = 0$ અને $\sin \alpha = 1$ મળે છે.
આમ,$\beta = 1$ અને $\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n \in Z$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
તેથી,પદાવલિ $\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{DC}$ બને છે.
કારણ કે $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{AC}+2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})-2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{DC}$.
$Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{QC}$.
$P$ એ $DC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$ અને $\overrightarrow{PC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$,એટલે કે $\overrightarrow{DC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PC}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $3(2\overrightarrow{QC}) - 4(\frac{3}{2}\overrightarrow{PC}) = 6\overrightarrow{QC} - 6\overrightarrow{PC} = 6(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CP}) = 6\overrightarrow{QP}$.
કારણ કે $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$,આપણને $6\overrightarrow{QP} = -6\overrightarrow{PQ}$ મળે છે.
$k\overrightarrow{PQ}$ સાથે સરખાવતા,$k = -6$ મળે છે.

(D) જો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $a \cdot b = 0$.
હવે ધ્યાનમાં લો,$|a+b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) = |a|^{2} + |b|^{2} + 2(a \cdot b) = |a|^{2} + |b|^{2}$.
તેથી,વિકલ્પ $(a)$ હંમેશા સાચો છે.
$(b)$ જો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $a \cdot b = 0$.
હવે ધ્યાનમાં લો,$|a+\lambda b|^{2} = (a+\lambda b) \cdot (a+\lambda b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2} + 2\lambda(a \cdot b) = |a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}$.
કારણ કે $\lambda^{2}|b|^{2} \geq 0$,તેથી $|a+\lambda b| = \sqrt{|a|^{2} + \lambda^{2}|b|^{2}} \geq |a|$ તમામ $\lambda \in R$ માટે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ હંમેશા સાચો છે.
$(c)$ ધ્યાનમાં લો,$|a+b|^{2} + |a-b|^{2} = (a+b) \cdot (a+b) + (a-b) \cdot (a-b) = (|a|^{2} + |b|^{2} + 2a \cdot b) + (|a|^{2} + |b|^{2} - 2a \cdot b) = 2(|a|^{2} + |b|^{2})$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ હંમેશા સાચો છે.
$(d)$ $a = -b$ અને $b \neq 0$ ધ્યાનમાં લો.
તો,$|a+\lambda b| = |-b + \lambda b| = |\lambda - 1||b|$.
શરત $|a+\lambda b| \geq |a|$ સાચી ઠરવા માટે,આપણે $|\lambda - 1||b| \geq |-b| = |b|$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $|\lambda - 1| \geq 1$.
આ તમામ $\lambda \in R$ માટે સાચું નથી (દા.ત.,જો $\lambda = 0.5$,તો $|0.5 - 1| = 0.5$,જે $1$ કરતા મોટું કે બરાબર નથી).
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ હંમેશા સાચો નથી.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}_k = (\tan \theta_k)\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b}_k = \hat{i} - (\cot \theta_k)\hat{j}$.
વર્ગીકૃત માન (squared magnitudes) ની ગણતરી કરતા:
$|\vec{a}_k|^2 = \tan^2 \theta_k + 1 = \sec^2 \theta_k = \frac{1}{\cos^2 \theta_k}$.
$|\vec{b}_k|^2 = 1 + \cot^2 \theta_k = \csc^2 \theta_k = \frac{1}{\sin^2 \theta_k}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2} = \frac{\sum_{k=1}^n \sec^2 \theta_k}{\sum_{k=1}^n \csc^2 \theta_k} = \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\cos^2 \theta_k}}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sin^2 \theta_k}}$ થાય છે.
આ ગુણોત્તરને સાદું રૂપ આપતા,આપેલ $\theta_n$ માટે તે $2^{2n-2}$ મળે છે.