સદિશ $\frac{1}{3}(2i - 2j + k)$ એ

જો $\vec{a} = \lambda x \hat{i} + y \hat{j} + 4z \hat{k}$,$\vec{b} = y \hat{i} + x \hat{j} + 3y \hat{k}$,અને $\vec{c} = -z \hat{i} - 2z \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ હોય,જ્યાં $x, y, z$ બધા શૂન્ય નથી,અને $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે અને $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA})$ કોઈ $\lambda > 0$ માટે છે. જો $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $\overline{OC}$ નો $\overline{OA}$ પરનો પ્રક્ષેપ $-\frac{3}{2}$ છે
$(B)$ ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{9}{2}$ છે
$(C)$ ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{9}{2}$ છે
$(D)$ $\overline{OA}$ અને $\overline{OC}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો વચ્ચેનો લઘુકોણ $\frac{\pi}{3}$ છે

જો $ABCDEF$ નિયમિત ષષ્ટકોણ હોય,તો $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = .....$

ધારો કે $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ ત્રણ ધન યામ અક્ષોની દિશામાં એકમ સદિશો છે. ધારો કે $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ $(b_2, b_3 \in \mathbb{R})$,અને $\vec{c}=c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ $(c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R})$ એ ત્રણ સદિશો છે જેથી $b_2b_3 > 0$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\begin{bmatrix} 0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-c_1 \\ 1-c_2 \\ -1-c_3 \end{bmatrix}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા સાચું/સાચા છે?

જો બિંદુઓ $D, E, F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA, AB$ નું અનુક્રમે $1:4, 3:2, 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે અને બિંદુ $K$ એ $AB$ નું કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK} = ......$