$(x_1 - x_2)^2 + (\sqrt{2 - x_1^2} - \frac{9}{x_2})^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો,જ્યાં $x_1 \in (0, \sqrt{2})$ અને $x_2 \in R^+$.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ $xyz$-અવકાશમાં ત્રણ સદિશો છે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq 0$ થાય. જો $A, B, C$ એ અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ હોય,તો $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના શક્ય સ્થાનની સંખ્યા કેટલી છે?

સદિશો $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ ............. $unit$ છે.

કોલમ $I$ માં આપેલા વિધાનોને કોલમ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ જો $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ અને $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ ત્રિકોણ બનાવે છે,તો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ત્રિકોણનો આંતરિક ખૂણો છે	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ જો $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ હોય,તો $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ નું મૂલ્ય છે	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ નું મૂલ્ય છે	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $|z|=1, z \neq 1$ માટે $|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

જે સદિશ $2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ ને સમાંતર હોય અને સદિશો $\hat{i} + \hat{j}$ તથા $\hat{j} + \hat{k}$ સાથે એક જ સમતલમાં હોય તે સદિશ કયો છે?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ત્રણ આપેલા સદિશો છે. ધારો કે $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ છે,જેનો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે. જો $\vec{v} \cdot \hat{j}=7$ હોય,તો $\vec{v} \cdot (\hat{i}+\hat{k})$ ની કિંમત શોધો.