Plane Questions in Hindi

(D) प्रथम समतल का समीकरण $ax + by + 0z + d = 0$ है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (a, b, 0)$ है।
दूसरे समतल का समीकरण $0x + 0y + 1z = 0$ है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (0, 0, 1)$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (a)(0) + (b)(0) + (0)(1) = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) माना गतिमान बिंदु $P(x, y, z)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$P$ की $A(3, 4, -2)$ से दूरी और $P$ की $B(2, 3, -3)$ से दूरी समान है।
अतः,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 4z + 4) = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 + 6z + 9)$
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, z^2$ को हटाने पर:
$-6x - 8y + 4z + 29 = -4x - 6y + 6z + 22$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2x + 2y + 2z = 7$
यह एक समतल का समीकरण है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, 2, 2)$ है।
अभिलंब की दिक्-कोज्याएँ $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं,जिसका अर्थ है कि अभिलंब अक्षों के साथ समान कोण बनाता है।

(C) समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b$ और $c$ क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिए गए अंतःखंड $a = -4, b = 2$ और $c = 3$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x}{-4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$
सरल करने के लिए,हर $4, 2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर:
$12 \times (\frac{x}{-4}) + 12 \times (\frac{y}{2}) + 12 \times (\frac{z}{3}) = 12 \times 1$
$-3x + 6y + 4z = 12$
अतः,समतल का समीकरण $-3x + 6y + 4z = 12$ है।

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, 6, 3)$ हैं और मूल बिंदु $O$ के निर्देशांक $(0, 0, 0)$ हैं।
सदिश $\vec{OP} = (2 - 0)\hat{i} + (6 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $OP$ के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OP} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ होगा।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$2(x - 2) + 6(y - 6) + 3(z - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर,$2x - 4 + 6y - 36 + 3z - 9 = 0$ मिलता है।
$2x + 6y + 3z - 49 = 0$ या $2x + 6y + 3z = 49$।
अतः,समतल का समीकरण $2x + 6y + 3z = 49$ है।

(B) माना समतल का समीकरण $a(x - 1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = a$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि यह $(0, 1, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(0) + b(1) + c(0) = a$ है,इसलिए $b = a$। समीकरण $ax + ay + cz = a$ या $x + y + (c/a)z = 1$ बन जाता है। माना $k = c/a$। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है। समतल $x + y = 3$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है। समतलों के बीच का कोण $\pi/4$ है,इसलिए $\cos(\pi/4) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$1/\sqrt{2} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1/2 = \frac{4}{2(2+k^2)} = \frac{2}{2+k^2}$।
$2+k^2 = 4 \implies k^2 = 2 \implies k = \pm \sqrt{2}$।
$k = \sqrt{2}$ लेने पर,अभिलंब $(1, 1, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $1, 1, \sqrt{2}$ के समानुपाती हैं।

(C) समतलों के अभिलंब सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{n}_P = (1, 1, -2)$
$\vec{n}_Q = (1, 1, 2)$
$\vec{n}_R = (3, 3, -6)$
दो समतल समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश आनुपातिक हों।
$P$ और $R$ के लिए,हम घटकों का अनुपात जाँचते हैं:
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$.
चूंकि अभिलंब सदिश $\vec{n}_P$ और $\vec{n}_R$ आनुपातिक हैं,इसलिए समतल $P$ और $R$ समांतर हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई रेखा $\vec{r} = (2, 3, 4) + k(3, 4, 5)$ है।
इस रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, 4, 5)$ है।
चूंकि समतल रेखा के लंबवत है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ होगा।
अतः,$\vec{n} = (3, 4, 5)$ है।
समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर: $3(x - 1) + 4(y - 1) + 5(z - 0) = 0$।
विस्तार करने पर: $3x - 3 + 4y - 4 + 5z = 0$।
सरल करने पर: $3x + 4y + 5z = 7$।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है $(i)$।
चूंकि समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B$ और $C$ पर मिलता है,इसलिए निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$ है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 3)$ है,इसलिए $\frac{a}{3} = 1$,$\frac{b}{3} = 2$ और $\frac{c}{3} = 3$ है।
इससे $a = 3$,$b = 6$ और $c = 9$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समतल $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $a=2, b=3, c=3$ हैं।
अतः,शीर्षों के निर्देशांक $A(2, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ और $C(0, 0, 3)$ हैं।
भुजाओं को बनाने वाले सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 3)$ हैं।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणन की गणना करने पर: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - 0) - \hat{j}(-6 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 9\hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{9^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36 + 36} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{17} = \frac{3\sqrt{17}}{2}$ वर्ग इकाई है।
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ के समांतर समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = d_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = 7$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
अपेक्षित समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = d_1$ है।
चूंकि समतल बिंदु $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ से गुजरता है,हम समीकरण में $\vec{r} = \vec{a}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$d_1 = (2\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k})$
$d_1 = (2)(4) + (1)(-12) + (-4)(-3)$
$d_1 = 8 - 12 + 12 = 8$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 12\hat{j} - 3\hat{k}) = 8$ है।

(B) समतलों $P_1: x + 2y + 3z - 4 = 0$ और $P_2: 4x + 3y + 2z + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + 2y + 3z - 4) + \lambda (4x + 3y + 2z + 1) = 0$.
चूंकि यह समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0 + 0 + 0 - 4) + \lambda (0 + 0 + 0 + 1) = 0$.
$-4 + \lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
अब $\lambda = 4$ को समीकरण में रखने पर:
$(x + 2y + 3z - 4) + 4(4x + 3y + 2z + 1) = 0$.
$x + 2y + 3z - 4 + 16x + 12y + 8z + 4 = 0$.
$17x + 14y + 11z = 0$.

(D) माना समतल का समीकरण $f(x, y, z) = 3x + 4y - 12z + 13 = 0$ है।
दो बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ एक समतल के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं यदि $f(x_1, y_1, z_1)$ और $f(x_2, y_2, z_2)$ के चिह्न विपरीत हों,अर्थात $f(x_1, y_1, z_1) \times f(x_2, y_2, z_2) < 0$।
बिंदु $P_1 = (1, a, 1)$ के लिए,$f(1, a, 1) = 3(1) + 4(a) - 12(1) + 13 = 3 + 4a - 12 + 13 = 4a + 4$।
बिंदु $P_2 = (-3, 0, a)$ के लिए,$f(-3, 0, a) = 3(-3) + 4(0) - 12(a) + 13 = -9 - 12a + 13 = 4 - 12a$।
हमें $(4a + 4)(4 - 12a) < 0$ की आवश्यकता है।
$16$ से विभाजित करने पर,हमें $(a + 1)(1 - 3a) < 0$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $(a + 1)(3a - 1) > 0$।
मूल $a = -1$ और $a = 1/3$ हैं।
असमिका $(a + 1)(3a - 1) > 0$ तब सत्य होती है जब $a < -1$ या $a > 1/3$ हो।

(A) दिया गया समीकरण $3y + 4z = 0$ है।
यह तीन चरों $x, y, z$ में $Ax + By + Cz + D = 0$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $A=0, B=3, C=4$ और $D=0$ है।
चूँकि $D=0$ है,इसलिए यह समतल मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरता है।
एक समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ में $x$-अक्ष तब स्थित होता है यदि समीकरण $x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु $(x, 0, 0)$ के लिए संतुष्ट हो।
$3y + 4z = 0$ में $(x, 0, 0)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3(0) + 4(0) = 0$ प्राप्त होता है,जो कि $0 = 0$ है।
यह $x$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
अतः,यह समतल $x$-अक्ष को समाहित करता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि $PA^2 - PB^2 = 6c$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PA^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2$ और $PB^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2] - [(x + 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 4)^2] = 6c$.
$(y - 3)^2$ पद कट जाएंगे:
$(x - 1)^2 - (x + 2)^2 + (z - 5)^2 - (z + 4)^2 = 6c$.
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 4x + 4) + (z^2 - 10z + 25) - (z^2 + 8z + 16) = 6c$.
समीकरण को सरल करने पर:
$-6x - 3 - 18z + 9 = 6c$.
$-6x - 18z + 6 = 6c$.
$-6$ से विभाजित करने पर:
$x + 3z - 1 = -c$,जिसे $x + 3z - 1 + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$,$\vec{n_2} = (1, 1, -1)$,और $\vec{n_3} = (1, -3, 3)$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखाओं की दिशाएँ अभिलंबों के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होती हैं:
$\vec{v_1} = \vec{n_2} \times \vec{n_3} = (0, -4, -4) \parallel (0, 1, 1)$.
$\vec{v_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_1} = (0, 2, 2) \parallel (0, 1, 1)$.
$\vec{v_3} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = (0, 2, 2) \parallel (0, 1, 1)$.
चूँकि सभी दिशाएँ $(0, 1, 1)$ के समांतर हैं,रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ एक-दूसरे के समांतर हैं। अतः,कथन-$1$ असत्य है।
कथन-$2$ के लिए,सारणिक $D = 0$ है,इसलिए कोई अद्वितीय उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। समीकरणों की संगति की जाँच करने पर,कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं मिलता है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।

(B) बिंदु $(2, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y - 2) + c(z - 1) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $(9, 3, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $a(9 - 2) + b(3 - 2) + c(6 - 1) = 0$,जो $7a + b + 5c = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि यह समतल $2x + 6y + 6z - 1 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश लंबवत हैं,अतः $2a + 6b + 6c = 0$,जो $a + 3b + 3c = 0$ में सरल हो जाता है।
अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ ज्ञात करने के लिए दिशा सदिशों $(7, 1, 5)$ और $(1, 3, 3)$ का क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$a = (1 \times 3) - (5 \times 3) = 3 - 15 = -12$
$b = (5 \times 1) - (7 \times 3) = 5 - 21 = -16$
$c = (7 \times 3) - (1 \times 1) = 21 - 1 = 20$
$-4$ से विभाजित करने पर,हमें दिक अनुपात $(a, b, c) = (3, 4, -5)$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $3(x - 2) + 4(y - 2) - 5(z - 1) = 0$.
$3x - 6 + 4y - 8 - 5z + 5 = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 5z = 9$.

(B) समतल $x - 2y + 2z - 5 = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $x - 2y + 2z + k = 0$ के रूप का होता है।
यह दिया गया है कि मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की दूरी $1$ इकाई है।
किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
मान रखने पर,$1 = \frac{|1(0) - 2(0) + 2(0) + k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$.
$1 = \frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|k|}{\sqrt{9}} = \frac{|k|}{3}$.
अतः,$|k| = 3$,जिसका अर्थ है $k = 3$ या $k = -3$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $x - 2y + 2z + 3 = 0$ या $x - 2y + 2z - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$x - 2y + 2z - 3 = 0$ सही विकल्प है।

(C) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
दिए गए समतलों $x + y + 2z = 9$ और $2x - y + z = 15$ के लिए,हमारे पास है:
$a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 2$
$a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 1$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1 + 1 + 4} \sqrt{4 + 1 + 1}}$
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिए गए समतल $P_1: 2x - y + z - 2 = 0$ और $P_2: x + 2y - z - 3 = 0$ हैं।
कोण द्विभाजकों का समीकरण $\frac{2x - y + z - 2}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \pm \frac{x + 2y - z - 3}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि हर समान हैं,इसलिए $2x - y + z - 2 = \pm (x + 2y - z - 3)$।
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न): $2x - y + z - 2 = x + 2y - z - 3 \implies x - 3y + 2z + 1 = 0$।
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न): $2x - y + z - 2 = -x - 2y + z + 3 \implies 3x + y - 5 = 0$।
न्यूनकोण द्विभाजक की पहचान करने के लिए,$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2$ का मान जांचें। यहाँ $(2)(1) + (-1)(2) + (1)(-1) = -1 < 0$ है।
जब गुणनफल ऋणात्मक होता है,तो ऋणात्मक चिह्न वाला समीकरण न्यूनकोण द्विभाजक को दर्शाता है।
अतः,न्यूनकोण द्विभाजक $3x + y - 5 = 0$ है।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की दूरी $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{p^2}$ है।
चूँकि $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,और $C(0, 0, c)$ से निर्देशांक तलों के समांतर समतल खींचे गए हैं,तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b, c)$ है।
$(a, b, c)$ को $(x, y, z)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{1}{p^2}$ प्राप्त होता है।

(D) $3x - 5y + 2z = 11$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $3x - 5y + 2z = k$ के रूप में होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(1) - 5(2) + 2(-3) = k$
$3 - 10 - 6 = k$
$k = -13$
$k = -13$ को समीकरण में वापस रखने पर,हमें $3x - 5y + 2z = -13$ प्राप्त होता है,जिसे $3x - 5y + 2z + 13 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y,$ और $z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
यह दिया गया है कि समतल इकाई लंबाई के समान अंतःखंड काटता है,इसलिए $a = 1, b = 1, c = 1$ है।
इन मानों को अंतःखंड रूप के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z = 1$ है।

(B) समतल का दिया गया समीकरण $\bar{r} \cdot (2, -3, 4) = 12$ है।
$\bar{r} = (x, y, z)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2x - 3y + 4z = 12$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ प्राप्त करने के लिए,समीकरण $2x - 3y + 4z = 12$ को $12$ से विभाजित करने पर,
$\frac{2x}{12} - \frac{3y}{12} + \frac{4z}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{x}{6} + \frac{y}{-4} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a = 6$,$b = -4$ और $c = 3$ हैं।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $\vec{r} = (1 + \lambda - \mu)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (3 - 2\lambda + 2\mu)\hat{k}$ है।
हम इसे $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह एक ऐसे समतल को दर्शाता है जो बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ से होकर गुजरता है और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.
समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
अतः,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,या $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x + z = 5$ हो जाता है।

(A) रेखा मूल बिंदु से गुजरती है और अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ है।
बिंदु $P$ का मान $(a, a, a)$ है।
समतल $P(a, a, a)$ से गुजरता है और $OP$ के लंबवत है। समतल के अभिलंब के दिक अनुपात रेखा $OP$ के दिक अनुपातों के समान यानी $(1, 1, 1)$ हैं।
समतल का समीकरण $1(x - a) + 1(y - a) + 1(z - a) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $x + y + z = 3a$ प्राप्त होता है।
$3a$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{3a} + \frac{y}{3a} + \frac{z}{3a} = 1$ प्राप्त होता है।
अक्षों पर अंतःखंड $3a, 3a, 3a$ हैं।
अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} = \frac{3}{3a} = \frac{1}{a}$ है।

(D) माना चर समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
यह समतल निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ पर मिलता है।
माना $\Delta ABC$ के केंद्रक के निर्देशांक $(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं। तब,
$\alpha = \frac{a}{3}, \beta = \frac{b}{3}, \gamma = \frac{c}{3} \implies a = 3\alpha, b = 3\beta, c = 3\gamma \dots (i)$
समतल की मूल बिंदु से दूरी $k$ है।
$\therefore \left| \frac{\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} \right| = k$
$\implies \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{k^2}$
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$\frac{1}{(3\alpha)^2} + \frac{1}{(3\beta)^2} + \frac{1}{(3\gamma)^2} = \frac{1}{k^2}$
$\frac{1}{9\alpha^2} + \frac{1}{9\beta^2} + \frac{1}{9\gamma^2} = \frac{1}{k^2}$
$\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = 9k^{-2}$
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma)$ का बिंदु पथ $x^{-2} + y^{-2} + z^{-2} = 9k^{-2}$ है।

(D) समतल $3x - 4y + 5z - 6 = 0$ के समांतर समतल का सामान्य समीकरण $3x - 4y + 5z + \lambda = 0$ है।
चूंकि यह समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3(0) - 4(0) + 5(0) + \lambda = 0$
इससे हमें $\lambda = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 0$ को सामान्य समीकरण में वापस रखने पर,हमें अभीष्ट समतल का समीकरण प्राप्त होता है: $3x - 4y + 5z = 0$.

(D) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 2z + 3 = 0$ और $P_2: 3x - 2y + 6z + 8 = 0$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करने वाले समतल का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{2x - y + 2z + 3}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \pm \frac{3x - 2y + 6z + 8}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2}}$
हर (denominator) की गणना करने पर:
$\sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$\sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$
अतः,समीकरण होगा:
$\frac{2x - y + 2z + 3}{3} = \pm \frac{3x - 2y + 6z + 8}{7}$
वज्र गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$7(2x - y + 2z + 3) = \pm 3(3x - 2y + 6z + 8)$
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न):
$14x - 7y + 14z + 21 = 9x - 6y + 18z + 24$
$5x - y - 4z - 3 = 0$
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न):
$14x - 7y + 14z + 21 = -(9x - 6y + 18z + 24)$
$14x - 7y + 14z + 21 = -9x + 6y - 18z - 24$
$23x - 13y + 32z + 45 = 0$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही समीकरण $23x - 13y + 32z + 45 = 0$ है।

(B) तीन समतल $a_1x + b_1y + c_1z = 0$,$a_2x + b_2y + c_2z = 0$ और $a_3x + b_3y + c_3z = 0$ एक ही रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो,अर्थात $\begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 4 & k & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$k(k(1) - 2(2)) - 4(4(1) - 2(2)) + 1(4(2) - 2(k)) = 0$
$k(k - 4) - 4(4 - 4) + 1(8 - 2k) = 0$
$k^2 - 4k - 0 + 8 - 2k = 0$
$k^2 - 6k + 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(k - 2)(k - 4) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = 4$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$k = 2$ विकल्प $B$ में दिया गया है।

(A) माना अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
चूंकि समतल,अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ वाले समतलों के लंबवत है,इसलिए सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के समांतर होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + 1 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 2, 2)$ से समतल $x + y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(A) माना समतल का समीकरण $f(x, y, z) = 2x + 2y - 2z - 1 = 0$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या दो बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ एक समतल के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं,हम $f(x_1, y_1, z_1)$ और $f(x_2, y_2, z_2)$ का मान ज्ञात करते हैं। यदि परिणाम विपरीत चिह्न के हैं,तो बिंदु विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।
बिंदु $(2, 1, 5)$ के लिए: $f(2, 1, 5) = 2(2) + 2(1) - 2(5) - 1 = 4 + 2 - 10 - 1 = -5$.
बिंदु $(3, 4, 3)$ के लिए: $f(3, 4, 3) = 2(3) + 2(4) - 2(3) - 1 = 6 + 8 - 6 - 1 = 7$.
चूंकि चिह्न विपरीत हैं,इसलिए बिंदु समतल के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं।
बीजीय लंबवत दूरी $\frac{f(x, y, z)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि हर हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए दूरी का चिह्न केवल $f(x, y, z)$ के चिह्न पर निर्भर करता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(B) समतलों $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 5$ और $\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 3$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण:
$[\vec{r} \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 5] + \lambda [\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - 3] = 0$
$\Rightarrow \vec{r} \cdot [(1 + 2\lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} + (-1 + \lambda)\hat{k}] = 5 + 3\lambda \quad (i)$
चूँकि समतल बिंदु $(2, 1, -2)$ से गुजरता है,स्थिति सदिश $\vec{r} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ रखने पर:
$(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot [(1 + 2\lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} + (-1 + \lambda)\hat{k}] = 5 + 3\lambda$
$2(1 + 2\lambda) + 1(3 - \lambda) - 2(-1 + \lambda) = 5 + 3\lambda$
$2 + 4\lambda + 3 - \lambda + 2 - 2\lambda = 5 + 3\lambda$
$7 + \lambda = 5 + 3\lambda$
$2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 1$
समीकरण $(i)$ में $\lambda = 1$ रखने पर:
$\vec{r} \cdot [(1 + 2(1))\hat{i} + (3 - 1)\hat{j} + (-1 + 1)\hat{k}] = 5 + 3(1)$
$\vec{r} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}) = 8$.

(D) समतलों के समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19 = 0$ और $\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ हैं।
कोण समद्विभाजक समतलों का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \pm \frac{\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2}}$
$\frac{\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19}{3} = \pm \frac{\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3}{13}$
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न):
$13(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19) = 3(\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3)$
$\vec{r} \cdot (13\hat{i} + 26\hat{j} + 26\hat{k} - 12\hat{i} + 9\hat{j} - 36\hat{k}) = 9 + 247$
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + 35\hat{j} - 10\hat{k}) = 256$
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न):
$13(\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19) = -3(\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3)$
$\vec{r} \cdot (13\hat{i} + 26\hat{j} + 26\hat{k} + 12\hat{i} - 9\hat{j} + 36\hat{k}) = -9 + 247$
$\vec{r} \cdot (25\hat{i} + 17\hat{j} + 62\hat{k}) = 238$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही समीकरण $\vec{r} \cdot (25\hat{i} + 17\hat{j} + 62\hat{k}) = 238$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$,$B(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ और $C(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ हैं।
समतल में स्थित सदिश हैं:
$\vec{AB} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 0\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 3) - \hat{j}(3 - 0) + \hat{k}(1 - 0) = -9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$.
बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = -9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = -9 - 3 - 2 = -14$.
अतः,$\vec{r} \cdot (-9\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = -14$,या $\vec{r} \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 14$.

(D) कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,हम समतल $x-y+z-5=0$ में बिंदु $B(1,3,4)$ का दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करते हैं।
सूत्र $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = -2 \frac{1-3+4-5}{1^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2.$
अतः,$x-1=2 \Rightarrow x=3$,$y-3=-2 \Rightarrow y=1$,$z-4=2 \Rightarrow z=6$.
प्रतिबिंब $(3,1,6)$ प्राप्त होता है,जो बिंदु $A$ है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए,$AB$ का मध्य-बिंदु $(\frac{3+1}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{6+4}{2}) = (2,2,5)$ है।
यह जाँचने पर कि क्या यह बिंदु समतल पर स्थित है: $2-2+5 = 5$. चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है,समतल रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
दर्पण प्रतिबिंब की परिभाषा के अनुसार रेखाखंड $AB$ को समतल के लंबवत होना चाहिए और मध्य-बिंदु को समतल पर स्थित होना चाहिए। कथन $-2$ मध्य-बिंदु की शर्त को पूरा करता है,जो दर्पण प्रतिबिंब होने के लिए एक आवश्यक शर्त है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(A) माना समतल $x - 2y + 2z - 5 = 0$ के समांतर समतल का समीकरण $x - 2y + 2z + k = 0 \dots (i)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $(i)$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|k|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
यहाँ दूरी $1$ दी गई है,इसलिए:
$\frac{|k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{9}} = 1$
$\frac{|k|}{3} = 1$
$|k| = 3$
अतः,$k = 3$ या $k = -3$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें समतल के संभावित समीकरण $x - 2y + 2z + 3 = 0$ या $x - 2y + 2z - 3 = 0$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही समीकरण $x - 2y + 2z - 3 = 0$ है।

(A) समतल $AOB$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिशों $\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ के सदिश गुणन (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है $\vec{OA} = (1, -2, -1)$ और $\vec{OB} = (3, -2, 3)$।
$\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - 2) - \hat{j}(3 + 3) + \hat{k}(-2 + 6) = -8\hat{i} - 6\hat{j} + 4\hat{k}$।
सरल करने के लिए $-2$ से विभाजित करने पर,अभिलंब सदिश $(4, 3, -2)$ के समानुपाती है।
सदिश $(4, 3, -2)$ का परिमाण $\sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$ है।
अतः दिक-कोज्याएँ $\left( \frac{4}{\sqrt{29}}, \frac{3}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}} \right)$ हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x + y + z + 2 = 0$ और $x + y + z + 3 = 0$ हैं।
ये समीकरण $3D$ अंतरिक्ष में दो समतलों को दर्शाते हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
चूंकि अभिलंब सदिश समान हैं,इसलिए समतल एक-दूसरे के समानांतर हैं।
दो अलग-अलग समानांतर समतल अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
इसलिए,इन दो समीकरणों की प्रणाली एक रिक्त समुच्चय को दर्शाती है,जिसका अर्थ है कि वे अंतरिक्ष में कुछ भी नहीं दर्शाते हैं।

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इकाई दूरी पर है,लंबवत दूरी $d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
बिंदुओं $P, Q,$ और $R$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$\Delta PQR$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a+0+0}{3} = \frac{a}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3} = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{0+0+c}{3} = \frac{c}{3}$।
अतः,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 9$।
दिए गए बिंदु पथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = k$ के साथ तुलना करने पर,$k = 9$ प्राप्त होता है।

(C) समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b$ और $c$ क्रमशः $x, y$ और $z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
इसे दिए गए समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2, b = 3$ और $c = 4$ प्राप्त होता है।
जिन बिंदुओं पर समतल अक्षों को काटता है,उनके निर्देशांक $A(2, 0, 0), B(0, 3, 0)$ और $C(0, 0, 4)$ हैं।
$(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान $a=2, b=3, c=4$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(2^2 \times 3^2) + (3^2 \times 4^2) + (4^2 \times 2^2)}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(4 \times 9) + (9 \times 16) + (16 \times 4)}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 144 + 64}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{244}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{61} = \sqrt{61}$.

(C) दिया गया समीकरण $f(x, y, z) = xy + xz = 0$ है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $x(y + z) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण तब संतुष्ट होता है यदि $x = 0$ या $y + z = 0$ हो।
त्रिविमीय आकाश में,$x = 0$ समतल $yz$-समतल को दर्शाता है।
समीकरण $y + z = 0$ एक ऐसे समतल को दर्शाता है जो $x$-अक्ष से होकर गुजरता है।
समतल $x = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$ है।
समतल $y + z = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$ है।
अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(1) = 0$ है।
चूंकि अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए दोनों समतल एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(B) माना $\gamma$ वह कोण है जो $n$,$z$-अक्ष के साथ बनाता है। $n$ की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$m = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,और $n = \cos \gamma$ हैं।
चूंकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,हमारे पास $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + n^2 = 1$ है।
$\Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + n^2 = 1 \Rightarrow n^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
चूंकि $\gamma$ न्यून कोण है,$n = \cos \gamma = \frac{1}{2}$।
$|n| = 8$ दिया गया है,अतः सदिश $n = |n|(l i + m j + n k) = 8(\frac{1}{\sqrt{2}} i + \frac{1}{2} j + \frac{1}{2} k) = 4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k$ है।
समतल बिंदु $A$ (स्थिति सदिश $a = \sqrt{2} i - j + k$) से गुजरता है और $n$ के लंबवत है।
समतल का सदिश समीकरण $r \cdot n = a \cdot n$ है।
$r \cdot (4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k) = (\sqrt{2} i - j + k) \cdot (4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k)$।
$r \cdot (4\sqrt{2} i + 4 j + 4 k) = (\sqrt{2})(4\sqrt{2}) + (-1)(4) + (1)(4) = 8 - 4 + 4 = 8$।
$4$ से विभाजित करने पर,$r \cdot (\sqrt{2} i + j + k) = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है। बिंदु $A(2, 1, -3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y-1) + c(z+3) = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = 2a + b - 3c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|2a + b - 3c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
कोशी-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार,किन्हीं भी सदिशों $\vec{u} = (2, 1, -3)$ और $\vec{n} = (a, b, c)$ के लिए,$|\vec{u} \cdot \vec{n}| \leq |\vec{u}| |\vec{n}|$ होता है। अतः,$d = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \leq |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.$
दूरी तब अधिकतम होती है जब अभिलंब सदिश $\vec{n}$ स्थिति सदिश $\vec{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ के समांतर हो।
$\vec{n} = (2, 1, -3)$ रखने पर,समतल का समीकरण $2(x-2) + 1(y-1) - 3(z+3) = 0$ प्राप्त होता है,
$2x - 4 + y - 1 - 3z - 9 = 0,$
$2x + y - 3z = 14.$

(A) माना शीर्ष $M$ मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ पर है। माना किनारों $ML, MN, MO$ की लंबाई क्रमशः $a, b, c$ है।
$L(a, 0, 0), N(0, b, 0)$ और $O(0, 0, c)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
$O$ से फलक $MLN$ पर शीर्षलंब $c = 1$ है। $L$ से फलक $MNO$ पर शीर्षलंब $a = 2$ है। $N$ से फलक $MLO$ पर शीर्षलंब $b = 3$ है।
अतः,फलक $LNO$ का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + z - 1 = 0$ है।
$M(0, 0, 0)$ से फलक $LNO$ पर शीर्षलंब $h$ की लंबाई:
$h = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (1)^2}} = \frac{6}{7} \text{ इकाई}$.

(A) माना बिंदु $A(2, 1, -3)$ है और मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है।
एक निश्चित बिंदु $A$ से गुजरने वाले समतल के लिए मूल बिंदु $O$ से दूरी अधिकतम होने के लिए,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{OA}$ होना चाहिए।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
अतः,समीकरण $2x + y - 3z = (2)(2) + (1)(1) + (-3)(-3)$ होगा।
$2x + y - 3z = 4 + 1 + 9 = 14$.
इस प्रकार,समतल का समीकरण $2x + y - 3z = 14$ है।

(C) दिए गए समतल हैं:
$y + z = 0$ ... $(1)$
$z + x = 0$ ... $(2)$
$x + y = 0$ ... $(3)$
$x + y + z = 2$ ... $(4)$
चतुष्फलक के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम एक बार में तीन समतलों को लेकर समीकरणों को हल करते हैं:
- $(1), (2), (3)$ का प्रतिच्छेदन: $x+y=0, y+z=0, z+x=0 \implies x=y=z=0$. शीर्ष $V_1 = (0, 0, 0)$.
- $(1), (2), (4)$ का प्रतिच्छेदन: $y+z=0, z+x=0, x+y+z=2$. $(4)$ में $y=-z$ और $x=-z$ रखने पर,हमें $-z-z+z=2 \implies z=-2$ प्राप्त होता है। अतः,$x=2, y=2$. शीर्ष $V_2 = (2, 2, -2)$.
- $(1), (3), (4)$ का प्रतिच्छेदन: $y+z=0, x+y=0, x+y+z=2$. $(4)$ में $z=-y$ और $x=-y$ रखने पर,हमें $-y-y+y=2 \implies y=-2$ प्राप्त होता है। अतः,$x=2, z=2$. शीर्ष $V_3 = (2, -2, 2)$.
- $(2), (3), (4)$ का प्रतिच्छेदन: $z+x=0, x+y=0, x+y+z=2$. $(4)$ में $z=-x$ और $y=-x$ रखने पर,हमें $x-x-x=2 \implies x=-2$ प्राप्त होता है। अतः,$y=2, z=2$. शीर्ष $V_4 = (-2, 2, 2)$.
चतुष्फलक का आयतन $\frac{1}{6} |det(V_2-V_1, V_3-V_1, V_4-V_1)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आयतन $= \frac{1}{6} \left| \begin{matrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 2 \end{matrix} \right| = \frac{1}{6} |2(-4-4) - 2(4+4) - 2(4-4)| = \frac{1}{6} |-16 - 16 - 0| = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले दो समतलों का सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0$ है।
दिए गए समीकरण $2x^2 - 6y^2 - 12z^2 + 18yz + 2zx + xy = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=2, b=-6, c=-12, f=9, g=1, h=0.5$ प्राप्त होता है।
इन समतलों को $(x + 2y - 2z)(2x - 3y + 6z) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,समतलों के समीकरण $P_1: x + 2y - 2z = 0$ और $P_2: 2x - 3y + 6z = 0$ हैं।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 2, -2)$ और $\vec{n_2} = (2, -3, 6)$ हैं।
समतलों के बीच के कोण $\alpha$ का कोसाइन $\cos \alpha = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-3) + (-2)(6) = 2 - 6 - 12 = -16$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = 7$.
इसलिए,$\cos \alpha = \left| \frac{-16}{3 \times 7} \right| = \frac{16}{21}$.

(B) माना समतल का समीकरण $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ है।
चूँकि समतल रेखा को समाहित करता है,अभिलंब सदिश दिशा सदिश $(-3, 2, 1)$ के लंबवत है,अतः $-3a + 2b + c = 0$ है।
समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से गुजरता है,अतः $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$,जिससे $a + 4b - 5c = 0$ प्राप्त होता है।
$-3a + 2b + c = 0$ और $a + 4b - 5c = 0$ को हल करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + z = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 2, -1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda+1, \lambda+2, \lambda-1)$ है।
लंबपाद के लिए,यह बिंदु समतल पर स्थित है: $(\lambda+1) + (\lambda+2) + (\lambda-1) = 0$,अतः $3\lambda + 2 = 0$,जिससे $\lambda = \frac{-2}{3}$ प्राप्त होता है।
लंबपाद $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{-5}{3})$ है।
माना प्रतिबिंब $(x', y', z')$ है। बिंदु और उसके प्रतिबिंब का मध्यबिंदु लंबपाद है: $\frac{x'+1}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x' = \frac{-1}{3}$,$\frac{y'+2}{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow y' = \frac{2}{3}$,और $\frac{z'-1}{2} = \frac{-5}{3} \Rightarrow z' = \frac{-7}{3}$।
अतः,प्रतिबिंब $\left( \frac{-1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-7}{3} \right)$ है।

(B) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
चूंकि $PA$,$yz$-समतल पर लंब है,इसलिए $A$ के निर्देशांक $(0, b, c)$ होंगे।
चूंकि $PB$,$zx$-समतल पर लंब है,इसलिए $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ होंगे।
मूलबिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
मूलबिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $px + qy + rz = 0$ है।
चूंकि समतल $A(0, b, c)$ से गुजरता है,इसलिए $p(0) + q(b) + r(c) = 0$,जिसका अर्थ है $qb + rc = 0$।
चूंकि समतल $B(a, 0, c)$ से गुजरता है,इसलिए $p(a) + q(0) + r(c) = 0$,जिसका अर्थ है $pa + rc = 0$।
इन समीकरणों से,$qb = -rc$ और $pa = -rc$ प्राप्त होता है।
अतः,$pa = qb = -rc = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इससे $p = k/a$,$q = k/b$,और $r = -k/c$ प्राप्त होता है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $(k/a)x + (k/b)y - (k/c)z = 0$।
$k$ से भाग देने और $abc$ से गुणा करने पर,हमें $bcx + acy - abz = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P_1$ पर बिंदुओं का समुच्चय $S_1 = \{A, B, C\}$ है और $P_2$ पर बिंदुओं का समुच्चय $S_2 = \{D, E, F\}$ है।
एक चतुष्फलक $4$ असमतलीय बिंदुओं को चुनकर बनता है।
चूंकि $P_1$ पर $3$ बिंदु समतलीय हैं और $P_2$ पर $3$ बिंदु समतलीय हैं,इसलिए हम एक ही समतल से $4$ बिंदु नहीं चुन सकते।
अतः,हमें दोनों समतलों से बिंदु चुनने होंगे।
संभावित संयोजन हैं:
$1$. $P_1$ से $3$ बिंदु और $P_2$ से $1$ बिंदु: ${}^3C_3 \times {}^3C_1 = 1 \times 3 = 3$.
$2$. $P_1$ से $2$ बिंदु और $P_2$ से $2$ बिंदु: ${}^3C_2 \times {}^3C_2 = 3 \times 3 = 9$.
$3$. $P_1$ से $1$ बिंदु और $P_2$ से $3$ बिंदु: ${}^3C_1 \times {}^3C_3 = 3 \times 1 = 3$.
चतुष्फलकों की कुल संख्या $= 3 + 9 + 3 = 15$.