एक समतल बिंदु A(2, 1, -3) से होकर गुजरता है। | vedclass

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Question

(A) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है। बिंदु $A(2, 1, -3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y-1) + c(z+3

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$2x+y-3z=14$

Vedclass · Answer

(A) माना समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है। बिंदु $A(2, 1, -3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y-1) + c(z+3) = 0$ है,जिसे $ax + by + cz = 2a + b - 3c$ के रूप में लिखा जा सकता है।इस समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d = \frac{|2a + b - 3c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।कोशी-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार,किन्हीं भी सदिशों $\vec{u} = (2, 1, -3)$ और $\vec{n} = (a, b, c)$ के लिए,$|\vec{u} \cdot \vec{n}| \leq |\vec{u}| |\vec{n}|$ होता है। अतः,$d = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \leq |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}.$दूरी तब अधिकतम होती है जब अभिलंब सदिश $\vec{n}$ स्थिति सदिश $\vec{OA} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ के समांतर हो।$\vec{n} = (2, 1, -3)$ रखने पर,समतल का समीकरण $2(x-2) + 1(y-1) - 3(z+3) = 0$ प्राप्त होता है,$2x - 4 + y - 1 - 3z - 9 = 0,$$2x + y - 3z = 14.$

एक समतल बिंदु $A(2, 1, -3)$ से होकर गुजरता है। यदि इस समतल की मूल बिंदु से दूरी अधिकतम है,तो इसका समीकरण क्या है?

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