Plane Questions in Hindi

(D) समतल का समीकरण $3x + 4y + 12z - 52 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई $p$ का सूत्र $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0, y_1 = 0, z_1 = 0$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $p = \frac{|3(0) + 4(0) + 12(0) - 52|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}}$।
$p = \frac{|-52|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{52}{\sqrt{169}} = \frac{52}{13} = 4$।
चूँकि मान $4$ विकल्पों $A, B, C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2, 6, 3)$ हैं और मूल बिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
सदिश $\vec{OP}$ समतल के लिए अभिलंब सदिश के रूप में कार्य करता है,इसलिए $\vec{n} = \vec{OP} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान $a=2, b=6, c=3$ और $(x_1, y_1, z_1) = (2, 6, 3)$ रखने पर:
$2(x - 2) + 6(y - 6) + 3(z - 3) = 0$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$2x - 4 + 6y - 36 + 3z - 9 = 0$
$2x + 6y + 3z - 49 = 0$
$2x + 6y + 3z = 49$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) समतल के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में परिवर्तित करते हैं।
दिया गया समीकरण: $5x - 3y + 6z = 60$.
पूरे समीकरण को $60$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5x}{60} - \frac{3y}{60} + \frac{6z}{60} = \frac{60}{60}$
भिन्नों को सरल करने पर:
$\frac{x}{12} - \frac{y}{20} + \frac{z}{10} = 1$
इसे मानक अंतःखंड रूप में लिखने पर:
$\frac{x}{12} + \frac{y}{-20} + \frac{z}{10} = 1$
इसकी तुलना $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ से करने पर,हमें अंतःखंड $a = 12$,$b = -20$,और $c = 10$ प्राप्त होते हैं।
अतः,अंतःखंड $(12, -20, 10)$ हैं।

(C) समतल का सामान्य समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ है,जहाँ $(a, b, c)$ समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात हैं।
यदि कोई समतल $x$-अक्ष के समांतर है,तो उसका अभिलंब $x$-अक्ष के लंबवत होना चाहिए।
$x$-अक्ष के दिक-अनुपात $(1, 0, 0)$ हैं।
चूंकि अभिलंब $(a, b, c)$,$x$-अक्ष $(1, 0, 0)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$a(1) + b(0) + c(0) = 0 \implies a = 0$.
सामान्य समीकरण में $a = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0x + by + cz + d = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $by + cz + d = 0$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $A(-1, 3, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x + 1) + B(y - 3) + C(z - 0) = 0$ है ... $(i)$.
चूंकि समतल बिंदुओं $B(2, 2, 1)$ और $C(1, 1, 3)$ से गुजरता है,इसलिए:
$3A - B + C = 0$ ... $(ii)$.
$2A - 2B + 3C = 0$ ... $(iii)$.
$(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$\frac{A}{-3 + 2} = \frac{B}{2 - 9} = \frac{C}{-6 + 2} \implies \frac{A}{-1} = \frac{B}{-7} = \frac{C}{-4}$.
अतः,दिक अनुपात $(1, 7, 4)$ हैं।
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर: $1(x + 1) + 7(y - 3) + 4(z) = 0 \implies x + 7y + 4z - 20 = 0$.
बिंदु $D(5, 7, 8)$ से समतल $x + 7y + 4z - 20 = 0$ की दूरी:
$d = \frac{|1(5) + 7(7) + 4(8) - 20|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + 4^2}} = \frac{|5 + 49 + 32 - 20|}{\sqrt{66}} = \frac{66}{\sqrt{66}} = \sqrt{66}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 2)(x - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x = 2$ या $x = 3$।
त्रिविमीय $xyz$ निर्देशांक प्रणाली में,समीकरण $x = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) $yz$-समतल के समानांतर एक समतल को दर्शाता है।
इसलिए,$x = 2$ और $x = 3$ $yz$-समतल के समानांतर दो अलग-अलग समतलों को दर्शाते हैं।
अतः,यह समीकरण समतलों का एक युग्म दर्शाता है।

(A) समीकरण $|x| = p$,$|y| = p$,और $|z| = p$ निर्देशांक समतलों के समानांतर समतलों को दर्शाते हैं।
विशेष रूप से,$|x| = p$ दो समतलों $x = p$ और $x = -p$ को दर्शाता है।
इसी प्रकार,$|y| = p$ का अर्थ $y = p$ और $y = -p$ है,और $|z| = p$ का अर्थ $z = p$ और $z = -p$ है।
ये छह समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर केंद्रित और $2p$ भुजा की लंबाई वाले एक घन की सीमाओं को परिभाषित करते हैं,जिसके फलक निर्देशांक समतलों के समानांतर होते हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिए गए समतल का समीकरण $by + cz + d = 0$ है।
इसे $0 \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (0, b, c)$ है।
$YOZ$ समतल (या $yz$-समतल) का समीकरण $x = 0$ है,जिसे $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$YOZ$ समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$ है।
दो समतल लंबवत होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य हो।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0 \times 1) + (b \times 0) + (c \times 0) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए समतल $by + cz + d = 0$,$YOZ$ समतल के लंबवत है।

(A) $ax + by + cz + d = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण $ax + by + cz + k = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समतल $x + 2y + 5z = 0$ है,इसलिए इसके समानांतर किसी भी समतल का रूप $x + 2y + 5z + k = 0$ होगा।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1) + 2(2) + 5(3) + k = 0$
$1 + 4 + 15 + k = 0$
$20 + k = 0$
$k = -20$
$k = -20$ को समीकरण में वापस रखने पर,हमें $x + 2y + 5z - 20 = 0$ प्राप्त होता है,या $x + 2y + 5z = 20$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समीकरण $(x - 1) + 2(y - 2) + 5(z - 3) = 0$ का सरलीकरण $x - 1 + 2y - 4 + 5z - 15 = 0$ है,जो कि $x + 2y + 5z - 20 = 0$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) $5x - 6y + 7z = 3$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $5x - 6y + 7z = k$ के रूप में होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(2, 3, 4)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(2) - 6(3) + 7(4) = k$
$10 - 18 + 28 = k$
$20 = k$
$k$ का मान वापस समीकरण में रखने पर,हमें $5x - 6y + 7z = 20$ प्राप्त होता है,जिसे $5x - 6y + 7z - 20 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ की दूरी का सूत्र है:
दूरी $= \frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
यहाँ,समतल का समीकरण $6x - 3y + 2z - 14 = 0$ है।
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,हमें $a = 6$,$b = -3$,$c = 2$,और $d = -14$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
दूरी $= \frac{|-14|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}}$
$= \frac{14}{\sqrt{36 + 9 + 4}}$
$= \frac{14}{\sqrt{49}}$
$= \frac{14}{7} = 2$.
अतः,समतल की मूल बिंदु से दूरी $2$ इकाई है।

(A) दो समतलों $P_1: ax + by + cz + d = 0$ और $P_2: a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के लिए,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ न्यून कोण में स्थित होता है यदि $P_1(0,0,0)$ और $P_2(0,0,0)$ के चिह्न $aa' + bb' + cc'$ के चिह्न के समान हों और अचर पदों का गुणनफल $dd' > 0$ हो।
विशेष रूप से,यदि $aa' + bb' + cc' < 0$ है,तो मूल बिंदु न्यून कोण में स्थित होगा यदि $d$ और $d'$ समान चिह्न के हों,जिसका अर्थ है कि $dd' > 0$।

(C) समतलों के दिए गए समीकरण $2x + y + 2z - 8 = 0$ और $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ हैं।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x, y, z$ के गुणांकों को समान बनाते हैं।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,समतल $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ और $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ हैं।
दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = 4, B = 2, C = 4, D_1 = -16, D_2 = 5$ है।
$d = \frac{|-16 - 5|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|-21|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{36}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
यहाँ,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{n_2} = (-5, 3, 4)$ हैं।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(-5) + (2)(3) + (2)(4)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 4^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-5 + 6 + 8|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{25 + 9 + 16}}$
$\cos \theta = \frac{9}{\sqrt{9} \sqrt{50}}$
$\cos \theta = \frac{9}{3 \times 5\sqrt{2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\cos \theta = \frac{3 \times \sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{3\sqrt{2}}{10}$
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}}{10} \right)$.

(B) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ के लिए,बिंदु $P(1, 1, k)$ की दूरी $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(k) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12k|}{13}$ है।
बिंदु $Q(-3, 0, 1)$ की दूरी $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं,$d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12k|}{13} = \frac{8}{13}$।
इसका अर्थ है $|20 - 12k| = 8$,जिससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $20 - 12k = 8 \Rightarrow 12k = 12 \Rightarrow k = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12k = -8 \Rightarrow 12k = 28 \Rightarrow k = \frac{7}{3}$.
विकल्पों में $k=1$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $1$ है।

(C) मूलबिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है और बिंदु $P$ $(1, 2, -3)$ है।
चूंकि समतल $OP$ के लंबवत है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के रूप में कार्य करता है।
$\vec{n} = \vec{OP} = (1 - 0)\hat{i} + (2 - 0)\hat{j} + (-3 - 0)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान $a=1, b=2, c=-3$ और $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, -3)$ रखने पर:
$1(x - 1) + 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 - 3z - 9 = 0$
$x + 2y - 3z - 14 = 0$।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 0)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (4, 13, 5)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,हमें $(4 - 1, 13 - 2, 5 - 0) = (3, 11, 5)$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा समतल के लंबवत है,इसलिए रेखा के दिक-अनुपात समतल के अभिलंब के दिक-अनुपात के समान होते हैं।
अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $ax + by + cz + d = 0$ होता है।
अतः,समतल के समीकरण में $x, y$ और $z$ के गुणांक अभिलंब के दिक-अनुपात हैं,जो $3, 11, 5$ हैं।

(D) बिंदु $(1, 1, 1)$ की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
बिंदु $(1, 1, 1)$ की समतल $x + y + z + k = 0$ से दूरी $\frac{|1 + 1 + 1 + k|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|k + 3|}{\sqrt{3}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,मूल बिंदु से दूरी,समतल से दूरी की आधी है:
$\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \frac{|k + 3|}{\sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों को $2\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$2 \times 3 = |k + 3|$
$|k + 3| = 6$.
इसका अर्थ है $k + 3 = 6$ या $k + 3 = -6$.
अतः,$k = 3$ या $k = -9$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि समतल के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a, b$ और $c$ हैं। अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $\left( \frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि केंद्रक $(1, 2, 4)$ है,इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \implies b = 6$
$\frac{c}{3} = 4 \implies c = 12$
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
$a, b$ और $c$ के मान रखने पर,हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर,हमें $4x + 2y + z = 12$ प्राप्त होता है।

(A) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिए गए अंतःखंड $a = 8, b = 4, c = 4$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{8} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
$8$ से गुणा करने पर,हमें $x + 2y + 2z = 8$ या $x + 2y + 2z - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 1, B = 2, C = 2, D = -8$ है।
अतः,$d = \frac{|-8|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{8}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3}$.

(C) मान लीजिए बिंदु $A(-1, 2, 3)$ और $B(3, -5, 6)$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{AB} = (3 - (-1), -5 - 2, 6 - 3) = (4, -7, 3)$ है।
रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M$,$\left( \frac{-1+3}{2}, \frac{2-5}{2}, \frac{3+6}{2} \right) = \left( 1, -\frac{3}{2}, \frac{9}{2} \right)$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ है।
मान रखने पर: $4(x - 1) - 7(y + \frac{3}{2}) + 3(z - \frac{9}{2}) = 0$.
$4x - 4 - 7y - \frac{21}{2} + 3z - \frac{27}{2} = 0$.
$4x - 7y + 3z - 4 - \frac{48}{2} = 0$.
$4x - 7y + 3z - 4 - 24 = 0$.
$4x - 7y + 3z = 28$.

(A) रेखा $P(4, -1, 2)$ और $Q(-3, 2, 3)$ बिंदुओं से होकर गुजरती है।
इस रेखा के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-3 - 4, 2 - (-1), 3 - 2) = (-7, 3, -1)$ हैं।
चूंकि रेखा समतल के लंबवत है,इसलिए समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात रेखा के दिक्-अनुपात के समान यानी $(-7, 3, -1)$ होंगे।
वैकल्पिक रूप से,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (7, -3, 1)$ ले सकते हैं।
समतल बिंदु $R(-10, 5, 4)$ से होकर गुजरता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$7(x - (-10)) - 3(y - 5) - 1(z - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
$7(x + 10) - 3(y - 5) - (z - 4) = 0$।
$7x + 70 - 3y + 15 - z + 4 = 0$।
$7x - 3y - z + 89 = 0$।

(A) दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करने वाला समतल उस रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरना चाहिए।
मान लीजिए कि बिंदु $A(2, 3, 4)$ और $B(6, 7, 8)$ हैं।
$AB$ का मध्य-बिंदु $M$,सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$ द्वारा प्राप्त होता है।
निर्देशांकों को रखने पर,हमें $M = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 7}{2}, \frac{4 + 8}{2} \right) = (4, 5, 6)$ प्राप्त होता है।
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा विकल्प बिंदु $(4, 5, 6)$ द्वारा संतुष्ट होता है:
विकल्प $A$ के लिए: $x + y + z - 15 = 0 \implies 4 + 5 + 6 - 15 = 15 - 15 = 0$. यह समीकरण संतुष्ट होता है।
अतः,समतल का समीकरण $x + y + z - 15 = 0$ है।

(C) रेखा के दिक्-अनुपात $(3, 0, 4)$ हैं। चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए ये दिक्-अनुपात समतल का अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ होंगे।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $(A, B, C)$ वाले समतल का समीकरण $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $3(x - 1) + 0(y - 1) + 4(z - 1) = 0$.
सरल करने पर,$3x - 3 + 4z - 4 = 0$,अर्थात $3x + 4z - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 3, B = 0, C = 4, D = -7$.
$d = \frac{|-7|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} = \frac{7}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5}$.

(A) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$ होता है।
बिंदु $(2, -1, -3)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(x - 2) + B(y + 1) + C(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल रेखाओं $(3, 2, -4)$ और $(2, -3, 2)$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$3A + 2B - 4C = 0$ और $2A - 3B + 2C = 0$ है।
अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करने पर:
$A = (2)(2) - (-3)(-4) = 4 - 12 = -8$
$B = -((3)(2) - (2)(-4)) = -(6 + 8) = -14$
$C = (3)(-3) - (2)(2) = -9 - 4 = -13$
अतः,अभिलंब सदिश $(-8, -14, -13)$ है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $-8(x - 2) - 14(y + 1) - 13(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर: $8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$8x + 14y + 13z + 37 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि $PA^2 - PB^2 = k$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PA^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2$ और $PB^2 = (x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 4)^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2] - [(x + 2)^2 + (y - 5)^2 + (z + 4)^2] = k$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 8z + 16) - (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 + z^2 + 8z + 16) = k$
व्यंजक को सरल करने पर:
$(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 8z + 29) - (x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 10y + 8z + 45) = k$
$-8x + 4y - 16z - 16 = k$
यह $x, y, z$ में $ax + by + cz + d = 0$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो एक समतल को दर्शाता है।

(A) माना अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $x + 2y + 2z = 5$ और $3x + 3y + 2z = 8$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n}_1 = (1, 2, 2)$ और $\vec{n}_2 = (3, 3, 2)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
बिंदु $(1, -3, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(-2, 4, -3)$ वाले समतल का समीकरण:
$-2(x - 1) + 4(y + 3) - 3(z + 2) = 0$
$-2x + 2 + 4y + 12 - 3z - 6 = 0$
$-2x + 4y - 3z + 8 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $2x - 4y + 3z - 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y, z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की दूरी $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ प्राप्त होता है।
अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$ और $C(0, 0, c)$ हैं।
इन बिंदुओं से होकर निर्देशांक समतलों के समानांतर खींचे गए समतल $P(x, y, z) = (a, b, c)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
दूरी समीकरण में $a=x, b=y, c=z$ रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{1}{p^2}$ है।

(D) रेखा मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ हैं।
बिंदु $P$ $(a, a, a)$ है। सदिश $\vec{OP}$ समतल का अभिलंब है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है,जो $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समानांतर है।
$(a, a, a)$ से गुजरने वाले और $(1, 1, 1)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण:
$1(x - a) + 1(y - a) + 1(z - a) = 0$
$x + y + z = 3a$
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} + \frac{z}{Z} = 1$ में लिखते हैं:
$\frac{x}{3a} + \frac{y}{3a} + \frac{z}{3a} = 1$
अक्षों पर अंतःखंड $X = 3a$,$Y = 3a$,और $Z = 3a$ हैं।
अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का योग है:
$\frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} + \frac{1}{3a} = \frac{3}{3a} = \frac{1}{a}$.

(B) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,समतल $x + 2y + 3z - 4 = 0$ और $4x + 3y + 2z + 1 = 0$ हैं।
अतः,अभीष्ट समतल का समीकरण $(x + 2y + 3z - 4) + \lambda(4x + 3y + 2z + 1) = 0$ है।
चूंकि यह समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम समीकरण में $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0 + 0 + 0 - 4) + \lambda(0 + 0 + 0 + 1) = 0$
$-4 + \lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
अब $\lambda = 4$ को समीकरण में रखने पर:
$(x + 2y + 3z - 4) + 4(4x + 3y + 2z + 1) = 0$
$x + 2y + 3z - 4 + 16x + 12y + 8z + 4 = 0$
$17x + 14y + 11z = 0$.

(B) $(1, 0, 0)$ और $(0, 1, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{c} = 1$ लिखा जा सकता है,जहाँ $c$ एक $z$-अंतःखंड है।
यह समीकरण $x + y + \frac{z}{c} = 1$ हो जाता है।
इस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1, 1, \frac{1}{c})$ हैं।
दिया गया समतल $x + y = 3$ है,और इसके अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1, 1, 0)$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1(1) + 1(1) + \frac{1}{c}(0)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (\frac{1}{c})^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} \cdot \sqrt{2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$1 = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 + \frac{1}{c^2} = 4$.
$\frac{1}{c^2} = 2 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः दिक्-अनुपात $(1, 1, \frac{1}{c}) = (1, 1, \sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।

(D) मान लीजिए कि आयताकार अक्षों की पहली प्रणाली में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की लंबवत दूरी $p$ का मान $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$।
इसी प्रकार,आयताकार अक्षों की दूसरी प्रणाली के लिए,उसी समतल का समीकरण $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} + \frac{z}{c'} = 1$ है।
मूल बिंदु से इस समतल की लंबवत दूरी $p$ समान है,इसलिए $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$।
$\frac{1}{p^2}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} - \frac{1}{a'^2} - \frac{1}{b'^2} - \frac{1}{c'^2} = 0$।

(B) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर लंब की लंबाई $P = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
समतल $3x - 6y + 2z + 11 = 0$ के लिए,हर $\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
बिंदु $(2, 3, 4)$ के लिए,${P_1} = \frac{|3(2) - 6(3) + 2(4) + 11|}{7} = \frac{|6 - 18 + 8 + 11|}{7} = \frac{|7|}{7} = 1$.
बिंदु $(1, 1, 4)$ के लिए,${P_2} = \frac{|3(1) - 6(1) + 2(4) + 11|}{7} = \frac{|3 - 6 + 8 + 11|}{7} = \frac{|16|}{7} = \frac{16}{7}$.
${P_1}$ और ${P_2}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $(P - P_1)(P - P_2) = 0$ है,जो $P^2 - (P_1 + P_2)P + P_1P_2 = 0$ होता है।
मूलों का योग: $P_1 + P_2 = 1 + \frac{16}{7} = \frac{23}{7}$.
मूलों का गुणनफल: $P_1P_2 = 1 \times \frac{16}{7} = \frac{16}{7}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P^2 - \frac{23}{7}P + \frac{16}{7} = 0$,जिसे सरल करने पर $7P^2 - 23P + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) चतुष्फलक के दो फलकों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों $n_1$ और $n_2$ के बीच के कोण के बराबर होता है।
फलक $OAB$ के लिए,अभिलंब सदिश $n_1$,सदिशों $\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ का सदिश गुणनफल है:
$n_1 = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
फलक $ABC$ के लिए,अभिलंब सदिश $n_2$,सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$n_2 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$,अभिलंबों $n_1$ और $n_2$ के बीच का कोण है:
$\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1| |n_2|} = \frac{|(5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3)|}{\sqrt{25+1+9} \sqrt{1+25+9}} = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(C) समतल $P_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \langle 2, -1, 1 \rangle$ है और समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \langle 1, 2, -1 \rangle$ है।
चूंकि अभीष्ट समतल $P_1$ और $P_2$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 2) - \hat{j}(-2 - 1) + \hat{k}(4 + 1) = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
अतः,अभिलंब सदिश $\langle -1, 3, 5 \rangle$ है।
बिंदु $(-1, 3, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\langle -1, 3, 5 \rangle$ वाले समतल का समीकरण है:
$-1(x - (-1)) + 3(y - 3) + 5(z - 2) = 0$
$-1(x + 1) + 3(y - 3) + 5(z - 2) = 0$
$-x - 1 + 3y - 9 + 5z - 10 = 0$
$-x + 3y + 5z - 20 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x - 3y - 5z + 20 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) समतलों के समीकरण $P_1 : 2x - y + z - 2 = 0$ और $P_2 : x + 2y - z - 3 = 0$ हैं।
कोण समद्विभाजक के लिए सूत्र $\frac{a_1x + b_1y + c_1z + d_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2z + d_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2x - y + z - 2}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \pm \frac{x + 2y - z - 3}{\sqrt{1 + 4 + 1}}$.
चूंकि $\sqrt{6} = \sqrt{6}$,इसलिए $2x - y + z - 2 = \pm (x + 2y - z - 3)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ (धनात्मक चिह्न): $2x - y + z - 2 = x + 2y - z - 3 \Rightarrow x - 3y + 2z + 1 = 0$.
स्थिति $2$ (ऋणात्मक चिह्न): $2x - y + z - 2 = -x - 2y + z + 3 \Rightarrow 3x + y - 5 = 0$.
मूल बिंदु $(0,0,0)$ को समाहित करने वाले कोण समद्विभाजक के लिए,$d_1$ और $d_2$ के चिह्न समान होने चाहिए। यहाँ $d_1 = -2$ और $d_2 = -3$ हैं,जिनके चिह्न समान हैं। अतः,धनात्मक चिह्न वाला समीकरण मूल बिंदु को समाहित करने वाले कोण का समद्विभाजक है। इसलिए,ऋणात्मक चिह्न वाला समीकरण वह समद्विभाजक है जो मूल बिंदु को समाहित नहीं करता है: $3x + y - 5 = 0$.

(D) बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2)(2) + (3)(-1) + (-4)(2)$
$\vec{r} \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 4 - 3 - 8 = -7$.
इसे कार्तीय रूप में बदलने के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = -7$
$2x - y + 2z = -7$.
अतः,समतल का कार्तीय समीकरण $2x - y + 2z = -7$ है।

(C) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ है।
यहाँ,$\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(A) समतलों $2x - y + z = 6$ और $x + y + 2z = 3$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण की गणना: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi / 3$.

(C) दिए गए समतलों $2x - y + z = 6$ और $x + y + 2z = 3$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
परिमाण की गणना करने पर: $|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ और $|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
सूत्र में मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ होने के कारण,$\theta = 60^o$ प्राप्त होता है।

(A) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ,$A = 2$,$B = -3$,$C = 6$,और $D = 14$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|14|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}}$
$d = \frac{14}{\sqrt{4 + 9 + 36}}$
$d = \frac{14}{\sqrt{49}}$
$d = \frac{14}{7} = 2$
अतः,दूरी $2$ इकाई है।

(A) समतल का समीकरण $x + 2y - 3z + 4 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $Ax + By + Cz + D = 0$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, -3)$ प्राप्त होता है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ को $\frac{A}{|\vec{n}|}, \frac{B}{|\vec{n}|}, \frac{C}{|\vec{n}|}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{-3}{\sqrt{14}}$ हैं।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $-x - 2y + 3z - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसकी दिक्-कोसाइन $-\frac{1}{\sqrt{14}}, -\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) दी गई रेखा सदिश $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ के समानांतर है।
चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए सदिश $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ समतल के अभिलंब सदिश के रूप में कार्य करता है।
समतल बिंदु $A(2, 3, 1)$ से गुजरता है,जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(\vec{r} - (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$.
$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (2)(1) + (3)(-1) + (1)(2) = 2 - 3 + 2 = 1$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 1$ है।

(A) दो समांतर समतलों $ax + by + cz + d_1 = 0$ और $ax + by + cz + d_2 = 0$ के बीच की दूरी $D$ का सूत्र है:
$D = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
दिए गए समतल $ax + by + cz + d = 0$ और $ax + by + cz + d' = 0$ हैं,जहाँ $d_1 = d$ और $d_2 = d'$ है।
अतः,अभीष्ट दूरी $\frac{|d - d'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $2x + y + 2z - 8 = 0$ और $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ हैं।
$x, y, z$ के गुणांकों को समान करने के लिए,पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$4x + 2y + 4z - 16 = 0$
अब,समतल $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ और $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ हैं।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 4, B = 2, C = 4, D_1 = -16, D_2 = 5$ है।
$d = \frac{|-16 - 5|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|-21|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{36}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.

(A) बिंदु $\vec{a} = (2, 3, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ के लंबवत समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(x - 2)(3) + (y - 3)(-4) + (z + 1)(7) = 0$ प्राप्त होता है।
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$.
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 3, B = -4, C = 7, D = 13$ है।
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(A) एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है,से गुजरने वाले और $\vec{n}$ के अभिलंब समतल का सदिश समीकरण है:
$(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ या $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n} \dots (i)$
दिया गया है कि समतल बिंदु $(3, -3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\vec{a} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
समतल $A(3, 4, -1)$ और $B(2, -1, 5)$ को जोड़ने वाली रेखा के अभिलंब है। अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB}$ है:
$\vec{n} = \vec{AB} = (2 - 3)\hat{i} + (-1 - 4)\hat{j} + (5 - (-1))\hat{k} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$।
समीकरण $(i)$ में $\vec{a}$ और $\vec{n}$ का मान रखने पर:
$\vec{r} \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = (3\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k})$
$\vec{r} \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = (3)(-1) + (-3)(-5) + (1)(6)$
$\vec{r} \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = -3 + 15 + 6 = 18$।
कार्तीय समीकरण प्राप्त करने के लिए,$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ रखने पर:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) = 18$
$-x - 5y + 6z = 18$
$x + 5y - 6z + 18 = 0$।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{X}{a} + \frac{Y}{b} + \frac{Z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इकाई दूरी पर है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$।
बिंदुओं के निर्देशांक $P(a, 0, 0)$,$Q(0, b, 0)$ और $R(0, 0, c)$ हैं।
$\Delta PQR$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a}{3}$,$y = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{c}{3}$।
अतः,$a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$।
इन मानों को समतल की शर्त में रखने पर: $\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = 1$।
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = 1$।
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 9$।
इसलिए,$k = 9$।

(B) समतल $x + y + z = 0$ के समांतर समतल का समीकरण $x + y + z + \lambda = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
चूंकि समतल बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\alpha + \beta + \gamma + \lambda = 0$
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = -(\alpha + \beta + \gamma)$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ का मान समतल के समीकरण में वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y + z - (\alpha + \beta + \gamma) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x + y + z = \alpha + \beta + \gamma$ प्राप्त होता है।

(C) $A(2, 2, -1)$ से गुजरने वाले समतल का व्यापक समीकरण है:
$a(x - 2) + b(y - 2) + c(z + 1) = 0 \dots(i)$
चूंकि समतल $B(3, 4, 2)$ और $C(7, 0, 6)$ से गुजरता है,हम इन बिंदुओं को $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$B(3, 4, 2)$ के लिए: $a(3 - 2) + b(4 - 2) + c(2 + 1) = 0 \implies a + 2b + 3c = 0 \dots(ii)$
$C(7, 0, 6)$ के लिए: $a(7 - 2) + b(0 - 2) + c(6 + 1) = 0 \implies 5a - 2b + 7c = 0 \dots(iii)$
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके $(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर:
$\frac{a}{(2)(7) - (3)(-2)} = \frac{b}{(3)(5) - (1)(7)} = \frac{c}{(1)(-2) - (2)(5)}$
$\frac{a}{14 + 6} = \frac{b}{15 - 7} = \frac{c}{-2 - 10}$
$\frac{a}{20} = \frac{b}{8} = \frac{c}{-12} \implies \frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{-3} = k$
अतः,$a = 5k, b = 2k, c = -3k$. इन मानों को $(i)$ में रखने पर:
$5k(x - 2) + 2k(y - 2) - 3k(z + 1) = 0$
$5(x - 2) + 2(y - 2) - 3(z + 1) = 0$
$5x - 10 + 2y - 4 - 3z - 3 = 0$
$5x + 2y - 3z = 17$.