एक चर समतल मूल बिंदु से $k$ दूरी पर है और निर्देशांक अक्षों को $A, B, C$ पर मिलता है। $\Delta ABC$ के केंद्रक का बिंदु पथ . . . . . . है।

दो समांतर समतलों $ax+by+cz+d_1=0$ और $ax+by+cz+d_2=0$ के बीच की दूरी $\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ द्वारा दी जाती है। यदि समतल $2x-y+2z+3=0$,समतलों $4x-2y+4z+\lambda=0$ और $2x-y+2z+\mu=0$ से क्रमशः $\frac{1}{3}$ और $\frac{2}{3}$ इकाई की दूरी पर है,तो $\lambda+\mu$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(0,0,0)$ से एक समतल पर खींचे गए लंब का पाद $(1,2,3)$ है,तो समतल का समीकरण क्या है?

$r = a_1 + \lambda a_2$ और $r = a_2 + \lambda a_1$ रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण क्या है?

यदि समतल $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - \frac{z}{5} = 1$ निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $A, B$ और $C$ बिंदुओं पर काटता है,तो त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल क्या है?

मान लीजिए $P(\lambda, 2, 1)$ उस समतल पर एक बिंदु है जो बिंदु $Q(4, -2, 2)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल बिंदुओं $A(-2, -21, 29)$ और $B(-1, -16, 33)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,तो $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ का मान ज्ञात कीजिए।