Plane Questions in Hindi

(B) समीकरणों के निकाय का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और निकाय असंगत हो।
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} a+1 & -1 & -1 \\ 1 & -(a+1) & -1 \\ 1 & -1 & -(a+1) \end{vmatrix} = a^2(a+3)$
कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने के लिए,$D = 0$ होना आवश्यक है,जिससे $a = 0$ या $a = -3$ प्राप्त होता है।
यदि $a = 0$ है,तो समतल $x - y - z = 0$,$x - y - z = 0$,$x - y - z = 0$ बन जाते हैं,जो संपाती हैं और इनके अनंत उभयनिष्ठ बिंदु हैं।
यदि $a = -3$ है,तो समतल $-2x - y - z = -3$,$x + 2y - z = -3$,$x - y + 2z = -3$ बन जाते हैं। इनका योग करने पर $0 = -9$ प्राप्त होता है,जो असंभव है। अतः,$a = -3$ के लिए कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूँकि समतल $(2, 2, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$।
$A, B, C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ हैं।
चतुष्फलक $OABC$ का केंद्रक $P(\alpha, \beta, \gamma)$ इस प्रकार है: $\alpha = \frac{a}{4}, \beta = \frac{b}{4}, \gamma = \frac{c}{4}$।
अतः,$a = 4\alpha, b = 4\beta, c = 4\gamma$।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{4\alpha} + \frac{1}{4\beta} + \frac{1}{4\gamma} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 2$।
धनात्मक संख्याओं $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए $A.M. \ge H.M.$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}} = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma \ge \frac{9}{2}$।

(D) माना बिंदु $B(0, 1, 2)$ से समतल पर लंब का पाद $P(x, y, z)$ है।
चूंकि समतल बिंदु $A(1, -2, 3)$ से होकर गुजरता है,सदिश $\vec{AP}$ समतल में स्थित है।
सदिश $\vec{PB}$ बिंदु $P$ पर समतल का अभिलंब है।
अतः,$\vec{AP} \cdot \vec{PB} = 0$ होगा।
$A(1, -2, 3)$,$B(0, 1, 2)$,और $P(x, y, z)$ दिए गए हैं:
$\vec{AP} = (x-1, y+2, z-3)$
$\vec{PB} = (0-x, 1-y, 2-z) = (-x, 1-y, 2-z)$
डॉट गुणनफल लेने पर:
$(x-1)(-x) + (y+2)(1-y) + (z-3)(2-z) = 0$
$-x^2 + x + y - y^2 + 2 - 2y + 2z - z^2 - 6 + 3z = 0$
$-x^2 - y^2 - z^2 + x - y + 5z - 4 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$x^2 + y^2 + z^2 - x + y - 5z + 4 = 0$
इसकी तुलना $x^2 + y^2 + z^2 + \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0$ से करने पर:
$\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = -5, \delta = 4$
अतः,$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -1 + 1 - 5 + 4 = -1$।

(A) माना बिंदु $A(2, 1, -3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y - 1) + c(z + 3) = 0$ है,जहाँ $\vec{n} = (a, b, c)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल की दूरी $d = \frac{|-2a - b + 3c|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दूरी $d$ को अधिकतम करने के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को स्थिति सदिश $\vec{OA} = (2, 1, -3)$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,हम $(a, b, c) = (2, 1, -3)$ लेते हैं।
समतल का समीकरण $2(x - 2) + 1(y - 1) - 3(z + 3) = 0$ हो जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $2x - 4 + y - 1 - 3z - 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2x + y - 3z = 14$ मिलता है।

(C) मान लीजिए कि चर समतल के $x, y,$ और $z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a, b,$ और $c$ हैं।
समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल निश्चित बिंदु $(3, 2, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ है।
$A(a, 0, 0)$ से होकर $yz$-समतल के समानांतर समतल $x = a$ है।
$B(0, b, 0)$ से होकर $zx$-समतल के समानांतर समतल $y = b$ है।
$C(0, 0, c)$ से होकर $xy$-समतल के समानांतर समतल $z = c$ है।
इन तीन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b, c)$ है।
मान लीजिए कि प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y, z)$ है। तब $x = a, y = b,$ और $z = c$ है।
इन मानों को समीकरण $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ में रखने पर,हमें बिंदुपथ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(-3, 4, 5)$ हैं।
चूंकि समतल रेखाखंड $AB$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,इसलिए यह $AB$ के मध्यबिंदु $M$ से होकर गुजरता है।
$M = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (-1, 3, 4)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{AB} = (-3-1, 4-2, 5-3) = (-4, 2, 2)$ है।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = (-2, 1, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
समतल का समीकरण $-2(x - (-1)) + 1(y - 3) + 1(z - 4) = 0$ है।
$-2x - 2 + y - 3 + z - 4 = 0 \Rightarrow -2x + y + z = 9$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$(-3, 2, 1)$ के लिए: $-2(-3) + 2 + 1 = 6 + 2 + 1 = 9$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समतल बिंदु $(-3, 2, 1)$ से होकर गुजरता है।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$
बिंदुओं $(-2, -2, 2)$,$(1, -1, 2)$,और $(1, 1, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x + 2 & y + 2 & z - 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x + 2)(-1 - 0) - (y + 2)(-3 - 0) + (z - 2)(9 - 3) = 0$
$-x - 2 + 3y + 6 + 6z - 12 = 0$
$-x + 3y + 6z - 8 = 0$
$x - 3y - 6z = -8$
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ प्राप्त करने के लिए $-8$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{-8} + \frac{y}{8/3} + \frac{z}{8/6} = 1$
अंतःखंड $a = -8$,$b = 8/3$,और $c = 4/3$ हैं।
अंतःखंडों का योग $= -8 + \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = -8 + \frac{12}{3} = -8 + 4 = -4$.

(A) मान लीजिए कि समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है,जहाँ $A = (a, 0, 0)$,$B = (0, b, 0)$,और $C = (0, 0, c)$ है।
इस समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $3 \ units$ दी गई है। अतः,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 3$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{9}$ है।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a+0+0}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3}$,और $z = \frac{0+0+c}{3}$।
इसलिए,$a = 3x$,$b = 3y$,और $c = 3z$ है।
इन मानों को दूरी के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = \frac{1}{9}$।
$\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = \frac{1}{9}$।
दोनों पक्षों को $9$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $4x - 2y - 4z + 1 = 0$ और $4x - 2y - 4z + d = 0$ हैं।
चूंकि $x, y$ और $z$ के गुणांक समानुपाती हैं,इसलिए समतल समानांतर हैं।
दो समानांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $D = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = 4, B = -2, C = -4, D_1 = 1,$ और $D_2 = d$ है।
दूरी $7$ दी गई है।
अतः,$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{16 + 4 + 16}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{\sqrt{36}}$.
$7 = \frac{|d - 1|}{6}$.
$|d - 1| = 42$.
इसका अर्थ है कि $d - 1 = 42$ या $d - 1 = -42$ है।
यदि $d - 1 = 42$ है,तो $d = 43$ है।
यदि $d - 1 = -42$ है,तो $d = -41$ है।
अतः,$d = 43$ या $d = -41$ है।

(B) माना सदिश $\vec{n}$ की दिक्-कोज्याएँ $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ हैं। दिया है कि $\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 60^\circ$ है।
$\cos^2 45^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 \gamma = 1$ के अनुसार,
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \cos^2 \gamma = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $\gamma$ न्यून कोण है)।
समतल का समीकरण: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.
दिए गए समाधान के अनुसार,यदि अभिलंब $(2, 1, 2)$ लिया जाए,तो:
$2(x-\sqrt{2}) + 1(y+1) + 2(z-1) = 0$.
$2x - 2\sqrt{2} + y + 1 + 2z - 2 = 0$.
$2x + y + 2z = 2\sqrt{2} + 1$.

(C) समतल का समीकरण $4x - 3y + z + 13 = 0$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरने वाली और समतल पर लंब रेखा के दिक अनुपात $(4, -3, 1)$ हैं।
इस रेखा का समीकरण $\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{1} = k$ है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4k, -3k, k)$ के रूप में होगा।
चूंकि $Q$ लंब का पाद है,यह समतल पर स्थित है। $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$4(4k) - 3(-3k) + (k) + 13 = 0$
$16k + 9k + k + 13 = 0$
$26k = -13 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(-2, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ हैं।
दिया गया है $R = (-1, 1, -6)$,दूरी $QR$ होगी:
$QR = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 + (-6 - (-\frac{1}{2}))^2}$
$QR = \sqrt{(1)^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2}$
$QR = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{121}{4}}$
$QR = \sqrt{\frac{4 + 1 + 121}{4}} = \sqrt{\frac{126}{4}} = \sqrt{\frac{63}{2}} = 3\sqrt{\frac{7}{2}}$.

(C) माना समतल $f(x, y, z) = 3x + 4y - 12z + 13 = 0$ है।
दो बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ समतल के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं यदि $f(x_1, y_1, z_1) \cdot f(x_2, y_2, z_2) < 0$ हो।
बिंदु $P_1 = (1, a, 1)$ के लिए,$f(1, a, 1) = 3(1) + 4(a) - 12(1) + 13 = 4a + 4$।
बिंदु $P_2 = (-3, 0, a)$ के लिए,$f(-3, 0, a) = 3(-3) + 4(0) - 12(a) + 13 = 4 - 12a$।
हमें $(4a + 4)(4 - 12a) < 0$ की आवश्यकता है।
$16$ से विभाजित करने पर,हमें $(a + 1)(1 - 3a) < 0$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका उलट जाती है: $(a + 1)(3a - 1) > 0$।
मूल $a = -1$ और $a = \frac{1}{3}$ हैं।
यह असमिका $a < -1$ या $a > \frac{1}{3}$ के लिए सत्य है।

(D) दिए गए समतल हैं:
$P: x + y - 2z + 7 = 0$
$Q: x + y + 2z + 2 = 0$
$R: 3x + 3y - 6z - 11 = 0$
यह जांचने के लिए कि क्या समतल समांतर हैं,हम $x, y,$ और $z$ के गुणांकों के अनुपात की तुलना करते हैं।
समतल $P$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, -2)$ है।
समतल $R$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (3, 3, -6)$ है।
हम देखते हैं कि $\vec{n_2} = 3(1, 1, -2) = 3\vec{n_1}$ है।
चूंकि अभिलंब सदिश समानुपाती हैं,इसलिए समतल $P$ और $R$ समांतर हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{n_1} = (3, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 + 1) = -7\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
$-7$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, -1)$ ले सकते हैं।
बिंदु $(4, -1, 2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $(1, 1, -1)$ वाले समतल का समीकरण $1(x - 4) + 1(y + 1) - 1(z - 2) = 0$ है।
$x - 4 + y + 1 - z + 2 = 0 \Rightarrow x + y - z = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 1, 1)$ के लिए,$1 + 1 - 1 = 1$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(-3, -3, 4)$ और $B(3, 7, 6)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M = \left( \frac{-3+3}{2}, \frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2} \right) = (0, 2, 5)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\overrightarrow{AB} = (3 - (-3))\hat{i} + (7 - (-3))\hat{j} + (6 - 4)\hat{k} = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{M} \cdot \vec{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}) = (0\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k})$.
$6x + 10y + 2z = 0(6) + 2(10) + 5(2) = 20 + 10 = 30$.
$2$ से विभाजित करने पर,समतल का समीकरण $3x + 5y + z = 15$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(4, 1, -2)$ के लिए: $3(4) + 5(1) + (-2) = 12 + 5 - 2 = 15$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,समतल बिंदु $(4, 1, -2)$ से होकर गुजरता है।

(D) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। यह $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $-b = d$ और $c = d$। अर्थात $d = -b = c$।
समतल का समीकरण $ax - dy - dz = d$ हो जाता है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, -d, -d)$ है।
बिंदुओं $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(0, 1, 1)$ हैं। चूंकि रेखा समतल में है,अभिलंब इसके लंबवत है: $a(0) + (-d)(1) + (-d)(1) = 0 \Rightarrow -2d = 0$ (यहाँ $a, b, c$ का उपयोग करते हैं)।
बिंदुओं $A(0, -1, 0)$ और $B(0, 0, 1)$ के लिए,सदिश $\vec{AB} = (0, 1, 1)$ है।
अभिलंब $\vec{n} = (a, b, c)$ है। चूंकि $\vec{AB}$ समतल में है,$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow c = -b$।
अतः,$\vec{n} = (a, b, -b)$।
समतल और $y - z + 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है। दूसरे समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ है।
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n}| |\vec{n_2}|} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|b + b|}{\sqrt{a^2 + b^2 + b^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2b|}{\sqrt{a^2 + 2b^2} \cdot \sqrt{2}} \Rightarrow \sqrt{a^2 + 2b^2} = 2|b|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2 + 2b^2 = 4b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}b$।
यदि $a = \sqrt{2}b$ है,तो $\vec{n} = (\sqrt{2}b, b, -b)$,जिसके दिक-अनुपात $(\sqrt{2}, 1, -1)$ हैं।
यदि $a = -\sqrt{2}b$ है,तो $\vec{n} = (-\sqrt{2}b, b, -b)$,जिसके दिक-अनुपात $(-\sqrt{2}, 1, -1)$ हैं।
विकल्प $(C)$ $(\sqrt{2}, 1, -1)$ है। विकल्प $(B)$ $(2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2}, 1, -1)$ है,जो समान दिशा को दर्शाता है। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) माना बिंदु $A(7, 0, 6)$ और $B(3, 4, 2)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (3-7)\hat{i} + (4-0)\hat{j} + (2-6)\hat{k} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
इस दिशा सदिश को $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
यह समतल $2x - 5y = 15$ के भी लंबवत है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}$ और $\vec{n_1}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \end{vmatrix} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$(7, 0, 6)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $5(x-7) + 2(y-0) - 3(z-6) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 2y - 3z = 17$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, \alpha, \beta)$ इस समतल पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(2) + 2(\alpha) - 3(\beta) = 17$
$10 + 2\alpha - 3\beta = 17$
$2\alpha - 3\beta = 7$.

(B) मान लीजिए चार बिंदु $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ और $D(-1, -1, 1)$ हैं।
चूंकि समतल इन चारों बिंदुओं से होकर गुजरता है,इसलिए वे समतलीय (coplanar) होने चाहिए।
चार बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$ और $(x_4, y_4, z_4)$ के समतलीय होने की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 1+1 & 1-1 \\ 1+1 & -\lambda^2+1 & 1-1 \\ 1+1 & 1+1 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 1-\lambda^2 & 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda^2 & 0 \\ 2 & 2 & -(\lambda^2+1) \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(\lambda^2+1) \cdot [(1-\lambda^2)^2 - 4] = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (1-\lambda^2-2)(1-\lambda^2+2) = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (-1-\lambda^2)(3-\lambda^2) = 0$
$(\lambda^2+1)^2 (3-\lambda^2) = 0$
चूंकि $\lambda$ वास्तविक है,$\lambda^2+1 \neq 0$। इसलिए,$3-\lambda^2 = 0$,जिससे $\lambda^2 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \pm \sqrt{3}$।

(A) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। चूँकि यह $(0, -1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $-b = d$ है। चूँकि यह $(0, 0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $c = d$ है। माना $d = 1$,तो $b = -1$ और $c = 1$ है। समीकरण $ax - y + z = 1$ प्राप्त होता है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (a, -1, 1)$ है और समतल $y - z + 5 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|(a)(0) + (-1)(1) + (1)(-1)|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{a^2 + 2} \sqrt{2}}$.
$\sqrt{a^2 + 2} = 2 \implies a^2 + 2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
यदि $a = -\sqrt{2}$ लेते हैं,तो समीकरण $-\sqrt{2}x - y + z = 1$ प्राप्त होता है। बिंदु $(\sqrt{2}, 1, 4)$ के लिए: $-\sqrt{2}(\sqrt{2}) - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$ है। अतः,समतल $(\sqrt{2}, 1, 4)$ से गुजरता है।

(B) दिया गया समतल $2x - y + 2z + 3 = 0$ है।
सबसे पहले,समतल $4x - 2y + 4z + \lambda = 0$ को $2x - y + 2z + \frac{\lambda}{2} = 0$ के रूप में लिखें।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहले समतल के लिए,दूरी $\frac{|\frac{\lambda}{2} - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{|\frac{\lambda - 6}{2}|}{3} = \frac{1}{3} \implies |\lambda - 6| = 2$.
अतः,$\lambda - 6 = 2$ या $\lambda - 6 = -2$,जिससे $\lambda = 8$ या $\lambda = 4$ प्राप्त होता है।
दूसरे समतल $2x - y + 2z + \mu = 0$ के लिए,दूरी $\frac{|\mu - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{2}{3}$ है।
$\frac{|\mu - 3|}{3} = \frac{2}{3} \implies |\mu - 3| = 2$.
अतः,$\mu - 3 = 2$ या $\mu - 3 = -2$,जिससे $\mu = 5$ या $\mu = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda + \mu$ का अधिकतम मान $8 + 5 = 13$ है।

(B) समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से होकर गुजरता है और सदिशों $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$-3$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-1) - 1(y-1) - 1(z-0) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x - y - z = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1, 4)$ से समतल $x - y - z = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।

(B) दो समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{A_1x + B_1y + C_1z + D_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2z + D_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतलों $2x - y + 2z - 4 = 0$ और $x + 2y + 2z - 2 = 0$ के लिए,समीकरण है:
$\frac{2x - y + 2z - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\frac{2x - y + 2z - 4}{3} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{3}$
$2x - y + 2z - 4 = \pm(x + 2y + 2z - 2)$.
स्थिति $I$ (धनात्मक चिह्न):
$2x - y + 2z - 4 = x + 2y + 2z - 2$
$x - 3y - 2 = 0$.
स्थिति $II$ (ऋणात्मक चिह्न):
$2x - y + 2z - 4 = -(x + 2y + 2z - 2)$
$2x - y + 2z - 4 = -x - 2y - 2z + 2$
$3x + y + 4z - 6 = 0$.
समीकरण $3x + y + 4z - 6 = 0$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(2, -4, 1)$ के लिए: $3(2) + (-4) + 4(1) - 6 = 6 - 4 + 4 - 6 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(D) माना बिंदु $P(1, 2, 3)$ है और इसका प्रतिबिंब $P'\left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ है।
$PP'$ का मध्य बिंदु $M$ समतल पर स्थित है:
$M = \left(\frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PP'}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \vec{PP'} = \left(-\frac{7}{3} - 1, -\frac{4}{3} - 2, -\frac{1}{3} - 3\right) = \left(-\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}\right)$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 1)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - (-\frac{2}{3})) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$ है।
$x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{3} + z - \frac{4}{3} = 0 \implies x + y + z - 1 = 0 \implies x + y + z = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, -1, 1)$ के लिए,$1 + (-1) + 1 = 1$ है। अतः,बिंदु $(1, -1, 1)$ समतल पर स्थित है।

(B) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (2, 4, 3)$ और $\vec{v_2} = (2, 6, \lambda)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (4\lambda - 18, 6 - 2\lambda, 4)$.
रेखाओं के समतलीय होने के लिए,बिंदुओं $(-1, 3, -1)$ और $(-3, -2, 1)$ को जोड़ने वाला सदिश $\vec{a} = (-2, -5, 2)$,$\vec{n}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{n} = -2(4\lambda - 18) - 5(6 - 2\lambda) + 2(4) = 2\lambda + 14 = 0$,जिससे $\lambda = -7$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -7$ रखने पर,$\vec{n} = (-46, 20, 4)$,जिसे $-2$ से विभाजित करने पर $(23, -10, -2)$ प्राप्त होता है,जो दिए गए समतल के समानांतर है।
रेखाओं को समाहित करने वाला समतल $(-1, 3, -1)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $23x - 10y - 2z + 51 = 0$ है।
दोनों समतलों के बीच की दूरी $d = \frac{|51 - 48|}{\sqrt{23^2 + (-10)^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{633}}$ है।
अतः $k = 3$ प्राप्त होता है।

(A) तीनों समतलों के एक रेखा में प्रतिच्छेद करने के लिए,रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने चाहिए। यह तब होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = 0$ हो और संवर्धित सारणिक $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ भी $0$ हों।
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक निकालते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 1 & 7 & -5 \\ 1 & 5 & \alpha \end{vmatrix} = 1(7\alpha + 25) - 4(\alpha + 5) - 2(5 - 7) = 3\alpha + 9$.
$\Delta = 0$ रखने पर,हमें $3\alpha + 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = -3$.
इसके बाद,निकाय के अनंत हल होने के लिए $\Delta_z = 0$ होना चाहिए:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 7 & \beta \\ 1 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 1(35 - 5\beta) - 4(5 - \beta) + 1(5 - 7) = 13 - \beta$.
$\Delta_z = 0$ रखने पर,हमें $13 - \beta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\beta = 13$.
$\alpha = -3$ और $\beta = 13$ के साथ,निकाय संगत है और एक रेखा को दर्शाता है। अतः,$\alpha + \beta = -3 + 13 = 10$.

(N/A) माना अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{29}}$ है।
मूल बिंदु से $d$ दूरी पर स्थित समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{i} - \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} + \frac{4}{\sqrt{29}} \hat{k} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है।
कार्तीय रूप ज्ञात करने के लिए,$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ प्रतिस्थापित करें:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}} \hat{i} - \frac{3}{\sqrt{29}} \hat{j} + \frac{4}{\sqrt{29}} \hat{k} \right) = \frac{6}{\sqrt{29}}$
इसे सरल करने पर $\frac{2x - 3y + 4z}{\sqrt{29}} = \frac{6}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है,जो $2x - 3y + 4z = 6$ है।

(B) समतल का दिया गया समीकरण $\vec{r} \cdot (6 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) = -1$ है।
इकाई अभिलंब सदिश ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $\vec{r} \cdot (-6 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 1$ के रूप में लिखते हैं।
यहाँ अभिलंब सदिश $\vec{n} = -6 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-6}{7} \hat{i} + \frac{3}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन इकाई अभिलंब सदिश के घटक हैं,जो $\frac{-6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{2}{7}$ हैं।

(A) समतल का समीकरण $2x - 3y + 4z - 6 = 0$ है,जिसे $2x - 3y + 4z = 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz = D$ की दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = 2$,$B = -3$,$C = 4$,और $D = 6$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{4 + 9 + 16}}$
$d = \frac{6}{\sqrt{29}}$.
अतः,समतल की मूल बिंदु से दूरी $\frac{6}{\sqrt{29}}$ है।

(A) माना मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $2x - 3y + 4z = 6$ पर लंब के पाद $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -3, 4)$ हैं।
चूंकि रेखा $OP$ समतल पर लंब है,इसलिए इसके दिक अनुपात अभिलंब के दिक अनुपात के समानुपाती होते हैं। अतः,हम लिख सकते हैं:
$x_1 = 2k, y_1 = -3k, z_1 = 4k$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
चूंकि बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ समतल $2x - 3y + 4z = 6$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2k) - 3(-3k) + 4(4k) = 6$
$4k + 9k + 16k = 6$
$29k = 6 \implies k = \frac{6}{29}$
$k$ का मान $x_1, y_1, z_1$ में रखने पर:
$x_1 = 2 \left(\frac{6}{29}\right) = \frac{12}{29}$
$y_1 = -3 \left(\frac{6}{29}\right) = \frac{-18}{29}$
$z_1 = 4 \left(\frac{6}{29}\right) = \frac{24}{29}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{12}{29}, \frac{-18}{29}, \frac{24}{29}\right)$ हैं।

(D) बिंदु $(5, 2, -4)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $2, 3, -1$ दिक-अनुपात वाली रेखा के लंबवत है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{N} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ होगा।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{N}$ के लंबवत समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(\vec{r} - (5\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k})) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।
कार्तीय समीकरण ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
अतः $((x - 5)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 4)\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 0$ होगा।
इसे सरल करने पर $2(x - 5) + 3(y - 2) - 1(z + 4) = 0$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$2x - 10 + 3y - 6 - z - 4 = 0$,जिसका परिणाम $2x + 3y - z = 20$ है।

(A) माना बिंदुओं $R, S, T$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$,और $\vec{c} = 5\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ हैं।
तीन बिंदुओं $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot [(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})] = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिशों $\vec{b} - \vec{a}$ और $\vec{c} - \vec{a}$ की गणना करें:
$\vec{b} - \vec{a} = (-2 - 2)\hat{i} + (-3 - 5)\hat{j} + (5 - (-3))\hat{k} = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 8\hat{k}$.
$\vec{c} - \vec{a} = (5 - 2)\hat{i} + (3 - 5)\hat{j} + (-3 - (-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[\vec{r} - (2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k})] \cdot [(-4\hat{i} - 8\hat{j} + 8\hat{k}) \times (3\hat{i} - 2\hat{j})] = 0$.

(A) समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्ष पर अंतःखंड हैं।
यहाँ दिया गया है कि अंतःखंड $a = 2, b = 3, c = 4$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
सरल बनाने के लिए,हर $2, 3, 4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है।
पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर,हमें $6x + 4y + 3z = 12$ प्राप्त होता है।

(A) दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ उनके अभिलंब सदिशों $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ के बीच का कोण होता है।
दिए गए समतलों के समीकरण $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ से,अभिलंब सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{N_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{N_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$
दो समतलों के बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|} \right|$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} = (2)(3) + (1)(-6) + (-2)(-2) = 6 - 6 + 4 = 4$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\vec{N_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{N_2}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \left| \frac{4}{3 \times 7} \right| = \frac{4}{21}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$।

(A) समतलों के समीकरण $3x - 6y + 2z - 7 = 0$ और $2x + 2y - 2z - 5 = 0$ हैं।
इन्हें $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A_1 = 3, B_1 = -6, C_1 = 2$
$A_2 = 2, B_2 = 2, C_2 = -2$
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\cos \theta = \left| \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(2) + (-6)(2) + (2)(-2)}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + (-2)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{6 - 12 - 4}{\sqrt{9 + 36 + 4} \sqrt{4 + 4 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-10}{\sqrt{49} \sqrt{12}} \right| = \left| \frac{-10}{7 \times 2\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{14\sqrt{3}} = \frac{5}{7\sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{5\sqrt{3}}{7 \times 3} = \frac{5\sqrt{3}}{21}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3}}{21}\right)$।

(A) समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ है,जहाँ $\vec{n} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $d = 4$ है।
बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ की समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ से दूरी $D$ का सूत्र है:
$D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{||\vec{n}||}$.
सबसे पहले,$\vec{a} \cdot \vec{n}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(6) + (5)(-3) + (-3)(2) = 12 - 15 - 6 = -9$.
इसके बाद,अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}|$ ज्ञात करें:
$||\vec{n}|| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
अब,इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$D = \frac{|-9 - 4|}{7} = \frac{|-13|}{7} = \frac{13}{7}$.

(A) समतल का समीकरण $z = 2$ दिया गया है,जिसे $0x + 0y + 1z = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है ..........$(1)$
समतल के अभिलंब सदिश के दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (0, 0, 1)$ हैं।
दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,हम दिक्-अनुपातों को अभिलंब सदिश के परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$ से विभाजित करते हैं।
समीकरण $(1)$ को $1$ से विभाजित करने पर,हमें $0x + 0y + 1z = 2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ में है,जहाँ $(l, m, n)$ दिक्-कोसाइन हैं और $d$ मूल बिंदु से दूरी है।
समीकरणों की तुलना करने पर,दिक्-कोसाइन $(0, 0, 1)$ हैं और मूल बिंदु से दूरी $2$ इकाई है।

समतल का दिया गया समीकरण $x+y+z=1$ है ............$(1)$
समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात (direction ratios) $a=1, b=1, c=1$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = \sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{3}$ है।
दिक्-कोसाइन ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(1)$ को $\sqrt{3}$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{3}} x + \frac{1}{\sqrt{3}} y + \frac{1}{\sqrt{3}} z = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ..........$(2)$
यह समीकरण अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ में है,जहाँ $l, m, n$ समतल के अभिलंब की दिक्-कोसाइन हैं और $d$ मूल बिंदु से समतल की दूरी है।
समीकरण $(2)$ की तुलना अभिलंब रूप से करने पर,अभिलंब की दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं और मूल बिंदु से दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ इकाई है।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $2x + 3y - z = 5$ है .............$(1)$
समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $a = 2, b = 3, c = -1$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$ है।
समीकरण को अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ में बदलने के लिए,समीकरण $(1)$ के दोनों पक्षों को $\sqrt{14}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{\sqrt{14}}x + \frac{3}{\sqrt{14}}y - \frac{1}{\sqrt{14}}z = \frac{5}{\sqrt{14}}$.
इसकी तुलना मानक अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ से करने पर,जहाँ $(l, m, n)$ अभिलंब की दिक्-कोसाइन हैं और $d$ मूल बिंदु से दूरी है:
दिक्-कोसाइन $\frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, \frac{-1}{\sqrt{14}}$ हैं।
मूल बिंदु से दूरी $\frac{5}{\sqrt{14}}$ इकाई है।

(A) समतल का दिया गया समीकरण $5y + 8 = 0$ है।
हम इसे $Ax + By + Cz = D$ के रूप में $0x + 5y + 0z = -8$ लिख सकते हैं।
इसे अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ में बदलने के लिए,हम समीकरण को $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5$ से विभाजित करते हैं।
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{0}{5}x + \frac{5}{5}y + \frac{0}{5}z = -\frac{8}{5}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $0x + 1y + 0z = -\frac{8}{5}$ हो जाता है।
चूंकि दूरी $d$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए हम $-1$ से गुणा करते हैं: $0x - 1y + 0z = \frac{8}{5}$।
इसे अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ से तुलना करने पर,अभिलंब की दिक्-कोसाइन $(0, -1, 0)$ हैं और मूल बिंदु से दूरी $\frac{8}{5}$ इकाई है।

(A) यहाँ अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 5^2 + (-6)^2}} = \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{9 + 25 + 36}} = \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{70}}$ है।
मूल बिंदु से $d$ दूरी पर स्थित और इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} \cdot \left( \frac{3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}}{\sqrt{70}} \right) = 7$ प्राप्त होता है।

(A) समतल का दिया गया सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=2$ है। ............$(1)$
समतल पर किसी भी स्वेच्छ बिंदु $P(x, y, z)$ के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(1)$ में $\vec{r}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2$
सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर:
$x(1) + y(1) + z(-1) = 2$
$x + y - z = 2$
अतः,समतल का कार्तीय समीकरण $x + y - z = 2$ है।

(A) समतल का दिया गया सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1$ है। ..........$(1)$
समतल पर किसी भी स्वेच्छ बिंदु $P(x, y, z)$ के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(1)$ में $\vec{r}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) = 1$
दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 3y - 4z = 1$
यह समतल का अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

(A) समतल का दिया गया सदिश समीकरण है:
$\vec{r} \cdot [(s-2t) \hat{i} + (3-t) \hat{j} + (2s+t) \hat{k}] = 15$ ...........$(1)$
समतल पर किसी भी स्वेच्छ बिंदु $P(x, y, z)$ के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$ इस प्रकार है:
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$
समीकरण $(1)$ में $\vec{r}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot [(s-2t) \hat{i} + (3-t) \hat{j} + (2s+t) \hat{k}] = 15$
दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(s-2t)x + (3-t)y + (2s+t)z = 15$
यह समतल का अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

(A) माना मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब के पाद $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं।
समतल का समीकरण $2x + 3y + 4z = 12$ है --- $(1)$.
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$ है।
समीकरण $(1)$ को $\sqrt{29}$ से विभाजित करने पर,हमें समतल का अभिलंब रूप प्राप्त होता है:
$\frac{2}{\sqrt{29}}x + \frac{3}{\sqrt{29}}y + \frac{4}{\sqrt{29}}z = \frac{12}{\sqrt{29}}$.
इसकी तुलना मानक अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ से करने पर,जहाँ $(l, m, n)$ दिक कोज्याएँ हैं और $d$ मूलबिंदु से लंबवत दूरी है:
$l = \frac{2}{\sqrt{29}}, m = \frac{3}{\sqrt{29}}, n = \frac{4}{\sqrt{29}}$ और $d = \frac{12}{\sqrt{29}}$.
लंब के पाद के निर्देशांक $(ld, md, nd)$ द्वारा दिए जाते हैं:
$x_1 = \left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right) \times \left(\frac{12}{\sqrt{29}}\right) = \frac{24}{29}$
$y_1 = \left(\frac{3}{\sqrt{29}}\right) \times \left(\frac{12}{\sqrt{29}}\right) = \frac{36}{29}$
$z_1 = \left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right) \times \left(\frac{12}{\sqrt{29}}\right) = \frac{48}{29}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{24}{29}, \frac{36}{29}, \frac{48}{29}\right)$ हैं।

(A) माना मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $3y + 4z - 6 = 0$ पर लंब के पाद $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं।
समतल का समीकरण $0x + 3y + 4z = 6$ है।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(0, 3, 4)$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
समतल के समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब रूप $lx + my + nz = d$ प्राप्त होता है:
$0x + \frac{3}{5}y + \frac{4}{5}z = \frac{6}{5}$.
यहाँ,अभिलंब की दिक कोज्याएँ $l = 0, m = \frac{3}{5}, n = \frac{4}{5}$ हैं और मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{6}{5}$ है।
लंब के पाद के निर्देशांक $(ld, md, nd)$ द्वारा दिए जाते हैं:
$x_1 = 0 \times \frac{6}{5} = 0$
$y_1 = \frac{3}{5} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{25}$
$z_1 = \frac{4}{5} \times \frac{6}{5} = \frac{24}{25}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(0, \frac{18}{25}, \frac{24}{25}\right)$ हैं।

(A) माना मूल बिंदु से समतल पर खींचे गए लंब के पाद $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1, z_1)$ हैं।
समतल का समीकरण $x+y+z=1$ है $(1)$.
समतल के अभिलंब (normal) के दिक अनुपात $1, 1, 1$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ है।
समतल के समीकरण को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब रूप $lx+my+nz=d$ प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}y + \frac{1}{\sqrt{3}}z = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
यहाँ,दिक कोज्याएँ $l = \frac{1}{\sqrt{3}}, m = \frac{1}{\sqrt{3}}, n = \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं और दूरी $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
मूल बिंदु से लंब के पाद के निर्देशांक $(ld, md, nd)$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3}$,
$y_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3}$,
$z_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ हैं।

(A) समतल का समीकरण $5y + 8 = 0$ है,जिसे $0x + 5y + 0z = -8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{-AD}{A^2 + B^2 + C^2}, \frac{-BD}{A^2 + B^2 + C^2}, \frac{-CD}{A^2 + B^2 + C^2}\right)$ है।
यहाँ,$A = 0$,$B = 5$,$C = 0$ और $D = 8$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{-(0)(8)}{0^2 + 5^2 + 0^2} = 0$
$y = \frac{-(5)(8)}{0^2 + 5^2 + 0^2} = \frac{-40}{25} = -\frac{8}{5}$
$z = \frac{-(0)(8)}{0^2 + 5^2 + 0^2} = 0$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(0, -8/5, 0)$ हैं।

(A) बिंदु $(1, 0, -2)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{k}$ है।
समतल के लंबवत अभिलंब सदिश $\vec{N} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$(\vec{r} - (\hat{i} - 2\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ प्राप्त होता है।
माना $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ समतल पर किसी बिंदु $(x, y, z)$ का स्थिति सदिश है।
अतः,$((x - 1)\hat{i} + y\hat{j} + (z + 2)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ है।
अदिश गुणन करने पर: $(x - 1)(1) + (y)(1) + (z + 2)(-1) = 0$ प्राप्त होता है।
$x - 1 + y - z - 2 = 0$ है।
$x + y - z - 3 = 0$ है।
$x + y - z = 3$ है।
अतः,समतल का कार्तीय समीकरण $x + y - z = 3$ है।

(A) बिंदु $(1, 4, 6)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
समतल के लंबवत अभिलंब सदिश $\vec{N} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
एक बिंदु से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{N}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{N} = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें सदिश समीकरण प्राप्त होता है:
$(\vec{r} - (\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k})) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
कार्तीय समीकरण ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
इसे सदिश समीकरण में रखने पर:
$((x - 1)\hat{i} + (y - 4)\hat{j} + (z - 6)\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल लेने पर:
$1(x - 1) - 2(y - 4) + 1(z - 6) = 0$.
समीकरण को सरल करने पर:
$x - 1 - 2y + 8 + z - 6 = 0$.
$x - 2y + z + 1 = 0$.
अतः,कार्तीय समीकरण $x - 2y + z + 1 = 0$ है।

(A) माना दिए गए बिंदु $A(1, 1, -1)$,$B(6, 4, -5)$ और $C(-4, -2, 3)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या ये बिंदु संरेख हैं,हम सारणिक की गणना करते हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 6 & 4 & -5 \\ -4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - 10) - 1(18 - 20) + (-1)(-12 + 16)$
$= 1(2) - 1(-2) - 1(4)$
$= 2 + 2 - 4 = 0$
चूंकि सारणिक का मान $0$ है,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,वे एक अद्वितीय समतल को परिभाषित नहीं करते हैं। इसलिए,इन तीन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले अनंत समतल हैं।