બે લંબકોણીય અક્ષ પ્રણાલીઓનું ઉગમબિંદુ સમાન છે. જો એક સમતલ તેમને ઉગમબિંદુથી અનુક્રમે $a, b, c$ અને $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ અંતરે કાપે,તો સાબિત કરો કે $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{a^{\prime 2}}+\frac{1}{b^{\prime 2}}+\frac{1}{c^{\prime 2}}$.

(N/A) ધારો કે બે લંબકોણીય અક્ષ પ્રણાલીઓ $S_1$ અને $S_2$ છે જેનું ઉગમબિંદુ $O$ સમાન છે.
પ્રથમ પ્રણાલી $S_1$ માં સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
બીજી પ્રણાલી $S_2$ માં સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a^{\prime}} + \frac{y}{b^{\prime}} + \frac{z}{c^{\prime}} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} + \frac{z}{C} = 1$ નું લંબ અંતર $p$ એ $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ સમાન હોવાથી,ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $p$ બંને પ્રણાલીઓ માટે સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \frac{1}{\frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a^{\prime 2}} + \frac{1}{b^{\prime 2}} + \frac{1}{c^{\prime 2}}$ મળે છે.
આમ સાબિત થયું.