Plane Questions in Gujarati

(C) સમતલનું સમીકરણ $6x - 3y + 2z = 6$ છે. $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે. આમ,અંતઃખંડો $a = 1, b = -2, c = 3$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે. તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$ છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે. અહીં $p = \frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
હવે,$|al + bm + cn| = |(1)(\frac{6}{7}) + (-2)(-\frac{3}{7}) + (3)(\frac{2}{7})| = |\frac{6}{7} + \frac{6}{7} + \frac{6}{7}| = |\frac{18}{7}|$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $p = \frac{6}{7}$,તેથી $|al + bm + cn| = 3 \times \frac{6}{7} = 3p$ થાય.

(A) ધારો કે સમતલના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a, b, c$ છે. તેથી,બિંદુઓ $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, r, r^2)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = r \Rightarrow b = 3r$
$\frac{c}{3} = r^2 \Rightarrow c = 3r^2$
સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ મળે છે.
સમતલ $(5, 5, -12)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી:
$\frac{5}{3} + \frac{5}{3r} - \frac{12}{3r^2} = 1$
$3r^2$ વડે ગુણતા,આપણને $5r^2 + 5r - 12 = 3r^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2r^2 + 5r - 12 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2r - 3)(r + 4) = 0$.
આમ,$r = \frac{3}{2}$ અથવા $r = -4$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે. બિંદુ $(2, -1, -3)$ મૂકતા,આપણને $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z + 3) = 0$ મળે છે.
સમતલ એ $(3, 2, -4)$ અને $(2, -3, 2)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ આ દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$3a + 2b - 4c = 0$ અને $2a - 3b + 2c = 0$.
અભિલંબ સદિશ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા,$(a, b, c) = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - 12) - j(6 + 8) + k(-9 - 4) = -8i - 14j - 13k$.
અભિલંબ સદિશ $(8, 14, 13)$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ બિંદુ $P(a, b, c)$ છે.
$YZ$-સમતલ પર લંબ $PA$ દોરવામાં આવે છે. તેથી $A$ ના યામ $(0, b, c)$ થાય.
$ZX$-સમતલ પર લંબ $PB$ દોરવામાં આવે છે. તેથી $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ થાય.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે.
સમતલ $O(0, 0, 0)$,$A(0, b, c)$ અને $B(a, 0, c)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{OA} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{OB} = a\hat{i} + 0\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc - 0) - \hat{j}(0 - ac) + \hat{k}(0 - ab) = bc\hat{i} + ac\hat{j} - ab\hat{k}$.
આમ,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $bcx + acy - abz = 0$ થાય.

(A) ધારો કે પરિભ્રમણ પછીના સમતલનું સમીકરણ $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ છે.
સમતલ $P_{1}: \ell x+my=0$ અને $P_{2}: z=0$ ની છેદરેખા એ રેખા છે જ્યાં $\ell x+my=0$ અને $z=0$ થાય છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ અને $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ છે.
સમતલ $P_{1}$ અને $P_{3}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.
$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.
$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) \tan^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha$.
$n$ ની કિંમત $P_{3}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(3, 4, 5)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (2, 3, 4)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$ છે.
સમતલ $AB$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $AB$ એ સમતલનો અભિલંબ છે. આમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,જેને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$(x-2) + (y-3) + (z-4) = 0$.
$x + y + z - 9 = 0$,એટલે કે $x + y + z = 9$.

(D) સમતલ $(1, 2, -3)$ અને $(2, -2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. આ બે બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{v} = (2-1)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલ $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ એકમ સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\hat{i}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0-4) + \hat{k}(0-(-4)) = 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = (0, 1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
બિંદુ $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતા અને $(0, 1, 1)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x-1) + 1(y-2) + 1(z+3) = 0$
$y - 2 + z + 3 = 0$
$y + z + 1 = 0$.

(C) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $x+y+2z-6=0$ અને $2x-y+z-9=0$ છે.
તેમને સામાન્ય સ્વરૂપ $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ મળે છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z - 1 = 0$ આપેલ છે.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ અને $X$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$.
માન શોધતા: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{a}| = 1$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.