Line Questions in Hindi

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $a_1 = 3, b_1 = 5, c_1 = 4$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_2 = 1, b_2 = 1, c_2 = 2$ हैं।
यदि उनके बीच का कोण $\theta$ है,तो सूत्र इस प्रकार है:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(1) + (5)(1) + (4)(2)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3 + 5 + 8}{\sqrt{9 + 25 + 16} \sqrt{1 + 1 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}} = \frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}} = \frac{16}{5 \sqrt{12}} = \frac{16}{5 \times 2 \sqrt{3}} = \frac{8}{5 \sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\cos \theta = \frac{8 \sqrt{3}}{5 \times 3} = \frac{8 \sqrt{3}}{15}$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{8 \sqrt{3}}{15}\right)$.

(A) $(1)$ और $(2)$ की तुलना क्रमशः $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ से करने पर,
हमें प्राप्त होता है $\vec{a}_{1}=\hat{i}+\hat{j}, \quad \vec{b}_{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a}_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}$
अतः,$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=(2-1)\hat{i}+(1-1)\hat{j}+(-1-0)\hat{k} = \hat{i}-\hat{k}$
अब,$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+5) - \hat{j}(4-3) + \hat{k}(-10+3) = 3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$
परिमाण (Magnitude) $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9+1+49} = \sqrt{59}$
न्यूनतम दूरी $d$ इस प्रकार दी गई है: $d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$
$d = \left| \frac{(3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{k})}{\sqrt{59}} \right| = \left| \frac{3(1) + (-1)(0) + (-7)(-1)}{\sqrt{59}} \right| = \left| \frac{3+0+7}{\sqrt{59}} \right| = \frac{10}{\sqrt{59}}$

(N/A) माना $AB$ बिंदुओं $(1, -1, 2)$ और $(3, 4, -2)$ को जोड़ने वाली रेखा है,और $CD$ बिंदुओं $(0, 3, 2)$ और $(3, 5, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा है।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ इस प्रकार हैं: $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ इस प्रकार हैं: $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$।
दो रेखाएं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों के गुणनफल का योग ज्ञात करने पर:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4)$
$= 6 + 10 - 16$
$= 16 - 16$
$= 0$।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए रेखा $AB$ रेखा $CD$ पर लंब है।

(A) माना $AB$ बिंदुओं $(4,7,8)$ और $(2,3,4)$ से गुजरने वाली रेखा है।
माना $CD$ बिंदुओं $(-1,-2,1)$ और $(1,2,5)$ से गुजरने वाली रेखा है।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ इस प्रकार हैं:
$a_1 = 2-4 = -2$
$b_1 = 3-7 = -4$
$c_1 = 4-8 = -4$
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ इस प्रकार हैं:
$a_2 = 1-(-1) = 2$
$b_2 = 2-(-2) = 4$
$c_2 = 5-1 = 4$
दो रेखाएं समांतर होती हैं यदि उनके दिक अनुपात समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$।
अनुपातों की गणना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1$
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -1$,इसलिए दिक अनुपात समानुपाती हैं।
अतः,रेखा $AB$ रेखा $CD$ के समांतर है।

(A) एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है,से होकर गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
दिए गए बिंदु $(1, 2, 3)$ के लिए,स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
दिया गया समांतर सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\vec{r} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k} + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})$ प्राप्त होता है।

(N/A) रेखा उस बिंदु से गुजरती है जिसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है।
रेखा की दिशा $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ सदिश द्वारा दी गई है।
एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
मान रखने पर,हमें सदिश समीकरण प्राप्त होता है:
$\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
कार्तीय रूप के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
तब $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2 + \lambda)\hat{i} + (-1 + 2\lambda)\hat{j} + (4 - \lambda)\hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर:
$x = 2 + \lambda \Rightarrow \lambda = x - 2$
$y = -1 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{y + 1}{2}$
$z = 4 - \lambda \Rightarrow \lambda = 4 - z = \frac{z - 4}{-1}$
$\lambda$ के मानों को बराबर करने पर,हमें कार्तीय समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1}$.

(A) दी गई रेखा $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6}$ है।
इस रेखा के दिक अनुपात $a = 3, b = 5, c = 6$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए इसके दिक अनुपात भी $3, 5, 6$ के समानुपाती होंगे।
रेखा बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, -5)$ से होकर गुजरती है।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $a, b, c$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x - (-2)}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z - (-5)}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $\frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+5}{6}$ है।

(A) रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ दिया गया है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का सामान्य कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
दिए गए समीकरण की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (5, -4, 6)$ और दिक अनुपात $(a, b, c) = (3, 7, 2)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$ है।
रेखा के समानांतर सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (5 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 7 \hat{j} + 2 \hat{k})$ प्राप्त होता है,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।

(A) आवश्यक रेखा मूलबिंदु $(0, 0, 0)$ और बिंदु $(5, -2, 3)$ से होकर गुजरती है।
मूलबिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0}$ है।
$(0, 0, 0)$ और $(5, -2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(5-0, -2-0, 3-0) = (5, -2, 3)$ हैं।
अतः,रेखा सदिश $\vec{b} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के समांतर है।
एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और जो $\vec{b}$ के समांतर है,उस रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = \vec{0} + \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k})$ प्राप्त होता है,जहाँ $\lambda \in R$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ और $(a, b, c) = (5, -2, 3)$ रखने पर,हमें $\frac{x-0}{5} = \frac{y-0}{-2} = \frac{z-0}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,कार्तीय समीकरण $\frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ है।

(D) माना बिंदुओं $P(3,-2,-5)$ और $Q(3,-2,6)$ से होकर जाने वाली रेखा $PQ$ है।
चूंकि रेखा $P(3,-2,-5)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(3-3, -2-(-2), 6-(-5)) = (0, 0, 11)$ हैं।
रेखा की दिशा में सदिश $\vec{b} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k} = 11\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ है,जहाँ $\lambda \in R$ है।
मान रखने पर,$\vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda(11\hat{k})$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1, z_1)$ से होकर जाने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
बिंदुओं और दिक अनुपातों को रखने पर,$\frac{x-3}{0} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+5}{11}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $\bar{b}_{1}$ और $\bar{b}_{2}$ दी गई रेखाओं के समानांतर सदिश हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $(2, 5, -3)$ हैं,इसलिए $\bar{b}_{1} = 2 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(-1, 8, 4)$ हैं,इसलिए $\bar{b}_{2} = -\hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
उनके परिमाण ज्ञात कीजिए:
$|\bar{b}_{1}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$।
$|\bar{b}_{2}| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9$।
उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
$\bar{b}_{1} \cdot \bar{b}_{2} = (2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4) = -2 + 40 - 12 = 26$।
रेखाओं के बीच का कोण $Q$ इस प्रकार दिया गया है:
$\cos Q = \frac{|\bar{b}_{1} \cdot \bar{b}_{2}|}{|\bar{b}_{1}| |\bar{b}_{2}|} = \frac{|26|}{9 \sqrt{38}} = \frac{26}{9 \sqrt{38}}$।
अतः,$Q = \cos ^{-1}\left(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\right)$।

(B) माना $\vec{b}_{1}$ और $\vec{b}_{2}$ दी गई रेखाओं के समांतर सदिश हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $(2, 2, 1)$ हैं,इसलिए $\vec{b}_{1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(4, 1, 8)$ हैं,इसलिए $\vec{b}_{2} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}$ है।
परिमाण ज्ञात कीजिए:
$|\vec{b}_{1}| = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}_{2}| = \sqrt{4^{2} + 1^{2} + 8^{2}} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए:
$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (2)(4) + (2)(1) + (1)(8) = 8 + 2 + 8 = 18$.
यदि $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है,तो $\cos \theta = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$ होगा।
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।

(A) दिए गए समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
रेखाओं के दिक अनुपात $a_1 = -3, b_1 = \frac{2p}{7}, c_1 = 2$ और $a_2 = \frac{-3p}{7}, b_2 = 1, c_2 = -5$ हैं।
दो रेखाएँ परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो।
मान रखने पर: $(-3)\left(\frac{-3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right)(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$11p = 70$.
$p = \frac{70}{11}$.

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ और $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $a_{1}=7, b_{1}=-5, c_{1}=1$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_{2}=1, b_{2}=2, c_{2}=3$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ और $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ हैं,वे एक-दूसरे पर लंब होती हैं यदि और केवल यदि $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = 0$ हो।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = (7 \times 1) + (-5 \times 2) + (1 \times 3)$
$= 7 - 10 + 3$
$= 0$.
चूँकि संगत दिक अनुपातों के गुणनफल का योग $0$ है,इसलिए दी गई रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ हैं।
दी गई रेखाओं से तुलना करने पर:
$\vec{a}_{1}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a}_{2}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d=\left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1} = (2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i}+3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}) = (-3\hat{i}+3\hat{k}) \cdot (\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}) = -3 - 6 = -9$ है।
अंत में,$d = \left| \frac{-9}{3\sqrt{2}} \right| = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ हैं।
दो रेखाओं $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ और $\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ इस प्रकार दी जाती है:
$d = \frac{|\det(A)|}{|\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}|}$ जहाँ $A = \begin{bmatrix} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{bmatrix}$.
समीकरणों की तुलना करने पर:
$(x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (-1, -1, -1)$ और $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (7, -6, 1)$.
$(x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (3, 5, 7)$ और $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = (1, -2, 1)$.
सारणिक की गणना करने पर:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 4(-4) - 6(6) + 8(-8) = -16 - 36 - 64 = -116$.
हर की गणना करने पर:
$|\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}| = \sqrt{(-4)^{2} + (-6)^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$.
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|-116|}{2\sqrt{29}} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ हैं।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$
दिए गए समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{a}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b}_{1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a}_{2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$,$\vec{b}_{2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करें:
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3 - (-6)) = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{(-9)^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = 3\sqrt{19}$ है।
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) = (-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -27 + 9 + 27 = 9$ है।
अतः,$d = \left| \frac{9}{3\sqrt{19}} \right| = \frac{3}{\sqrt{19}}$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k}$ और $\vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k}$ हैं।
समीकरणों को $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ के रूप में लिखने पर:
रेखा $1$: $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$
यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
रेखा $2$: $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$
यहाँ,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ की गणना करें:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.
अगला,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
अब,$(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1}) = (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) = (2)(0) + (-4)(1) + (-3)(-4) = 0 - 4 + 12 = 8$.
अतः,$d = \left| \frac{8}{\sqrt{29}} \right| = \frac{8}{\sqrt{29}}$ इकाई।

(A) बिंदुओं $A(3, 4, 1)$ और $B(5, 1, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{r} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + \lambda((5-3)\hat{i} + (1-4)\hat{j} + (6-1)\hat{k})$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\vec{r} = (3 + 2\lambda)\hat{i} + (4 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूँकि रेखा $XY$-समतल को काटती है,इसलिए रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु का $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$1 + 5\lambda = 0$,जिससे $\lambda = -\frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -\frac{1}{5}$ को $x$ और $y$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = 3 + 2(-\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$.
$y = 4 - 3(-\frac{1}{5}) = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $\left( \frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0 \right)$ हैं।

(N/A) माना $OA$ मूल बिंदु $O(0,0,0)$ और बिंदु $A(2,1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा है।
रेखा $OA$ के दिक अनुपात $(2-0, 1-0, 1-0)$ हैं,जो $2, 1, 1$ हैं।
माना $BC$ बिंदुओं $B(3,5,-1)$ और $C(4,3,-1)$ को जोड़ने वाली रेखा है।
रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(4-3, 3-5, -1-(-1))$ हैं,जो $1, -2, 0$ हैं।
दो रेखाएं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे लंबवत होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
मान रखने पर: $(2)(1) + (1)(-2) + (1)(0) = 2 - 2 + 0 = 0.$
चूंकि दिक अनुपातों के गुणनफल का योग $0$ है,इसलिए रेखा $OA$,रेखा $BC$ पर लंब है।

(A) $x$-अक्ष के समांतर रेखा के दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ के समानुपाती होते हैं।
चूंकि रेखा मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए इसके प्राचलिक समीकरण $x = k, y = 0, z = 0$ हैं,जहाँ $k$ एक प्राचल है।
सममित रूप में,इसे $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-0}{0}$ के रूप में दर्शाया जाता है,जो सरल होकर $y=0$ और $z=0$ हो जाता है।
अतः,रेखा का समीकरण $y=0, z=0$ है।

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $A(1, 2, 3), B(4, 5, 7), C(-4, 3, -6),$ और $D(2, 9, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ हैं।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(2-(-4), 9-3, 2-(-6)) = (6, 6, 8)$ हैं।
मान लीजिए $AB$ के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (3, 3, 4)$ हैं और $CD$ के $(a_2, b_2, c_2) = (6, 6, 8)$ हैं।
हम देखते हैं कि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,और $\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है,इसलिए रेखाएं $AB$ और $CD$ समांतर हैं।
अतः,समांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।

(A) रेखाओं $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}$ के दिक अनुपात क्रमशः $(-3, 2k, 2)$ और $(3k, 1, -5)$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-3(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$
अतः,$k$ का मान $-\frac{10}{7}$ है।

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$\vec{r} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ ...........$(1)$
$\vec{r} = -4\hat{i} - \hat{k} + \mu(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$ ...........$(2)$
दो रेखाओं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ इस प्रकार दी जाती है:
$d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$ ...........$(3)$
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{a}_{1} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b}_{1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a}_{2} = -4\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b}_{2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$
अब,$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (-4\hat{i} - \hat{k}) - (6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -10\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
क्रॉस उत्पाद $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करें:
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-4)) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(-2 - (-6)) = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12$।
अब,डॉट उत्पाद $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})$ की गणना करें:
$(8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (8)(-10) + (8)(-2) + (4)(-3) = -80 - 16 - 12 = -108$।
अंत में,न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{-108}{12} \right| = |-9| = 9$ इकाई।

(A) बिंदुओं $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(5, 1, 6)$ और $(3, 4, 1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{4-1} = \frac{z-6}{1-6}$
$\Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-6}{-5} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
$x, y, z$ को $k$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$x = 5 - 2k$
$y = 3k + 1$
$z = 6 - 5k$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(5 - 2k, 3k + 1, 6 - 5k)$ के रूप का होता है।
$YZ$-समतल का समीकरण $x = 0$ होता है।
चूंकि रेखा $YZ$-समतल को काटती है,इसलिए $x$-निर्देशांक को $0$ रखने पर:
$5 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{2}$.
अब,$k = \frac{5}{2}$ को $y$ और $z$ के व्यंजकों में रखने पर:
$y = 3\left(\frac{5}{2}\right) + 1 = \frac{15}{2} + 1 = \frac{17}{2}$.
$z = 6 - 5\left(\frac{5}{2}\right) = 6 - \frac{25}{2} = \frac{12 - 25}{2} = -\frac{13}{2}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक $\left(0, \frac{17}{2}, -\frac{13}{2}\right)$ हैं।

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ होता है।
$(5, 1, 6)$ और $(3, 4, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{4-1} = \frac{z-6}{1-6}$ द्वारा दी जाती है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-6}{-5} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(5-2k, 3k+1, 6-5k)$ के रूप का होता है।
चूंकि रेखा $ZX$-समतल को काटती है,इसलिए $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$3k+1 = 0$ रखने पर,हमें $k = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$k = -\frac{1}{3}$ को निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 5 - 2(-\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}$.
$y = 3(-\frac{1}{3}) + 1 = 0$.
$z = 6 - 5(-\frac{1}{3}) = 6 + \frac{5}{3} = \frac{23}{3}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$ है।

(A) माना कि अभीष्ट रेखा सदिश $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ के समानांतर है।
बिंदु $(1, 2, -4)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ है।
दी गई रेखाएं सदिशों $\vec{v}_1 = 3\hat{i} - 16\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = 3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$ के समानांतर हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं पर लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{b}$,$\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80 - 56) - \hat{j}(-15 - 21) + \hat{k}(24 + 48) = 24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k}$.
$12$ से विभाजित करने पर,हमें दिशा अनुपात $(2, 3, 6)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ है।

(N/A) माना दिया गया बिंदु $P(-2, 4, -5)$ है।
रेखा $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ पर कोई भी बिंदु $Q(3\lambda - 3, 5\lambda + 4, 6\lambda - 8)$ के रूप में दिया जाता है।
सदिश $\overrightarrow{PQ} = (3\lambda - 3 - (-2))\hat{i} + (5\lambda + 4 - 4)\hat{j} + (6\lambda - 8 - (-5))\hat{k} = (3\lambda - 1)\hat{i} + 5\lambda\hat{j} + (6\lambda - 3)\hat{k}$ है।
चूँकि $\overrightarrow{PQ}$ दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ वाली रेखा पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = 0$
$3(3\lambda - 1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda - 3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \implies \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ को $\overrightarrow{PQ}$ में रखने पर:
$\overrightarrow{PQ} = (3(\frac{3}{10}) - 1)\hat{i} + 5(\frac{3}{10})\hat{j} + (6(\frac{3}{10}) - 3)\hat{k} = -\frac{1}{10}\hat{i} + \frac{15}{10}\hat{j} - \frac{12}{10}\hat{k}$.
दूरी $\overrightarrow{PQ}$ का परिमाण है:
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1 + 225 + 144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}} \text{ इकाई.}$

(A) दिए गए समीकरण $3l+m+5n=0$ $(1)$ और $6mn-2nl+5lm=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -(3l+5n)$.
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $6n(-(3l+5n)) - 2nl + 5l(-(3l+5n)) = 0$.
$-18ln - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25ln = 0$.
$-15l^2 - 45ln - 30n^2 = 0$.
$-15$ से भाग देने पर: $l^2 + 3ln + 2n^2 = 0$.
$(l+n)(l+2n) = 0$.
स्थिति $1$: $l = -n$. तब $m = -(3(-n)+5n) = -2n$. दिक् अनुपात $(-n, -2n, n)$ अर्थात $(1, 2, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: $l = -2n$. तब $m = -(3(-2n)+5n) = n$. दिक् अनुपात $(-2n, n, n)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ हैं।
माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|(1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2+2-1|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(N/A) माना $L$ बिंदु $A(1, 8, 4)$ से बिंदुओं $B(0, -1, 3)$ और $C(2, -3, -1)$ से गुजरने वाली रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है।
रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(2-0, -3-(-1), -1-3)$,अर्थात $(2, -2, -4)$ हैं।
बिंदु $B(0, -1, 3)$ से गुजरने वाली और $(2, -2, -4)$ दिक अनुपात वाली रेखा $BC$ का समीकरण:
$\frac{x-0}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$
रेखा $BC$ पर स्थित किसी बिंदु $L$ को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
$L = (2\lambda, -2\lambda-1, -4\lambda+3)$
रेखा $AL$ के दिक अनुपात:
$(2\lambda-1, -2\lambda-1-8, -4\lambda+3-4) = (2\lambda-1, -2\lambda-9, -4\lambda-1)$
चूंकि $AL \perp BC$,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda-1) - 2(-2\lambda-9) - 4(-4\lambda-1) = 0$
$4\lambda - 2 + 4\lambda + 18 + 16\lambda + 4 = 0$
$24\lambda + 20 = 0$
$24\lambda = -20$
$\lambda = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$
$\lambda = -\frac{5}{6}$ का मान $L$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{5}{6}) = -\frac{5}{3}$
$y = -2(-\frac{5}{6}) - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$
$z = -4(-\frac{5}{6}) + 3 = \frac{10}{3} + 3 = \frac{19}{3}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{19}{3})$ हैं।

(D) माना $P(1, 6, 3)$ दिया गया बिंदु है और $L$ बिंदु $P$ से दी गई रेखा पर डाले गए लंब का पाद है।
दी गई रेखा पर एक सामान्य बिंदु के निर्देशांक $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = \lambda$ हैं,अर्थात $x = \lambda, y = 2\lambda + 1, z = 3\lambda + 2$।
यदि $L$ के निर्देशांक $(\lambda, 2\lambda + 1, 3\lambda + 2)$ हैं,तो $PL$ के दिक अनुपात $(\lambda - 1, 2\lambda + 1 - 6, 3\lambda + 2 - 3)$ अर्थात $(\lambda - 1, 2\lambda - 5, 3\lambda - 1)$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं। चूंकि $PL$ रेखा के लंबवत है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$1(\lambda - 1) + 2(2\lambda - 5) + 3(3\lambda - 1) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0$
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$।
$\lambda = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $L(1, 2(1) + 1, 3(1) + 2) = (1, 3, 5)$ प्राप्त होता है।
माना $Q(x_1, y_1, z_1)$ दी गई रेखा में $P(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब है। तब $L, PQ$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए:
$\frac{x_1 + 1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = 1$
$\frac{y_1 + 6}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 0$
$\frac{z_1 + 3}{2} = 5 \Rightarrow z_1 = 7$
अतः,दी गई रेखा में $(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब $(1, 0, 7)$ है।

(A) माना दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई बिंदु $P(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $(2, 1, 1)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखाएं मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए अभीष्ट रेखाओं के दिक्-अनुपात $(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ होंगे।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{|2(2\lambda+3) + 1(\lambda+3) + 1(\lambda)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2} \sqrt{(2\lambda+3)^2 + (\lambda+3)^2 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|4\lambda+6+\lambda+3+\lambda|}{\sqrt{6} \sqrt{4\lambda^2+12\lambda+9 + \lambda^2+6\lambda+9 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|6\lambda+9|}{\sqrt{6} \sqrt{6\lambda^2+18\lambda+18}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4} = \frac{(6\lambda+9)^2}{6(6\lambda^2+18\lambda+18)}$
$6(6\lambda^2+18\lambda+18) = 4(36\lambda^2+108\lambda+81)$
$36\lambda^2+108\lambda+108 = 144\lambda^2+432\lambda+324$
$108\lambda^2+324\lambda+216 = 0$
$108$ से भाग देने पर:
$\lambda^2+3\lambda+2 = 0 \Rightarrow (\lambda+1)(\lambda+2) = 0$।
अतः,$\lambda = -1$ या $\lambda = -2$।
$\lambda = -1$ के लिए,दिक्-अनुपात $(2(-1)+3, -1+3, -1) = (1, 2, -1)$ प्राप्त होते हैं।
$\lambda = -2$ के लिए,दिक्-अनुपात $(2(-2)+3, -2+3, -2) = (-1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,रेखाओं के समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ और $\frac{x}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ हैं।

(N/A) हमारे पास रेखा का समीकरण $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{6}=\frac{z-1}{-3}=\lambda$.
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $x = -2\lambda + 4$,$y = 6\lambda$,और $z = -3\lambda + 1$ द्वारा दिया जाता है।
माना $L$ बिंदु $P(2, 3, -8)$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद है। अतः,$L$ के निर्देशांक $(4-2\lambda, 6\lambda, 1-3\lambda)$ हैं।
रेखा $PL$ के दिक अनुपात $(4-2\lambda-2, 6\lambda-3, 1-3\lambda+8)$ हैं,जो सरल होकर $(2-2\lambda, 6\lambda-3, 9-3\lambda)$ हो जाते हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(-2, 6, -3)$ हैं।
चूंकि $PL$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$-2(2-2\lambda) + 6(6\lambda-3) - 3(9-3\lambda) = 0$.
$-4 + 4\lambda + 36\lambda - 18 - 27 + 9\lambda = 0$.
$49\lambda - 49 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $L = (4-2(1), 6(1), 1-3(1)) = (2, 6, -2)$ प्राप्त होता है।
लंबवत दूरी $PL$,बिंदु $P(2, 3, -8)$ और $L(2, 6, -2)$ के बीच की दूरी है:
$PL = \sqrt{(2-2)^2 + (6-3)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ इकाई।

एक बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\vec{a}$ है और जो $\vec{b}$ सदिश के समांतर है,उस रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बिंदु $(1, -2, 3)$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
रेखा सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ के समांतर है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} = (\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 6 \hat{k})$,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।

(A) माना रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = \lambda$
$L_2: \frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1} = \mu$
$L_1$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ है और $L_2$ पर कोई भी बिंदु $(5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो ऐसे $\lambda$ और $\mu$ मौजूद हैं कि:
$2\lambda+1 = 5\mu+4 \Rightarrow 2\lambda - 5\mu = 3$ $(1)$
$3\lambda+2 = 2\mu+1 \Rightarrow 3\lambda - 2\mu = -1$ $(2)$
$4\lambda+3 = \mu$ $(3)$
$(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\lambda - 5(4\lambda+3) = 3$
$2\lambda - 20\lambda - 15 = 3$
$-18\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ का उपयोग $(3)$ में करने पर:
$\mu = 4(-1)+3 = -1$
इन मानों की जाँच $(2)$ में करने पर:
$3(-1) - 2(-1) = -3 + 2 = -1$. यह समीकरण $(2)$ को संतुष्ट करता है।
अतः,रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
$\lambda = -1$ का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = 2(-1)+1 = -1$
$y = 3(-1)+2 = -1$
$z = 4(-1)+3 = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1, -1)$ है।

(N/A) दी गई रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\vec{b}_{1}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$ है।
अदिश गुणन (dot product) की गणना करने पर: $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (2)(6) + (1)(3) + (2)(2) = 12 + 3 + 4 = 19$.
परिमाण (magnitudes) की गणना करने पर: $|\vec{b}_{1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{19}{21} \right)$.

(A) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ से गुजरने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ होता है।
$A(0,-1,-1)$ और $B(4,5,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{4-0} = \frac{y+1}{5+1} = \frac{z+1}{1+1}$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{4} = \frac{y+1}{6} = \frac{z+1}{2} = \lambda$ बनता है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4\lambda, 6\lambda-1, 2\lambda-1)$ है।
$C(3,9,4)$ और $D(-4,4,4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{-4-3} = \frac{y-9}{4-9} = \frac{z-4}{4-4}$ है,जो सरल होकर $\frac{x-3}{-7} = \frac{y-9}{-5} = \frac{z-4}{0} = \mu$ बनता है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(-7\mu+3, -5\mu+9, 4)$ है।
यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व होना चाहिए ताकि निर्देशांक समान हों:
$2\lambda-1 = 4 \Rightarrow 2\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = 2.5$.
$\lambda = 2.5$ को पहले दो निर्देशांकों में रखने पर: $x = 4(2.5) = 10$,$y = 6(2.5)-1 = 14$.
अब,दूसरी रेखा के लिए: $-7\mu+3 = 10 \Rightarrow -7\mu = 7 \Rightarrow \mu = -1$.
$y$ के लिए जाँच करने पर: $-5(-1)+9 = 5+9 = 14$. चूंकि निर्देशांक समान हैं,इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) पहली रेखा के दिए गए समीकरण $x=p y+q$ और $z=r y+s$ हैं।
इसे $\frac{x-q}{p} = y = \frac{z-s}{r}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अतः,पहली रेखा के दिक अनुपात $(p, 1, r)$ हैं।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा के समीकरण $x=p^{\prime} y+q^{\prime}$ और $z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ हैं।
इसे $\frac{x-q^{\prime}}{p^{\prime}} = y = \frac{z-s^{\prime}}{r^{\prime}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अतः,दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(p^{\prime}, 1, r^{\prime})$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(p)(p^{\prime}) + (1)(1) + (r)(r^{\prime}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,रेखाएँ परस्पर लंब हैं यदि $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ हो।

(C) माना रेखा का समीकरण $\frac{x+5}{1} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-6}{-9} = \lambda$ है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $L$,$x = \lambda - 5$,$y = 4\lambda - 3$,$z = 6 - 9\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
माना $P$ बिंदु $(2, 4, -1)$ है। रेखाखंड $PL$ के दिक अनुपात $(\lambda - 5 - 2, 4\lambda - 3 - 4, 6 - 9\lambda - (-1))$ हैं,जो सरल होकर $(\lambda - 7, 4\lambda - 7, 7 - 9\lambda)$ हो जाते हैं।
चूंकि $PL$ दी गई रेखा पर लंब है,इसलिए $PL$ के दिक अनुपात और रेखा के दिक अनुपात $(1, 4, -9)$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$1(\lambda - 7) + 4(4\lambda - 7) - 9(7 - 9\lambda) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $\lambda - 7 + 16\lambda - 28 - 63 + 81\lambda = 0$ प्राप्त होता है।
समान पदों को जोड़ने पर,$98\lambda - 98 = 0$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $L = (1 - 5, 4(1) - 3, 6 - 9(1)) = (-4, 1, -3)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PL = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(C) दी गई रेखाएं $\vec{r}=(8+3 \lambda) \hat{i}+(-9-16 \lambda) \hat{j}+(10+7 \lambda) \hat{k}$ और $\vec{r}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k})$ हैं।
पहली रेखा: $\vec{r}=(8 \hat{i}-9 \hat{j}+10 \hat{k})+\lambda(3 \hat{i}-16 \hat{j}+7 \hat{k})$.
अतः,$\vec{a}_{1}=8 \hat{i}-9 \hat{j}+10 \hat{k}$ और $\vec{b}_{1}=3 \hat{i}-16 \hat{j}+7 \hat{k}$.
दूसरी रेखा: $\vec{a}_{2}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \left|\frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|}\right|$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80-56) - \hat{j}(-15-21) + \hat{k}(24+48) = 24 \hat{i}+36 \hat{j}+72 \hat{k}$.
परिमाण $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{24^2 + 36^2 + 72^2} = 84$.
$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1} = 7\hat{i} + 38\hat{j} - 5\hat{k}$.
डॉट गुणनफल $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}) = 168 + 1368 - 360 = 1176$.
न्यूनतम दूरी $d = \left|\frac{1176}{84}\right| = 14 \text{ इकाई}$.

(A) हमारे पास है,$2l + 2m - n = 0 \dots (i)$
और $mn + nl + lm = 0 \dots (ii)$
$(i)$ से,$n = 2l + 2m$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$m(2l + 2m) + (2l + 2m)l + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$2l^2 + 4lm + lm + 2m^2 = 0$
$2l(l + 2m) + m(l + 2m) = 0$
$(2l + m)(l + 2m) = 0$
स्थिति $1$: $m = -2l$. तब $n = 2l + 2(-2l) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, -2l, -2l)$ हैं,जो $(1, -2, -2)$ के समानुपाती हैं।
स्थिति $2$: $l = -2m$. तब $n = 2(-2m) + 2m = -2m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, -2m)$ हैं,जो $(2, -1, 2)$ के समानुपाती हैं।
माना दिक्-अनुपात $a_1, b_1, c_1 = (1, -2, -2)$ और $a_2, b_2, c_2 = (2, -1, 2)$ हैं।
लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।
$(1)(2) + (-2)(-1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
चूंकि योग $0$ है,इसलिए रेखाएं समकोण पर हैं।

(C) दी गई रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i}(1 + 2\ell) + \hat{j}(-1) + \hat{k}(\ell)$ और $\overrightarrow{r} = \hat{i}(2 + m) + \hat{j}(m - 1) + \hat{k}(-m)$ हैं।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,$\ell$ और $m$ के ऐसे मान होने चाहिए कि निर्देशांक समान हों:
$1 + 2\ell = 2 + m$ $(i)$
$-1 = m - 1$ $(ii)$
$\ell = -m$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ से,हमें $m = 0$ प्राप्त होता है।
$m = 0$ को समीकरण $(iii)$ में रखने पर,हमें $\ell = 0$ प्राप्त होता है।
अब,जाँचें कि क्या ये मान समीकरण $(i)$ को संतुष्ट करते हैं:
$1 + 2(0) = 2 + 0 \implies 1 = 2$,जो एक विरोधाभास है।
चूँकि $\ell$ और $m$ के मान तीनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करते हैं,इसलिए रेखाएँ $\ell$ और $m$ के किसी भी मान के लिए प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(B) माना दी गई रेखा $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z}{-1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $R$,$(2\lambda-1, -2\lambda+3, -\lambda)$ द्वारा दिया जाता है।
माना $P = (1, 2, -3)$ और $Q = (a, b, c)$ रेखा में $P$ का प्रतिबिंब है।
सदिश $\vec{PQ} = (a-1, b-2, c+3)$ रेखा के लंबवत होना चाहिए,जिसके दिक अनुपात $(2, -2, -1)$ हैं।
अतः,$2(a-1) - 2(b-2) - 1(c+3) = 0 \implies 2a - 2b - c = 1$.
साथ ही,$PQ$ का मध्य बिंदु $R$ रेखा पर स्थित है:
$R = \left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+2}{2}, \frac{c-3}{2}\right)$.
चूंकि $R$ रेखा पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{\frac{a+1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{b+2}{2} - 3}{-2} = \frac{\frac{c-3}{2}}{-1} = \lambda$.
$\lambda$ के पदों में $a, b, c$ के लिए हल करने पर:
$a = 4\lambda - 3, b = -4\lambda + 4, c = -2\lambda + 3$.
इन मानों को लंबवतता की शर्त $2a - 2b - c = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4\lambda - 3) - 2(-4\lambda + 4) - (-2\lambda + 3) = 1
\implies 8\lambda - 6 + 8\lambda - 8 + 2\lambda - 3 = 1
\implies 18\lambda = 18 \implies \lambda = 1$.
अतः,$a = 4(1) - 3 = 1$,$b = -4(1) + 4 = 0$,$c = -2(1) + 3 = 1$.
इसलिए,$a+b+c = 1 + 0 + 1 = 2$.

(D) पहली रेखा $L_1: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$ है। $L_1$ पर एक बिंदु $A(1, -1, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{c} = (0, -1, 1)$ है।
दूसरी रेखा $L_2$ समतलों $x+y+z+1=0$ और $2x-y+z+3=0$ का प्रतिच्छेदन है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x+y+z+1) + (2x-y+z+3) = 3x + 2z + 4 = 0$,अतः $x = \frac{-2z-4}{3}$.
$x$ का मान पहले समतल में रखने पर: $\frac{-2z-4}{3} + y + z + 1 = 0 \Rightarrow y = -z - 1 + \frac{2z+4}{3} = \frac{-3z-3+2z+4}{3} = \frac{-z+1}{3}$.
अतः,$x = \frac{-2z-4}{3}, y = \frac{-z+1}{3}, z = z$. इसे सममित रूप में लिखने पर: $\frac{x+4/3}{-2/3} = \frac{y-1/3}{-1/3} = \frac{z}{1}$.
$L_2$ पर एक बिंदु $B(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ है।
सदिश $\vec{AB} = B - A = (-\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, 0)$.
क्रॉस गुणनफल $\vec{c} \times \vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$.
इसका परिमाण $|\vec{c} \times \vec{d}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})|}{|\vec{c} \times \vec{d}|} = \frac{|\frac{14}{9} - \frac{8}{9}|}{2/\sqrt{3}} = \frac{6/9}{2/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) चूँकि $(3,5,7)$,$L_{1}$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{3-a}{l}=\frac{5-2}{3}=\frac{7-b}{4}=1$ है।
इससे,$3-a=l \Rightarrow a+l=3$ और $7-b=4 \Rightarrow b=3$ प्राप्त होता है।
$(3,5,7)$ से $(4,3,8)$ तक का सदिश $\vec{v}_{1} = (4-3, 3-5, 8-7) = (1, -2, 1)$ है।
$L_{1}$ का दिशा सदिश $\vec{v}_{2} = (l, 3, 4)$ है।
चूँकि रेखाखंड $L_{1}$ पर लंब है,इसलिए $\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = 0 \Rightarrow l - 6 + 4 = 0 \Rightarrow l = 2$ है।
अतः,$a = 3 - 2 = 1$ है।
रेखाएँ $L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_{2}: \frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ हैं।
माना $A = (1,2,3)$ और $B = (2,4,5)$,इसलिए $\vec{AB} = (1,2,2)$ है।
दिशा सदिश $\vec{p} = (2,3,4)$ और $\vec{q} = (3,4,5)$ हैं।
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{\vec{AB} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1,2,2) \cdot (-1,2,-1)}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(D) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-2} = r$ है।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(2r+1, 3r-1, -2r+1)$ है।
$L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{QP} = (2r+1)\hat{i} + (3r-2)\hat{j} + (-2r-1)\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $L_1$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{QP} \cdot \vec{v_1} = 0$।
$2(2r+1) + 3(3r-2) - 2(-2r-1) = 0$।
$4r + 2 + 9r - 6 + 4r + 2 = 0$।
$17r - 2 = 0 \Rightarrow r = \frac{2}{17}$।
$r = \frac{2}{17}$ पर $\vec{QP}$ के घटक $\frac{21}{17}\hat{i} - \frac{28}{17}\hat{j} - \frac{21}{17}\hat{k}$ हैं।
$\frac{7}{17}$ से विभाजित करने पर,दिशा अनुपात $(3, -4, -3)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,बिंदु $(0,1,2)$ से गुजरने वाली और $(3, -4, -3)$ दिशा अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y-1}{-4} = \frac{z-2}{-3}$ है,जो $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ के बराबर है।

(D) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-\lambda}{1} = \frac{y-1/2}{1/2} = \frac{z-0}{-1/2}$ और $L_2: \frac{x-0}{1} = \frac{y+2\lambda}{1} = \frac{z-\lambda}{1}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $a_1 = (\lambda, 1/2, 0)$ और $a_2 = (0, -2\lambda, \lambda)$ हैं।
दिशा सदिश $b_1 = (1, 1/2, -1/2)$ और $b_2 = (1, 1, 1)$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/2 + 1/2) - \hat{j}(1 + 1/2) + \hat{k}(1 - 1/2) = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ है।
इसका परिमाण $|b_1 \times b_2| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ है।
सदिश $a_2 - a_1 = (-\lambda, -2\lambda-1/2, \lambda)$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{|-\lambda(1) - (2\lambda+1/2)(-3/2) + \lambda(1/2)|}{\sqrt{14}/2} = \frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}}$ है।
दिया गया है कि $d = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ है।
अतः,$\frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \implies |10\lambda + 3| = 7$ है।
स्थिति $1$: $10\lambda + 3 = 7 \implies \lambda = 0.4$ (पूर्णांक नहीं है)।
स्थिति $2$: $10\lambda + 3 = -7 \implies \lambda = -1$ है।
अतः,$|\lambda| = |-1| = 1$ है।

(C) दी गई रेखा दो समतलों के प्रतिच्छेदन से बनी है: $3y - 2z - 1 = 0$ और $3x - z + 4 = 0$।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (0, 3, -2)$ और $\vec{n_2} = (3, 0, -1)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-3, -6, -9)$।
दिशा अनुपात को $(1, 2, 3)$ के रूप में लिया जा सकता है।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$z = 1$ रखने पर,$y = 1$ और $x = -1$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $P = (-1, 1, 1)$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q = (\lambda - 1, 2\lambda + 1, 3\lambda + 1)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (\lambda - 3, 2\lambda + 2, 3\lambda - 5)$ रेखा की दिशा $(1, 2, 3)$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$1(\lambda - 3) + 2(2\lambda + 2) + 3(3\lambda - 5) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$।
बिंदु $Q = (0, 3, 4)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, -1, 6)$ से $(0, 3, 4)$ की दूरी $\sqrt{(0-2)^2 + (3 - (-1))^2 + (4-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।

(D) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k}$ की गणना करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ है।
अब,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $9 = \frac{|((-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k})|}{12}$ है।
$108 = |-32 - 8\alpha - 28| = |-60 - 8\alpha|$.
चूंकि $\alpha > 0$,इसलिए $60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_{1}: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3}$. बिंदु $P_{1} = (1, 2, 1)$,दिशा सदिश $\vec{v}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$L_{2}: \frac{x-2}{1} = \frac{y-\lambda}{2} = \frac{z-3}{4}$. बिंदु $P_{2} = (2, \lambda, 3)$,दिशा सदिश $\vec{v}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{a} = P_{2} - P_{1} = (2-1)\hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + 2\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(8-3) + \hat{k}(4-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$.
अब,$\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}) = (1)(-2) + (\lambda-2)(-5) + (2)(3) = -2 - 5\lambda + 10 + 6 = 14 - 5\lambda$.
दिया गया है $d = \frac{1}{\sqrt{38}}$,इसलिए $\frac{|14 - 5\lambda|}{\sqrt{38}} = \frac{1}{\sqrt{38}}$.
$|14 - 5\lambda| = 1$.
स्थिति $1$: $14 - 5\lambda = 1 \Rightarrow 5\lambda = 13 \Rightarrow \lambda = 2.6$.
स्थिति $2$: $14 - 5\lambda = -1 \Rightarrow 5\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 3$.
चूंकि हमें $\lambda$ का पूर्णांक मान चाहिए,इसलिए उत्तर $3$ है।