Line Questions in Hindi

(B) माना शीर्ष $A(3, 2, 0)$,$B(5, 3, 2)$ और $C(-9, 6, -3)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-9-3)^2 + (6-2)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{169} = 13$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,समद्विभाजक $AD$,भुजा $BC$ को $AB : AC = 3 : 13$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{3(-9) + 13(5)}{3+13}, \frac{3(6) + 13(3)}{3+13}, \frac{3(-3) + 13(2)}{3+13} \right)$
$D = \left( \frac{-27 + 65}{16}, \frac{18 + 39}{16}, \frac{-9 + 26}{16} \right)$
$D = \left( \frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16} \right) = \left( \frac{19}{8}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16} \right)$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दी गई रेखाएं $\vec{r_1} = (6, 2, 2) + \lambda(1, -2, 2)$ और $\vec{r_2} = (-4, 0, -1) + \mu(3, -2, -2)$ हैं।
माना $\vec{a_1} = (6, 2, 2)$,$\vec{a_2} = (-4, 0, -1)$,$\vec{b_1} = (1, -2, 2)$,और $\vec{b_2} = (3, -2, -2)$ है।
न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-10, -2, -3)$ प्राप्त करें।
इसके बाद,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ प्राप्त करें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ है।
डॉट गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -108$ है।
अतः,$d = \frac{|-108|}{12} = 9$।

(C) माना बिंदु $P(2, -1, 5)$ है और रेखा $L: \frac{x - 11}{10} = \frac{y + 2}{-4} = \frac{z + 8}{-11} = k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$,$(10k + 11, -4k - 2, -11k - 8)$ के रूप में है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(10k + 11 - 2, -4k - 2 + 1, -11k - 8 - 5) = (10k + 9, -4k - 1, -11k - 13)$ हैं।
चूंकि $PQ$ रेखा $L$ पर लंब है जिसके दिक्-अनुपात $(10, -4, -11)$ हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$10(10k + 9) - 4(-4k - 1) - 11(-11k - 13) = 0$.
$100k + 90 + 16k + 4 + 121k + 143 = 0$.
$237k + 237 = 0 \implies k = -1$.
$k = -1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 10(-1) + 11 = 1$,
$y = -4(-1) - 2 = 2$,
$z = -11(-1) - 8 = 3$.
अतः,लंबपाद $(1, 2, 3)$ है।
लंब की लंबाई $PQ = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

(B) दी गई रेखाओं को सममित रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
पहली रेखा $x = ay + b$ और $z = cy + d$ के लिए,हमारे पास $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ है।
अतः,पहली रेखा के दिक अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
दूसरी रेखा $x = a'y + b'$ और $z = c'y + d'$ के लिए,हमारे पास $\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'}$ है।
अतः,दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(a', 1, c')$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंबवत होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$aa' + 1 + cc' = 0$,जिसका अर्थ है कि $aa' + cc' = -1$।

(C) माना पहली रेखा $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z + 5}{7} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3\lambda - 1, 5\lambda - 3, 7\lambda - 5)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 6}{5} = \mu$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\mu + 2, 3\mu + 4, 5\mu + 6)$ है।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन के लिए,निर्देशांक समान होने चाहिए:
$3\lambda - 1 = \mu + 2 \implies 3\lambda - \mu = 3$
$5\lambda - 3 = 3\mu + 4 \implies 5\lambda - 3\mu = 7$
इन समीकरणों को हल करने पर:
पहले समीकरण को $3$ से गुणा करने पर: $9\lambda - 3\mu = 9$।
दूसरे समीकरण को इसमें से घटाने पर: $(9\lambda - 3\mu) - (5\lambda - 3\mu) = 9 - 7 \implies 4\lambda = 2 \implies \lambda = \frac{1}{2}$।
$\lambda = \frac{1}{2}$ को $3\lambda - \mu = 3$ में रखने पर:
$3(\frac{1}{2}) - \mu = 3 \implies \mu = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$।
अब,$\lambda = \frac{1}{2}$ का उपयोग करके बिंदु ज्ञात करें:
$x = 3(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2}$,
$y = 5(\frac{1}{2}) - 3 = -\frac{1}{2}$,
$z = 7(\frac{1}{2}) - 5 = -\frac{3}{2}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।

(B) दो समतलों $P_1: 3x + 2y - z - 4 = 0$ और $P_2: 4x + y - 2z + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन की रेखा का सममित रूप ज्ञात करने के लिए,हम पहले रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$ ज्ञात करते हैं,जो अभिलंबों $\vec{n_1} = (3, 2, -1)$ और $\vec{n_2} = (4, 1, -2)$ का क्रॉस गुणनफल है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(-6 + 4) + \hat{k}(3 - 8) = -3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$.
हम दिशा अनुपात $(3, -2, 5)$ ले सकते हैं।
अब,समतल समीकरणों में $z = 0$ रखकर रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करें:
$3x + 2y = 4$ और $4x + y = -3$.
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $8x + 2y = -6$.
इसमें से पहले समीकरण को घटाने पर: $5x = -10 \implies x = -2$.
$x = -2$ को $4x + y = -3$ में रखने पर: $4(-2) + y = -3 \implies y = 5$.
अतः,बिंदु $(-2, 5, 0)$ है।
सममित रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ है,जो $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z}{5}$ देता है।

(B) रेखाएँ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + a}{p}$ और $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z + 5}{2}$ दी गई हैं।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनके दिशा सदिशों $(2, -3, p)$ और $(2, 4, 2)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(2)(2) + (-3)(4) + (p)(2) = 0$
$4 - 12 + 2p = 0 \Rightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4$.
चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,बिंदुओं $(3, -1, -a)$ और $(-2, 4, -5)$ को जोड़ने वाले सदिश और दोनों दिशा सदिशों का सारणिक शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 - (-2) & -1 - 4 & -a - (-5) \\ 2 & -3 & p \\ 2 & 4 & 2 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 5 & -5 & 5 - a \\ 2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{array}\right| = 0$
$5(-6 - 16) + 5(4 - 8) + (5 - a)(8 + 6) = 0$
$-110 - 20 + 70 - 14a = 0$
$-60 - 14a = 0 \Rightarrow a = -\frac{30}{7}$.
अतः,$a + p = -\frac{30}{7} + 4 = -\frac{2}{7}$.

(C) रेखाएं $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{p}$ और $\vec{r} = \vec{b} + \mu \vec{q}$ के रूप में दी गई हैं।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{p} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
साथ ही,$\vec{b} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $SD$ का सूत्र $SD = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right|$ है।
सबसे पहले,$\vec{b} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (2-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16-15) - \hat{j}(12-10) + \hat{k}(9-8) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = (-1)(1) + (-2)(-2) + (-2)(1) = 1$ है।
अतः,$SD = \left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$।

(B) पहली रेखा के दिक अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ समतलों $3x + 2y + z = 0$ और $x + y - 2z = 0$ के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।
सदिश गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए:
$l_1 = (2)(-2) - (1)(1) = -5$
$m_1 = (1)(1) - (3)(-2) = 7$
$n_1 = (3)(1) - (2)(1) = 1$
अतः,दिक अनुपात $(-5, 7, 1)$ या $(5, -7, -1)$ के समानुपाती हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(l_2, m_2, n_2)$ समतलों $2x - y - z = 0$ और $7x + 10y - 8z = 0$ के अभिलंबों के सदिश गुणनफल द्वारा प्राप्त होते हैं।
$l_2 = (-1)(-8) - (-1)(10) = 8 + 10 = 18$
$m_2 = (-1)(7) - (2)(-8) = -7 + 16 = 9$
$n_2 = (2)(10) - (-1)(7) = 20 + 7 = 27$
$9$ से विभाजित करने पर,हमें दिक अनुपात $(2, 1, 3)$ प्राप्त होते हैं।
माना दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण का कोज्या (cosine) इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(5)(2) + (-7)(1) + (-1)(3)|}{\sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|10 - 7 - 3|}{\sqrt{25 + 49 + 1} \sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{0}{\sqrt{75} \sqrt{14}} = 0$
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 8}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ और $L_2: \frac{x + 3}{-3} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 6}{4}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, 8, 3)$ और $B(-3, -7, 6)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ की गणना करें:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(12 - (-3)) + \hat{k}(6 - 3) = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिश $\vec{AB} = (-3 - 3)\hat{i} + (-7 - 8)\hat{j} + (6 - 3)\hat{k} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ है।
$\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-6)(-6) + (-15)(-15) + (3)(3) = 36 + 225 + 9 = 270$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
$d = \frac{270}{3\sqrt{30}} = \frac{90}{\sqrt{30}} = \frac{90\sqrt{30}}{30} = 3\sqrt{30}$.

(B) कथन-$1$ के लिए: रेखाएं $L_1: \vec{r} = (-3, 6, 0) + \lambda(-4, 3, 2)$ और $L_2: \vec{r} = (-3, 0, 7) + \mu(-4, 1, 1)$ हैं।
दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (0, -6, 7)$ और $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = (1, -4, 8)$ है।
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = 9$ और $|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)| = 80$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = \frac{80}{9} \neq 9$. इस प्रकार,कथन-$1$ असत्य है।
कथन-$2$ के लिए: परिभाषा के अनुसार,विषम रेखाएं वे रेखाएं हैं जो न तो समानांतर हैं और न ही प्रतिच्छेद करती हैं,अर्थात वे एक ही समतल में स्थित नहीं होती हैं। इसलिए,कथन-$2$ सत्य है।

(C) दिए गए समीकरण अंतरिक्ष में एक रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं,जिसका अर्थ है कि समीकरणों की प्रणाली के अनंत हल होने चाहिए।
प्रणाली इस प्रकार है:
$2x - y + z = 0$
$-x + y + 2z = 0$
$mx - 2y + mz = 0$
प्रणाली के पास एक गैर-तुच्छ हल (मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा) होने के लिए,गुणांक मैट्रिक्स का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ m & -2 & m \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(1(m) - 2(-2)) - (-1)((-1)(m) - 2(m)) + 1((-1)(-2) - 1(m)) = 0$
$2(m + 4) + 1(-m - 2m) + 1(2 - m) = 0$
$2m + 8 - 3m + 2 - m = 0$
$-2m + 10 = 0$
$2m = 10$
$m = 5$

(D) बिंदु $A$ और $B$ $3D$ अंतरिक्ष में दो रेखाओं को दर्शाते हैं।
रेखा $L_1$ जो $A$ से गुजरती है उसे $\vec{r} = (2, 1, 2) + \lambda(1, -2, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $L_2$ जो $B$ से गुजरती है उसे $\vec{r} = (1, 0, 1) + k(2, 1, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + k \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-2, 0-1, 1-2) = (-1, -1, -1)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-1) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(1+4) = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$.
परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$.
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(-1, -1, -1) \cdot (-3, 1, 5)}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{3 - 1 - 5}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{-3}{\sqrt{35}} \right| = \frac{3}{\sqrt{35}}$.

(B) रेखा का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $A(\lambda, \lambda, -\lambda)$ के रूप का है।
दिया गया है कि दूरी $PA = \sqrt{3}$,इसलिए $PA^2 = 3$.
$(\lambda - 1)^2 + (\lambda - 1)^2 + (-\lambda - 1)^2 = 3$.
$(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (\lambda^2 + 2\lambda + 1) = 3$.
$3\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 3$.
$3\lambda^2 - 2\lambda = 0$.
$\lambda(3\lambda - 2) = 0$.
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = \frac{2}{3}$.
बिंदु $A(0, 0, 0)$ और $B(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$ हैं।
दूरी $AB = \sqrt{(\frac{2}{3} - 0)^2 + (\frac{2}{3} - 0)^2 + (-\frac{2}{3} - 0)^2}$.
$AB = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) रेखाएँ $L_1: \bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ और $L_2: \bar{r} = \bar{c} + \mu \bar{d}$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\bar{c} = \hat{j} + \hat{k}$,और $\bar{d} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\bar{a} - \bar{c} = (\hat{i} + \hat{j}) - (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{b} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ निकालें।
इसका परिमाण $|\bar{b} \times \bar{d}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ है।
न्यूनतम दूरी $D = \frac{|(\bar{a} - \bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d})|}{|\bar{b} \times \bar{d}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$D = \frac{|(\hat{i} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})|}{\sqrt{14}} = \frac{|3 - 2|}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$।

(B) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक्-अनुपात $\left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$ हैं।
चूंकि माध्यिका निर्देशांक अक्षों के साथ समान झुकाव पर है,इसलिए $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$ होगा।
अतः,$\lambda = 7$ और $\mu = 10$ प्राप्त होता है।
अब,$(\lambda^3 + \mu^3 + 5) = 7^3 + 10^3 + 5 = 343 + 1000 + 5 = 1348$।

(D) दी गई रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k + 1, 2k, k + 1)$ के रूप में होता है।
इस बिंदु और $(1, 0, 1)$ के बीच की दूरी $6$ इकाई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(2k + 1 - 1)^2 + (2k - 0)^2 + (k + 1 - 1)^2} = 6$.
$\sqrt{(2k)^2 + (2k)^2 + k^2} = 6$.
$\sqrt{4k^2 + 4k^2 + k^2} = 6$.
$\sqrt{9k^2} = 6$.
$3|k| = 6$,इसलिए $k = \pm 2$.
चूंकि बिंदु $(1, 0, 1)$ के सापेक्ष $-ve\ z$ दिशा में है,हम $z$-निर्देशांक $z = k + 1$ देखते हैं।
$k = -2$ के लिए,$z = -2 + 1 = -1$,जो $1$ से कम है।
$k = -2$ को निर्देशांकों में रखने पर: $x = 2(-2) + 1 = -3$,$y = 2(-2) = -4$,$z = -2 + 1 = -1$.
अतः,$A$ के निर्देशांक $(-3, -4, -1)$ हैं।

(C) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
यहाँ रेखा बिंदु $(2, -1, 1)$ से गुजरती है,इसलिए $x_1 = 2, y_1 = -1, z_1 = 1$ है।
चूंकि यह रेखा दी गई रेखा $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 2}{-3}$ के समानांतर है,इसलिए इसके दिक अनुपात भी $a = 2, b = 7, c = -3$ होंगे।
इन मानों को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - (-1)}{7} = \frac{z - 1}{-3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 1}{-3}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $L$,$(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{1 - 2}{2} = \frac{2 - 1}{b} = \frac{3 + 1}{c} \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{1}{b} = \frac{4}{c}$।
अतः,$b = -2$ और $c = -8$।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (2, -2, -8)$ है।
चूंकि रेखा $K$,$L$ के समानांतर है,इसलिए इसका दिशा सदिश $(2, -2, -8)$ के समानुपाती होना चाहिए।
दिया गया है $K: \frac{x + 2}{a} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{d}$,इसलिए $\frac{a}{2} = \frac{2}{-2} = \frac{d}{-8} \Rightarrow \frac{a}{2} = -1 = \frac{d}{-8}$।
अतः,$a = -2$ और $d = 8$।
रेखा $L$,$P_1 = (2, 1, -1)$ से गुजरती है और इसकी दिशा $\vec{v} = (2, -2, -8)$ है।
रेखा $K$,$P_2 = (-2, 3, -4)$ से गुजरती है और इसकी दिशा $\vec{v} = (2, -2, -8)$ है।
समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\vec{P_1P_2} = (-2 - 2, 3 - 1, -4 - (-1)) = (-4, 2, -3)$।
$\vec{P_1P_2} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 2 & -3 \\ 2 & -2 & -8 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - 6) - \hat{j}(32 + 6) + \hat{k}(8 - 4) = (-22, -38, 4)$।
$|\vec{P_1P_2} \times \vec{v}| = \sqrt{(-22)^2 + (-38)^2 + 4^2} = \sqrt{484 + 1444 + 16} = \sqrt{1944}$।
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72}$।
दूरी $= \frac{\sqrt{1944}}{\sqrt{72}} = \sqrt{\frac{1944}{72}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} = \sqrt{27} = \frac{\sqrt{243}}{3}$।

(A) माना दिया गया बिंदु $P(2, 1, 3)$ है और रेखा $L: \vec{r} = (0, 1, -2) + \lambda(1, 1, -1)$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $Q(\lambda, 1+\lambda, -2-\lambda)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (\lambda-2, \lambda, -5-\lambda)$ है।
चूंकि $PQ$ रेखा की दिशा $\vec{v} = (1, 1, -1)$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\lambda-2)(1) + (\lambda)(1) + (-5-\lambda)(-1) = 0$
$\lambda - 2 + \lambda + 5 + \lambda = 0$
$3\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $Q$ में रखने पर,हमें लंबपाद $M(-1, 0, -1)$ प्राप्त होता है।
माना $P$ का प्रतिबिंब $P'(x, y, z)$ है। चूंकि $M$,$PP'$ का मध्य-बिंदु है:
$M = \frac{P + P'}{2} \implies (-1, 0, -1) = \frac{(2, 1, 3) + (x, y, z)}{2}$
$-2 = 2 + x \implies x = -4$
$0 = 1 + y \implies y = -1$
$-2 = 3 + z \implies z = -5$
अतः,प्रतिबिंब का स्थिति सदिश $-4\hat{i} - \hat{j} - 5\hat{k}$ है।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \vec{r} = (3\hat{i} - 15\hat{j} + 9\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k})$ और $L_2: \vec{r} = (-1\hat{i} + 1\hat{j} + 9\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\vec{a}_1 = 3\hat{i} - 15\hat{j} + 9\hat{k}$,$\vec{a}_2 = -\hat{i} + \hat{j} + 9\hat{k}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,और $\vec{b}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-1 - 3)\hat{i} + (1 - (-15))\hat{j} + (9 - 9)\hat{k} = -4\hat{i} + 16\hat{j} + 0\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21 - 5) - \hat{j}(-6 - 10) + \hat{k}(2 + 14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{16^2 + 16^2 + 16^2} = 16\sqrt{3}$ है।
न्यूनतम दूरी $SD = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} = \frac{|(-4)(16) + (16)(16) + (0)(16)|}{16\sqrt{3}} = \frac{|-64 + 256|}{16\sqrt{3}} = \frac{192}{16\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$।

(D) माना बिंदु $A(-1, 3, 2)$,$B(-4, 2, -2)$ और $C(5, 5, \lambda)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{AB}$ को सदिश $\vec{BC}$ के समानुपाती होना चाहिए।
$\vec{AB} = (-4 - (-1))\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (-2 - 2)\hat{k} = -3\hat{i} - 1\hat{j} - 4\hat{k}$.
$\vec{BC} = (5 - (-4))\hat{i} + (5 - 2)\hat{j} + (\lambda - (-2))\hat{k} = 9\hat{i} + 3\hat{j} + (\lambda + 2)\hat{k}$.
संरेखता के लिए,घटकों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{-3}{9} = \frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$.
समानता $\frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$-1(\lambda + 2) = -12$.
$\lambda + 2 = 12$.
$\lambda = 10$.

(D) माना दोनों रेखाओं पर बिंदु $P(3\lambda + 6, -\lambda + 7, \lambda + 4)$ और $Q(-3\mu, 2\mu - 9, 4\mu + 2)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (-3\mu - 3\lambda - 6)\hat{i} + (2\mu + \lambda - 16)\hat{j} + (4\mu - \lambda - 2)\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए रेखाओं के दिशा सदिशों के साथ इसका अदिश गुणनफल शून्य होगा।
दिशा सदिश $\vec{d_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{d_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ हैं।
$\vec{PQ} \cdot \vec{d_1} = 0 \Rightarrow -7\mu - 11\lambda = 4$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{d_2} = 0 \Rightarrow 29\mu + 7\lambda = 22$.
समीकरणों को हल करने पर,$\lambda = -1$ और $\mu = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$P(3, 8, 3)$ और $Q(-3, -7, 6)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(-6, -15, 3)$ हैं,जो सरल होकर $(2, 5, -1)$ हो जाते हैं।
बिंदु $P(3, 8, 3)$ से गुजरने वाली और $(2, 5, -1)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 8}{5} = \frac{z - 3}{-1}$ है।

(A) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - \lambda}{2}$ और $L_2: \frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{3\lambda} = \frac{z - 7/2}{1/2}$ हैं।
दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और रेखाओं के दिशा सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
बिंदुओं $(1, 2, \lambda)$ और $(-1, 0, 7/2)$ तथा दिशा सदिशों $(3, -1, 2)$ और $(-2, 3\lambda, 1/2)$ को रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} -2 & -2 & (7-2\lambda)/2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 3\lambda & 1/2 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-2(-1/2 - 6\lambda) + 2(3/2 + 4) + \frac{7-2\lambda}{2}(9\lambda - 2) = 0$
$1 + 12\lambda + 11 + \frac{63\lambda - 14 - 18\lambda^2 + 4\lambda}{2} = 0$
$24 + 24\lambda - 18\lambda^2 + 67\lambda - 14 = 0$
$18\lambda^2 - 91\lambda - 10 = 0$
$\lambda$ के मानों का योग = $-(-91)/18 = 91/18 = 182/36$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$l + 3m + 5n = 0$ ....$(1)$
$5lm - 2mn + 6nl = 0$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ से,$l = -3m - 5n$ प्राप्त होता है।
$l$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$5(-3m - 5n)m - 2mn + 6n(-3m - 5n) = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ से विभाजित करने पर:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m + n)(m + 2n) = 0$
अतः,$m = -n$ या $m = -2n$ है।
स्थिति $1$: यदि $m = -n$,तो $l = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$। दिक्-अनुपात $(-2n, -n, n)$ हैं,जिन्हें $(-2, -1, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m = -2n$,तो $l = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$। दिक्-अनुपात $(n, -2n, n)$ हैं,जिन्हें $(1, -2, 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना दिक्-अनुपात $\vec{a} = (-2, -1, 1)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-2)(1) + (-1)(-2) + (1)(1)|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(D) पहली रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (2, 2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{-(x - 5)}{-2} = \frac{7(y - 2)}{p} = \frac{z - 3}{4}$ है,जिसे $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{p/7} = \frac{z - 3}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_2} = (2, p/7, 4)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर।
दिया गया है $\cos \theta = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{|2(2) + 2(p/7) + 1(4)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (p/7)^2 + 4^2}}$.
$\frac{2}{3} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{4 + p^2/49 + 16}} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{20 + p^2/49}}$.
हर से $3$ को हटाने पर,$\frac{2}{1} = \frac{|8 + 2p/7|}{\sqrt{20 + p^2/49}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{(8 + 2p/7)^2}{20 + p^2/49} = \frac{64 + 32p/7 + 4p^2/49}{20 + p^2/49}$.
$80 + 4p^2/49 = 64 + 32p/7 + 4p^2/49$.
$80 = 64 + 32p/7 \Rightarrow 16 = 32p/7 \Rightarrow p = \frac{16 \times 7}{32} = \frac{7}{2}$.

(B) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2)|}{|(a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2)|}$
दी गई रेखाओं के लिए,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1)$ है।
दूसरी रेखा के लिए,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 4, 5)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 8, 4)$ है।
सदिश गुणनफल $(a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(8+1) + \hat{k}(16+2) = (0, -9, 18)$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{0^2 + (-9)^2 + 18^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $\begin{vmatrix} -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 8 & 4 \end{vmatrix} = -2(8-8) - 4(8+1) + 5(16+2) = 0 - 36 + 90 = 54$ है।
अतः,$d = \frac{|54|}{9\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6 \times 2.236}{5} \approx 2.68$ है।
चूंकि $2.68 \in (2, 3]$,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1} = r_1$ और $L_2: \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1} = r_2$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(r_1, -r_1, r_1)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(1, -2r_2 - 1, r_2)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(1 - r_1, -2r_2 - 1 + r_1, r_2 - r_1)$ हैं।
चूंकि $PQ$ न्यूनतम दूरी की रेखा है,यह $L_1$ (दिशा $\vec{v_1} = \langle 1, -1, 1 \rangle$) और $L_2$ (दिशा $\vec{v_2} = \langle 0, -2, 1 \rangle$) दोनों के लंबवत है।
$1$) $(1 - r_1)(1) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-1) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 3r_2 + 2 = 0$.
$2$) $(1 - r_1)(0) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-2) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 5r_2 + 2 = 0$.
समीकरणों को घटाने पर: $2r_2 = 0 \Rightarrow r_2 = 0$.
अतः $-3r_1 + 2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2/3$.
बिंदु $P(2/3, -2/3, 2/3)$ और $Q(1, -1, 0)$ हैं।
$PQ$ के दिक अनुपात $(1/3, -1/3, -2/3)$ हैं,जो $(1, -1, -2)$ के समानुपाती हैं।
रेखा $Q(1, -1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{-2}$ है।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (-1, 1, -1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, k, 0)$ है।
दिक् अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (2, 1, 3)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (2, 3, 4)$ हैं।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} -2 - (-1) & k - 1 & 0 - (-1) \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} -1 & k - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(4 - 9) - (k - 1)(8 - 6) + 1(6 - 2) = 0$
$-1(-5) - (k - 1)(2) + 4 = 0$
$5 - 2k + 2 + 4 = 0$
$11 - 2k = 0$
$2k = 11$
$k = \frac{11}{2}$.

(D) रेखा $L_1$ के लिए,हमारे पास $x = \sqrt{\lambda} y + (\sqrt{\lambda} - 1)$ और $z = (\sqrt{\lambda} - 1)y + \sqrt{\lambda}$ है।
इन्हें सममित रूप में लिखने पर,हमें $\frac{x - (\sqrt{\lambda} - 1)}{\sqrt{\lambda}} = y = \frac{z - \sqrt{\lambda}}{\sqrt{\lambda} - 1}$ प्राप्त होता है।
$L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v_1} = (\sqrt{\lambda}, 1, \sqrt{\lambda} - 1)$ है।
इसी प्रकार,रेखा $L_2$ के लिए,हमारे पास $x = \sqrt{\mu} y + (1 - \sqrt{\mu})$ और $z = (1 - \sqrt{\mu})y + \sqrt{\mu}$ है।
इन्हें सममित रूप में लिखने पर,हमें $\frac{x - (1 - \sqrt{\mu})}{\sqrt{\mu}} = y = \frac{z - \sqrt{\mu}}{1 - \sqrt{\mu}}$ प्राप्त होता है।
$L_2$ का दिशा सदिश $\vec{v_2} = (\sqrt{\mu}, 1, 1 - \sqrt{\mu})$ है।
चूंकि $L_1 \perp L_2$,उनके दिशा सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(\sqrt{\lambda})(\sqrt{\mu}) + (1)(1) + (\sqrt{\lambda} - 1)(1 - \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda\mu} + 1 + (\sqrt{\lambda} - \sqrt{\lambda\mu} - 1 + \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda} + \sqrt{\mu} = 0$.
चूंकि $\lambda, \mu \geq 0$,इसका अर्थ है कि $\sqrt{\lambda} = 0$ और $\sqrt{\mu} = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = 0$ और $\mu = 0$। अतः,$\lambda = \mu$.

(D) माना दी गई रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8} = k$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $L = (2k + 1, -3k - 1, 8k - 10)$ के रूप में है।
माना $P = (1, 0, 0)$ है। रेखा $PL$ के दिक्-अनुपात $(2k + 1 - 1, -3k - 1 - 0, 8k - 10 - 0) = (2k, -3k - 1, 8k - 10)$ हैं।
चूंकि $PL$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(2, -3, 8)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2k) - 3(-3k - 1) + 8(8k - 10) = 0$.
$4k + 9k + 3 + 64k - 80 = 0$.
$77k - 77 = 0$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।
$k = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$L = (2(1) + 1, -3(1) - 1, 8(1) - 10) = (3, -4, -2)$.

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ हैं।
दोनों रेखाओं का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ समान है,इसलिए वे समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{a}_2 = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|3\hat{i} - 3\hat{k}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $|2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
इसलिए,$d = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$.
चूंकि गणना की गई दूरी $\sqrt{2}$ है,इसलिए कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ समांतर रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी की मानक परिभाषा है,जो कि सत्य है।
चूंकि कथन $2$ उस विधि को प्रदान करता है जिसका उपयोग कथन $1$ में दूरी की गणना के लिए किया गया है,इसलिए यह सही व्याख्या है।

(C) माना कि दिया गया बिंदु $P(-1, 2, 6)$ है और रेखा $L$ बिंदु $A(2, 3, -4)$ से होकर गुजरती है जिसकी दिशा सदिश $\vec{v} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AP} = (-1-2)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (6-(-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$ है।
बिंदु $P$ की रेखा से दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{AP} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 + 6) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ है।
अतः,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$।

(B) पहली रेखा $x = ay + b$ और $z = cy + d$ द्वारा दी गई है।
इसे सममित रूप में $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के दिक अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
दूसरी रेखा $x = a'z + b'$ और $y = c'z + d'$ द्वारा दी गई है।
इसे सममित रूप में $\frac{x - b'}{a'} = \frac{y - d'}{c'} = \frac{z}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा के दिक अनुपात $(a', c', 1)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(a)(a') + (1)(c') + (c)(1) = 0$.
अतः,$aa' + c' + c = 0$.

(A) माना कि दोनों रेखाओं पर स्थित बिंदु $P_1 = (\lambda + 3, 3\lambda - 1, -\lambda + 6)$ और $P_2 = (7\alpha - 5, -6\alpha + 2, 4\alpha + 3)$ हैं।
रेखाओं के बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\lambda + 3 = 7\alpha - 5 \Rightarrow \lambda - 7\alpha = -8$ (समीकरण $1$)
$3\lambda - 1 = -6\alpha + 2 \Rightarrow 3\lambda + 6\alpha = 3 \Rightarrow \lambda + 2\alpha = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर $9\alpha = 9$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 1$ है।
$\alpha = 1$ को समीकरण $2$ में रखने पर,$\lambda + 2(1) = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = -1$ है।
$\lambda = -1$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर,$R = (-1 + 3, 3(-1) - 1, -(-1) + 6) = (2, -4, 7)$ प्राप्त होता है।
$xy$-समतल में किसी बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, y, -z)$ होता है।
अतः,$xy$-समतल में $R(2, -4, 7)$ का प्रतिबिंब $(2, -4, -7)$ है।

(D) माना दी गई रेखा $\frac{x + 3}{10} = \frac{y - 2}{-7} = \frac{z}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $M$ $(10\lambda - 3, -7\lambda + 2, \lambda)$ के रूप में है।
सदिश $\vec{PM} = (10\lambda - 3 - 2, -7\lambda + 2 - (-1), \lambda - 4) = (10\lambda - 5, -7\lambda + 3, \lambda - 4)$ है।
चूंकि $\vec{PM}$ रेखा $(10, -7, 1)$ के दिक अनुपात के लंबवत है,इसलिए:
$10(10\lambda - 5) - 7(-7\lambda + 3) + 1(\lambda - 4) = 0$
$100\lambda - 50 + 49\lambda - 21 + \lambda - 4 = 0$
$150\lambda - 75 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$।
$M$ के निर्देशांक $(2, -1.5, 0.5)$ प्राप्त होते हैं।
लंब की लंबाई $PM = \sqrt{(2-2)^2 + (-1.5 - (-1))^2 + (0.5 - 4)^2}$
$= \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $\frac{5}{1.414} \approx 3.535$।
यह मान $3$ से अधिक और $4$ से कम है।

(C) $P(2, -3, 4)$ और $Q(8, 0, 10)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{8-2} = \frac{y-(-3)}{0-(-3)} = \frac{z-4}{10-4}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $R(4, y, z)$ इस रेखा पर स्थित है,हम $x=4$ को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{4-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{1}{3} = \frac{y+3}{3}$ से $y+3 = 1$ मिलता है,अतः $y = -2$ है।
$\frac{1}{3} = \frac{z-4}{6}$ से $z-4 = 2$ मिलता है,अतः $z = 6$ है।
इस प्रकार,$R$ के निर्देशांक $(4, -2, 6)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $R(4, -2, 6)$ की दूरी $\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ है।

(B) माना रेखा $L: \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z}{4} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$ है।
माना $D$,$A(1, -1, 2)$ से रेखा $L$ पर लंब का पाद है। चूँकि $D$,$L$ पर स्थित है,$D = (3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AD} = (3\lambda - 2 - 1)\hat{i} + (1 - (-1))\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k} = (3\lambda - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k}$ है।
चूँकि $\vec{AD} \perp \vec{v}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda - 3) + 0(2) + 4(4\lambda - 2) = 0$
$9\lambda - 9 + 16\lambda - 8 = 0$
$25\lambda = 17 \implies \lambda = \frac{17}{25}$।
$\lambda$ का मान $\vec{AD}$ में रखने पर:
$\vec{AD} = (3(\frac{17}{25}) - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4(\frac{17}{25}) - 2)\hat{k} = -\frac{24}{25}\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{18}{25}\hat{k}$।
शीर्षलंब $AD$ की लंबाई $= |\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{24}{25})^2 + 2^2 + (\frac{18}{25})^2} = \sqrt{\frac{576}{625} + 4 + \frac{324}{625}} = \sqrt{\frac{136}{25}} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{2\sqrt{34}}{5} = \sqrt{34}$।

(B) माना रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $C$ $(\lambda, 1, -\lambda - 1)$ के रूप में है।
दिया गया बिंदु $P(\beta, 0, \beta)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 0, -1)$ है।
सदिश $\vec{PC} = (\lambda - \beta, 1 - 0, -\lambda - 1 - \beta) = (\lambda - \beta, 1, -\lambda - \beta - 1)$ है।
चूंकि $PC$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{PC} \cdot \vec{v} = 0$:
$(\lambda - \beta)(1) + (1)(0) + (-\lambda - \beta - 1)(-1) = 0$
$\lambda - \beta + \lambda + \beta + 1 = 0$
$2\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
अतः,बिंदु $C$ $(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})$ है।
लंब $PC$ की लंबाई $\sqrt{(\beta - (-\frac{1}{2}))^2 + (0 - 1)^2 + (\beta - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\beta + \frac{1}{2})^2 + 1 + (\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$.
$2(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$\beta + \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: $\beta + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \beta = 0$ (अस्वीकार्य,क्योंकि $\beta \neq 0$).
स्थिति $2$: $\beta + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies \beta = -1$.
अतः,$\beta = -1$.

(A) माना दिया गया बिंदु $P(-1, 2, 6)$ है और रेखा पर स्थित बिंदु $A(2, 3, -4)$ है। सदिश $\vec{AP}$ इस प्रकार है:
$\vec{AP} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
रेखा सदिश $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।
बिंदु $P$ की रेखा से लंबवत दूरी $d$ का सूत्र:
$d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{AP} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{AP} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 - (-6)) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{b}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
अतः,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(B) माना $A = (1, 0, 3)$,$B = (\alpha, 7, 1)$,और $P = \left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$ है।
चूँकि $P$,$A$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है,इसलिए सदिश $\vec{AP}$,सदिश $\vec{BP}$ के लंबवत होना चाहिए।
सबसे पहले,$\vec{AP}$ के दिक अनुपात ज्ञात करें:
$\vec{AP} = \left(\frac{5}{3} - 1, \frac{7}{3} - 0, \frac{17}{3} - 3\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right)$.
इसके बाद,$\vec{BP}$ के दिक अनुपात ज्ञात करें:
$\vec{BP} = \left(\frac{5}{3} - \alpha, \frac{7}{3} - 7, \frac{17}{3} - 1\right) = \left(\frac{5}{3} - \alpha, -\frac{14}{3}, \frac{14}{3}\right)$.
चूँकि $\vec{AP} \perp \vec{BP}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \left(\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{14}{3}\right) + \left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{14}{3}\right) = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) - \frac{98}{9} + \frac{112}{9} = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \frac{14}{9} = 0$
$9$ से गुणा करने पर:
$6 \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + 14 = 0$
$10 - 6\alpha + 14 = 0$
$24 = 6\alpha$
$\alpha = 4$.

(B) रेखाएं $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ और $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ द्वारा दी गई हैं।
माना $\vec{a_1} = (3, 8, 3)$,$\vec{a_2} = (-3, -7, 6)$,$\vec{b_1} = (3, -1, 1)$,और $\vec{b_2} = (-3, 2, 4)$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, -15, 3)$ है।
इसके बाद,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ है।
अदिश गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 36 + 225 + 9 = 270$ है।
अतः,$d = \frac{270}{\sqrt{270}} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$।

दिए गए बिंदु $A(1, 2, 7)$,$B(2, 6, 3)$ और $C(3, 10, -1)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$ और $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (3-7)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = (3-2)\hat{i} + (10-6)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (10-2)\hat{j} + (-1-7)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$
अब,इन सदिशों के परिमाण (magnitudes) ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64 + 64} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33}$
चूंकि $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ (अर्थात $2\sqrt{33} = \sqrt{33} + \sqrt{33}$),इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं।

(N/A) $A(2, 3, -4)$ और $B(1, -2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$a_1 = 1 - 2 = -1$
$b_1 = -2 - 3 = -5$
$c_1 = 3 - (-4) = 7$
अतः,$AB$ के दिक्-अनुपात $(-1, -5, 7)$ हैं।
$B(1, -2, 3)$ और $C(3, 8, -11)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-अनुपात:
$a_2 = 3 - 1 = 2$
$b_2 = 8 - (-2) = 10$
$c_2 = -11 - 3 = -14$
अतः,$BC$ के दिक्-अनुपात $(2, 10, -14)$ हैं।
हम देखते हैं कि $BC$ के दिक्-अनुपात $AB$ के दिक्-अनुपातों के $-2$ गुना हैं:
$(2, 10, -14) = -2 \times (-1, -5, 7)$.
चूंकि दिक्-अनुपात समानुपाती हैं,इसलिए रेखाएं $AB$ और $BC$ समांतर हैं।
बिंदु $B$ दोनों रेखाखंडों $AB$ और $BC$ में उभयनिष्ठ है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।

(N/A) माना कि दिए गए बिंदु $A(2,3,4), B(-1,-2,1)$ और $C(5,8,7)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$AB$ के दिक अनुपात $= (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3).$
$BC$ के दिक अनुपात $= (5 - (-1), 8 - (-2), 7 - 1) = (6, 10, 6).$
हम देखते हैं कि $BC$ के दिक अनुपात $AB$ के दिक अनुपातों के $-2$ गुना हैं:
$(6, 10, 6) = -2 \times (-3, -5, -3).$
चूंकि दिक अनुपात समानुपाती हैं,इसलिए रेखाएं $AB$ और $BC$ समांतर हैं।
चूंकि बिंदु $B$ रेखा $AB$ और $BC$ दोनों में उभयनिष्ठ है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु $(2,3,4), (-1,-2,1)$ और $(5,8,7)$ संरेख हैं।

(A) दिए गए बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,सदिश समीकरण $\vec{r} = (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k})$ प्राप्त होता है।
कार्तीय समीकरण के लिए,मान लीजिए $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ है।
अतः $x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} = (5 + 3 \lambda) \hat{i} + (2 + 2 \lambda) \hat{j} + (-4 - 8 \lambda) \hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर,हमें $x = 5 + 3 \lambda$,$y = 2 + 2 \lambda$,और $z = -4 - 8 \lambda$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{x - 5}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{-8}$ प्राप्त होता है।
अतः,कार्तीय समीकरण $\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{-8}$ है।

(A) माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ बिंदुओं $A(-1, 0, 2)$ और $B(3, 4, 6)$ के स्थिति सदिश हैं।
अतः,$\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} - \vec{a} = (3 - (-1))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} + (6 - 2)\hat{k} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दो बिंदुओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = -\hat{i} + 2\hat{k} + \lambda(4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए कार्तीय समीकरण $\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}$ की तुलना मानक रूप $\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x_{1}=-3, y_{1}=5, z_{1}=-6$ और $a=2, b=4, c=2$.
अतः,रेखा बिंदु $A(-3, 5, -6)$ से गुजरती है और सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ के समांतर है।
बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = -3\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (-3\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।