मान लीजिए P_1: 2x + y - z = 3 और P_2: x + 2y | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।चूंकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,यह दोनों समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, 1, -1)$ औ

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$C, D$

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(A) मान लीजिए प्रतिच्छेदन रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।चूंकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,यह दोनों समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, 1, -1)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$ के लंबवत है।अतः,दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 1 & -1 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।$3$ से विभाजित करने पर,दिक अनुपात $1, -1, 1$ प्राप्त होते हैं। अतः,$(A)$ गलत है।$(B)$ के लिए,रेखा $\frac{x - 4/3}{3} = \frac{y - 1/3}{-3} = \frac{z}{3}$ है,जिसके दिक अनुपात $1, -1, 1$ हैं। यह प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,लंबवत नहीं। अतः,$(B)$ गलत है।$(C)$ के लिए,$\cos 	heta = \frac{|(2)(1) + (1)(2) + (-1)(1)|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$। अतः,$	heta = 60^{\circ}$। $(C)$ सही है।$(D)$ के लिए,$P_3$ का अभिलंब $(1, -1, 1)$ है। समीकरण $x - y + z = 0$ प्राप्त होता है।बिंदु $(2, 1, 1)$ की $x - y + z = 0$ से दूरी $\frac{|2 - 1 + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। $(D)$ सही है।

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समतलों $x+2y+3z=2$ और $x-y+z=3$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और बिंदु $(3,1,-1)$ से $\frac{2}{\sqrt{3}}$ की दूरी पर स्थित समतल का समीकरण है

समतलों $x + 2y + 3z + 4 = 0$ और $4x + 3y + 2z + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन और मूलबिंदु से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है

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