मान लीजिए कि P समतल x-y+z=3 के सापेक्ष बिंदु | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि दिया गया बिंदु $Q(3, 1, 7)$ है। समतल $x-y+z=3$ के लंबवत और $Q$ से गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।इसका समीकरण $\frac

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$x-4y+7z=0$

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(C) मान लीजिए कि दिया गया बिंदु $Q(3, 1, 7)$ है। समतल $x-y+z=3$ के लंबवत और $Q$ से गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$ हैं।इसका समीकरण $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ है।इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3+\lambda, 1-\lambda, 7+\lambda)$ है।यह बिंदु समतल $x-y+z=3$ पर स्थित है,इसलिए $(3+\lambda) - (1-\lambda) + (7+\lambda) = 3$ है।$3+\lambda-1+\lambda+7+\lambda=3 \Rightarrow 3\lambda+9=3 \Rightarrow 3\lambda=-6 \Rightarrow \lambda=-2$.लंबपाद $R$ का मान $(3-2, 1-(-2), 7-2) = (1, 3, 5)$ है।मान लीजिए $P(x_1, y_1, z_1)$ बिंदु $Q$ का प्रतिबिंब है। चूंकि $R$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_1+3}{2}=1, \frac{y_1+1}{2}=3, \frac{z_1+7}{2}=5$ है।$x_1 = -1, y_1 = 5, z_1 = 3$. अतः $P$ का मान $(-1, 5, 3)$ है।समतल $P(-1, 5, 3)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है।समतल का समीकरण $a(x+1) + b(y-5) + c(z-3) = 0$ है।चूंकि यह रेखा को समाहित करता है,यह $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(1) + b(-5) + c(-3) = 0 \Rightarrow a-5b-3c=0$ है।साथ ही,अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा की दिशा $(1, 2, 1)$ के लंबवत है,इसलिए $a+2b+c=0$ है।$a-5b-3c=0$ और $a+2b+c=0$ को हल करने पर: $-7b-4c=0 \Rightarrow b = -4c/7$ प्राप्त होता है।तब $a = 5(-4c/7) + 3c = -20c/7 + 21c/7 = c/7$ है।$c=7$ लेने पर,हमें $a=1, b=-4$ प्राप्त होता है। समीकरण $1(x+1) - 4(y-5) + 7(z-3) = 0$ है।$x+1-4y+20+7z-21 = 0 \Rightarrow x-4y+7z=0$ प्राप्त होता है।

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$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ के लंबवत रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतलों $x - y + 2z = 5$ और $3x + y + z = 6$ के प्रतिच्छेदन से बनी रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{1}$ और $\frac{x-a}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1}$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो बिंदु $P$ की समतल $z = a$ से दूरी क्या है?

रेखा $\frac{x - 1}{2} = -(y + 1) = \frac{z}{3}$ और समतल $3x + 2y - z = 5$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। उस बिंदु के निर्देशांक हैं:

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