तीन रेखाएँ $L_1: \overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}, \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r} = \hat{k} + \mu \hat{j}, \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r} = \hat{i} + \hat{j} + v\hat{k}, v \in R$ दी गई हैं। $L_2$ पर स्थित किस बिंदु (बिंदुओं) $Q$ के लिए हम $L_1$ पर एक बिंदु $P$ और $L_3$ पर एक बिंदु $R$ ज्ञात कर सकते हैं ताकि $P, Q$ और $R$ संरेख हों?

रेखा $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करने वाले और रेखाओं $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $x = 2y = 3z$ के लंबवत समतल का समीकरण क्या है?

माना $S$ एक बिंदु $Q$ का समतल $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,जहाँ $t, p$ वास्तविक प्राचल हैं और $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ तीन धनात्मक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। यदि $Q$ और $S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ और $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$

यदि $P$,$Q$ और $R$ बिंदु $A(1, 1, 1)$ से समतलों $P_1: x + 2y + 2z = 2$,$P_2: 2x - 2y + z = -8$ और $P_1$ तथा $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा पर खींचे गए लंबपाद हैं,तो $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$2\hat{i}-\hat{k}$ और मूल बिंदु से गुजरने वाला समतल,$\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$ और $\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$ बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा को बिंदु $A$ पर मिलता है,तो $A=$