माना $S$ एक बिंदु $Q$ का समतल $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है,जहाँ $t, p$ वास्तविक प्राचल हैं और $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ तीन धनात्मक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश हैं। यदि $Q$ और $S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ और $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$

  • A
    $A, B$
  • B
    $A, C$
  • C
    $A, D$
  • D
    $A, B, C$

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मान लीजिए कि रेखाएँ $L_1: \vec{r}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}+\lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$,$\lambda \in R$ और $L_2: \vec{r}=(4\hat{i}+\hat{j})+\mu(5\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})$,$\mu \in R$,बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। मान लीजिए $P$ और $Q$ क्रमशः रेखाओं $L_1$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $|\overrightarrow{PR}|=\sqrt{29}$ और $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{\frac{47}{3}}$ है। यदि बिंदु $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में स्थित है,तो $27(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा समतल को $(0, \frac{17}{2}, -\frac{13}{2})$ बिंदु पर काटती है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

Difficult
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वह बिंदु जहाँ रेखा $r = i - j + k + t(i + j - k)$ समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ से मिलती है,उसका स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखाएं $\frac{x-1}{\lambda}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ और $\frac{x+26}{-2}=\frac{y+18}{3}=\frac{z+28}{\lambda}$ समतलीय हैं और $P$ वह समतल है जिसमें ये दो रेखाएं स्थित हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $P$ पर स्थित $\text{नहीं}$ है?

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

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