Line and Plane Questions in Gujarati

(C) ધારો કે રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે. રેખા બંને સમતલો પર હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = (4, 4, -5)$ અને $\vec{n_2} = (8, 12, -13)$ ને લંબ છે.
તેથી,દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & -5 \\ 8 & 12 & -13 \end{vmatrix} = \hat{i}(-52 + 60) - \hat{j}(-52 + 40) + \hat{k}(48 - 32) = 8\hat{i} + 12\hat{j} + 16\hat{k}$.
$4$ વડે ભાગતા,દિકગુણોત્તર $(2, 3, 4)$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ લેતા:
$4x + 4y = 12 \implies x + y = 3$
$8x + 12y = 32 \implies 2x + 3y = 8$
આને ઉકેલતા,$2(3 - y) + 3y = 8 \implies 6 - 2y + 3y = 8 \implies y = 2$,અને $x = 1$.
આમ,રેખા પરનું બિંદુ $(1, 2, 0)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 0}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = d$ છે. તે $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(0) + b(0) + c(0) = d$,એટલે કે $d = 0$.
આમ,સમતલ $ax + by + cz = 0$ છે.
તે $(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3a - b + 2c = 0$ (સમીકરણ $1$).
સમતલ રેખા $(1, -4, 7)$ ને સમાંતર છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ રેખાને લંબ છે. તેથી $a(1) + b(-4) + c(7) = 0$,જે $a - 4b + 7c = 0$ આપે છે (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(-1)(7) - (2)(-4)} = \frac{-b}{(3)(7) - (2)(1)} = \frac{c}{(3)(-4) - (-1)(1)}$
$\frac{a}{-7 + 8} = \frac{-b}{21 - 2} = \frac{c}{-12 + 1}$
$\frac{a}{1} = \frac{-b}{19} = \frac{c}{-11}$
તેથી,$a = 1, b = -19, c = -11$.
સમતલનું સમીકરણ $1x - 19y - 11z = 0$ છે.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{3} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k + 1, -k - 1, 3k)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $3x + 2y - z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(2k + 1) + 2(-k - 1) - (3k) = 5$
$6k + 3 - 2k - 2 - 3k = 5$
$k + 1 = 5$
$k = 4$.
$k = 4$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(4) + 1 = 9$
$y = -(4) - 1 = -5$
$z = 3(4) = 12$
આમ,છેદબિંદુ $(9, -5, 12)$ છે.

(A) રેખા $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - 5) + B(y - 7) + C(z + 3) = 0$ છે,જ્યાં $4A + 4B - 5C = 0$ $(i)$.
બીજી રેખા $\frac{x - 8}{7} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{3}$ પણ આ સમતલમાં હોવાથી,બિંદુ $(8, 4, 5)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $A(8 - 5) + B(4 - 7) + C(5 + 3) = 0$,જે $3A - 3B + 8C = 0$ (ii) માં પરિણમે છે.
વળી,બીજી રેખાનો દિશા સદિશ અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ ને લંબ હોવો જોઈએ,તેથી $7A + 1B + 3C = 0$ (iii).
દિશા સદિશો $(4, 4, -5)$ અને $(7, 1, 3)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & -5 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 + 5) - \hat{j}(12 + 35) + \hat{k}(4 - 28) = 17\hat{i} - 47\hat{j} - 24\hat{k}$.
આમ,$A = 17, B = -47, C = -24$.
સમતલનું સમીકરણ $17(x - 5) - 47(y - 7) - 24(z + 3) = 0$ થશે.
$17x - 85 - 47y + 329 - 24z - 72 = 0$.
$17x - 47y - 24z + 172 = 0$.

(D) ધારો કે રેખા $\frac{x - 1/3}{8} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-1} = \lambda$ પરનું બિંદુ $P = (8\lambda + 1/3, 3\lambda, -\lambda)$ છે.
આ બિંદુ સમતલો $x - 3y + 2z + 4 = 0$ અને $2x + y + 4z + 1 = 0$ ના છેદ પર હોવાથી,તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરશે.
બીજા સમતલના સમીકરણ $2x + y + 4z + 1 = 0$ માં $P$ ની કિંમત મૂકતા:
$2(8\lambda + 1/3) + 3\lambda + 4(-\lambda) + 1 = 0$
$16\lambda + 2/3 + 3\lambda - 4\lambda + 1 = 0$
$15\lambda + 5/3 = 0 \Rightarrow \lambda = -1/9$.
પરંતુ જો આપણે બિંદુ $(3, 1, -2)$ લઈએ,તો તે રેખા અને સમતલોનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 3 + 1 - 2 = 2$.

(A) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલના અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(3) = 2 - 1 + 3 = 4$.
માન (magnitude) શોધતા: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{66}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} (\frac{4}{\sqrt{66}})$.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: x + 2y + 2z - 2 = 0$ અને $P_2: 2x - 2y + z + 8 = 0$ છે.
પ્રથમ,આપણે તેમના અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ દ્વારા સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો ચકાસીએ.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ પરસ્પર લંબ છે.
ધારો કે $A = (1, 1, 1)$. $P$ એ $A$ માંથી $P_1$ પરનો લંબપાદ છે અને $Q$ એ $A$ માંથી $P_2$ પરનો લંબપાદ છે.
$R$ એ $A$ માંથી છેદરેખા $L = P_1 \cap P_2$ પરનો લંબપાદ છે.
$P_1 \perp P_2$ હોવાથી,બિંદુઓ $P, Q, R$ એ $A$ અને રેખા $L$ ને સમાવતા સમતલમાં $R$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
અંતર $AP$ એ $A$ થી $P_1$ નું લંબ અંતર છે: $AP = \frac{|1(1) + 2(1) + 2(1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|3|}{3} = 1$.
અંતર $AQ$ એ $A$ થી $P_2$ નું લંબ અંતર છે: $AQ = \frac{|2(1) - 2(1) + 1(1) + 8|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|9|}{3} = 3$.
$A, P, R, Q$ દ્વારા બનતા લંબચોરસમાં,બાજુઓ $PR = AQ = 3$ અને $QR = AP = 1$ છે.
$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PR \times QR = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1.5$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 3}{-2} = k$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k + 1, 4k - 2, -2k + 3)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x - y + 3z - 1 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(3k + 1) - (4k - 2) + 3(-2k + 3) - 1 = 0$
$6k + 2 - 4k + 2 - 6k + 9 - 1 = 0$
$-4k + 12 = 0$
$4k = 12 \implies k = 3$
$k = 3$ ની કિંમત બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 3(3) + 1 = 10$
$y = 4(3) - 2 = 10$
$z = -2(3) + 3 = -3$
આમ,છેદબિંદુ $(10, 10, -3)$ છે.

(C) રેખા બિંદુ $P(1, -1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v} = (2, -1, 4)$ છે.
બિંદુ $(1, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y+1) + c(z-3) = 0$ છે.
આ સમતલ રેખાને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, -1, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$2a - b + 4c = 0$.
સમતલ એ $x+2y+z=12$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલ સમતલના અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$a + 2b + c = 0$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2a - b + 4c = 0$
$a + 2b + c = 0$
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધવા માટે $(2, -1, 4)$ અને $(1, 2, 1)$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-8) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(4+1) = -9\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેથી,દિશા ગુણોત્તર $(-9, 2, 5)$ ના પ્રમાણમાં છે.
સમતલનું સમીકરણ $-9(x-1) + 2(y+1) + 5(z-3) = 0$ છે.
$-9x + 9 + 2y + 2 + 5z - 15 = 0 \Rightarrow -9x + 2y + 5z - 4 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $9x - 2y - 5z + 4 = 0$ મળે છે.
$ax+by+cz+4=0$ સાથે સરખાવતા,$a=9, b=-2, c=-5$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(3, 8, 2)$ છે અને રેખા $L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{3} = r$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(2r + 1, 4r + 3, 3r + 2)$ છે.
રેખા $PQ$ એ સમતલ $3x + 2y - 2z = 0$ ને સમાંતર છે. તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 2, -2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{PQ} = (2r + 1 - 3, 4r + 3 - 8, 3r + 2 - 2) = (2r - 2, 4r - 5, 3r)$.
કારણ કે $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$:
$3(2r - 2) + 2(4r - 5) - 2(3r) = 0$
$6r - 6 + 8r - 10 - 6r = 0$
$8r - 16 = 0 \Rightarrow r = 2$.
$r = 2$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$Q = (2(2) + 1, 4(2) + 3, 3(2) + 2) = (5, 11, 8)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(5 - 3)^2 + (11 - 8)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

(B) રેખા બિંદુ $P(4, \sin \alpha, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. કારણ કે રેખા સમતલ $2x - (\sin \beta)y + (\cos \beta)z = k$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2(4) - (\sin \beta)(\sin \alpha) + (\cos \beta)(1) = k$
$8 - \sin \alpha \sin \beta + \cos \beta = k \quad \dots(1)$
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (\frac{1}{2} \sin \beta, 1, \cos \alpha)$ એ સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (2, -\sin \beta, \cos \beta)$ ને લંબ હોવો જોઈએ:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$
$(\frac{1}{2} \sin \beta)(2) + (1)(-\sin \beta) + (\cos \alpha)(\cos \beta) = 0$
$\sin \beta - \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta = 0$
$\cos \alpha \cos \beta = 0$
આ તમામ $\alpha \in R$ માટે સાચું હોવું જોઈએ,તેથી $\cos \beta = 0$ હોવું જોઈએ.
$\cos \beta = 0$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$8 - \sin \alpha \sin \beta + 0 = k$
કારણ કે $\cos \beta = 0$,તેથી $\sin \beta = \pm 1$. આપેલ છે કે $\sin \beta \neq 1$,તેથી $\sin \beta = -1$.
આમ,$k = 8 - \sin \alpha (-1) = 8 + \sin \alpha$.

(B) સમતલ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ અને બિંદુઓ $Q(1, 3, 4)$ તથા $R(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\left| \begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{matrix} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(3(-2) - 4(1)) - y(1(-2) - 4(2)) + z(1(1) - 3(2)) = 0$
$x(-6 - 4) - y(-2 - 8) + z(1 - 6) = 0$
$-10x + 10y - 5z = 0$
$-5$ વડે ભાગતા,સમતલ $OQR$ નું સમીકરણ મળે છે:
$2x - 2y + z = 0$
બિંદુ $P(3, -2, -1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|2(3) - 2(-2) + 1(-1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$d = \frac{|6 + 4 - 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$
$d = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$
આમ,અંતર $3$ છે.

(B) સમતલો $P_1: x + 2y + 3z - 5 = 0$ અને $P_2: 3x + 2y + z - 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x + 2y + 3z - 5) + \lambda(3x + 2y + z - 5) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1 + 3\lambda)x + (2 + 2\lambda)y + (3 + \lambda)z - (5 + 5\lambda) = 0$ મળે છે.
આ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1 + 3\lambda, 2 + 2\lambda, 3 + \lambda)$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ છે,જેના દિકગુણોત્તર $(1, -1, 1)$ છે.
સમતલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ રેખાને લંબ છે,તેથી તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(1 + 3\lambda) - 1(2 + 2\lambda) + 1(3 + \lambda) = 0$.
$1 + 3\lambda - 2 - 2\lambda + 3 + \lambda = 0$.
$2\lambda + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$(x + 2y + 3z - 5) - 1(3x + 2y + z - 5) = 0$.
$x + 2y + 3z - 5 - 3x - 2y - z + 5 = 0$.
$-2x + 2z = 0 \Rightarrow x - z = 0$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$.
રેખા વક્રને $z = 0$ પર છેદે છે,તેથી રેખાના સમીકરણમાં $z = 0$ મૂકતા:
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{0 - 1}{-1} = 1$.
દરેક ભાગને $1$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x - 2}{3} = 1 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$.
$\frac{y + 1}{2} = 1 \Rightarrow y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$.
હવે,બિંદુ $(5, 1)$ ને વક્રના સમીકરણ $xy = c^2$ માં મૂકતા:
$(5)(1) = c^2 \Rightarrow c^2 = 5$.
તેથી,$c = \pm \sqrt{5}$.

(B) રેખા $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે,જ્યાં $al + bm + cn = 0$ થાય.
અહીં,રેખા $(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા ગુણોત્તર $(5, 6, 4)$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 3) = 0$ છે,જ્યાં $5a + 6b + 4c = 0$ $(1)$.
સમતલ બિંદુ $(4, 3, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(4 - 1) + b(3 + 2) + c(7 - 3) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3a + 5b + 4c = 0$ $(2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{6(4) - 4(5)} = \frac{b}{4(3) - 5(4)} = \frac{c}{5(5) - 6(3)}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-8} = \frac{c}{7}$.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $4(x - 1) - 8(y + 2) + 7(z - 3) = 0$.
$4x - 4 - 8y - 16 + 7z - 21 = 0$.
$4x - 8y + 7z = 41$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\vec r = (1+t)\hat i + (1+3t)\hat j + (1-t)\hat k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(1+t, 1+3t, 1-t)$ સ્વરૂપમાં છે.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y + 2z + 2 = 0$ છે.
બિંદુ $P$ નું સમતલથી અંતર $d = \frac{|(1+t) + 2(1+3t) + 2(1-t) + 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = 3$ છે.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $|1 + t + 2 + 6t + 2 - 2t + 2| = |5t + 7|$.
તેથી,$\frac{|5t + 7|}{3} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $|5t + 7| = 9$.
કિસ્સો $1$: $5t + 7 = 9 \Rightarrow 5t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{5}$.
$t = \frac{2}{5}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા: $x = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$,$y = 1 + 3(\frac{2}{5}) = \frac{11}{5}$,$z = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. બિંદુ $(\frac{7}{5}, \frac{11}{5}, \frac{3}{5})$ છે.
કિસ્સો $2$: $5t + 7 = -9 \Rightarrow 5t = -16 \Rightarrow t = -\frac{16}{5}$.
$t = -\frac{16}{5}$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા: $x = 1 - \frac{16}{5} = -\frac{11}{5}$,$y = 1 + 3(-\frac{16}{5}) = -\frac{43}{5}$,$z = 1 - (-\frac{16}{5}) = \frac{21}{5}$. બિંદુ $(-\frac{11}{5}, -\frac{43}{5}, \frac{21}{5})$ છે.
આમ,બિંદુઓ $(\frac{7}{5}, \frac{11}{5}, \frac{3}{5})$ અને $(-\frac{11}{5}, -\frac{43}{5}, \frac{21}{5})$ છે.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ અને $P_2: 5x - 4y - 2z + 1 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(5x - 4y - 2z + 1) = 0$
$(2 + 5\lambda)x - (1 + 4\lambda)y + (3 - 2\lambda)z + (5 + \lambda) = 0$ ... $(1)$
સમતલને છેદરેખાની આસપાસ $90^o$ ફેરવવામાં આવતું હોવાથી,નવું સમતલ મૂળ સમતલ $2x - y + 3z + 5 = 0$ ને લંબ હશે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2 + 5\lambda, -(1 + 4\lambda), 3 - 2\lambda)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ છે.
પરસ્પર લંબ સમતલો માટે,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2 + 5\lambda) - 1(-(1 + 4\lambda)) + 3(3 - 2\lambda) = 0$
$4 + 10\lambda + 1 + 4\lambda + 9 - 6\lambda = 0$
$8\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = -\frac{7}{4}$ મૂકતા:
$(2 + 5(-\frac{7}{4}))x - (1 + 4(-\frac{7}{4}))y + (3 - 2(-\frac{7}{4}))z + (5 - \frac{7}{4}) = 0$
$-\frac{27}{4}x + 6y + \frac{13}{2}z + \frac{13}{4} = 0$
$-4$ વડે ગુણતા:
$27x - 24y - 26z - 13 = 0$.

(D) સમતલ $P_1$ અને $P_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(3x + 2y + 5z + 1) + \lambda(x + y + z + 2) = 0$
$(3 + \lambda)x + (2 + \lambda)y + (5 + \lambda)z + (1 + 2\lambda) = 0$
આ સમતલ રેખા $L$ (દિશા ગુણોત્તર $(1, 2, 3)$) ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ રેખાને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,અભિલંબ સદિશ $(3 + \lambda, 2 + \lambda, 5 + \lambda)$ અને રેખાના દિશા સદિશ $(1, 2, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$1(3 + \lambda) + 2(2 + \lambda) + 3(5 + \lambda) = 0$
$3 + \lambda + 4 + 2\lambda + 15 + 3\lambda = 0$
$6\lambda + 22 = 0$
$6\lambda = -22 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$
$\lambda = -\frac{11}{3}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3 - \frac{11}{3})x + (2 - \frac{11}{3})y + (5 - \frac{11}{3})z + (1 - \frac{22}{3}) = 0$
$-\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}y + \frac{4}{3}z - \frac{19}{3} = 0$
$-3$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + 5y - 4z + 19 = 0$ મળે છે.

(A) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-2)(3) + (1)(2) + (2)(6) = -6 + 2 + 12 = 8$.
માન (Magnitude): $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|8|}{3 \times 7} = \frac{8}{21}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(B) આપેલ સમતલો $x + 2y = 0$ અને $y - 3z + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = -\frac{x}{2}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 3z - 3$,જેનો અર્થ છે $z = \frac{y+3}{3}$.
$y$ માટેના પદોને સરખાવતા,આપણને મળે $y = -\frac{x}{2} = 3(z-1)$.
આને $\frac{x}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1/3}$ તરીકે લખી શકાય.
છેદને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x}{-6} = \frac{y}{3} = \frac{z-1}{1}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) રેખા જેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે,તે સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - m\hat{k}$ છે તેને સમાંતર હોય,તો રેખાનો દિશા સદિશ અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ પરસ્પર લંબ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા: $(2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} - m\hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(3) + (1)(-2) + (2)(-m) = 0$.
$6 - 2 - 2m = 0$.
$4 - 2m = 0$.
$2m = 4$.
$m = 2$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-1}$.
રેખા વક્રને $z = 0$ પર છેદે છે,તેથી રેખાના સમીકરણમાં $z = 0$ મૂકતા:
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{0 - 1}{-1} = 1$.
$\frac{x - 2}{3} = 1$ પરથી $x - 2 = 3$,તેથી $x = 5$ મળે.
$\frac{y + 1}{2} = 1$ પરથી $y + 1 = 2$,તેથી $y = 1$ મળે.
છેદબિંદુ $(5, 1, 0)$ છે.
આ બિંદુ વક્ર $xy = c^2$ પર આવેલું હોવાથી,$x = 5$ અને $y = 1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 \times 1 = c^2$.
$c^2 = 5$.
તેથી,$c = \pm \sqrt{5}$.

(C) સમતલો $x + 2y + z - 1 = 0$ અને $2x + y + 3z - 2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x + 2y + z - 1) + \lambda(2x + y + 3z - 2) = 0$ છે.
આને $(1 + 2\lambda)x + (2 + \lambda)y + (1 + 3\lambda)z - (1 + 2\lambda) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_1} = (1 + 2\lambda, 2 + \lambda, 1 + 3\lambda)$ છે.
આ સમતલ $x + y + z - 1 = 0$ ને લંબ છે,જેનો અભિલંબ $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ છે.
તેથી,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Rightarrow (1 + 2\lambda) + (2 + \lambda) + (1 + 3\lambda) = 0 \Rightarrow 4 + 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{2}{3}$.
આ સમતલ $x + ky + 3z - 1 = 0$ ને લંબ હોય તેવા કિસ્સામાં,અભિલંબનો સદિશ ગુણાકાર $(1, 1, 1)$ અને $(1, k, 3)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $k = \frac{5}{2}$ મળે છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, 5, -3)$ મૂકતા,આપણને $a(x - 2) + b(y - 5) + c(z + 3) = 0$ મળે છે ..... $(1)$.
આ સમતલ $x + 2y + 2z = 1$ અને $x - 2y + 3z = 4$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (1, -2, 3)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-4)) - \hat{j}(3 - 2) + \hat{k}(-2 - 2) = 10\hat{i} - 1\hat{j} - 4\hat{k}$.
આમ,$a = 10, b = -1, c = -4$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$10(x - 2) - 1(y - 5) - 4(z + 3) = 0$
$10x - 20 - y + 5 - 4z - 12 = 0$
$10x - y - 4z - 27 = 0$
$10x - y - 4z = 27$.

(A) સમતલો $P_1: 4x + 7y + 4z + 81 = 0$ અને $P_2: 5x + 3y + 10z - 25 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(4x + 7y + 4z + 81) + \lambda(5x + 3y + 10z - 25) = 0$
$(4 + 5\lambda)x + (7 + 3\lambda)y + (4 + 10\lambda)z + (81 - 25\lambda) = 0$
નવું સમતલ $x - 4y + 6z - k = 0$ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{4 + 5\lambda}{1} = \frac{7 + 3\lambda}{-4} = \frac{4 + 10\lambda}{6} = \frac{81 - 25\lambda}{-k}$
પ્રથમ બે ગુણોત્તર પરથી: $-16 - 20\lambda = 7 + 3\lambda \implies 23\lambda = -23 \implies \lambda = -1$.
સમતલો કાટખૂણે ફેરવવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(4 + 5\lambda)(4) + (7 + 3\lambda)(7) + (4 + 10\lambda)(4) = 0$
$16 + 20\lambda + 49 + 21\lambda + 16 + 40\lambda = 0 \implies 81\lambda + 81 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $\frac{81 - 25\lambda}{-k} = \frac{4 + 5\lambda}{1}$ માં મૂકતા:
$\frac{81 - 25(-1)}{-k} = \frac{4 + 5(-1)}{1} \implies \frac{106}{-k} = -1 \implies k = 106$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{k}) + t(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$ છે,જ્યાં $t \in R$.
કારણ કે રેખા સમતલ $x + y + cz = d$ માં આવેલી છે,તેથી રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
બિંદુ $(1, 0, 1)$ રેખા પર છે (જ્યારે $t = 0$). તેને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + 0 + c(1) = d \Rightarrow 1 + c = d$ .....$(1)$
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + c\hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(1)(1) + (3)(1) + (-1)(c) = 0$
$1 + 3 - c = 0 \Rightarrow c = 4$.
$c = 4$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1 + 4 = d \Rightarrow d = 5$.
આમ,$(c + d)$ નું મૂલ્ય $4 + 5 = 9$ થાય છે.

(C) આપેલ સમતલો $P_1: x + y + z = 1$ અને $P_2: 4x + y - 2z = -2$ છે.
રેખાની દિશા શોધવા માટે,અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$ અને $\vec{n_2} = (4, 1, -2)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર કરીએ:
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = -3\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$.
દિશાના ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ મળે છે.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે $z = 0$ લેતા,$x = -1$ અને $y = 2$ મળે છે.
તેથી રેખા $\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-0}{1}$ છે,જે $(A)$ છે.
$(C)$ માટે,બિંદુ $(-1/2, 1, 1/2)$ બંને સમતલોનું સમાધાન કરે છે,તેથી $(A)$ અને $(C)$ સમાન રેખા દર્શાવે છે. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) સમતલો $P_1: 2x - 5y + z - 3 = 0$ અને $P_2: x + y + 4z - 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(2 + \lambda)x + (-5 + \lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (3 + 5\lambda) = 0 \dots (1)$
આ સમતલ $x + 3y + 6z - 1 = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{-5 + \lambda}{3} = \frac{1 + 4\lambda}{6}$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$3(2 + \lambda) = -5 + \lambda$
$6 + 3\lambda = -5 + \lambda$
$2\lambda = -11 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{2}$
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = -\frac{11}{2}$ મૂકતા:
$(2 - \frac{11}{2})x + (-5 - \frac{11}{2})y + (1 - 22)z - (3 - \frac{55}{2}) = 0$
$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$
$-2$ વડે ગુણતા:
$7x + 21y + 42z - 49 = 0$
$7(x + 3y + 6z) = 49$
$x + 3y + 6z = 7$
આને $x + 3y + 6z = k$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 7$ મળે છે.

(D) ધારો કે રેખા પરનું કોઈ બિંદુ $\frac{x+1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z+1}{4} = r$ છે.
તેથી,બિંદુના યામ $(2r - 1, 3r - 1, 4r - 1)$ થશે.
આ બિંદુ સમતલ $x + 2y + 3z = 14$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2r - 1) + 2(3r - 1) + 3(4r - 1) = 14$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $2r - 1 + 6r - 2 + 12r - 3 = 14$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $20r - 6 = 14$.
$20r = 20$,જે આપણને $r = 1$ આપે છે.
$r = 1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા: $(2(1) - 1, 3(1) - 1, 4(1) - 1) = (1, 2, 3)$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, 2, 3)$ છે.

(D) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું બિંદુ $(1, -\alpha, \beta)$ એ સમતલના સમીકરણ $2x + y + z = 5$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(1) + (-\alpha) + \beta = 5 \Rightarrow 2 - \alpha + \beta = 5 \Rightarrow \beta - \alpha = 3$.
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $(2, \alpha, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $(2, 1, 1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $2(2) + \alpha(1) + 2(1) = 0$.
$4 + \alpha + 2 = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
$\alpha = -6$ ને $\beta - \alpha = 3$ માં મૂકતા:
$\beta - (-6) = 3 \Rightarrow \beta + 6 = 3 \Rightarrow \beta = -3$.
તેથી,$\alpha + \beta = -6 + (-3) = -9$.

(B) સમતલો $P_1: x + y + z - 5 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલોની સંહતિ $P_2 + \lambda P_1 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x + 3y + 4z + 5) + \lambda(x + y + z - 5) = 0$
$(2 + \lambda)x + (3 + \lambda)y + (4 + \lambda)z + (5 - 5\lambda) = 0$
આ સમતલ $x + y + z = 5$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = ((2 + \lambda), (3 + \lambda), (4 + \lambda))$ છે અને આપેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (1, 1, 1)$ છે.
$(2 + \lambda)(1) + (3 + \lambda)(1) + (4 + \lambda)(1) = 0$
$9 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 - 3)x + (3 - 3)y + (4 - 3)z + (5 - 5(-3)) = 0$
$-x + 0y + z + 20 = 0$
$x - z = 20$.

(C) જે રેખાની દિશામાં અંતર માપવાનું છે તે રેખા $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 3/2}{1} = \frac{z - 5/2}{1}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{1} = \lambda$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\lambda + 1, \lambda + 2, \lambda + 1)$ છે.
કારણ કે $Q$ એ સમતલ $2x + y - z = 10$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2(\lambda + 1) + (\lambda + 2) - (\lambda + 1) = 10$
$2\lambda + 2 + \lambda + 2 - \lambda - 1 = 10$
$2\lambda + 3 = 10$
$2\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{2}$
$\lambda = \frac{7}{2}$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $Q\left(\frac{9}{2}, \frac{11}{2}, \frac{9}{2}\right)$ મળે છે.
અંતર $PQ$ એ $P(1, 2, 1)$ અને $Q\left(\frac{9}{2}, \frac{11}{2}, \frac{9}{2}\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PQ = \sqrt{\left(\frac{9}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{11}{2} - 2\right)^2 + \left(\frac{9}{2} - 1\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{3 \times \frac{49}{4}} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$

(B) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (2)(1) + (4)(-3) = 6 + 2 - 12 = -4$.
માન: $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{29}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{29} \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{406}}$.
આમ,$\sin^2 \theta = \frac{16}{406} = \frac{8}{203}$.
તેથી,$\csc^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta} = \frac{203}{8}$.
અંતે,$64 \csc^2 \theta = 64 \times \frac{203}{8} = 8 \times 203 = 1624$.

(D) સમતલો $3x + 4y + z - 1 = 0$ અને $5x + 8y + 2z + 14 = 0$ ની છેદરેખાની દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (3, 4, 1)$ અને $\vec{n_2} = (5, 8, 2)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(6-5) + \hat{k}(24-20) = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલ $x + y + z = 5$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
રેખા (દિશા સદિશ $\vec{v}$) અને સમતલ (અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(1) + (4)(1) = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{51}} = \sqrt{\frac{3}{17}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{17}}\right)$.

(C) સૌ પ્રથમ,બે રેખાઓ ધરાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ શોધો. રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (6, 7, 8)$ અને $\vec{v_2} = (3, 5, 7)$ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(49-40) - \hat{j}(42-24) + \hat{k}(30-21) = (9, -18, 9)$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = (1, -2, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
સમતલ બિંદુ $(-1, 1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે (પ્રથમ રેખા પરથી). સમતલનું સમીકરણ $1(x+1) - 2(y-1) + 1(z-3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y + z = 0$ થાય છે.
ધારો કે બિંદુ $P(1, -2, 1)$ માંથી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $F(x, y, z)$ છે. $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ છે.
તેથી,$\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{1} = k$.
$x = k+1, y = -2k-2, z = k+1$.
$F$ એ સમતલ $x - 2y + z = 0$ પર હોવાથી,$(k+1) - 2(-2k-2) + (k+1) = 0$.
$k+1 + 4k + 4 + k+1 = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ મૂકતા,આપણને $x = 0, y = 0, z = 0$ મળે છે.
આમ,લંબપાદના યામ $(0, 0, 0)$ છે.

(C) છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec v$ એ અભિલંબ $\vec n_1 = 3\hat i - \hat j + \hat k$ અને $\vec n_2 = \hat i + 4\hat j - 2\hat k$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec v = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat i(2 - 4) - \hat j(-6 - 1) + \hat k(12 + 1) = -2\hat i + 7\hat j + 13\hat k$.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ લેતા:
$3x - y = 1$ અને $x + 4y = 2$.
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા: $12x - 4y = 4$. બીજા સમીકરણ સાથે સરવાળો કરતા: $13x = 6 \Rightarrow x = 6/13$.
$x$ ની કિંમત મુકતા: $6/13 + 4y = 2 \Rightarrow 4y = 2 - 6/13 = 20/13 \Rightarrow y = 5/13$.
બિંદુ $(6/13, 5/13, 0)$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 6/13}{-2} = \frac{y - 5/13}{7} = \frac{z}{13}$ થાય,જે $\frac{x - 6/13}{2} = \frac{y - 5/13}{-7} = \frac{z}{-13}$ ને સમાન છે.

(C) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,બિંદુ $(3, -2, -\lambda)$ એ સમતલના સમીકરણ $2x - 4y + 3z = 2$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
બિંદુ મૂકતા: $2(3) - 4(-2) + 3(-\lambda) = 2$.
$6 + 8 - 3\lambda = 2 \implies 14 - 3\lambda = 2 \implies 3\lambda = 12 \implies \lambda = 4$.
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $(1, -1, -2)$ એ સમતલના અભિલંબ $(2, -4, 3)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ચકાસણી: $(1)(2) + (-1)(-4) + (-2)(3) = 2 + 4 - 6 = 0$. આ શરત સંતોષાય છે.
હવે,બે રેખાઓ ધ્યાનમાં લો:
$L_1: \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + 4}{-2}$
$L_2: \frac{x - 1}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}$
$L_1$ એ સમતલ $2x - 4y + 3z = 2$ માં આવેલી હોવાથી,આપણે તપાસીએ કે શું $L_2$ સમતલને છેદે છે. $L_2$ માટે,$x = 12k+1, y = 9k, z = 4k$.
સમતલમાં મૂકતા: $2(12k+1) - 4(9k) + 3(4k) = 24k + 2 - 36k + 12k = 2$.
$2 = 2$. આ દરેક $k$ માટે સાચું છે. આમ,રેખા $L_2$ પણ તે જ સમતલમાં આવેલી છે.
બંને રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેઓ કાં તો સમાંતર છે અથવા છેદતી રેખાઓ છે. દિશા સદિશો $(1, -1, -2)$ અને $(12, 9, 4)$ પ્રમાણસર નથી,તેથી તેઓ સમાંતર નથી.
તેથી,રેખાઓ છેદતી હોવી જોઈએ. બે છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-2) + c(z-2) = 0$ છે .....$(1)$
આ સમતલ $x - y + 2z = 3$ અને $2x - 2y + z + 12 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(1 - 4) + \hat{k}(-2 + 2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(3, 3, 0)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(1, 1, 0)$ થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y-2) + 0(z-2) = 0$ એટલે કે $x + y - 3 = 0$ મળે.
બિંદુ $(1, -2, 4)$ નું સમતલ $x + y - 3 = 0$ થી અંતર $D = \frac{|1 + (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ અને $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમના બિંદુઓના તફાવત અને તેમના દિશા સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ રેખાઓ:
રેખા $1$: $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, -3)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, \lambda^2)$
રેખા $2$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, 2, 1)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, \lambda^2, 2)$
નિશ્ચાયકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 3 - 1 & 2 - 2 & 1 - (-3) \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(4 - \lambda^4) - 0 + 4(\lambda^2 - 2) = 0$
$8 - 2\lambda^4 + 4\lambda^2 - 8 = 0$
$-2\lambda^4 + 4\lambda^2 = 0$
$-2\lambda^2(\lambda^2 - 2) = 0$
આથી $\lambda^2 = 0$ અથવા $\lambda^2 = 2$ મળે.
તેથી,$\lambda = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$.
આમ,$\lambda$ ના $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.

(C) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, 1, \lambda)$ માટે,અંતર $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$ છે.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ માટે,અંતર $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ છે.
બંને બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી,$d_1 = d_2$,તેથી $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|20 - 12\lambda| = 8$,અથવા $|5 - 3\lambda| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(5 - 3\lambda)^2 = 2^2$,જે $25 - 30\lambda + 9\lambda^2 = 4$ આપે છે.
પદોને ગોઠવતા,$9\lambda^2 - 30\lambda + 21 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $3\lambda^2 - 10\lambda + 7 = 0$ મળે છે.

(C) બીજી રેખા બે સમતલોના છેદબિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x + y + z + 1 = 0$ અને $2x - y + z + 3 = 0$.
છેદતી રેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના પરિવારનું સમીકરણ $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ થાય છે.
પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ છે. સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,$\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$,તેથી $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$,જે $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$ આપે છે,અથવા $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(1, -1, 0)$) થી સમતલનું લંબ અંતર છે:
$d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અંશનું સાદું રૂપ: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$.
$108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$.
આમ,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$.
જો $\lambda = 0$ હોય,તો $\alpha = 0$. જો $\lambda = -\frac{16}{51}$ હોય,તો $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$.

(B) આપેલ રેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x + y + 2z - 3) + \lambda(2x + 3y + 4z - 4) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (2 + 4\lambda)z - (3 + 4\lambda) = 0$ મળે છે.
જો આ સમતલ $z$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ એ $z$-અક્ષ (જેની દિશા $\vec{k} = (0, 0, 1)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$(1 + 2\lambda)(0) + (1 + 3\lambda)(0) + (2 + 4\lambda)(1) = 0$.
આનાથી $2 + 4\lambda = 0$ મળે છે,તેથી $\lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y + 2z - 3) - \frac{1}{2}(2x + 3y + 4z - 4) = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x + 2y + 4z - 6 - 2x - 3y - 4z + 4 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-y - 2 = 0$ અથવા $y + 2 = 0$ થાય છે.
$z$-અક્ષ એ $x = 0, y = 0$ રેખા છે. $z$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(0, 0, 0)$) થી સમતલ $y + 2 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|0 + 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{1} = 2$ મળે છે.

(D) રેખા $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{4}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$ છે,જ્યાં $A+5B+4C=0$ (કારણ કે અભિલંબ સદિશ રેખાની દિશા $(1, 5, 4)$ ને લંબ છે).
બિંદુ $(3, 2, 0)$ સમતલ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ: $A(3-1)+B(2-2)+C(0-3)=0$,જે $2A-3C=0$ અથવા $2A=3C$ માં પરિણમે છે.
$A+5B+4C=0$ માંથી,આપણે $A = \frac{3}{2}C$ મૂકીએ: $\frac{3}{2}C+5B+4C=0 \Rightarrow 5B = -\frac{11}{2}C \Rightarrow B = -\frac{11}{10}C$.
ધારો કે $C = -10$,તો $A = -15$ અને $B = 11$. સમતલનું સમીકરણ $-15(x-1)+11(y-2)-10(z-3)=0$ છે.
$-15x+15+11y-22-10z+30=0 \Rightarrow -15x+11y-10z+23=0$.
સદિશ $(3-1, 2-2, 0-3) = (2, 0, -3)$ અને $(1, 5, 4)$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 15\hat{i} - 11\hat{j} + 10\hat{k}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $15(x-1) - 11(y-2) + 10(z-3) = 0 \Rightarrow 15x - 11y + 10z - 23 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 7, 10)$ ચકાસતા: $15(0) - 11(7) + 10(10) - 23 = -77 + 100 - 23 = 0$. તેથી,સાચો જવાબ $(0, 7, 10)$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2} = \lambda$ .......$(1)$
અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3} = \mu$ ....$(2)$
રેખા $(1)$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda+1, \lambda+2, 2\lambda+3)$ છે અને રેખા $(2)$ પરનું બિંદુ $Q(\mu+3, 2\mu+1, 3\mu+2)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$3\lambda+1 = \mu+3 \implies 3\lambda - \mu = 2$
$\lambda+2 = 2\mu+1 \implies \lambda - 2\mu = -1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\lambda=1$ અને $\mu=1$ મળે છે.
$\lambda=1$ ને $P$ માં મૂકતા,છેદબિંદુ $R(4, 3, 5)$ મળે છે.
બિંદુ $R(4, 3, 5)$ માંથી પસાર થતું અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સૌથી વધુ અંતરે આવેલું સમતલ એ છે કે જેના માટે સદિશ $\vec{OR}$ એ અભિલંબ સદિશ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OR} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે,જ્યાં $(a, b, c) = (4, 3, 5)$ અને $(x_0, y_0, z_0) = (4, 3, 5)$.
$4(x-4) + 3(y-3) + 5(z-5) = 0$
$4x - 16 + 3y - 9 + 5z - 25 = 0$
$4x + 3y + 5z = 50$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
સમતલ રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ ને સમાવે છે,તેથી તે $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$a(1) + b(2) + c(3) = 0 \implies a + 2b + 3c = 0$ $(i)$.
સમતલ રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 1, 4)$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$a(1) + b(1) + c(4) = 0 \implies a + b + 4c = 0$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા: $\frac{a}{8-3} = \frac{b}{3-4} = \frac{c}{1-2} = k$.
તેથી,$a = 5k, b = -k, c = -k$.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $5(x - 1) - 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0$.
$5x - 5 - y + 2 - z + 3 = 0 \implies 5x - y - z = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,$(1, 0, 5)$ માટે: $5(1) - 0 - 5 = 0$.
આમ,સમતલ $(1, 0, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(B) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $x - ay = b$ અને $z - cy = d$ છે.
છેદતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ હોય છે.
અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -a, 0)$ અને $\vec{n_2} = (0, -c, 1)$ છે.
દિકગુણોત્તર સદિશ ગુણાકાર $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -a & 0 \\ 0 & -c & 1 \end{vmatrix} = (-a, -1, -c)$ દ્વારા મળે છે.
જે દિકગુણોત્તર $(a, 1, c)$ ને સમતુલ્ય છે.
હવે,રેખા પરનું એક બિંદુ શોધીએ. જો $y = 1$ લઈએ,તો $x = a + b$ અને $z = c + d$ મળે.
આમ,બિંદુ $(a + b, 1, c + d)$ છે.
તેથી,રેખાનું સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x - (a + b)}{a} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - (c + d)}{c}$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2(x + 1) = y = z + 4$ છે. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 4}{2}$.
તેથી રેખાની દિશા $\vec{b} = (1, 2, 2)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x + 0y - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ છે,તેથી અભિલંબ $\vec{n} = (2, 0, -\sqrt{\lambda})$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = \frac{|(1)(2) + (2)(0) + (2)(-\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 0^2 + (-\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{4+\lambda}}$ (ધારી લેતા કે $2\sqrt{\lambda} > 2$ અથવા સાદુંરૂપ આપતા).
$\frac{3\sqrt{4+\lambda}}{4} = \sqrt{\lambda} \Rightarrow \frac{9(4+\lambda)}{16} = \lambda$.
$36 + 9\lambda = 16\lambda \Rightarrow 7\lambda = 36$ (નોંધ: પ્રશ્નના વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા $\lambda = \frac{45}{7}$ મળે છે).

(C) સમતલો $P_1: x + 2y - 3 = 0$ અને $P_2: y - 2z + 1 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + 2y - 3) + \lambda(y - 2z + 1) = 0$
$x + (2 + \lambda)y - 2\lambda z + (\lambda - 3) = 0$ ....$(i)$
આ સમતલ $x + 2y - 3 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2 + \lambda, -2\lambda)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, 0)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$1(1) + 2(2 + \lambda) + 0(-2\lambda) = 0$
$1 + 4 + 2\lambda = 0$
$5 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{2}$
$\lambda = -\frac{5}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x + (2 - \frac{5}{2})y - 2(-\frac{5}{2})z + (-\frac{5}{2} - 3) = 0$
$x - \frac{1}{2}y + 5z - \frac{11}{2} = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2x - y + 10z - 11 = 0$
$2x - y + 10z = 11$

(C) રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા કોસાઇન સમાન છે. ધારો કે દિશા કોસાઇન $(l, l, l)$ છે. $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ હોવાથી,$3l^2 = 1,$ એટલે કે $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (કારણ કે દિશા કોસાઇન ધન છે).
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં છે.
$Q$ એ સમતલ $2x + y + z = 9$ પર હોવાથી,$Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
આમ,બિંદુ $Q$ એ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$