Line and Plane Questions in Gujarati

(C) રેખા યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિક્કોસાઈનો $l = m = n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $3l^2 = 1$,જે આપણને $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(r+2, r-1, r+2)$ છે.
બિંદુ $Q$ એ સમતલ $2x + y + z = 9$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \implies r = 1$.
તેથી $Q$ ના યામ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ મળે છે.
રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ એ $P(2, -1, 2)$ અને $Q(3, 0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

(B) રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ અને $d = 5$ છે.
પ્રથમ,$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ ની ગણતરી કરીને ચકાસો કે રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં.
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{||\vec{n}||}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ ની ગણતરી કરો.
$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ ની ગણતરી કરો.
આમ,$D = \frac{|-5 - 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે,જ્યાં $\vec{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ છે,જ્યાં $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ અને $d = 5$ છે.
પ્રથમ,રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે $\vec{b} \cdot \vec{n}$ શોધો:
$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું અંતર એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $(\vec{a})$ થી સમતલનું લંબ અંતર છે.
અંતર $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = \frac{|(2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) - 5|}{\sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2}}$
$D = \frac{|(2 - 10 + 3) - 5|}{\sqrt{1 + 25 + 1}}$
$D = \frac{|-5 - 5|}{\sqrt{27}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(A) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{d} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા $x$-અક્ષ (દિશા $\hat{i}$) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\cos \alpha = \frac{|\vec{d} \cdot \hat{i}|}{|\vec{d}| |\hat{i}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \alpha = \frac{|(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ રેખા બિંદુ $(4, 2, k)$ માંથી પસાર થાય છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $2x - 4y + z = 7$ પર આવેલી છે,તેથી રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
તેથી,બિંદુ $(4, 2, k)$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$

(A) બિંદુ $(3, 2, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 0) = 0 \dots (i)$ છે.
આ સમતલ રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તે રેખા પરના બિંદુ $(3, 6, 4)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $(3, 6, 4)$ મૂકતા,$A(3 - 3) + B(6 - 2) + C(4 - 0) = 0$,એટલે કે $4B + 4C = 0$,અથવા $B = -C$ મળે છે.
વળી,સમતલનો અભિલંબ રેખાની દિશા $(1, 5, 4)$ ને લંબ છે,તેથી $1A + 5B + 4C = 0 \dots (ii)$.
$B = -C$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$A + 5(-C) + 4C = 0 \implies A - C = 0 \implies A = C$ મળે છે.
ધારો કે $A = 1$,તો $C = 1$ અને $B = -1$ મળે.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા,$1(x - 3) - 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x - 3 - y + 2 + z = 0$ એટલે કે $x - y + z = 1$ થાય છે.

(A) રેખા $\vec{r} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ પરના કોઈપણ બિંદુ $Q$ ના યામ $Q(1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ છે.
આપેલ $P(3, 2, 6)$ માટે,સદિશ $\vec{PQ}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k}$
$\vec{PQ} = (-2 - 3\mu)\hat{i} + (-3 + \mu)\hat{j} + (-4 + 5\mu)\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $x - 4y + 3z = 1$ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
જો $\vec{PQ}$ સમતલને સમાંતર હોય,તો $\vec{PQ}$ એ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-2 - 3\mu)(1) + (-3 + \mu)(-4) + (-4 + 5\mu)(3) = 0$
$-2 - 3\mu + 12 - 4\mu - 12 + 15\mu = 0$
$8\mu - 2 = 0$
$8\mu = 2$
$\mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(A) ધારો કે માંગેલો ગુણોત્તર $k : 1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$(1, 0, -3)$ અને $(1, -5, 7)$ ને $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુના યામ:
$\left( \frac{k(1) + 1(1)}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(7) + 1(-3)}{k+1} \right) = \left( \frac{k+1}{k+1}, \frac{-5k}{k+1}, \frac{7k-3}{k+1} \right) = \left( 1, \frac{-5k}{k+1}, \frac{7k-3}{k+1} \right)$.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 3y + 5z = 1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1) + 3\left( \frac{-5k}{k+1} \right) + 5\left( \frac{7k-3}{k+1} \right) = 1$.
છેદ દૂર કરવા માટે $(k+1)$ વડે ગુણતા:
$2(k+1) - 15k + 5(7k-3) = 1(k+1)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2k + 2 - 15k + 35k - 15 = k + 1$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$22k - 13 = k + 1$.
$k$ માટે ઉકેલતા:
$22k - k = 1 + 13$.
$21k = 14$.
$k = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.
આમ,માંગેલો ગુણોત્તર $k : 1 = 2 : 3$ છે.

(A) સમતલોના સમીકરણો $P_1: \vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19 = 0$ અને $P_2: \vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ છે.
પ્રથમ,લંબતા તપાસો: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(4) + (2)(-3) + (2)(12) = 4 - 6 + 24 = 22 \neq 0$.
નોંધ: પ્રશ્ન $P_1$ અને $P_2$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહ વિશે પૂછે છે. સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19 + \lambda (\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3) = 0$.
$\vec{r} \cdot ((1+4\lambda)\hat{i} + (2-3\lambda)\hat{j} + (2+12\lambda)\hat{k}) = 19 - 3\lambda$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(x + y + z - 6) + \lambda (2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=1, y=1, z=1$ મૂકીએ:
$(1 + 1 + 1 - 6) + \lambda (2(1) + 3(1) + 4(1) + 5) = 0$
$(-3) + \lambda (2 + 3 + 4 + 5) = 0$
$-3 + 14\lambda = 0$
$14\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{14}$.
હવે $\lambda = \frac{3}{14}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y + z - 6) + \frac{3}{14} (2x + 3y + 4z + 5) = 0$
$14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0$
$14x + 14y + 14z - 84 + 6x + 9y + 12z + 15 = 0$
$20x + 23y + 26z - 69 = 0$.

(B) સમતલો $x + 2y + 3z - 4 = 0$ અને $2x + y - z + 5 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x + 2y + 3z - 4) + \lambda (2x + y - z + 5) = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x(1 + 2\lambda) + y(2 + \lambda) + z(3 - \lambda) + (5\lambda - 4) = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(1 + 2\lambda) + 3(2 + \lambda) + 6(3 - \lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda + 18 - 6\lambda = 0$
$7\lambda + 29 = 0$
$\lambda = -\frac{29}{7}$
$\lambda = -\frac{29}{7}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x + 2y + 3z - 4) - \frac{29}{7}(2x + y - z + 5) = 0$
$7(x + 2y + 3z - 4) - 29(2x + y - z + 5) = 0$
$7x + 14y + 21z - 28 - 58x - 29y + 29z - 145 = 0$
$-51x - 15y + 50z - 173 = 0$
$51x + 15y - 50z + 173 = 0$

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{\lambda}$ છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,એટલે કે $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$. તેથી $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3) = 1 + 4 + 3\lambda = 5 + 3\lambda$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
તેથી,$\frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$.
$3 = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2}} \implies 9(5 + \lambda^2) = (5 + 3\lambda)^2$.
$45 + 9\lambda^2 = 25 + 30\lambda + 9\lambda^2$.
$45 = 25 + 30\lambda \implies 30\lambda = 20 \implies \lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(NONE) ધારો કે રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ ના દિશા સદિશો અનુક્રમે $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$,$\vec{v_2} = (3, 4, 2)$,અને $\vec{v_3} = (4, 2, 3)$ છે.
આ બધી રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ અને $L_2$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-10, 8, -1)$ છે.
$L_1$ અને $L_3$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{v_1} \times \vec{v_3} = (1, 10, -8)$ છે.
આ બંને સમતલોને લંબ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -10 & 8 & -1 \\ 1 & 10 & -8 \end{vmatrix} = \hat{i}(-64+10) - \hat{j}(80+1) + \hat{k}(-100-8) = (-54, -81, -108)$ છે.
$-27$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(2, 3, 4)$ મળે છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમીકરણ $2x + 3y + 4z = 0$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P = (0, 7, -7)$ છે. રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખા બિંદુ $A = (-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બિંદુ $A$ ને બિંદુ $P$ સાથે જોડતો સદિશ $\vec{AP} = (0 - (-1))\hat{i} + (7 - 3)\hat{j} + (-7 - (-2))\hat{k} = 1\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AP}$ અને $\vec{b}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{AP} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & -5 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-10)) - \hat{j}(1 - 15) + \hat{k}(2 - (-12)) = 14\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $(x - x_0)a + (y - y_0)b + (z - z_0)c = 0$ છે,જ્યાં $(x_0, y_0, z_0) = (0, 7, -7)$ અને $(a, b, c) = (1, 1, 1)$.
$1(x - 0) + 1(y - 7) + 1(z + 7) = 0 \implies x + y + z = 0$.

(A) સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ ની છેદરેખા એ $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ સદિશને સમાંતર હોય છે.
અહીં $\vec{n_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકાર (cross product) શોધતા:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$
$= -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.

(C) રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ છે,જ્યાં $-3a + 2b + c = 0$ (સમીકરણ $1$).
આ સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ: $a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $a + 4b - 5c = 0$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $1$ અને $2$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતથી ઉકેલતા:
$\frac{a}{(2)(-5) - (1)(4)} = \frac{b}{(1)(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{(-3)(4) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-10 - 4} = \frac{b}{1 - 15} = \frac{c}{-12 - 2}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14}$
જેથી $\frac{a}{1} = \frac{b}{1} = \frac{c}{1}$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$.
$x + 1 + y - 3 + z + 2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે આપેલા સમતલમાં બિંદુ $P(1, 3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(x, y, z)$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(2, -1, 1)$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, -r + 3, r + 4)$ સ્વરૂપમાં મળે.
ધારો કે $M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ના યામ $\left( \frac{2r + 1 + 1}{2}, \frac{-r + 3 + 3}{2}, \frac{r + 4 + 4}{2} \right) = (r + 1, -0.5r + 3, 0.5r + 4)$ છે.
બિંદુ $M$ એ સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામ મૂકતા:
$2(r + 1) - (-0.5r + 3) + (0.5r + 4) + 3 = 0$.
$2r + 2 + 0.5r - 3 + 0.5r + 4 + 3 = 0$.
$3r + 6 = 0 \implies r = -2$.
$r = -2$ ને $Q(2r + 1, -r + 3, r + 4)$ માં મૂકતા:
$x = 2(-2) + 1 = -3$.
$y = -(-2) + 3 = 5$.
$z = -2 + 4 = 2$.
આમ,પ્રતિબિંબ બિંદુ $Q$ એ $(-3, 5, 2)$ છે.

(C) સમતલ ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4}$ ને સમાવે છે.
સમતલ રેખાને સમાવતું હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
રેખા બિંદુ $P(1, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (4, 4, -k)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 4(2) + 4(3) - k(4) = 0$.
$8 + 12 - 4k = 0 \Rightarrow 20 = 4k \Rightarrow k = 5$.

(C) ધારો કે સમતલ $x - y + z = 1$ એ બિંદુઓ $A(0, 0, 0)$ અને $B(1, -2, -5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{k(1) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(-2) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(0)}{k+1} \right) = \left( \frac{k}{k+1}, \frac{-2k}{k+1}, \frac{-5k}{k+1} \right)$.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $x - y + z = 1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{k}{k+1} - \left( \frac{-2k}{k+1} \right) + \left( \frac{-5k}{k+1} \right) = 1$.
$\frac{k + 2k - 5k}{k+1} = 1$.
$\frac{-2k}{k+1} = 1$.
$-2k = k + 1$.
$-3k = 1$.
$k = -1/3$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બહારની તરફ (external) છે. તેથી,ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(B) ધારો કે $xy$-સમતલ બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(4, 2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન બિંદુના યામ વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$\left( \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1}, \frac{2\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{1\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$ થાય.
આ બિંદુ $xy$-સમતલ પર આવેલું હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{\lambda + 3}{\lambda + 1} = 0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,$\lambda + 3 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -3$.
ગુણોત્તર $\lambda : 1 = -3 : 1$ હોવાથી,ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિભાજન બાહ્ય છે.
આમ,$xy$-સમતલ રેખાખંડનું $3 : 1$ ગુણોત્તરમાં બાહ્યવિભાજન કરે છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 + 2\lambda, 3\lambda - 1, 4\lambda)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
સમતલ રેખાને સમાવે છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, -4, -k)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \implies 3(2) - 4(3) - k(4) = 0$.
$6 - 12 - 4k = 0 \implies -6 - 4k = 0 \implies 4k = -6 \implies k = -\frac{3}{2}$.
વધુમાં,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. જો $\lambda = 0$ લઈએ,તો બિંદુ $(1, -1, 0)$ મળે.
આ બિંદુને $3x - 4y - kz = 7$ માં મૂકતા:
$3(1) - 4(-1) - k(0) = 7 \implies 3 + 4 = 7$,જે $7 = 7$ થાય છે. આ સાબિત કરે છે કે રેખા સમતલ પર આવેલી છે.

(C) ધારો કે માંગેલો ગુણોત્તર $\lambda : 1$ છે. વિભાજન બિંદુનો સ્થાન સદિશ વિભાજન સૂત્ર મુજબ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{r} = \frac{(\lambda)(3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}) + (1)(-2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})}{\lambda + 1}$
$= \left( \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1} \right)\hat{i} + \left( \frac{-5\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)\hat{j} + \left( \frac{8\lambda + 7}{\lambda + 1} \right)\hat{k}$
આ બિંદુ સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 17$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\left( \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1} \right)(1) + \left( \frac{-5\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)(-2) + \left( \frac{8\lambda + 7}{\lambda + 1} \right)(3) = 17$
$(3\lambda - 2) + 10\lambda - 8 + 24\lambda + 21 = 17(\lambda + 1)$
$37\lambda + 11 = 17\lambda + 17$
$20\lambda = 6$
$\lambda = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
આમ,માંગેલો ગુણોત્તર $3 : 10$ છે.

(C) આપેલ રેખા સદિશ $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
આપેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-1)(3) + (1)(2) + (1)(-1) = -3 + 2 - 1 = -2$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.

(C) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુનું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ થી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{અંતર }= \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $d = 9$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{અંતર }= \frac{|(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) - 9|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$.
હવે,કિંમત મૂકતા:
$\text{અંતર }= \frac{|-4 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 16}} = \frac{|-13|}{\sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{21}}$.

(A) બિંદુ $(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{-6}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-6} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2r + 1, 3r - 2, -6r + 3)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2r + 1) - (3r - 2) + (-6r + 3) = 5$.
$2r + 1 - 3r + 2 - 6r + 3 = 5$.
$-7r + 6 = 5$.
$-7r = -1$,જે આપણને $r = \frac{1}{7}$ આપે છે.
છેદબિંદુ $(2(\frac{1}{7}) + 1, 3(\frac{1}{7}) - 2, -6(\frac{1}{7}) + 3) = (\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ છે.
બિંદુ $(1, -2, 3)$ અને $(\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(\frac{9}{7} - 1)^2 + (-\frac{11}{7} + 2)^2 + (\frac{15}{7} - 3)^2}$ છે.
$= \sqrt{(\frac{2}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2 + (-\frac{6}{7})^2} = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1$.

(B) સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y - z - 5 = 0$ આપેલ છે.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખા સમતલને લંબ હોવાથી,રેખાનો દિશા સદિશ એ સમતલના અભિલંબ સદિશને સમાંતર હોય છે.
તેથી,રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (2, 3, -1)$ થશે.
રેખા બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના સમીકરણનું સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{-1}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$ મળે છે.
આથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે $z = 0$ લેતા: $3x - 6y = 15$ અને $2x + y = 5$. ઉકેલતા $x = 3, y = -1$ મળે. તેથી બિંદુ $(3, -1, 0)$ છે.
પ્રચલ સમીકરણો $x = 3 + 14t, y = -1 + 2t, z = 15t$ થાય.
વિધાન-$1$ માં $y = 1 + 2t$ આપેલ છે,જે ખોટું છે. તેથી વિધાન-$1$ ખોટું છે.

(C) પ્રથમ રેખા $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ છે,જેને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda}$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખા બિંદુ $A(1, -3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{l} = (1, -\lambda, \lambda)$ છે.
બીજી રેખા $x = \frac{t}{2}, y = 1 + t, z = 2 - t$ છે,જેને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1}$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખા બિંદુ $B(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{m} = (1/2, 1, -1)$ છે.
બે રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને બે દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{l} \times \vec{m}) = 0$.
આ નિશ્ચાયકની શરતને સમકક્ષ છે:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 0 - 1 & 1 - (-3) & 2 - 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હારને $2$ વડે ગુણતા:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(2\lambda - 2\lambda) - 4(-2 - \lambda) + 1(2 + \lambda) = 0$
$0 + 8 + 4\lambda + 2 + \lambda = 0$
$5\lambda + 10 = 0$
$5\lambda = -10$
$\lambda = -2$

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1) = (2, -3, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, -4, -5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1} = k$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = k$ મળે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+2, -k-3, -6k+1)$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ બિંદુ સમતલ $2x + y + z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(k+2) + (-k-3) + (-6k+1) = 7$.
$2k + 4 - k - 3 - 6k + 1 = 7$.
$-5k + 2 = 7$.
$-5k = 5 \implies k = -1$.
$k = -1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = -1 + 2 = 1$.
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
તેથી,છેદબિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(C) ત્રણ સમતલો એક સામાન્ય રેખામાંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ બે સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોનું કુળ ત્રીજા સમતલને સમાવે છે.
સમતલો $P_1: x - 5 = 0$,$P_2: 2x - 5ay + 3z - 2 = 0$,અને $P_3: 3bx + y - 3z = 0$ લો.
$P_1$ અને $P_2$ ના છેદમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x - 5) + \lambda(2x - 5ay + 3z - 2) = 0$
$(1 + 2\lambda)x - (5a\lambda)y + (3\lambda)z - (5 + 2\lambda) = 0$.
આ સમતલ $P_3$ જેવું જ હોવાથી,આપણે સહગુણકોની સરખામણી $3bx + y - 3z = 0$ સાથે કરીએ છીએ.
$x=5$ ને $P_2$ માં મૂકતા: $2(5) - 5ay + 3z - 2 = 0 \implies -5ay + 3z + 8 = 0$.
$P_3$ માં $x=5$ મૂકતા: $3b(5) + y - 3z = 0 \implies y - 3z = -15b$.
આ બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી સહગુણકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{-5a}{1} = \frac{3}{-3} = \frac{8}{-15b}$.
$\frac{3}{-3} = -1$ હોવાથી,
$-5a = -1 \implies a = \frac{1}{5}$.
અને $\frac{8}{-15b} = -1 \implies 8 = 15b \implies b = \frac{8}{15}$ (ચિહ્ન તપાસતા: $y-3z = -15b$ અને $-5ay+3z = -8$,સરવાળો કરતા $(1-5a)y = -8-15b$,તેથી $a=1/5$ અને $b=-8/15$).
આમ,$(a, b) = (1/5, -8/15)$.

(B) ધારો કે $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2} = k$.
તેથી,આપણને $x = k$,$y = 2k$,અને $z = 2k$ મળે છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k, 2k, 2k)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + y + z = 6$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(k) + (2k) + (2k) = 6$.
$6k = 6$.
$k = 1$.
$k = 1$ ને $(k, 2k, 2k)$ માં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $(1, 2, 2)$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ એ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1}, \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right)$.
આ બિંદુ $P$ એ સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$a\left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1} \right) + b\left( \frac{ky_2 + y_1}{k+1} \right) + c\left( \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right) + d = 0$.
$(k+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$a(kx_2 + x_1) + b(ky_2 + y_1) + c(kz_2 + z_1) + d(k+1) = 0$.
$k$ માટે પદો ગોઠવતા:
$k(ax_2 + by_2 + cz_2 + d) + (ax_1 + by_1 + cz_1 + d) = 0$.
$k(ax_2 + by_2 + cz_2 + d) = -(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)$.
$k = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d}$.
આમ,સમતલ રેખાખંડનું $-\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d} : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(D) ધારો કે રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3} = r$ છે.
તેથી,રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $x = r$,$y = 2r + 1$,અને $z = 3r - 2$ દ્વારા મળે છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 3y + z = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(r) + 3(2r + 1) + (3r - 2) = 0$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$2r + 6r + 3 + 3r - 2 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$11r + 1 = 0$,જે આપણને $r = -\frac{1}{11}$ આપે છે.
હવે,$r = -\frac{1}{11}$ ની કિંમત $x, y, z$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = -\frac{1}{11}$,
$y = 2(-\frac{1}{11}) + 1 = -\frac{2}{11} + \frac{11}{11} = \frac{9}{11}$,
$z = 3(-\frac{1}{11}) - 2 = -\frac{3}{11} - \frac{22}{11} = -\frac{25}{11}$.
આમ,છેદબિંદુ $\left( -\frac{1}{11}, \frac{9}{11}, -\frac{25}{11} \right)$ છે.

(D) ધારો કે સમતલ $x - 2y = 0$ માં બિંદુ $P(-1, 3, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $P'(\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
$P$ અને $P'$ માંથી પસાર થતી રેખા સમતલ $x - 2y = 0$ ને લંબ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -2, 0)$ છે.
બિંદુ $P(-1, 3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, -2, 0)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = k$ છે.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k - 1, -2k + 3, 4)$ છે.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{\alpha - 1}{2}, \frac{\beta + 3}{2}, \frac{\gamma + 4}{2})$ છે.
$M$ એ સમતલ $x - 2y = 0$ પર હોવાથી,$\frac{\alpha - 1}{2} - 2(\frac{\beta + 3}{2}) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha - 1 - 2\beta - 6 = 0$ અથવા $\alpha - 2\beta = 7$ થાય છે.
વળી,રેખા $PP'$ સમતલને લંબ હોવાથી,$PP'$ ના દિકગુણોત્તર સમતલના અભિલંબના પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{\alpha - (-1)}{1} = \frac{\beta - 3}{-2} = \frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$.
$\frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$ પરથી,આપણને $\gamma = 4$ મળે છે.
$\alpha + 1 = \lambda$ અને $\beta - 3 = -2\lambda$ પરથી,$\alpha = \lambda - 1$ અને $\beta = -2\lambda + 3$ મળે છે.
$\alpha - 2\beta = 7$ માં કિંમત મૂકતા: $(\lambda - 1) - 2(-2\lambda + 3) = 7 \Rightarrow \lambda - 1 + 4\lambda - 6 = 7 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.
તેથી $\alpha = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$ અને $\beta = -2(\frac{14}{5}) + 3 = -\frac{28}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{13}{5}$.
પ્રતિબિંબ $(\frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4)$ છે. જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $L$ ના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ છે.
રેખા $L$ બંને સમતલોમાં આવેલી હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $(1, -1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
દિકકોસાઇન $(\ell, m, n)$ એ સદિશ $(1, -1, 1)$ ને પ્રમાણિત કરીને મળે છે:
માન $= \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આમ,$\ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ માટે $\cos \alpha = \ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(A) રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ એ સમતલ $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ માં આવેલી છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(1, 3, -\alpha)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(3, -5, 2)$ ને લંબ હોય.
તેથી,$1(3) + 3(-5) + (-\alpha)(2) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0$.
$-12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
હવે,સમતલનું સમીકરણ $x + 3y + 6z + \beta = 0$ થાય.
રેખા સમતલમાં હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે. બિંદુ $(2, 1, -2)$ રેખા પર છે.
સમતલના સમીકરણમાં $(2, 1, -2)$ મૂકતા: $2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$.
$-7 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ છે. રેખાની દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ છે.
સમતલ $x + 2y + 3z = 4$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, 3)$ છે.
ધારો કે રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
હવે,$\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 9\lambda^2 + 30\lambda = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ અનુક્રમે $\lambda$ અને $\mu$ પ્રાચલ દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda \implies x=2\lambda+1, y=3\lambda-1, z=4\lambda+1$
$\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu \implies x=\mu+3, y=2\mu+k, z=\mu$
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો બંને માટે એક સામાન્ય બિંદુ હોવું જોઈએ,તેથી:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2 \quad (i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1 \quad (ii)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1 \quad (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2
\implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1
\implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1
\implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$

(C) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ અને $\frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય,એટલે કે $[(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1), (l_1, m_1, n_1), (l_2, m_2, n_2)] = 0$.
આપેલ બિંદુઓ $P_1(2, 3, 4)$ અને $P_2(1, 4, 5)$ છે. સદિશ $\vec{P_1P_2} = (1-2, 4-3, 5-4) = (-1, 1, 1)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, 1, -k)$ અને $\vec{v_2} = (k, 2, 1)$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\left| \begin{matrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
$\left| \begin{matrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k = -3$. તેથી $k$ ની બરાબર બે કિંમતો મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-5} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3k + 1, k + 3, -5k + 4)$ છે.
રેખા $L_1$ અને સમતલ $2x - y + z + 3 = 0$ ના છેદબિંદુ $B$ શોધવા માટે,$P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3k + 1) - (k + 3) + (-5k + 4) + 3 = 0$
$6k + 2 - k - 3 - 5k + 4 + 3 = 0$
$6 = 0$,જે અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખા સમતલને સમાંતર છે.
ધારો કે $A(1, 3, 4)$ એ રેખા પરનું એક બિંદુ છે. સમતલમાં $A$ નું પ્રતિબિંબ $A'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 3 + 4 + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
તેથી,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$,$y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5$,$z - 4 = -2 \Rightarrow z = 2$. આમ,$A'(-3, 5, 2)$.
પ્રતિબિંબ રેખા $A'(-3, 5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને મૂળ રેખાને સમાંતર છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર $(3, 1, -5)$ છે.
પ્રતિબિંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{-5}$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = \lambda$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ સ્વરૂપમાં મળે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 16$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$
$11\lambda + 5 = 16$
$11\lambda = 11$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને યામોમાં મૂકતા,છેદબિંદુ મળે:
$x = 3(1) + 2 = 5$
$y = 4(1) - 1 = 3$
$z = 12(1) + 2 = 14$
તેથી,છેદબિંદુ $(5, 3, 14)$ છે.
હવે,બિંદુ $(1, 0, 2)$ અને $(5, 3, 14)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (14 - 2)^2}$
$d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$
$d = \sqrt{16 + 9 + 144}$
$d = \sqrt{169} = 13$.
આમ,અંતર $13$ એકમ છે.

(D) સમતલો $2x - 5y + z - 3 = 0$ અને $x + y + 4z - 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ:
$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(2 + \lambda)x + (\lambda - 5)y + (4\lambda + 1)z - (3 + 5\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ $x + 3y + 6z = 1$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હશે:
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3} = \frac{4\lambda + 1}{6} = k$
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3}$ લેતા,$6 + 3\lambda = \lambda - 5 \implies 2\lambda = -11 \implies \lambda = -\frac{11}{2}$.
$\lambda = -\frac{11}{2}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(2 - \frac{11}{2})x + (-\frac{11}{2} - 5)y + (4(-\frac{11}{2}) + 1)z - (3 + 5(-\frac{11}{2})) = 0$
$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$
$-\frac{2}{7}$ વડે ગુણતા:
$x + 3y + 6z - 7 = 0 \implies x + 3y + 6z = 7$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+4}{3}$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, -1, 3)$ છે અને રેખા પરનું બિંદુ $P(3, -2, -4)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $lx + my - z = 9$ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (l, m, -1)$ છે.
રેખા સમતલમાં હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવો જોઈએ. તેથી,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$:
$2l - m - 3 = 0 \Rightarrow 2l - m = 3$ ....$(1)$
વળી,બિંદુ $P(3, -2, -4)$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ:
$l(3) + m(-2) - (-4) = 9$
$3l - 2m + 4 = 9$
$3l - 2m = 5$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$(1)$ પરથી,$m = 2l - 3$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$3l - 2(2l - 3) = 5$
$3l - 4l + 6 = 5$
$-l = -1 \Rightarrow l = 1$
$l = 1$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$m = 2(1) - 3 = -1$
તેથી,$l^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.

(D) બિંદુ $(1, -5, 9)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $x = y = z$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$
$\lambda + 15 = 5$
$\lambda = -10$.
$\lambda = -10$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P = (-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$.
બિંદુઓ $(1, -5, 9)$ અને $(-9, -15, -1)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2}$
$d = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

(C) બિંદુ $P(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $F$ ને $(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
કારણ કે $F$ એ સમતલ $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે $F$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$
$2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$
$-6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $F$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $F(2, 2, 8)$ મળે છે.
$F$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,અંતર $PQ = 2PF$ થાય.
અંતર $PF = \sqrt{(2-1)^2 + (2-(-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$.
તેથી,$PQ = 2PF = 2\sqrt{42}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ ને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 3) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(-1 + 4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $5(x - 1) + 7(y + 1) + 3(z + 1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 3, -7)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{83}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$.

(A) પ્રથમ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$(2x - 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z + 1) = 0$
$x(\lambda + 2) - y(\lambda + 2) + z(\lambda + 3) + (\lambda - 2) = 0 \quad \dots(1)$
આ સમતલ ${L_2}$ ને સમાવે છે,તેથી:
$\begin{vmatrix} \lambda + 2 & -(\lambda + 2) & \lambda + 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(\lambda + 2) + 5(\lambda + 2) - 7(\lambda + 3) = 0$
$8\lambda + 16 - 7\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = 5$ મૂકતા:
$7x - 7y + 8z + 3 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલનું લંબ અંતર:
$d = \frac{|3|}{\sqrt{7^2 + (-7)^2 + 8^2}} = \frac{3}{\sqrt{162}} = \frac{3}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, -1, 3)$ અને $B(5, -1, 4)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{AB} = (5-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $x + y + z = 7$ નો અભિલંબ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.
અભિલંબ $\vec{n}$ પર $\overrightarrow{AB}$ નો પ્રક્ષેપ $d = |\overrightarrow{AB} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i} + \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}}| = \frac{1+0+1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
સમતલ પર રેખાખંડ $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 - d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2$ છે.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $= \sqrt{2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{6-4}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.

(C) રેખા જેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1, 2, 2)$ છે અને સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$.
$3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.