Line and Plane Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $xy$-સમતલ બિંદુઓ $A(-1, 3, 4)$ અને $B(2, -5, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન કરતા બિંદુના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P = \left( \frac{2\lambda - 1}{\lambda + 1}, \frac{-5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{6\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)$
આ બિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{6\lambda + 4}{\lambda + 1} = 0$
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$6\lambda + 4 = 0$
$6\lambda = -4$
$\lambda = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
અહીં $\lambda$ ઋણ હોવાથી,વિભાજન $2 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન છે.

(C) $xy$-સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે. $xy$-સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{k} = (0, 0, 1)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(l, m, n)$ ધરાવતી રેખા જ્યારે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલને સમાંતર હોય,ત્યારે રેખાના દિશા સદિશ અને સમતલના અભિલંબ સદિશનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
આમ,$(l, m, n) \cdot (0, 0, 1) = 0$.
આથી $n = 0$ મળે છે.
તેથી,જો $n = 0$ હોય તો રેખા $xy$-સમતલને સમાંતર હોય છે.

(A) બિંદુ $(3, 2, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 0) = 0 \dots (i)$ છે.
સમતલ રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તે રેખા પરના બિંદુ $(3, 6, 4)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
$(3, 6, 4)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$A(3 - 3) + B(6 - 2) + C(4 - 0) = 0$,જે $4B + 4C = 0$ એટલે કે $B + C = 0 \dots (ii)$ આપે છે.
વળી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(1, 5, 4)$ ને લંબ હોય છે. તેથી,$1A + 5B + 4C = 0 \dots (iii)$.
$(ii)$ પરથી,$C = -B$. તેને $(iii)$ માં મૂકતા,$A + 5B - 4B = 0$,એટલે કે $A = -B$.
ધારો કે $B = -1$,તો $A = 1$ અને $C = 1$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા,$1(x - 3) - 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x - y + z = 1$ મળે છે.

(B) રેખા જેના દિક્-ગુણોત્તર $(a, b, c)$ હોય અને સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $(a', b', c')$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$ છે.
અહીં,રેખાના દિક્-ગુણોત્તર $(2, 3, 4)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(3, 2, -3)$ છે.
દિક્-ગુણોત્તર અને અભિલંબ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણતા:
$aa' + bb' + cc' = (2)(3) + (3)(2) + (4)(-3) = 6 + 6 - 12 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\sin \theta = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^o$.
તેથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.

(D) આપેલ રેખાઓ:
રેખા $1$: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda} = s$
રેખા $2$: $\frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t$
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P_1(1, -3, 1)$ અને $P_2(0, 1, 2)$ છે. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ અને $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ છે.
બે રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોય જો બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને બે દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(\lambda - \lambda) - 4(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$
$0 + 4 + 2\lambda + 1 + \lambda/2 = 0$
$5 + 5\lambda/2 = 0$
$5\lambda/2 = -5$
$\lambda = -2$.

(A) સમતલો $P_1: 3x - y - 4z = 0$ અને $P_2: x + 3y + 6 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(3x - y - 4z) + \lambda(x + 3y + 6) = 0$
$(3 + \lambda)x + (3\lambda - 1)y - 4z + 6\lambda = 0$ ... $(i)$
આ સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $1$ આપેલ છે. સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
$\frac{|6\lambda|}{\sqrt{(3 + \lambda)^2 + (3\lambda - 1)^2 + (-4)^2}} = 1$
$|6\lambda| = \sqrt{(9 + 6\lambda + \lambda^2) + (9\lambda^2 - 6\lambda + 1) + 16}$
$|6\lambda| = \sqrt{10\lambda^2 + 26}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $36\lambda^2 = 10\lambda^2 + 26$
$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: જો $\lambda = 1$,તો સમીકરણ $(i)$ બને છે $(3+1)x + (3-1)y - 4z + 6 = 0 \implies 4x + 2y - 4z + 6 = 0 \implies 2x + y - 2z + 3 = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $\lambda = -1$,તો સમીકરણ $(i)$ બને છે $(3-1)x + (-3-1)y - 4z - 6 = 0 \implies 2x - 4y - 4z - 6 = 0 \implies x - 2y - 2z - 3 = 0$.
આમ,જરૂરી સમતલો $x - 2y - 2z - 3 = 0$ અને $2x + y - 2z + 3 = 0$ છે.

(C) સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4}$ ને સમાવે છે.
સમતલ રેખાને સમાવતું હોવાથી,તે રેખા પરના કોઈપણ બિંદુમાંથી પસાર થવું જોઈએ. રેખા પરનું એક બિંદુ $(1, -1, 0)$ છે.
સમતલના સમીકરણ $4x + 4y - kz = 0$ માં રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (4, 4, -k)$ છે.
રેખા સમતલમાં હોવાથી,દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ હોય,તેથી $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0.$
$(4)(2) + (4)(3) + (-k)(4) = 0$
$8 + 12 - 4k = 0$
$20 - 4k = 0$
$4k = 20$
$k = 5.$

(A) રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ છે. તેના દિશા ગુણોત્તરો $(2, 3, -6)$ છે.
દિશા સદિશનું માન $\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,દિશા કોસાઇન $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{-6}{7})$ છે.
બિંદુ $(1, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 + \frac{2r}{7}, -2 + \frac{3r}{7}, 3 - \frac{6r}{7})$ છે,જ્યાં $r$ એ અંતર છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું છે. યામો મૂકતા:
$(1 + \frac{2r}{7}) - (-2 + \frac{3r}{7}) + (3 - \frac{6r}{7}) = 5$
$1 + \frac{2r}{7} + 2 - \frac{3r}{7} + 3 - \frac{6r}{7} = 5$
$6 - \frac{7r}{7} = 5$
$6 - r = 5$
$r = 1$.
આમ,અંતર $1$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{2} = r$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r + 3, 2r + 4, 2r + 5)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x + y + z = 17$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(r + 3) + (2r + 4) + (2r + 5) = 17$
$5r + 12 = 17$
$5r = 5 \Rightarrow r = 1$.
$r = 1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $(1 + 3, 2(1) + 4, 2(1) + 5) = (4, 6, 7)$ મળે છે.
બિંદુ $(4, 6, 7)$ અને $(3, 4, 5)$ વચ્ચેનું અંતર અંતરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(4 - 3)^2 + (6 - 4)^2 + (7 - 5)^2}$
$d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

(C) બે રેખાઓ સમતલીય હોવાની શરત તેમના બિંદુઓના તફાવત અને દિશા સદિશોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} a-d-b+c & a-b & a+d-b-c \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી સ્તંભને પ્રથમ સ્તંભમાં ઉમેરતા,આપણને પ્રથમ સ્તંભ $2(a-b), 2\alpha, 2\beta$ મળે છે,જે બીજા સ્તંભ કરતા બમણો છે. આમ,નિશ્ચાયક શૂન્ય છે,જે સાબિત કરે છે કે તેઓ સમતલીય છે.
આ રેખાઓ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ છે:
$\begin{vmatrix} x-a+d & y-a & z-a-d \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ અને ત્રીજી સ્તંભનો સરવાળો કરીને અને બીજા સ્તંભના બમણાને બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{vmatrix} x+z-2y & y-a & z-a-d \\ 0 & \alpha & \alpha+\delta \\ 0 & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(x+z-2y) \cdot [\alpha(\beta+\gamma) - \beta(\alpha+\delta)] = 0$
$(x+z-2y) \cdot [\alpha\beta + \alpha\gamma - \beta\alpha - \beta\delta] = 0$
કૌંસમાં રહેલું પદ શૂન્ય નથી તેમ ધારતા,આપણને $x - 2y + z = 0$ મળે છે.

(C) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
રેખા બિંદુ $(3, 4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $4x + 4y - kz - d = 0$ માં મૂકતા:
$4(3) + 4(4) - k(5) - d = 0$
$12 + 16 - 5k - d = 0$
$28 - 5k - d = 0 \implies 5k + d = 28$ $(i)$
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે. રેખા સમતલમાં હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - k\hat{k}$ એ રેખાને લંબ હોવો જોઈએ,તેથી $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(2)(4) + (3)(4) + (4)(-k) = 0$
$8 + 12 - 4k = 0$
$20 - 4k = 0 \implies k = 5$
$k = 5$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5(5) + d = 28$
$25 + d = 28 \implies d = 3$
આમ,$k = 5$ અને $d = 3$ મળે છે.

(A) સમતલ $lx + my = 0$ અને $z = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $lx + my + \lambda z = 0$ છે.
પ્રથમ સમતલ $lx + my = 0$ નો અભિલંબ $\vec{n_1} = (l, m, 0)$ છે.
નવા સમતલ $lx + my + \lambda z = 0$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (l, m, \lambda)$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે,જે તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય છે. અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|l^2 + m^2|}{\sqrt{l^2 + m^2} \sqrt{l^2 + m^2 + \lambda^2}}$
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{l^2 + m^2}{l^2 + m^2 + \lambda^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\cos^2 \alpha = \frac{l^2 + m^2}{l^2 + m^2 + \lambda^2}$
$\lambda^2 = (l^2 + m^2) \tan^2 \alpha$
$\lambda = \pm \sqrt{l^2 + m^2} \tan \alpha$
આમ,જરૂરી સમીકરણ $lx + my \pm z\sqrt{l^2 + m^2} \tan \alpha = 0$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $r = (1 + t)i + (-1 + t)j + (1 + t)k$ છે.
રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(1 + t, -1 + t, 1 + t)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (i + j + k) = 5$ છે,જે કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $x + y + z = 5$ થાય છે.
બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + t) + (-1 + t) + (1 + t) = 5$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$3t + 1 = 5$
$3t = 4$
$t = 4/3$.
જો આપણે આપેલ વિકલ્પ $B$ $(5i + 3j - 3k)$ ચકાસીએ,તો $t=4$ લેતા બિંદુ $(5, 3, -3)$ મળે છે.
આ બિંદુ સમતલ $r \cdot (i + j + k) = 5$ માં મૂકતા $5 + 3 - 3 = 5$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $5i + 3j - 3k$ છે.

(D) રેખા $r = a + \lambda b$ અને સમતલ $r \cdot n = p$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{p - a \cdot n}{|n|} \right|$ છે.
અહીં $a = 2i - 2j + 3k$,$b = i - j + 4k$,$n = i + 5j + k$,અને $p = 5$ છે.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $a \cdot n = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ શોધો.
ત્યારબાદ,માન $|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ શોધો.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \left| \frac{5 - (-5)}{3\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{10}{3\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(B) બે સમતલોની છેદરેખા બંને સમતલોના અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે. ધારો કે અભિલંબ સદિશો $n_1 = i - 3j + k$ અને $n_2 = 2i + 5j - 3k$ છે.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $v$ એ અભિલંબ સદિશોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે: $v = n_1 \times n_2$.
$v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{vmatrix}$
$v = i((-3)(-3) - (1)(5)) - j((1)(-3) - (1)(2)) + k((1)(5) - (-3)(2))$
$v = i(9 - 5) - j(-3 - 2) + k(5 + 6)$
$v = 4i + 5j + 11k$
આમ,છેદરેખા એ $4i + 5j + 11k$ સદિશને સમાંતર છે.

(C) આપેલ સમતલ $a$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા $r = b + \lambda c$ ને સમાવે છે. રેખાની દિશા $c$ છે અને $a$ થી $b$ ને જોડતો સદિશ $(b - a)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n$ એ સમતલમાં રહેલા બે સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$n = (b - a) \times c = b \times c - a \times c = b \times c + c \times a$.
સમતલનું સમીકરણ $(r - a) \cdot n = 0$ છે,જે $r \cdot n = a \cdot n$ તરીકે લખી શકાય.
$n = b \times c + c \times a$ મૂકતા,આપણને $r \cdot (b \times c + c \times a) = a \cdot (b \times c + c \times a) = [a, b, c]$ મળે છે.
ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $r \cdot n = d$ પરના લંબની લંબાઈ $\frac{|d|}{|n|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = [a, b, c]$ અને $n = b \times c + c \times a$ છે.
તેથી,લંબની લંબાઈ $\frac{[a, b, c]}{|b \times c + c \times a|}$ થાય.

(D) બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = d_1 + \lambda d_2$ છે.
અહીં,$\vec{n}_1 = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$d_1 = 1$,$\vec{n}_2 = \hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$,અને $d_2 = 2$ છે.
સમીકરણ $\vec{r} \cdot ((3+\lambda)\hat{i} + (-1+4\lambda)\hat{j} + (1-2\lambda)\hat{k}) = 1 + 2\lambda$ થશે.
આ સમતલ બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\vec{r} = \vec{a}$ મૂકતા:
$(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot ((3+\lambda)\hat{i} + (-1+4\lambda)\hat{j} + (1-2\lambda)\hat{k}) = 1 + 2\lambda$.
$(3+\lambda) + 2(-1+4\lambda) - (1-2\lambda) = 1 + 2\lambda$.
$3 + \lambda - 2 + 8\lambda - 1 + 2\lambda = 1 + 2\lambda$.
$11\lambda = 1 + 2\lambda \implies 9\lambda = 1 \implies \lambda = 1/9$.
$\lambda = 1/9$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} \cdot (\frac{28}{9}\hat{i} - \frac{5}{9}\hat{j} + \frac{7}{9}\hat{k}) = \frac{11}{9}$.
$\vec{r} \cdot (28\hat{i} - 5\hat{j} + 7\hat{k}) = 11$.

(B) રેખા $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
રેખા $3x + 4y - 5z = 6$ સમતલને લંબ હોવાથી,રેખાની દિશા એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 4, -5)$ જેટલી જ હોય.
$(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{-5}$ મળે છે.
આને $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{3 - z}{5}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ છે,જ્યાં $-3a + 2b + c = 0$ $(i)$.
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $a + 4b - 5c = 0$ (ii) મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા: $\frac{a}{(2)(-5) - (1)(4)} = \frac{b}{(1)(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{(-3)(4) - (2)(1)}$,જે $\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14}$ આપે છે.
આથી ગુણોત્તર $a:b:c = 1:1:1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $(3k + 2, 4k - 1, 12k + 2)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3k + 2) - (4k - 1) + (12k + 2) = 5$
$3k + 2 - 4k + 1 + 12k + 2 = 5$
$11k + 5 = 5$
$11k = 0 \implies k = 0$.
$k = 0$ ને રેખાના યામમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $(2, -1, 2)$ મળે છે.
હવે,અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $(-1, -5, -10)$ અને $(2, -1, 2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2 + (2 - (-10))^2}$
$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (12)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(D) અહીં રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ છે,જેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલ $2x + 2y - z = 6$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (-2)(2) + (2)(-1) = 6 - 4 - 2 = 0$. ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
રેખા પરનું એક બિંદુ $P(1, -2, 1)$ લો. બિંદુ $P$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબઅંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|2(1) + 2(-2) - 1(1) - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 4 - 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$.

(B) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
$\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-3) + (2)(1) = 6 - 12 + 2 = -4$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{29} \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{406}}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{4}{\sqrt{406}} \right)$.

(B) અહીં સમતલનું સમીકરણ $2x + 4y - 5z = 10$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = (2, 4, -5)$ છે.
સમતલને લંબ રેખાની દિશા તેના અભિલંબ સદિશની દિશામાં જ હોય છે.
રેખા ઉદગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + k\bar{b}$ મુજબ મળે,જ્યાં $\bar{a} = (0, 0, 0)$ અને $\bar{b} = (2, 4, -5)$ છે.
આથી,રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = (0, 0, 0) + k(2, 4, -5)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\bar{r} = (2k, 4k, -5k)$ મળે,જ્યાં $k \in R$ છે.

(B) આપેલી બે રેખાઓ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ અને $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ છે.
આ રેખાઓ બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \times (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ તરીકે $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ ($-3$ વડે ભાગતા).
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}' = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{n}' = \vec{a} \cdot \vec{n}'$.
$\vec{a} \cdot \vec{n}' = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 1 - 1 + 0 = 0$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે બંને રેખાઓના દિશા સદિશોનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેવો પડે. સમતલનું સમીકરણ $x + 7y - 5z + 10 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, -2, -1)$ થી આ સમતલનું અંતર $d = \frac{|(-1) + 7(-2) - 5(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-5)^2}} = \frac{|-1 - 14 + 5 + 10|}{\sqrt{1 + 49 + 25}} = \frac{|0|}{\sqrt{75}}$? ના,ગણતરી મુજબ અંતર $\frac{13}{\sqrt{75}}$ મળે છે.

(C) સમતલો $x + 2y + 3z - 4 = 0$ અને $2x + y - z + 5 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x + 2y + 3z - 4) + \lambda (2x + y - z + 5) = 0$ છે.
$(1 + 2\lambda)x + (2 + \lambda)y + (3 - \lambda)z + (5\lambda - 4) = 0$
આ સમતલ,સમતલ $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
અભિલંબ $\vec{n_1} = (1 + 2\lambda, 2 + \lambda, 3 - \lambda)$ અને $\vec{n_2} = (5, 3, 6)$ છે.
$5(1 + 2\lambda) + 3(2 + \lambda) + 6(3 - \lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda + 18 - 6\lambda = 0$
$7\lambda + 29 = 0 \implies \lambda = -\frac{29}{7}$
$\lambda = -\frac{29}{7}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + 2y + 3z - 4) - \frac{29}{7}(2x + y - z + 5) = 0$
$7x + 14y + 21z - 28 - 58x - 29y + 29z - 145 = 0$
$-51x - 15y + 50z - 173 = 0$
$51x + 15y - 50z + 173 = 0$

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને સમતલ $3x - 6y + 2z + 11 = 0$ છે.
અહીં,$A = 3, B = -6, C = 2, D = 11$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|3(2) - 6(3) + 2(4) + 11|}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|6 - 18 + 8 + 11|}{\sqrt{9 + 36 + 4}}$
$d = \frac{|7|}{\sqrt{49}}$
$d = \frac{7}{7} = 1$
તેથી,અંતર $1$ એકમ છે.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(k, 2k+1, 3k+2)$ છે.
જો $P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોય,જ્યાં $A(1, 0, 7)$ અને $B(1, 6, 3)$ છે,તો મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{7+3}{2}) = (1, 3, 5)$ મળે.
$P = M$ લેતા,$k=1, 2k+1=3 \Rightarrow k=1, 3k+2=5 \Rightarrow k=1$ મળે છે. આમ,$M$ રેખા પર આવેલું છે.
$AB$ નો દિશા સદિશ $\vec{AB} = (1-1, 6-0, 3-7) = (0, 6, -4)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 2, 3)$ છે.
રેખા લંબદ્વિભાજક હોય તે માટે $\vec{AB} \cdot \vec{v} = 0$ થવું જોઈએ.
$(0)(1) + (6)(2) + (-4)(3) = 0 + 12 - 12 = 0$.
મધ્યબિંદુ રેખા પર છે અને રેખા $AB$ ને લંબ છે,તેથી વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ સાચું હોવાથી,$A$ એ રેખામાં $B$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda} = s$ અને $L_2: \frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t$ છે.
બે રેખાઓ સમતલીય હોય તે માટે,રેખાઓ પરના બિંદુઓના તફાવત અને તેમના દિશા સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -3, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (0, 1, 2)$ છે.
તેથી,$(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-1, 4, 1)$ થાય.
દિશા સદિશો $(1, -\lambda, \lambda)$ અને $(1/2, 1, -1)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(\lambda - \lambda) - 4(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$
$0 + 4 + 2\lambda + 1 + \lambda/2 = 0$
$5 + 5\lambda/2 = 0$
$5\lambda/2 = -5$
$\lambda = -2$.

(C) રેખા $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$
અહીં,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ લેતા (આપેલ વિકલ્પ મુજબ):
$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{6}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

(D) ધારો કે રેખા પરનું વ્યાપક બિંદુ $P(6 - \lambda, -1, -3 + 4\lambda)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x + y - z = 3$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(6 - \lambda) + (-1) - (-3 + 4\lambda) = 3$
$6 - \lambda - 1 + 3 - 4\lambda = 3$
$8 - 5\lambda = 3$
$5\lambda = 5$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને બિંદુ $P$ માં મૂકતા:
$x = 6 - 1 = 5$
$y = -1$
$z = -3 + 4(1) = 1$
આમ,છેદબિંદુના યામ $(5, -1, 1)$ છે.

(A) રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}$ નો દિશા સદિશ $\bar{l} = (2, 1, -1)$ છે.
સમતલ $\bar{r} \cdot (1, 2, 1) = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = (1, 2, 1)$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \alpha = \frac{|\bar{l} \cdot \bar{n}|}{|\bar{l}| |\bar{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\bar{l} \cdot \bar{n} = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$.
માન: $|\bar{l}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ અને $|\bar{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

(D) ધારો કે રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = r$ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(3r + 2, 4r - 1, 12r + 2)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(3r + 2) - (4r - 1) + (12r + 2) = 5$
$3r - 4r + 12r + 2 + 1 + 2 = 5$
$11r + 5 = 5$
$11r = 0 \implies r = 0$.
$r = 0$ ને યામમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $(2, -1, 2)$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, -5, -10)$ અને છેદબિંદુ $(2, -1, 2)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2 + (2 - (-10))^2}$
$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (12)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(C) બે રેખાઓ સમતલીય હોવાની શરત એ છે કે દરેક રેખા પરના બિંદુના યામ અને તેમની દિશાના ગુણોત્તરનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} x - a + d & y - a & z - a - d \\ \alpha - \delta & \alpha & \alpha + \delta \\ \beta - \gamma & \beta & \beta + \gamma \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_3$ કરતા:
$\begin{vmatrix} x + z - 2a & y - a & z - a - d \\ 2\alpha & \alpha & \alpha + \delta \\ 2\beta & \beta & \beta + \gamma \end{vmatrix} = 0$
હવે,$C_1 \to C_1 - 2C_2$ કરતા:
$\begin{vmatrix} x + z - 2y & y - a & z - a - d \\ 0 & \alpha & \alpha + \delta \\ 0 & \beta & \beta + \gamma \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(x + z - 2y) [\alpha(\beta + \gamma) - \beta(\alpha + \delta)] = 0$
ધારી લઈએ કે દિશા સદિશો સમાંતર નથી,તેથી કૌંસમાં રહેલું પદ શૂન્ય નથી.
તેથી,$x + z - 2y = 0$,એટલે કે $x - 2y + z = 0$.

(B) રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
જો રેખા સમતલને સમાંતર હોય,તો રેખા સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હોવી જોઈએ.
તેથી,રેખાના દિકગુણોત્તર અને સમતલના અભિલંબ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(l, m, n) \cdot (a, b, c) = 0$
$al + bm + cn = 0$.

(B) ધારો કે માંગેલો ગુણોત્તર $k : 1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$(-2, 4, 7)$ અને $(3, -5, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$\left( \frac{3k - 2}{k + 1}, \frac{-5k + 4}{k + 1}, \frac{8k + 7}{k + 1} \right)$
આ બિંદુ સમતલ $x - 2y + 3z = 17$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\left( \frac{3k - 2}{k + 1} \right) - 2 \left( \frac{-5k + 4}{k + 1} \right) + 3 \left( \frac{8k + 7}{k + 1} \right) = 17$
બંને બાજુ $(k + 1)$ વડે ગુણતા:
$(3k - 2) - 2(-5k + 4) + 3(8k + 7) = 17(k + 1)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3k - 2 + 10k - 8 + 24k + 21 = 17k + 17$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$37k + 11 = 17k + 17$
$37k - 17k = 17 - 11$
$20k = 6$
$k = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
આમ,માંગેલો ગુણોત્તર $k : 1 = 3 : 10$ છે.

(B) આપેલી રેખા $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - k}{2}$ છે. રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(1, 1, 2)$ છે અને તે બિંદુ $(4, 2, k)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $2x - 4y + z = 7$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ છે.
રેખા સમતલમાં આવેલી હોય તે માટે,રેખા સમતલને સમાંતર હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે રેખાના દિક-સદિશ અને સમતલના અભિલંબ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
વધુમાં,રેખા પરનું બિંદુ $(4, 2, k)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ જેથી રેખા સંપૂર્ણપણે સમતલમાં રહે:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.

(B) બે સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ના છેદમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો મૂકતા: $(2x - y + z - 2) + \lambda (x + 2y - z - 3) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x=3, y=2, z=1$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2(3) - 2 + 1 - 2) + \lambda (3 + 2(2) - 1 - 3) = 0$.
$(6 - 2 + 1 - 2) + \lambda (3 + 4 - 1 - 3) = 0$.
$3 + \lambda (3) = 0$.
$3\lambda = -3$,જે આપણને $\lambda = -1$ આપે છે.
$\lambda = -1$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y + z - 2) - 1(x + 2y - z - 3) = 0$.
$2x - x - y - 2y + z + z - 2 + 3 = 0$.
$x - 3y + 2z + 1 = 0$.

(D) બે સમતલો $P_1: x + y + z - 6 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + 4z = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + 4z) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમતલ બિંદુ $(4, 4, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(4 + 4 + 4 - 6) + \lambda(2(4) + 3(4) + 4(4)) = 0$
$6 + \lambda(8 + 12 + 16) = 0$
$6 + 36\lambda = 0$
$36\lambda = -6 \implies \lambda = -1/6$.
$\lambda = -1/6$ ને સમીકરણમાં પાછા મૂકતા:
$(x + y + z - 6) - \frac{1}{6}(2x + 3y + 4z) = 0$
$6(x + y + z - 6) - (2x + 3y + 4z) = 0$
$6x + 6y + 6z - 36 - 2x - 3y - 4z = 0$
$4x + 3y + 2z = 36$.
આમ,વિધાનમાં આપેલ સમીકરણ $29x + 23y + 17z = 276$ ખોટું છે. તેથી,$A$ ખોટું છે. કારણ $R$ એ પ્રમાણભૂત સૈદ્ધાંતિક પરિણામ છે અને તે સાચું છે.

(A) સમતલો $P_1: x + 2y + 3z - 2 = 0$ અને $P_2: x - y + z - 3 = 0$ ની છેદિકામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z - 3) = 0$
$(1 + \lambda)x + (2 - \lambda)y + (3 + \lambda)z - (2 + 3\lambda) = 0$
આ સમતલનું બિંદુ $(3, 1, -1)$ થી અંતર $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|(1 + \lambda)(3) + (2 - \lambda)(1) + (3 + \lambda)(-1) - (2 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + \lambda)^2 + (2 - \lambda)^2 + (3 + \lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$|3 + 3\lambda + 2 - \lambda - 3 - \lambda - 2 - 3\lambda| = | -2\lambda |$
છેદ: $\sqrt{1 + 2\lambda + \lambda^2 + 4 - 4\lambda + \lambda^2 + 9 + 6\lambda + \lambda^2} = \sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}$
તેથી,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2 + 4\lambda + 14} = \frac{4}{3}$
$3\lambda^2 = 3\lambda^2 + 4\lambda + 14$
$4\lambda = -14 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{2}$
$\lambda = -\frac{7}{2}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 - \frac{7}{2})x + (2 + \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z - (2 - \frac{21}{2}) = 0$
$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$
$-5x + 11y - z + 17 = 0 \Rightarrow 5x - 11y + z = 17$.

(D) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ની સાપેક્ષ બિંદુ $(x', y', z')$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, z)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - x'}{a} = \frac{y - y'}{b} = \frac{z - z'}{c} = \frac{-2(ax' + by' + cz' + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
અહીં સમતલ $x - 2y + 0z + 0 = 0$ અને બિંદુ $(-1, 3, 4)$ આપેલ છે:
$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = \frac{-2((-1) - 2(3) + 0(4) + 0)}{1^2 + (-2)^2 + 0^2}$
$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = \frac{-2(-1 - 6)}{1 + 4} = \frac{-2(-7)}{5} = \frac{14}{5}$
દરેક ભાગને સરખાવતા:
$x + 1 = \frac{14}{5} \implies x = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$
$\frac{y - 3}{-2} = \frac{14}{5} \implies y - 3 = \frac{-28}{5} \implies y = 3 - \frac{28}{5} = \frac{15 - 28}{5} = \frac{-13}{5}$
$z - 4 = 0 \implies z = 4$
આમ,પ્રતિબિંબ $\left( \frac{9}{5}, \frac{-13}{5}, 4 \right)$ છે.

(C) સમતલો $ax + by + cz + d = 0$ અને $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$(ax + by + cz + d) + \lambda(a'x + b'y + c'z + d') = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + z(c + \lambda c') + (d + \lambda d') = 0 \quad \dots(i)$
આ સમતલ $x$-અક્ષ $(y=0, z=0)$ ને સમાંતર હોવાથી,તેના અભિલંબનો $x$-અક્ષની દિશા $(1, 0, 0)$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(a + \lambda a') + 0(b + \lambda b') + 0(c + \lambda c') = 0$
$a + \lambda a' = 0 \implies \lambda = -\frac{a}{a'}$
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(ax + by + cz + d) - \frac{a}{a'}(a'x + b'y + c'z + d') = 0$
$a'ax + a'by + a'cz + a'd - aa'x - ab'y - ac'z - ad' = 0$
$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$

(B) રેખા યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેની દિક્કોસાઈનો સમાન છે. ધારો કે દિક્કોસાઈનો $l, m, n$ છે. તો $l = m = n$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $3l^2 = 1$,જે આપણને $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
રેખાના દિક્ગુણોત્તરો $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $P(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિક્ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(r+2, r-1, r+2)$ સ્વરૂપમાં મળે.
બિંદુ $Q$ એ સમતલ $2x + y + z = 9$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \implies r = 1$.
તેથી $Q$ ના યામ $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ મળે.
$PQ$ ની લંબાઈ એ $P(2, -1, 2)$ અને $Q(3, 0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

(C) બિંદુઓ $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 5}{3 - 5} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$
$\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5 - 2k, 1 + k(b - 1), a + k(1 - a))$ છે.
રેખા $(0, \frac{17}{2}, -\frac{13}{2})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે યામ સરખાવીએ:
$5 - 2k = 0 \implies k = \frac{5}{2}$
$y$-યામ માટે: $1 + \frac{5}{2}(b - 1) = \frac{17}{2}$
$1 + \frac{5}{2}b - \frac{5}{2} = \frac{17}{2} \implies \frac{5}{2}b = \frac{17}{2} + \frac{3}{2} = 10 \implies b = 4$
$z$-યામ માટે: $a + \frac{5}{2}(1 - a) = -\frac{13}{2}$
$a + \frac{5}{2} - \frac{5}{2}a = -\frac{13}{2} \implies -\frac{3}{2}a = -\frac{13}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{18}{2} = -9$
$a = 6$
આમ,$a = 6$ અને $b = 4$.

(C) રેખા વક્રને જે બિંદુએ છેદે છે ત્યાં $z = 0$ હોય છે. રેખાના સમીકરણમાં $z = 0$ મૂકતા:
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{0 - 1}{-1}$
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = 1$
આના પરથી આપણને મળે છે:
$x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$
$y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$
હવે,આ યામોને વક્રના સમીકરણ $xy = c^2$ માં મૂકતા:
$(5)(1) = c^2$
$c^2 = 5$
$c = \pm \sqrt{5}$

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1) = (2, -3, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, -4, -5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \lambda$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1} = \lambda$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = \lambda$ થાય છે.
તેથી,રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $(x, y, z) = (\lambda + 2, -\lambda - 3, -6\lambda + 1)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + y + z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(\lambda + 2) + (-\lambda - 3) + (-6\lambda + 1) = 7$.
$2\lambda + 4 - \lambda - 3 - 6\lambda + 1 = 7$.
$-5\lambda + 2 = 7$.
$-5\lambda = 5 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = -1 + 2 = 1$,
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$,
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
આપેલ બિંદુ $(2, 1, 0)$ છે અને સમતલ $2x + y + 2z + 5 = 0$ છે.
અહીં,$a = 2, b = 1, c = 2, d = 5$ અને $x_1 = 2, y_1 = 1, z_1 = 0$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|2(2) + 1(1) + 2(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|4 + 1 + 0 + 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
$d = \frac{|10|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{10}{3}$
આમ,અંતર $10/3$ એકમ છે.

(B) બિંદુ $P(1, -5, 9)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $x = y = z$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+5}{1} = \frac{z-9}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(r+1, r-5, r+9)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(r+1) - (r-5) + (r+9) = 5$.
$r + 1 - r + 5 + r + 9 = 5$.
$r + 15 = 5 \Rightarrow r = -10$.
છેદબિંદુ $A$ એ $(-10+1, -10-5, -10+9) = (-9, -15, -1)$ છે.
અંતર $AP$ એ બિંદુ $P(1, -5, 9)$ અને $A(-9, -15, -1)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AP = \sqrt{(-9-1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1-9)^2}$.
$AP = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ એકમ.

(A) બિંદુઓ $Q(2, 3, 5)$ અને $R(1, -1, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $QR$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5} \Rightarrow \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\lambda+2, 4\lambda+3, \lambda+5)$ છે.
બિંદુ $P$ એ સમતલ $5x - 4y - z = 1$ પર હોવાથી,$5(\lambda+2) - 4(4\lambda+3) - (\lambda+5) = 1$.
$5\lambda + 10 - 16\lambda - 12 - \lambda - 5 = 1 \Rightarrow -12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow -12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = -\frac{2}{3}$.
તેથી,$P = (-\frac{2}{3}+2, 4(-\frac{2}{3})+3, -\frac{2}{3}+5) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$.
હવે,ધારો કે $S$ એ બિંદુ $T(2, 1, 4)$ માંથી રેખા $QR$ પરનો લંબપાદ છે. ધારો કે $S = (\mu+2, 4\mu+3, \mu+5)$.
$TS$ ના દિશા ગુણોત્તરો $(\mu+2-2, 4\mu+3-1, \mu+5-4) = (\mu, 4\mu+2, \mu+1)$ છે.
$TS \perp QR$ હોવાથી,$TS$ અને $QR(1, 4, 1)$ ના દિશા ગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $1(\mu) + 4(4\mu+2) + 1(\mu+1) = 0$.
$\mu + 16\mu + 8 + \mu + 1 = 0 \Rightarrow 18\mu = -9 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$S = (-\frac{1}{2}+2, 4(-\frac{1}{2})+3, -\frac{1}{2}+5) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.
લંબાઈ $PS = \sqrt{(\frac{3}{2}-\frac{4}{3})^2 + (1-\frac{1}{3})^2 + (\frac{9}{2}-\frac{13}{3})^2} = \sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{16}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(7, 14, 5)$ છે અને સમતલ $2x + 4y - z - 2 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|2(7) + 4(14) - 1(5) - 2|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|14 + 56 - 5 - 2|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{63}{\sqrt{21}} = 3\sqrt{21}$.
ધારો કે $M$ એ લંબપાદ છે. બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાના દિક્ગુણોત્તર $(2, 4, -1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 7}{2} = \frac{y - 14}{4} = \frac{z - 5}{-1} = r$ છે.
તેથી,$x = 2r + 7, y = 4r + 14, z = -r + 5$.
$M$ એ સમતલ $2x + 4y - z = 2$ પર હોવાથી,$2(2r + 7) + 4(4r + 14) - (-r + 5) = 2$.
$4r + 14 + 16r + 56 + r - 5 = 2 \implies 21r + 65 = 2 \implies 21r = -63 \implies r = -3$.
$r = -3$ મૂકતા,$x = 2(-3) + 7 = 1$,$y = 4(-3) + 14 = 2$,$z = -(-3) + 5 = 8$.
આમ,લંબપાદના યામ $(1, 2, 8)$ છે.