બિંદુ $P(1, 2, 1)$ નું સમતલ $2x + y - z = 10$ થી રેખા $\frac{x - 5}{1} = \frac{2y - 3}{2} = \frac{z - \frac{5}{2}}{1}$ ની દિશામાં માપેલું અંતર કેટલું છે?

બે સમતલો $\vec{r} \cdot \vec{m}_1=q_1$ અને $\vec{r} \cdot \vec{m}_2=q_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{m}_1+\lambda \vec{m}_2)=q_1+\lambda q_2$ છે,જ્યાં $\lambda \in R$. બિંદુ $2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને સમતલો $\vec{r} \cdot (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})=5$ તથા $\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=7$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

સદિશ $2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ દ્વારા સમતલ $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})=7$ સાથે બનતો ખૂણો કેટલો છે ($^{\circ}$ માં)?

ધારો કે સમતલો $3x - 6y - 2z = 15$ અને $2x + y - 2z = 5$ છે.
વિધાન-$1$: આપેલા સમતલોની છેદરેખાના પ્રચલ સમીકરણો $x = 3 + 14t, y = 1 + 2t, z = 15t$ છે.
વિધાન-$2$: સદિશ $14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$ એ આપેલા સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર છે.

રેખા $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})+\lambda(3\hat{i}+\hat{j})$ અને સમતલ $\vec{r} \cdot (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})=8$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

વિધાન-$1$: બિંદુ $A(1, 0, 7)$ એ રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$ માં બિંદુ $B(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
વિધાન-$2$: રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$ એ $A(1, 0, 7)$ અને $B(1, 6, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.