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Question

(B) फलन $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ का प्रतिलोम (inverse) ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।अतः,$y = \frac{3x+1}{5x-3}$ है।तिर्यक गुणा करने पर

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$f^{-1}(x) = f(x)$

Vedclass · Answer

(B) फलन $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ का प्रतिलोम (inverse) ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $y = f(x)$ है।अतः,$y = \frac{3x+1}{5x-3}$ है।तिर्यक गुणा करने पर $y(5x-3) = 3x+1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5xy - 3y = 3x + 1$ मिलता है।$x$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $5xy - 3x = 3y + 1$ प्राप्त होता है।$x$ को कॉमन लेने पर: $x(5y - 3) = 3y + 1$ मिलता है।इस प्रकार,$x = \frac{3y+1}{5y-3}$ है।परिभाषा के अनुसार,$f^{-1}(y) = x = \frac{3y+1}{5y-3}$ है।$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ प्राप्त होता है।चूंकि $f^{-1}(x) = f(x)$ है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

यदि $f: R - \{\frac{3}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{3}{5}\}$ को $f(x) = \frac{3x+1}{5x-3}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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मान लीजिए कि $g(x)$,फलन $f(x)$ का प्रतिलोम है और $f'(x) = \frac{1}{1 + x^3}$ है। तो $g'(x)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है। तब $g(f(x))$ किस $x \in $ के लिए व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

मान लीजिए $f(x)=(x+1)^2-1$,जहाँ $x \geq -1$ है।
कथन-$1$: $S=\{x:f(x)=f^{-1}(x)\}=\{0, -1\}$
कथन-$2$: $f$ एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है।

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