Binomial distribution Questions in Hindi

(B) हम जानते हैं कि एक द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = 18$ है और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 12$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$।
इसे सरल करने पर $q = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।

(D) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n = 10$ और $p = 0.4$ है।
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - 0.4 = 0.6$ होगा।
द्विपद बंटन का माध्य $E(X) = np = 10 \times 0.4 = 4$ होता है।
द्विपद बंटन का प्रसरण $V(X) = npq = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4$ होता है।
हम जानते हैं कि $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ होता है।
मान रखने पर,$2.4 = E(X^2) - (4)^2$ प्राप्त होता है।
$2.4 = E(X^2) - 16$।
अतः,$E(X^2) = 16 + 2.4 = 18.4$।

(B) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np = 18$ है और प्रसरण $Var(X) = npq = 12$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{12}{18}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $q = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ होगा।
$p = \frac{1}{3}$ का मान माध्य के समीकरण $np = 18$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{3} = 18$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 54$।
यादृच्छिक चर $X$ का मान $0, 1, 2, \dots, n$ तक हो सकता है।
अतः,$X$ के संभावित मान $0, 1, 2, \dots, 54$ हैं।
इन मानों की कुल संख्या $n + 1 = 54 + 1 = 55$ है।

(B) दिया गया है कि $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=5$ और $p=\frac{1}{3}$ है।
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(2 < X < 4)$ ज्ञात करना है,जो $P(X=3)$ के बराबर है।
सूत्र में मान रखने पर:
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^{5-3}$
$P(X=3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{27}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right)^2$
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9}$
$P(X=3) = \frac{40}{243}$

(B) दिया गया है कि $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
द्विपद वितरण के लिए,माध्य $E(X) = np = 5$ और प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.5$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2.5}{5} = 0.5 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 5$ में रखने पर,हमें $n \times \frac{1}{2} = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 10$ है।
हमें $P(X < 1)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 0)$ के बराबर है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$।

(B) माना $X$ $100$ परीक्षणों में सफलताओं (सम संख्या प्राप्त करना) की संख्या को दर्शाता है।
तब $X$ $n = 100$,$p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
$X$ का प्रसरण = $npq = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$।
मानक विचलन = $\sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{25} = 5$।

(C) कुल पत्तों की संख्या $= 52$. कुल रानियों की संख्या $= 4$.
एक बार में रानी प्राप्त करने की प्रायिकता,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
रानी न प्राप्त करने की प्रायिकता,$q = 1 - p = \frac{12}{13}$.
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$.
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(C) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$ जहाँ $p=0.6$ और $E(X)=6$ है।
चूँकि $E(X) = np$,इसलिए $n(0.6) = 6$,जिसका अर्थ है कि $n = \frac{6}{0.6} = 10$।
हम जानते हैं कि $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$।
प्रसरण (Variance) $\operatorname{Var}(X) = npq$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\operatorname{Var}(X) = (10)(0.6)(0.4) = 2.4$।

(A) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np = 18$ है और प्रसरण $Var(X) = npq = 12$ है।
हम जानते हैं कि $q = 1 - p$ होता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर:
$\frac{npq}{np} = \frac{12}{18} \implies q = \frac{2}{3}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$p = \frac{1}{3}$ का मान $np = 18$ में रखने पर:
$n \times \frac{1}{3} = 18 \implies n = 18 \times 3 = 54$।

(D) हरी गेंदों की संख्या का वितरण द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ,गेंदों की कुल संख्या $15 + 10 = 25$ है।
एक प्रयास में हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ है।
पीली गेंद निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।
प्रयासों की संख्या $n = 10$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\sigma^2 = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है $n = 5$ और $np + npq = 1.8$ है।
$n = 5$ और $q = 1 - p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
$5$ से गुणा करने पर: $25p^2 - 50p + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$।
$p = 1.8$ (संभव नहीं क्योंकि $p \leq 1$) या $p = 0.2$।
अतः,सफलता की प्रायिकता $0.2$ है।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सिक्के को $n = 5$ बार उछाला जाता है,हम द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
हमें ठीक $k = 3$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान रखने पर: $P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{5-3}$.
द्विपद गुणांक की गणना करने पर: $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
अतः,$P(X = 3) = 10 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = 10 \times (\frac{1}{2})^5$.
$P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 10$ और $p = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $1-p = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$P(X = k) = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{10-k} = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{10}{0} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
$P(X=1) = \binom{10}{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 10 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
$P(X=2) = \binom{10}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = \frac{10 \times 9}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 45 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \leq 2) = (1 + 10 + 45) \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 56 \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
इसकी तुलना $m \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$ से करने पर,हमें $m = 56$ प्राप्त होता है।

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 6$ और प्रसरण $npq = 3$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 6$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 12$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{12-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^{12}$ है।
हमें $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{12}{0} (\frac{1}{2})^{12} = 1 \times \frac{1}{4096} = \frac{1}{4096}$।
$P(X = 1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{2})^{12} = 12 \times \frac{1}{4096} = \frac{12}{4096}$।
अतः,$P(X < 2) = \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096}$।

(B) कुल बल्बों की संख्या = $100$ है।
खराब बल्बों की संख्या = $10$ है।
सही बल्बों की संख्या = $100 - 10 = 90$ है।
एक बार में सही बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$ है।
चूंकि हम $5$ बल्ब चुन रहे हैं,और यह मानते हुए कि चयन प्रतिस्थापन के साथ किया गया है (या नमूना आकार जनसंख्या के सापेक्ष छोटा है),तो $5$ बल्बों में से कोई भी खराब न होने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता $P(X=0) = \left(\frac{9}{10}\right)^5$ द्वारा दी जाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $p$ एक छात्र के तैराक होने की प्रायिकता है और $q$ एक छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $q = \frac{1}{5}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
हमें $n = 5$ छात्रों में से $x = 4$ के तैराक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(X = x) = ^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$.
मान रखने पर: $P(X = 4) = ^5C_4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^4 \cdot \frac{1}{5} = \left(\frac{4}{5}\right)^4$.
चूंकि यह मान विकल्पों $A, B, C$ में नहीं दिया गया है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{5}$ है।
सफलता की प्रायिकता (छात्र गायक है) $p = \frac{1}{5}$ है।
असफलता की प्रायिकता (छात्र गायक नहीं है) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
हमें $x = 4$ छात्रों के गायक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$ है।
मान रखने पर: $P(X = 4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(\frac{4}{5}\right)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times \left(\frac{1}{5}\right)^4 \times \frac{4}{5}$.
$P(X = 4) = 5 \times \frac{1}{5^4} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5^4} = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^4$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) द्विपद वितरण के लिए,प्रसरण का सूत्र $Var(X) = n \times p \times q$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $n = 5$ और $p = 0.30$ दिया गया है।
अतः $q = 1 - 0.30 = 0.70$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Var(X) = 5 \times 0.30 \times 0.70$
$Var(X) = 1.5 \times 0.70 = 1.05$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि,खराब पेन चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।
इसलिए,सही पेन चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ है।
चूंकि पेन प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,यह द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 5$ परीक्षण हैं।
हमें अधिक से अधिक एक पेन के खराब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$।
द्विपद सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$।
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$।
अतः,$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^{5} + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$।

(D) कुल बल्बों की संख्या $N = 100$ है।
खराब बल्बों की संख्या $D = 10$ है।
सही बल्बों की संख्या $G = 100 - 10 = 90$ है।
यहाँ $n = 5$ बल्ब निकाले जाते हैं।
इसकी प्रायिकता कि कोई भी बल्ब खराब न हो,द्विपद वितरण का उपयोग करके निकाली जा सकती है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{90}{100} = 0.9$ है।
अतः,$P(X = 0) = (0.9)^{5} = (\frac{9}{10})^{5}$.

(B) मान लीजिए $p$ आगे कदम बढ़ाने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.4$।
मान लीजिए $q$ पीछे कदम बढ़ाने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 0.6$।
कुल कदम $n = 11$।
मान लीजिए $x$ आगे के कदमों की संख्या है और $y$ पीछे के कदमों की संख्या है।
हमें मिलता है $x + y = 11$।
आदमी के शुरुआती बिंदु से एक कदम दूर होने के लिए,शुद्ध विस्थापन $x - y = 1$ या $x - y = -1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $x - y = 1$। समीकरणों को जोड़ने पर,$2x = 12 \implies x = 6$,इसलिए $y = 5$।
इस स्थिति के लिए प्रायिकता $^{11}C_{6} \times p^{6} \times q^{5} = ^{11}C_{6} \times (0.4)^{6} \times (0.6)^{5}$ है।
स्थिति $2$: $x - y = -1$। समीकरणों को जोड़ने पर,$2x = 10 \implies x = 5$,इसलिए $y = 6$।
इस स्थिति के लिए प्रायिकता $^{11}C_{5} \times p^{5} \times q^{6} = ^{11}C_{5} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{6}$ है।
चूंकि $^{11}C_{6} = ^{11}C_{5}$,कुल प्रायिकता $^{11}C_{6} \times (0.4)^{5} \times (0.6)^{5} \times (0.4 + 0.6) = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5} \times 1 = ^{11}C_{6} \times (0.24)^{5}$ है।

(C) दिया गया है,$n=10$.
एक पासे को फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
विषम संख्या न प्राप्त करने की प्रायिकता,$q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि विषम संख्या कम से कम एक बार आए,जो $P(X \geq 1)$ है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
द्विपद बंटन सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X=0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{10} = 1 \times 1 \times \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$.

(D) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = {}^{n}C_{r} q^{n-r} p^{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
यहाँ $n=6$ दिया गया है,इसलिए:
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} q^{4} p^{2} = 15 q^{4} p^{2} = 12$ (समीकरण $1$)
$P(X=3) = {}^{6}C_{3} q^{3} p^{3} = 20 q^{3} p^{3} = 5$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{15 q^{4} p^{2}}{20 q^{3} p^{3}} = \frac{12}{5}$
$\frac{3q}{4p} = \frac{12}{5}$
$15q = 48p$
$5q = 16p$
चूँकि $q = 1-p$,इसलिए:
$5(1-p) = 16p$
$5 - 5p = 16p$
$5 = 21p$
$p = \frac{5}{21}$

(B) दिया गया है कि यादृच्छिक चर $X$ मापदंडों $n=5$ और $p$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P(X=2) = 9 P(X=3)$.
मान रखने पर: ${ }^5 C_2 p^2 (1-p)^{5-2} = 9 \times { }^5 C_3 p^3 (1-p)^{5-3}$.
चूंकि ${ }^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ और ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$,इसलिए:
$10 p^2 (1-p)^3 = 9 \times 10 p^3 (1-p)^2$.
दोनों पक्षों को $10 p^2 (1-p)^2$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 9p$.
$1 = 10p$.
$p = 1/10$.

(D) दी गई व्यंजक: $\sum_{x=0}^{\infty} \frac{k^x}{x !} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{n !}{(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{1}{n}\right)^x$
$= \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \sum_{x=0}^n \frac{n !}{x !(n-x) !}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{k}{n}\right)^x$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{x=0}^n { }^n C_x \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-x}\left(\frac{k}{n}\right)^x$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{x=0}^n { }^n C_x a^{n-x} b^x = (a+b)^n$:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{k}{n} + \frac{k}{n}\right)^n$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} (1)^n = 1$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 6$ और $p = 1/2$ है।
एक प्रयास में $5$ चित आने की प्रायिकता $P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = 6/64 = 3/32$ है।
यहाँ $N = 320$ प्रयास हैं,इसलिए माध्य $\lambda = Np' = 320 \times (3/32) = 30$ है।
पॉइसन वितरण के अनुसार,$P(Y=2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{30^2 \times e^{-30}}{2}$।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद बंटन का माध्य $\mu = np = 9$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq} = \frac{3}{2}$ है।
मानक विचलन का वर्ग करने पर,$npq = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
$np = 9$ को $npq = \frac{9}{4}$ में रखने पर,$9q = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
अब,$np = 9 \implies n \times \frac{3}{4} = 9 \implies n = 12$।
अतः,द्विपद बंटन $(p + q)^n = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)^{12}$ है।

(B) दिया गया है,$p = 0.3, q = 1 - p = 0.7$.
माध्य $(\mu) = np = 0.3n$.
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{npq} = \sqrt{n(0.3)(0.7)} = \sqrt{0.21n}$.
दिया गया है कि $\mu = 3\sigma$.
मान रखने पर,$0.3n = 3\sqrt{0.21n}$.
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,$0.1n = \sqrt{0.21n}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(0.1n)^2 = 0.21n$.
$0.01n^2 = 0.21n$.
$n^2 = 21n$.
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $n = 21$ प्राप्त होता है।

(C) पासे पर $4$ से बड़ी संख्याएँ $5$ और $6$ हैं।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि पासे को $n = 2$ बार फेंका जाता है,द्विपद वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
$\sigma^2 = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.

(B) सिक्के को $8$ बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम $2^8 = 256$ हैं।
मान लीजिए $H$ चित है और $T$ पट है।
हमें वे परिणाम चाहिए जिनमें $H$ लगातार कम से कम $5$ बार आए।
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $10$ है।
प्रायिकता $= \frac{10}{256} = \frac{5}{128}$.

(B) $7$ अलग-अलग गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में वितरित करने के कुल तरीके $4^7$ हैं।
पहले बक्से में ठीक $3$ गेंदें होने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $7$ में से $3$ गेंदों को ${}^7C_3$ तरीकों से चुनते हैं।
शेष $4$ गेंदों को अन्य $3$ बक्सों में $3^4$ तरीकों से वितरित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल तरीकों की संख्या ${}^7C_3 \times 3^4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{{}^7C_3 \times 3^4}{4^7} = \frac{35}{64} \left(\frac{3}{4}\right)^4$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $6$ के लिए,अनुकूल परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,इसलिए $5$ परिणाम हैं। एक परीक्षण में योग $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_1 = \frac{5}{36}$ है।
एक परीक्षण में योग $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q_1 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ है।
$9$ परीक्षणों में कम से कम एक बार योग $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P_1 = 1 - (q_1)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ है।
योग $8$ के लिए,अनुकूल परिणाम $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ हैं,इसलिए $5$ परिणाम हैं। एक परीक्षण में योग $8$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p_2 = \frac{5}{36}$ है।
एक परीक्षण में योग $8$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q_2 = 1 - \frac{5}{36} = \frac{31}{36}$ है।
$9$ परीक्षणों में कम से कम एक बार योग $8$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P_2 = 1 - (q_2)^9 = 1 - \left(\frac{31}{36}\right)^9$ है।
चूंकि $P_1 = P_2$,अनुपात $P_1 : P_2 = 1 : 1$ है।

(C) एक पासे के लिए,संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
पासे पर $3$ के गुणज $\{3, 6\}$ हैं।
एक पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता $P(M) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
एक पासे पर $3$ का गुणज न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(M') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $12$ पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं,इसलिए $12$ पासों में से किसी पर भी $3$ का गुणज न आने की प्रायिकता $\left(\frac{2}{3}\right)^{12}$ है।

(A) एक पासे के लिए,कुल परिणामों की संख्या $6$ है। पासे पर $1$ अंक आने की प्रायिकता $P(1) = \frac{1}{6}$ है।
अतः,एक पासे पर $1$ अंक न आने की प्रायिकता $P(\text{not } 1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि $4$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं,इसलिए ये घटनाएं स्वतंत्र हैं।
अतः,किसी भी पासे पर $1$ अंक न आने की प्रायिकता $\left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$ है।

(B) माना $p$ जहाज के डूबने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{9}$।
माना $q$ जहाज के सुरक्षित पहुँचने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$।
हम $6$ जहाजों में से ठीक $3$ जहाजों के डूबने की प्रायिकता ज्ञात कर रहे हैं।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = {}^n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=6$,$k=3$,$p=\frac{1}{9}$,और $q=\frac{8}{9}$:
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^3 \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^3$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{1}{9^3} \cdot \frac{8^3}{9^3}$
$P(X=3) = {}^6 C_3 \cdot \frac{8^3}{9^6}$

(A) $100$ रक्त नमूनों के समूह से एक सामान्य नमूना चुनने की प्रायिकता $p = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
परीक्षणों की संख्या $n = 10$.
हमें कम से कम दो सामान्य नमूने होने की प्रायिकता $P(X \geq 2)$ ज्ञात करनी है।
$P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{10} = (\frac{3}{4})^{10}$.
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^9 = 10 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^9 = \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9$.
$P(X < 2) = (\frac{3}{4})^{10} + \frac{10}{4} (\frac{3}{4})^9 = (\frac{3}{4})^9 [\frac{3}{4} + \frac{10}{4}] = (\frac{3}{4})^9 [\frac{13}{4}]$.
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - \frac{13}{4} (\frac{3}{4})^9$.

(A) माना एक दिन में भारी कोहरे की प्रायिकता $p = 0.6 = \frac{3}{5}$ है।
अतः,भारी कोहरा न होने की प्रायिकता $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
एक सप्ताह में कुल दिनों की संख्या $n = 7$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,$k = 2$ के लिए:
$P(X = 2) = {7 \choose 2} \times (\frac{3}{5})^2 \times (\frac{2}{5})^5$
$P(X = 2) = 21 \times \frac{9}{25} \times \frac{32}{3125} = \frac{6048}{5^7}$.

(D) जब एक सिक्के को $6$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणाम $2^6 = 64$ होते हैं।
माना $X$ चितों की संख्या है। हमें $P(X > 3)$ ज्ञात करना है,जिसका अर्थ है कि $X$ का मान $4, 5,$ या $6$ हो सकता है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$4$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{6}{4} = 15$.
$5$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{6}{5} = 6$.
$6$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{6}{6} = 1$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 6 + 1 = 22$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना $X$,$P$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या है और $Y$,$Q$ द्वारा प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ और $Y$ दोनों द्विपद बंटन $B(n=3, p=0.5)$ का पालन करते हैं।
$3$ सिक्कों को उछालने पर $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=r) = ^{3}C_{r} (0.5)^3$ है।
हमें $P(X=Y) = \sum_{r=0}^{3} P(X=r) \times P(Y=r)$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(X=r) = P(Y=r)$,यह $\sum_{r=0}^{3} [P(X=r)]^2$ हो जाता है।
$P(X=0) = \frac{1}{8}$,$P(X=1) = \frac{3}{8}$,$P(X=2) = \frac{3}{8}$,$P(X=3) = \frac{1}{8}$.
$P(X=Y) = (\frac{1}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 + (\frac{1}{8})^2 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3$ प्रतिस्थापन के साथ निकाली गई तीन पुस्तकों की संख्याएँ हैं। प्रत्येक $X_i \in \{1, 2, \dots, 20\}$।
कुल परिणामों की संख्या $= 20^3$।
हम चाहते हैं कि सबसे बड़ी संख्या $7$ हो। इसका मतलब है कि तीनों संख्याएँ $\le 7$ होनी चाहिए,और कम से कम एक संख्या $7$ होनी चाहिए।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि सबसे बड़ी संख्या $\le 7$ है। तो $P(E) = \left(\frac{7}{20}\right)^3$।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि सबसे बड़ी संख्या $\le 6$ है। तो $P(F) = \left(\frac{6}{20}\right)^3$।
सबसे बड़ी संख्या ठीक $7$ होने की प्रायिकता $P(E) - P(F) = \left(\frac{7}{20}\right)^3 - \left(\frac{6}{20}\right)^3$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) $6$ सिक्कों को उछालने पर कुल संभावित परिणाम $2^6 = 64$ हैं।
हमें कम से कम $4$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=6$ और $p=q=1/2$:
$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/2)^6 = \frac{15}{64}$
$P(X=5) = \binom{6}{5} (1/2)^6 = \frac{6}{64}$
$P(X=6) = \binom{6}{6} (1/2)^6 = \frac{1}{64}$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \ge 4) = \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $p$ पर्वतारोही के सुरक्षित वापस लौटने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{9}{10}$.
माना $q$ पर्वतारोही के सुरक्षित वापस न लौटने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{10}$.
हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n = 5$.
हमें कम से कम $4$ पर्वतारोहियों के सुरक्षित वापस लौटने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{9}{10})^4 \cdot (\frac{1}{10})^1 = 5 \cdot \frac{9^4}{10^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{9}{10})^5 = 1 \cdot \frac{9^5}{10^5}$.
$P(X \ge 4) = \frac{5 \cdot 9^4}{10^5} + \frac{9^5}{10^5} = \frac{9^4(5 + 9)}{10^5} = \frac{9^4 \cdot 14}{100000} = \frac{9^4 \cdot 7}{50000}$.

(B) मान लीजिए $A$ द्वारा फेंके गए दो पासों का योग $S_A$ है और $B$ द्वारा फेंके गए दो पासों का योग $S_B$ है।
दो पासों का योग सम होने के लिए,दोनों पासों पर या तो दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए या दोनों विषम संख्याएँ।
एक व्यक्ति के लिए सम योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{even}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ एक साथ और स्वतंत्र रूप से पासे फेंकते हैं,इसलिए एक प्रयास में दोनों का योग सम होने की प्रायिकता $P(A_{\text{even}} \cap B_{\text{even}}) = P(A_{\text{even}}) \times P(B_{\text{even}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि वे यह प्रयोग $100$ बार करते हैं,इसलिए सभी $100$ प्रयासों में दोनों का योग सम होने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{4}\right)^{100}$ है।

(D) माना $X$ एक पासे को $(2n+1)$ बार फेंकने पर $1, 3,$ या $4$ प्राप्त करने की संख्या है। एक बार फेंकने पर सफलता की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि पासे को $(2n+1)$ बार फेंका जाता है,$X$ द्विपद बंटन $B(2n+1, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
हमें $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} (\frac{1}{2})^{2n+1}$ ज्ञात करना है।
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \frac{1}{2} \times 2^{2n+1} = 2^{2n}$ है।
अतः,$P(X \le n) = 2^{2n} \times (\frac{1}{2})^{2n+1} = \frac{2^{2n}}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2}$.

(D) कुल प्रश्नों की संख्या $n = 8$ है। चूँकि प्रत्येक प्रश्न सही या गलत प्रकार का है,इसलिए सही उत्तर की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और गलत उत्तर की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
माना $X$ सही उत्तरों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(8, \frac{1}{2})$ का पालन करता है।
छात्र उत्तीर्ण होता है यदि $X \ge 6$ हो।
$P(\text{Pass}) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$
$P(\text{Pass}) = \binom{8}{6}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{7}(\frac{1}{2})^8 + \binom{8}{8}(\frac{1}{2})^8$
$P(\text{Pass}) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.
छात्र के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(\text{Fail}) = 1 - P(\text{Pass})$ है।
$P(\text{Fail}) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256}$.

(A) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$ होती है।
कुल $4$ संभावित परिणाम हैं।
दोनों सिक्कों पर टेल आने की घटना $(T, T)$ है,जिसकी प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
एक बार सिक्का उछालने पर दोनों पर टेल न आने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$50$ बार सिक्के उछालने पर दोनों पर टेल न आने की प्रायिकता $\left(\frac{3}{4}\right)^{50}$ होगी।

(A) माना हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $x$ है और टेल प्राप्त करने की प्रायिकता $(1-x)$ है।
टॉम खेल शुरू करता है,इसलिए वह अपनी बारी (पहली,तीसरी,पांचवीं,... उछाल) पर हेड प्राप्त करने पर जीतता है।
टॉम के जीतने की प्रायिकता $x + (1-x)^2 x + (1-x)^4 x + \dots = \frac{5}{8}$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = (1-x)^2$ है।
योग $\frac{x}{1-(1-x)^2} = \frac{5}{8}$ है।
$\frac{x}{1-(1-2x+x^2)} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{x}{2x-x^2} = \frac{5}{8}$.
चूंकि $x \neq 0$,हमारे पास $\frac{1}{2-x} = \frac{5}{8} \Rightarrow 8 = 10 - 5x \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$ है।
अब,$n=5$ उछाल के लिए,ठीक $r=3$ हेड प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $p = \frac{2}{5}$,$q = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$,$n=5$,$r=3$ है।
$P(X=3) = { }^5 C_3 \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 10 \times \frac{8}{125} \times \frac{9}{25} = \frac{720}{3125} = \frac{144}{625}$.

(B) कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई चित न मिले})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$n$ बार उछालने पर कोई भी चित न मिलने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
अतः,कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 0.8$ है।
इसे सरल करने पर $1 - 0.8 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,अर्थात $0.2 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$ प्राप्त होता है।
$0.2$ को $\frac{1}{5}$ के रूप में लिखने पर,हमें $\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2^n > 5$।
$n=1$ के लिए,$2^1 = 2 < 5$।
$n=2$ के लिए,$2^2 = 4 < 5$।
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 > 5$।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(A) जब पासे के एक जोड़े को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वह परिणाम जिसमें दोनों पासों पर $6$ आता है,$(6, 6)$ है,जो केवल $1$ परिणाम है।
एक उछाल में दोनों पासों पर $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{36}$ है।
एक उछाल में दोनों पासों पर $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E') = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ है।
चूंकि पासों को $24$ बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है,इसलिए $24$ उछालों में से किसी में भी दोनों पासों पर $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता प्रत्येक उछाल की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ है।