Binomial distribution Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि द्विपद वितरण के $3$ परीक्षणों में,$2$ सफलताओं की प्रायिकता $3$ सफलताओं की प्रायिकता की $9$ गुनी है।
माना $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ असफलता की प्रायिकता है,जहाँ $p + q = 1$ है।
$n$ परीक्षणों में $r$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ के लिए:
$P(X = 2) = 9 \times P(X = 3)$
${}^3C_2 p^2 q^1 = 9 \times {}^3C_3 p^3 q^0$
$3 p^2 q = 9 p^3$
चूंकि $p \neq 0$,हम $3p^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$q = 3p$
$q = 1 - p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - p = 3p$
$1 = 4p$
$p = \frac{1}{4}$
अतः,प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) मान लीजिए $X$ आदमी द्वारा लक्ष्य को भेदने की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=8$ और $p=\frac{1}{3}$ है।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें लक्ष्य को कम से कम दो बार भेदने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2)$ है।
$P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
द्विपद सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^8 = (\frac{2}{3})^8$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^7 = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^8 + 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7]$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{8}{3})] = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot \frac{10}{3}] = 1 - 5 \cdot (\frac{2}{3})^8$.

(D) मान लीजिए $n = 5$ परीक्षाओं की संख्या है और $p = \frac{2}{3}$ डिस्टिंक्शन प्राप्त करने की प्रायिकता है। तब $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,हमें कम से कम $3$ परीक्षाओं में डिस्टिंक्शन प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \ge 3) = \frac{80 + 80 + 32}{243} = \frac{192}{243}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{64}{81}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि $A$ एक खेल जीतता है,इसलिए $p = 0.6 = \frac{3}{5}$ है।
मान लीजिए $n = 3$ खेले गए खेलों की संख्या है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $A$ कम से कम दो खेल जीतता है,जो $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3)$ है,जहाँ $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
$k = 2$ के लिए: $P(X = 2) = \binom{3}{2} (0.6)^2 (0.4)^1 = 3 \times 0.36 \times 0.4 = 0.432$ है।
$k = 3$ के लिए: $P(X = 3) = \binom{3}{3} (0.6)^3 (0.4)^0 = 1 \times 0.216 \times 1 = 0.216$ है।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \ge 2) = 0.432 + 0.216 = 0.648$ है।
भिन्न में बदलने पर: $0.648 = \frac{648}{1000} = \frac{81}{125}$ है।

(A) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n=9$ है,समीकरण $P(X=3)=P(X=6)$ का अर्थ है:
$\binom{9}{3} p^3 (1-p)^{6} = \binom{9}{6} p^6 (1-p)^{3}$
चूंकि $\binom{9}{3} = \binom{9}{6}$,हमें प्राप्त होता है:
$p^3 (1-p)^6 = p^6 (1-p)^3$
दोनों पक्षों को $p^3 (1-p)^3$ से विभाजित करने पर:
$(1-p)^3 = p^3 \implies 1-p = p \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}$.
अब,$P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करते हैं:
$P(X=0) = \binom{9}{0} (\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$.
$P(X=1) = \binom{9}{1} (\frac{1}{2})^9 = \frac{9}{512}$.
$P(X=2) = \binom{9}{2} (\frac{1}{2})^9 = \frac{36}{512}$.
$P(X < 3) = \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512} = \frac{23}{256}$.

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = \frac{16}{5}$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = \frac{48}{25}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{48/25}{16/5} = \frac{48}{25} \times \frac{5}{16} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
$np = \frac{16}{5}$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{2}{5} = \frac{16}{5}$,जिससे $n = 8$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{8}{k} (\frac{2}{5})^k (\frac{3}{5})^{8-k}$ है।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^8 = \frac{3^8}{5^8}$।
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^7 = 8 \times \frac{2}{5} \times \frac{3^7}{5^7} = \frac{16 \times 3^7}{5^8} = \frac{48 \times 3^6}{5^8}$।
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{2}{5})^2 (\frac{3}{5})^6 = 28 \times \frac{4}{25} \times \frac{3^6}{5^6} = \frac{112 \times 3^6}{5^8}$।
योग करने पर: $P(X \leq 2) = \frac{3^8 + 48 \times 3^6 + 112 \times 3^6}{5^8} = \frac{9 \times 3^6 + 160 \times 3^6}{5^8} = \frac{169 \times 3^6}{5^8}$।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $p = 1/2$ और पट आने की प्रायिकता $q = 1/2$ है। यादृच्छिक चर $X$ द्विपद बंटन $B(n, 1/2)$ का पालन करता है।
$P(X=k) = \binom{n}{k} (1/2)^n$.
दिया गया है कि $P(X=4)$,$P(X=5)$ और $P(X=6)$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2P(X=5) = P(X=4) + P(X=6)$.
द्विपद प्रायिकताओं को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \binom{n}{5} (1/2)^n = \binom{n}{4} (1/2)^n + \binom{n}{6} (1/2)^n$.
$(1/2)^n$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $2 \binom{n}{5} = \binom{n}{4} + \binom{n}{6}$.
सूत्र $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ का उपयोग करने पर: $2 \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$.
$n!$ से विभाजित करने और $6!(n-4)!$ से गुणा करने पर: $2 \times 6(n-4) = 6 \times 5 + (n-4)(n-5)$.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-7)(n-14) = 0$.
अतः,$n = 7$ या $n = 14$. इसलिए $n$ का अधिकतम मान $14$ है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है $n = 6$ और $\mu - \sigma^2 = \frac{27}{8}$।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $np - npq = \frac{27}{8} \implies np(1 - q) = \frac{27}{8}$।
चूंकि $1 - q = p$,इसलिए $np^2 = \frac{27}{8}$।
$n = 6$ रखने पर: $6p^2 = \frac{27}{8} \implies p^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$।
अतः,$p = \frac{3}{4}$ और $q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।
$X$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{6}{0} (\frac{3}{4})^0 (\frac{1}{4})^6 = \frac{1}{4^6}$।
$P(X = 1) = \binom{6}{1} (\frac{3}{4})^1 (\frac{1}{4})^5 = \frac{18}{4^6}$।
$P(X = 2) = \binom{6}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^4 = \frac{135}{4^6}$।
योग करने पर: $P(X \le 2) = \frac{1 + 18 + 135}{4^6} = \frac{154}{4^6}$।

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $\mu = 2\sigma^2$,इसलिए $np = 2npq$,जिसका अर्थ है $1 = 2q$,अतः $q = \frac{1}{2}$ और $p = 1 - q = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया है $\mu + \sigma^2 = 3$,$\mu = 2\sigma^2$ प्रतिस्थापित करने पर $3\sigma^2 = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\sigma^2 = 1$ है।
चूंकि $\sigma^2 = npq = n(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{n}{4} = 1$,इसलिए $n = 4$ है।
अतः,$X \sim B(4, \frac{1}{2})$ है।
हमें $P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$ की गणना करनी है।
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^4 \times 1 = \frac{1}{16}$ है।
इसलिए,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(B) मान लीजिए $n = 4$ स्कैन की संख्या है और $p = 0.1$ एक स्कैन में विमान का पता लगाने की संभावना है। विमान का पता न लगाने की संभावना $q = 1 - p = 0.9$ है।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए,$n$ स्कैन में $X$ बार विमान का पता लगाने की संभावना $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम दो बार विमान का पता लगाने की संभावना ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.1)^0 (0.9)^4 = 1 \times 1 \times 0.6561 = 0.6561$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.1)^1 (0.9)^3 = 4 \times 0.1 \times 0.729 = 0.2916$.
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - (0.6561 + 0.2916) = 1 - 0.9477 = 0.0523$.

(A) माना $X$ चुने गए खराब बल्बों की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = 20\% = \frac{1}{5}$ है।
तब $q = 1 - p = \frac{4}{5}$ होगा।
ठीक $k$ खराब बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = k) = { }^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 3$ के लिए,हमारे पास है:
$P(X = 3) = { }^5C_3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{5-3}$
$P(X = 3) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \cdot (\frac{1}{125}) \cdot (\frac{16}{25})$
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{16}{3125}$
$P(X = 3) = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(B) दिया गया है कि माध्य और प्रसरण के बीच का अंतर $1$ है:
$np - npq = 1 \Rightarrow np(1-q) = 1 \Rightarrow np^2 = 1$ $\qquad (i)$
साथ ही,उनके वर्गों के बीच का अंतर $11$ है:
$(np)^2 - (npq)^2 = 11$ $\qquad (ii)$
$n^2p^2 - n^2p^2q^2 = 11 \Rightarrow n^2p^2(1-q^2) = 11$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{n^2p^2(1-q^2)}{np^2} = 11 \Rightarrow n(1-q^2) = 11$
चूंकि $n=36$,$36(1-q^2) = 11 \Rightarrow 1-q^2 = \frac{11}{36} \Rightarrow q^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36} \Rightarrow q = \frac{5}{6}$
अतः,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
अब,$P(X=2) = {}^{36}C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{36 \times 35}{2} \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m\left(\frac{5}{6}\right)^{36}$
$\frac{35}{2} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} = m \times \left(\frac{5}{6}\right)^{34} \times \left(\frac{5}{6}\right)^2$
$m = \frac{35}{2} \times \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{35}{2} \times \frac{36}{25} = \frac{7 \times 18}{5} = 25.2$
अतः,$m : n = 25.2 : 36 = 252 : 360 = 7 : 10$.

(A) मान लीजिए कि $p$ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता है और $q$ लक्ष्य को भेदने में विफल होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $q = \frac{1}{3}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
प्रयासों की संख्या $n = 4$ है।
हमें कम से कम तीन बार लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 3) = {}^4C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{81}$.
$P(X = 4) = {}^4C_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{16}{81} \times 1 = \frac{16}{81}$.
अतः,$P(X \geq 3) = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$.

(C) $n=7$ और $p=q=\frac{1}{2}$ वाले द्विपद वितरण के लिए:
$\mu = np = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$
$\sigma^2 = npq = 7 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$
$P(X=3) = {}^{7}C_{3} \times (\frac{1}{2})^{3} \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times (\frac{1}{2})^{7} = 35 \times \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$
$\frac{\mu \sigma^2}{P(X=3)} = \frac{(\frac{7}{2}) \times (\frac{7}{4})}{\frac{35}{128}} = \frac{49}{8} \times \frac{128}{35} = \frac{7}{1} \times \frac{16}{5} = \frac{112}{5}$

(C) दिया गया है $X \sim B(5, p)$.
$P(X=3) = P(X=4)$
$\Rightarrow { }^5 C_3 p^3(1-p)^2 = { }^5 C_4 p^4(1-p)$
$\Rightarrow 10(1-p) = 5p$
$\Rightarrow 10 - 10p = 5p \Rightarrow 15p = 10 \Rightarrow p = \frac{2}{3}$.
अब,हमें $P(|X-3| < 2)$ ज्ञात करना है।
$P(|X-3| < 2) = P(-2 < X-3 < 2) = P(1 < X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
चूंकि $P(X=3) = P(X=4)$,हमारे पास $P(X=2) + 2P(X=3)$ है।
$P(X=2) = { }^5 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$.
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$.
$P(|X-3| < 2) = \frac{40}{243} + 2(\frac{80}{243}) = \frac{40 + 160}{243} = \frac{200}{243}$.

(C) माना माध्य $\mu = np$ और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया है,$\mu - \sigma = 3 \Rightarrow \mu - 3 = \sigma$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\mu - 3)^2 = \sigma^2 = npq$।
यह भी दिया है कि,$\mu^2 - \sigma^2 = 21$।
पहले समीकरण में $\sigma^2 = \mu^2 - 21$ रखने पर:
$(\mu - 3)^2 = \mu^2 - 21$
$\mu^2 - 6\mu + 9 = \mu^2 - 21$
$-6\mu = -30 \Rightarrow \mu = 5$।
चूँकि $\mu = np = 5$,इसलिए $\sigma^2 = 5^2 - 21 = 25 - 21 = 4$।
हम जानते हैं कि $\sigma^2 = npq = 5q = 4$,इसलिए $q = \frac{4}{5}$ और $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
चूँकि $np = 5$,इसलिए $n(\frac{1}{5}) = 5 \Rightarrow n = 25$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ है।
$\frac{P(X=1)}{P(X=2)} = \frac{{}^{25}C_1 p^1 q^{24}}{{}^{25}C_2 p^2 q^{23}} = \frac{25 \cdot q}{300 \cdot p} = \frac{1}{12} \cdot \frac{4/5}{1/5} = \frac{1}{12} \cdot 4 = \frac{1}{3}$।

(A) मान लीजिए $X$ वह संख्या है जितनी बार रडार $n = 4$ स्कैन में विमान का पता लगाता है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 4$ और $p = 0.1$ (पता लगाने की प्रायिकता) है।
विमान का पता न लगाने की प्रायिकता $q = 1 - p = 0.9$ है।
हम वह प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं कि यह कम से कम दो बार विमान का पता न लगा सके,जो $1 - P(\text{विमान का } 2, 3, \text{ या } 4 \text{ बार पता लगाने की प्रायिकता})$ के बराबर है।
$P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$.
$P(X=2) = {}^{4}C_{2} (0.1)^{2} (0.9)^{2} = 6 \times 0.01 \times 0.81 = 0.0486$.
$P(X=3) = {}^{4}C_{3} (0.1)^{3} (0.9)^{1} = 4 \times 0.001 \times 0.9 = 0.0036$.
$P(X=4) = {}^{4}C_{4} (0.1)^{4} (0.9)^{0} = 1 \times 0.0001 \times 1 = 0.0001$.
$P(X \ge 2) = 0.0486 + 0.0036 + 0.0001 = 0.0523$.
आवश्यक प्रायिकता $1 - P(X \ge 2) = 1 - 0.0523 = 0.9477$ है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है:
योग: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$ ...$(i)$
गुणनफल: $(np)(npq) = n^2p^2q = 6$ ...(ii)
$(i)$ से,$np = \frac{5}{1+q}$। इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{5}{1+q}\right)^2 q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2 \Rightarrow 25q = 6(1+2q+q^2) \Rightarrow 6q^2 - 13q + 6 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0 \Rightarrow (3q-2)(2q-3) = 0$.
चूंकि $q < 1$,इसलिए $q = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है। अतः $p = 1 - q = \frac{1}{3}$।
$q = \frac{2}{3}$ को $(i)$ में रखने पर: $np(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow np(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow np = 3$.
चूंकि $p = \frac{1}{3}$,इसलिए $n(\frac{1}{3}) = 3 \Rightarrow n = 9$।
अंततः,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$।

(C) दिया गया माध्य $= np = 6$ ...$(i)$
प्रसरण $= npq = 2$ ...(ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$p$ का मान $(i)$ में रखने पर,$n \times \frac{2}{3} = 6 \Rightarrow n = 9$।
हमें $P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = {}^9C_0 \times (\frac{2}{3})^0 \times (\frac{1}{3})^9 = \frac{1}{3^9}$।
$P(X=1) = {}^9C_1 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^8 = 9 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3^8} = \frac{18}{3^9}$।
$P(X \geq 2) = 1 - [\frac{1}{3^9} + \frac{18}{3^9}] = 1 - \frac{19}{3^9}$।

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $= np$ और प्रसरण $= npq$,जहाँ $n=5$ परीक्षणों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता है और $q=1-p$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है कि माध्य और प्रसरण के बीच का अंतर $\frac{5}{9}$ है:
$np - npq = \frac{5}{9}$
$np(1-q) = \frac{5}{9}$
चूँकि $1-q = p$,इसलिए $np^2 = \frac{5}{9}$।
$n=5$ रखने पर:
$5p^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow p^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow p = \frac{1}{3}$।
तब $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$5$ परीक्षणों में $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद सूत्र $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है:
$P(X=2) = {^5C_2} \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{5-2}$
$P(X=2) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$।

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np$ द्वारा और प्रसरण $\sigma^2 = np(1-p)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$np = 2.4$ और $np(1-p) = 1.44$ है।
प्रसरण के समीकरण में $np$ का मान रखने पर:
$2.4(1-p) = 1.44$
$1-p = \frac{1.44}{2.4} = 0.6$
$p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
अब,$p = 0.4$ का मान $np = 2.4$ में रखने पर:
$n(0.4) = 2.4$
$n = \frac{2.4}{0.4} = 6$ है।
अतः,प्राचल $n = 6$ और $p = \frac{2}{5}$ हैं।

(A) पॉइसन वितरण द्विपद वितरण की एक सीमित स्थिति है जब विशिष्ट शर्तें पूरी होती हैं: $n$ बहुत बड़ा हो $(n \to \infty)$ और $p$ बहुत छोटा हो $(p \to 0)$ ताकि $np = \lambda$ स्थिर रहे।
कथन $(i)$ बर्नौली परीक्षण के लिए बुनियादी आवश्यकता का वर्णन करता है।
कथन (ii) पॉइसन सन्निकटन के लिए एक आवश्यक शर्त है।
कथन (iii) द्विपद और पॉइसन दोनों वितरणों के लिए एक आवश्यकता है।
कथन (iv) बताता है कि सफलता की संभावना $p$ बहुत बड़ी है। यह पॉइसन वितरण की मौलिक धारणा के विपरीत है,जो दुर्लभ घटनाओं का मॉडलिंग करता है जहाँ $p$ छोटा होता है। इसलिए,(iv) उपयुक्त नहीं है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $= np = 2$ और प्रसरण $= npq = 1$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,हमारे पास $np(1 - p) = 1$ है।
$np = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(1 - p) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 - p = 1/2$,अतः $p = 1/2$ है।
तब $n(1/2) = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = ^4C_0 (1/2)^0 (1/2)^4 = 1 \times 1 \times 1/16 = 1/16$।
$P(X = 1) = ^4C_1 (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \times 1/2 \times 1/8 = 4/16$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$।

(A) माना $p$ उस व्यक्ति के बाएं हाथ से लिखने की प्रायिकता है,अतः $p = 0.1$।
माना $q$ उस व्यक्ति के बाएं हाथ से न लिखने की प्रायिकता है,अतः $q = 1 - p = 0.9$।
यहाँ $n = 10$ परीक्षणों और $k = 1$ सफलता के लिए द्विपद बंटन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$
मान रखने पर:
$P(X = 1) = {}^{10}C_{1} (0.1)^{1} (0.9)^{10-1}$
$P(X = 1) = 10 \times 0.1 \times (0.9)^9$
$P(X = 1) = 1 \times (0.9)^9 = (0.9)^9$

(C) द्विपद वितरण के गुण निम्नलिखित हैं:
- इसमें $n$ निश्चित स्वतंत्र परीक्षण होते हैं।
- प्रत्येक परीक्षण में केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: सफलता या विफलता।
- सफलता की संभावना $(p)$ और विफलता की संभावना $(q = 1 - p)$ प्रत्येक परीक्षण के लिए समान रहती है।
- प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र होता है,जिसका अर्थ है कि एक परीक्षण का परिणाम दूसरे परीक्षण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
इसलिए,यह कथन कि 'दो परिणामों की संभावनाएं एक परीक्षण से दूसरे परीक्षण में बदल सकती हैं' गलत है और यह द्विपद वितरण का गुण नहीं है।

(C) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np = 15$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण $\sigma^2 = np(1-p) = 10$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण समीकरण में $np$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$15(1-p) = 10$.
$1-p = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
अतः,$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
अब,माध्य समीकरण में $p$ का मान रखने पर:
$n \times \frac{1}{3} = 15$.
$n = 15 \times 3 = 45$.
इस प्रकार,प्राचल $n$ का मान $45$ है।

(B) दिया गया है कि $X \sim B(n, p)$,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
चूँकि $P(X=2) = P(X=3)$ है,हमारे पास है:
$\binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \binom{n}{3} p^3 q^{n-3}$
$\frac{n!}{2!(n-2)!} p^2 q^{n-2} = \frac{n!}{3!(n-3)!} p^3 q^{n-3}$
दोनों पक्षों को $n! p^2 q^{n-3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{q}{2} = \frac{p}{6(n-2)}$
$3q = p(n-2)$
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1-p) = np - 2p$
$3 - 3p = np - 2p$
$np = 3 - p$
द्विपद बंटन का माध्य $E(X) = np$ होता है।
अतः,माध्य $3-p$ है।

(B) दिया गया है कि $X$ एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण $B(n=20, p=0.4)$ है।
अतः,$n=20$,$p=0.4 = \frac{2}{5}$,और $q = 1 - p = \frac{3}{5}$ है।
हमें $5 - 5 P(X \geq 2)$ का मान ज्ञात करना है।
$P(X \geq 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$5 - 5(1 - (P(X=0) + P(X=1))) = 5 - 5 + 5(P(X=0) + P(X=1)) = 5(P(X=0) + P(X=1))$.
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X=0) = {}^{20}C_{0} (\frac{2}{5})^0 (\frac{3}{5})^{20} = (\frac{3}{5})^{20}$.
$P(X=1) = {}^{20}C_{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^{19} = 20 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{19} = 8 \times (\frac{3}{5})^{19}$.
अब,$5(P(X=0) + P(X=1)) = 5 [(\frac{3}{5})^{20} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19} + 8(\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3}{5} + 8) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [(\frac{3+40}{5}) \times (\frac{3}{5})^{19}]$
$= 5 [\frac{43}{5} \times (\frac{3}{5})^{19}] = 43 \times (\frac{3}{5})^{19}$.

(B) माना $n = 5$ प्रश्नों की कुल संख्या है।
माना $p$ प्रश्न का गलत उत्तर देने की प्रायिकता है। चूंकि $4$ में से $3$ गलत उत्तर हैं,इसलिए $p = \frac{3}{4}$।
माना $q$ प्रश्न का सही उत्तर देने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{1}{4}$।
हमें कम से कम $3$ प्रश्नों के गलत उत्तर देने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 3)$ है,जहाँ $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है।
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X=k) = \binom{5}{k} (\frac{3}{4})^k (\frac{1}{4})^{5-k}$
$P(X=3) = \binom{5}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$
$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$
$P(X=5) = \binom{5}{5} (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$
$P(X \ge 3) = \frac{270 + 405 + 243}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$

(A) $n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद वितरण के लिए,मान लीजिए $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
माध्य $= np$
प्रसरण $= npq$
चूंकि सफलता एक असंभव घटना नहीं है,इसलिए $p > 0$ है। चूंकि असफलता भी एक असंभव घटना नहीं है (द्विपद वितरण के संदर्भ में जहाँ $0 < p < 1$),हमारे पास $0 < q < 1$ है।
चूंकि $q < 1$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $npq < np$ है।
अतः,माध्य हमेशा प्रसरण से अधिक होता है।

(B) द्विपद बंटन का प्रसरण $\sigma^2 = n p q$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
प्रसरण का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $p$ के फलन के रूप में व्यक्त करते हैं: $f(p) = n p(1 - p) = n(p - p^2)$।
$p$ के सापेक्ष अवकलन करने पर और इसे शून्य के बराबर रखने पर: $f'(p) = n(1 - 2p) = 0$।
इससे $1 - 2p = 0$,या $p = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को प्रसरण के सूत्र में रखने पर: $\sigma^2_{\max} = n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{n}{4}$।

(D) दिया गया है,$p=q$।
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p=q=\frac{1}{2}$ है।
अब,द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ होता है।
$k=5$ और $p=q=\frac{1}{2}$ रखने पर:
$P(X=5) = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5} = { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n$।
अतः,$2^n P(X=5) = 2^n \cdot { }^n C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^n = { }^n C_5$।

(D) मान लीजिए $X$ $3$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को दर्शाता है। चूंकि पासा $3$ बार उछाला जाता है,इसलिए $n=3$.
एक बार उछालने पर सम संख्या (सफलता) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है,जहाँ $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ है।
हमें कम से कम $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$ है।
$P(X=2) = { }^3 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$ है।
$P(X=3) = { }^3 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{3-3} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
अतः,$P(X \geq 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 5$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
प्रसरण के सूत्र में $np = 5$ रखने पर,हमें $5q = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{4}{5}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
$np = 5$ और $p = \frac{1}{5}$ का उपयोग करके,हमें $n = \frac{5}{p} = 5 \times 5 = 25$ प्राप्त होता है।
द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ है।
$X=1$ के लिए,$P(X=1) = {}^{25}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{25-1}$।
$P(X=1) = 25 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{24} = 5 \times \frac{4^{24}}{5^{24}} = \frac{4^{24}}{5^{23}}$।

(A) मान लीजिए कि सफलता कार्यालय के उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले स्मार्ट फोन का चयन करना है।
यहाँ,सफलता की प्रायिकता $p = 50 \% = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
हमारे पास $n = 10$ परीक्षण हैं और हमें ठीक $r = 2$ सफलताएँ चाहिए।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{10-2}$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 2) = { }^{10} C_2 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = { }^{10} C_2 \frac{1}{2^{10}}$.

(C) द्विपद बंटन $B(n, p)$ में,माध्य $\mu = np$ होता है और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq}$ होता है।
दिया गया है,$np = 200$ और $\sqrt{npq} = 10$ है।
मानक विचलन समीकरण का वर्ग करने पर,हमें $npq = 100$ प्राप्त होता है।
$np = 200$ को $npq = 100$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $200q = 100$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $q = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $p + q = 1$ होता है,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$np = 200 \implies n(\frac{1}{2}) = 200 \implies n = 400$ है।
हमें $n^2 + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ की गणना करनी है।
मान रखने पर: $(400)^2 + \frac{1}{(1/2)^2} + \frac{1}{(1/2)^2} = 160000 + 4 + 4 = 160008$।

(B) मान लीजिए कि वह $n$ बार लक्ष्य पर फायर करता है।
मान लीजिए $X$ लक्ष्य को भेदने की संख्या है।
चूंकि लक्ष्य को भेदना एक बर्नौली परीक्षण है,इसलिए $X$ द्विपद वितरण का पालन करता है।
यहाँ,$p = \frac{2}{3}$ (भेदने की प्रायिकता) और $q = 1 - p = \frac{1}{3}$ (न भेदने की प्रायिकता)।
लक्ष्य को कम से कम एक बार भेदने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि $P(X \geq 1) > 90 \%$,जिसका अर्थ है $P(X \geq 1) > 0.9$।
इसलिए,$1 - P(X = 0) > 0.9$।
चूंकि $P(X = 0) = {}^nC_0 q^n p^0 = (\frac{1}{3})^n$,हमारे पास है:
$1 - (\frac{1}{3})^n > 0.9$
$0.1 > (\frac{1}{3})^n$
$(\frac{1}{3})^n < \frac{1}{10}$
$3^n > 10$।
$n = 1$ के लिए,$3^1 = 3 < 10$।
$n = 2$ के लिए,$3^2 = 9 < 10$।
$n = 3$ के लिए,$3^3 = 27 > 10$।
अतः,उसे न्यूनतम $3$ बार फायर करना चाहिए।

(B) दिया गया है माध्य = $np = 6$ ... $(i)$
प्रसरण = $npq = 2$ जहाँ $q = 1 - p$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$6q = 2 \implies q = \frac{1}{3}$
चूँकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
समीकरण $(i)$ से,$n = \frac{6}{p} = \frac{6}{2/3} = 9$
द्विपद बंटन का प्रायिकता सूत्र $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ है।
$X = 8$ के लिए:
$P(X = 8) = {}^9C_8 \left(\frac{2}{3}\right)^8 \left(\frac{1}{3}\right)^{9-8}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^8} \times \frac{1}{3}$
$P(X = 8) = 9 \times \frac{2^8}{3^9} = \frac{3^2 \times 2^8}{3^9} = \frac{2^8}{3^7}$

(D) दिया गया है,द्विपद बंटन का माध्य $= 20$।
$\Rightarrow np = 20$ $(i)$।
द्विपद बंटन का मानक विचलन $= 4$।
$\Rightarrow \sqrt{np(1-p)} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $np(1-p) = 16$ $(ii)$।
समीकरण $(i)$ से $np = 20$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$20(1-p) = 16$।
$1-p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$।
$p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$।
$p$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$n \times \frac{1}{5} = 20$।
$n = 20 \times 5 = 100$।
अतः,परीक्षणों की संख्या $100$ है।

(B) कुल खिलौने = $30$। सफेद खिलौने = $10$। नीले खिलौने = $30 - 10 = 20$।
सफेद खिलौना निकालने की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$।
नीला खिलौना निकालने की प्रायिकता $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
चूंकि खिलौनों को वापस रखा जा रहा है,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{3}$ है।
हमें अधिकतम $2$ सफेद खिलौने प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$।
$P(X=0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = (\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$।
$P(X=1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$।
$P(X=2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$।
$P(X \le 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243}$।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{64}{81} = (\frac{8}{9})^2$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ परीक्षणों और सफलता की प्रायिकता $p$ वाले द्विपद बंटन के लिए,मान लीजिए $q = 1 - p$ है।
माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ है।
दिया गया है:
$np + npq = 15$
$np(npq) = 54$
मान लीजिए $X = np$ और $Y = npq$ है।
तब $X + Y = 15$ और $XY = 54$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - 15t + 54 = 0$ के मूल हैं।
$(t - 9)(t - 6) = 0$,इसलिए मूल $9$ और $6$ हैं।
चूंकि $np > npq$ ($q < 1$ होने के कारण),हमें $np = 9$ और $npq = 6$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{npq}{np} = \frac{6}{9} \implies q = \frac{2}{3}$।
तब $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$p$ का मान $np = 9$ में रखने पर: $n(\frac{1}{3}) = 9 \implies n = 27$।
अतः,परीक्षणों की संख्या $27$ है।

(C) हम जानते हैं कि द्विपद वितरण $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p+q=1$ है।
दिया गया है $n=5, p=\frac{3}{4}, q=\frac{1}{4}$।
सबसे पहले,$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ की गणना करें।
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$।
$P(X=4) = { }^5 C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$।
$P(X=5) = { }^5 C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$।
$P(X \geq 3) = \frac{270+405+243}{1024} = \frac{918}{1024}$।
तब $\alpha = \frac{1}{9} \times \frac{918}{1024} = \frac{102}{1024}$।
आगे,$\beta = P(X \leq 2) = 1 - P(X \geq 3) = 1 - \frac{918}{1024} = \frac{106}{1024}$।
अंत में,$256(\beta - \alpha) = 256(\frac{106}{1024} - \frac{102}{1024}) = 256(\frac{4}{1024}) = 256(\frac{1}{256}) = 1$।

(D) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $n=7$ और $P(X=3) = P(X=4)$:
$\binom{7}{3} p^3 q^4 = \binom{7}{4} p^4 q^3$
चूँकि $\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35$,इसलिए $35 p^3 q^4 = 35 p^4 q^3$ है।
दोनों पक्षों को $35 p^3 q^3$ से विभाजित करने पर ($p, q \neq 0$ मानते हुए),हमें $q = p$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p+q=1$ है,इसलिए $p = q = \frac{1}{2}$ होगा।
अब,$P(X=5)$ की गणना करते हैं:
$P(X=5) = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{7-5} = \binom{7}{5} (\frac{1}{2})^7$ है।
$\binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ है।
अतः,$P(X=5) = 21 \times \frac{1}{2^7} = \frac{21}{2^7}$।

(D) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ ... $(i)$
प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4} \implies q = \frac{1}{2}$
चूँकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
समीकरण $(i)$ में $p = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$n \times \frac{1}{2} = 4 \implies n = 8$
द्विपद बंटन में $X$ सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ है।
$k = 2$ के लिए:
$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 28 \times \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$

(A) दिया गया है,विफलता की प्रायिकता $q = 0.8$,इसलिए सफलता की प्रायिकता $p = 1 - 0.8 = 0.2$ है। परीक्षणों की संख्या $n = 3$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि घटना अधिकतम एक बार हो,जो $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
$P(X = 0) = { }^3 C_0 (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$.
$P(X = 1) = { }^3 C_1 (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$.
अतः,$P(X \leq 1) = 0.512 + 0.384 = 0.896$.

(C) दिया गया है,द्विपद चर का माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
$\therefore q = \frac{npq}{np} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$np = 8$ में $p = \frac{1}{2}$ रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 8$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = 1 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = 16 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}}$.
अतः,$P(X < 3) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.

(A) दिया गया है कि $X$ द्विपद वितरण का पालन करता है,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{{ }^n C_r p^r q^{n-r}}{{ }^n C_{n-r} p^{n-r} q^r}$
चूंकि ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$,व्यंजक का सरलीकरण इस प्रकार होता है:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{p^r q^{n-r}}{p^{n-r} q^r} = \left(\frac{p}{q}\right)^r \left(\frac{q}{p}\right)^{n-r} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2r}$
इस व्यंजक के $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$n$ वाले घातांक का आधार $1$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{q}{p} = 1$,जिसका अर्थ है $q = p$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p + p = 1$,जिससे हमें $2p = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = \frac{1}{2}$।

(A) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के को $100$ बार उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 100$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
$k$ बार चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{100-k} = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^{100}$ द्वारा दी जाती है।
हमें विषम संख्या में चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1) + P(X=3) + \dots + P(X=99)$ है।
यह योग $(\frac{1}{2})^{100} \times ({}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + \dots + {}^{100}C_{99})$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि विषम-क्रम वाले द्विपद गुणांकों का योग ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ होता है।
$n=100$ के लिए,यह योग $2^{100-1} = 2^{99}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(\frac{1}{2})^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।