Binomial distribution Questions in Hindi

(A) माना $X$ एक निष्पक्ष सिक्के को $100$ बार उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 100$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
$k$ बार चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{100-k} = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^{100}$ द्वारा दी जाती है।
हमें विषम संख्या में चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X=1) + P(X=3) + \dots + P(X=99)$ है।
यह योग $(\frac{1}{2})^{100} \times ({}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + \dots + {}^{100}C_{99})$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि विषम-क्रम वाले द्विपद गुणांकों का योग ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ होता है।
$n=100$ के लिए,यह योग $2^{100-1} = 2^{99}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $(\frac{1}{2})^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(A) यहाँ $X$ एक द्विपद चर है जिसका परिसर $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए परीक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P(X=2) = 4 P(X=4)$ है।
मान रखने पर:
${^6C_2} p^2 q^4 = 4 \cdot {^6C_4} p^4 q^2$.
चूँकि ${^6C_2} = 15$ और ${^6C_4} = 15$,इसलिए:
$15 p^2 q^4 = 4 \cdot 15 p^4 q^2$.
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$q^2 = 4 p^2$.
$q = 1-p$ रखने पर:
$(1-p)^2 = 4 p^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$1-p = 2p$ या $1-p = -2p$.
स्थिति $1$: $1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $1 = -p \Rightarrow p = -1$ (जो संभव नहीं है क्योंकि $0 \leq p \leq 1$)।
अतः,प्राचल $p = \frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया है कि सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{4}$ है।
अतः,असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
द्विपद वितरण का मानक विचलन $(SD)$ $\sqrt{npq} = 3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $npq = 9$ प्राप्त होता है।
$p$ और $q$ के मान रखने पर:
$n \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$
$n \times \frac{3}{16} = 9$
$n = 9 \times \frac{16}{3} = 48$।
द्विपद वितरण का माध्य $np$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= 48 \times \frac{1}{4} = 12$।

(B) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $\mu - \sigma^2 = 1$,तो $np - npq = 1$,जो $np(1-q) = 1$ अर्थात $np^2 = 1$ हो जाता है।
दिया गया है $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,हम सूत्र $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हैं।
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$.
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$.
$(n-1) p = 3q = 3(1-p)$.
$np - p = 3 - 3p \implies np + 2p = 3$.
चूंकि $np^2 = 1$,हमारे पास $n = \frac{1}{p^2}$ है।
$n$ का मान रखने पर: $\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \implies \frac{1}{p} + 2p = 3$.
$1 + 2p^2 = 3p \implies 2p^2 - 3p + 1 = 0$.
$(2p-1)(p-1) = 0$. चूंकि $p < 1$,इसलिए $p = \frac{1}{2}$ है।
तब $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$.
हमें $n^2 P(X>1) = 16(1 - P(X=0) - P(X=1))$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = (1/2)^4 = 1/16$.
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4 \cdot (1/16) = 4/16$.
$P(X>1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 11/16$.
$n^2 P(X>1) = 16 \cdot (11/16) = 11$.

(A) $n$ और $p$ प्राचलों वाले द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = x$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 5$ है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
चूँकि $np = x$ और $npq = 5$,हमें $xq = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{5}{x}$।
चूँकि $0 < q < 1$,इसलिए $0 < \frac{5}{x} < 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 5$।
साथ ही,$p = 1 - q = 1 - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}$।
चूँकि $0 < p < 1$,हमें $0 < \frac{x-5}{x} < 1$ प्राप्त होता है,जो $x > 5$ के साथ संगत है।
हम जानते हैं कि $n = \frac{x}{p} = \frac{x}{(x-5)/x} = \frac{x^2}{x-5}$।
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,$x-5$ को $x^2$ का भाजक होना चाहिए।
हम $x^2 = (x-5)(x+5) + 25$ लिख सकते हैं,इसलिए $n = x+5 + \frac{25}{x-5}$।
$n$ के पूर्णांक होने के लिए,$x-5$ को $25$ का भाजक होना चाहिए।
$25$ के भाजक $1, 5, 25$ हैं।
स्थिति $1$: $x-5 = 1 \implies x = 6$। तब $n = 6+5 + 25/1 = 36$।
स्थिति $2$: $x-5 = 5 \implies x = 10$। तब $n = 10+5 + 25/5 = 20$।
स्थिति $3$: $x-5 = 25 \implies x = 30$। तब $n = 30+5 + 25/25 = 36$।
अतः,$x$ के संभावित मान $6, 10, 30$ हैं।

(C) जब $8$ सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^8 = 256$ होती है।
मान लीजिए $X$ प्राप्त चितों की संख्या है। $X$ एक द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $n = 8$ और $p = 0.5$ है।
कम से कम $6$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$ है।
सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 6) = \binom{8}{6} (0.5)^8 = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} (0.5)^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.5)^8 = 1 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \ge 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$.

(D) माना $n$ उछालों की संख्या है। $n$ उछालों में $k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन $P(X=k) = {^nC_k} (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ है।
$P(X=0) = {^nC_0} (\frac{1}{2})^n = \frac{1}{2^n}$.
$P(X=1) = {^nC_1} (\frac{1}{2})^n = \frac{n}{2^n}$.
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - \frac{1+n}{2^n}$.
हम चाहते हैं कि $1 - \frac{1+n}{2^n} \ge 0.96$,जिसका अर्थ है $\frac{1+n}{2^n} \le 0.04 = \frac{1}{25}$.
$n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n=7$ के लिए: $\frac{1+7}{2^7} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} = 0.0625 > 0.04$.
$n=8$ के लिए: $\frac{1+8}{2^8} = \frac{9}{256} \approx 0.03515 < 0.04$.
अतः,आवश्यक उछालों की न्यूनतम संख्या $8$ है।

(A) माना $X$ एक द्विपद चर है जिसके लिए माध्य $= 4$ और प्रसरण $= 3$ है।
अतः $np = 4$ और $npq = 3$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
$np = 4$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{1}{4} = 4$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ है।
हमें $2^{32} P\left(X=\frac{16}{2}\right) = 2^{32} P(X=8)$ की गणना करनी है।
$P(X=8) = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^{16-8} = {}^{16}C_8 \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^8 = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{4^{16}}$।
चूंकि $4^{16} = (2^2)^{16} = 2^{32}$,इसलिए $P(X=8) = {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}}$।
अतः,$2^{32} P(X=8) = 2^{32} \times {}^{16}C_8 \frac{3^8}{2^{32}} = {}^{16}C_8 (3^8)$।

(D) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $n = 15$ और $\operatorname{Var}(X) = 3.15$ दिया गया है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $15 \times p(1 - p) = 3.15$।
$15$ से भाग देने पर,$p(1 - p) = \frac{3.15}{15} = 0.21$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $p - p^2 = 0.21$ या $p^2 - p + 0.21 = 0$ में बदल जाता है।
गुणनखंड विधि का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$p^2 - 0.7p - 0.3p + 0.21 = 0$
$p(p - 0.7) - 0.3(p - 0.7) = 0$
$(p - 0.7)(p - 0.3) = 0$।
अतः,$p$ के संभावित मान $0.7$ और $0.3$ हैं।

(A) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रसरण $Var(X) = n \times p \times q$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
दिया गया है कि $X \sim B(n_1, 0.5)$,इसलिए $p_1 = 0.5$ और $q_1 = 1 - 0.5 = 0.5$ है।
प्रसरण $n_1 \times 0.5 \times 0.5 = 6$ है।
$n_1 \times 0.25 = 6 \Rightarrow n_1 = \frac{6}{0.25} = 24$।
दिया गया है कि $Y \sim B(n_2, 0.4)$,इसलिए $p_2 = 0.4$ और $q_2 = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
प्रसरण $n_2 \times 0.4 \times 0.6 = 6$ है।
$n_2 \times 0.24 = 6 \Rightarrow n_2 = \frac{6}{0.24} = 25$।
अतः,$\sqrt{n_1 + n_2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$।

(C) मान लीजिए दिनों की संख्या $n = 7$ है।
मान लीजिए $A$ के अलार्म बजने से पहले जागने की प्रायिकता $p = 0.4$ है।
मान लीजिए $A$ के अलार्म बजने से पहले न जागने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
यह द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है।
द्विपद बंटन का माध्य $E(X) = n \cdot p$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= 7 \times 0.4 = 2.8$.
द्विपद बंटन का प्रसरण $Var(X) = n \cdot p \cdot q$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण $= 7 \times 0.4 \times 0.6 = 2.8 \times 0.6 = 1.68$.
अतः,माध्य और प्रसरण क्रमशः $2.8$ और $1.68$ हैं।

(C) दिया गया है,माध्य $np = 2$ $(i)$
और प्रसरण $npq = 1$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 2$,अतः $n = 4$ है।
द्विपद वितरण $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {}^4C_k (\frac{1}{2})^4$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 1) = {}^4C_2 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_3 (\frac{1}{2})^4 + {}^4C_4 (\frac{1}{2})^4$.
$P(X > 1) = (6 + 4 + 1) \times \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या $n = 4$ है। बच्चे के लड़का $(B)$ या लड़की $(G)$ होने की प्रायिकता $P(B) = P(G) = \frac{1}{2}$ है।
$4$ बच्चों वाले परिवार के लिए,कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
दोनों लिंगों के बच्चे होने की घटना उस घटना की पूरक घटना है जिसमें सभी बच्चे एक ही लिंग के हों (सभी लड़के या सभी लड़कियाँ)।
$P(\text{सभी लड़के}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{सभी लड़कियाँ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{दोनों लिंग}) = 1 - [P(\text{सभी लड़के}) + P(\text{सभी लड़कियाँ})] = 1 - [\frac{1}{16} + \frac{1}{16}] = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$800$ परिवारों के लिए,दोनों लिंगों के बच्चे वाले परिवारों की अपेक्षित संख्या $800 \times \frac{7}{8} = 700$ है।

(B) दिया गया है कि $X$ एक द्विपद चर है जिसका माध्य $np = 6$ और प्रसरण $npq = 2$ है।
इससे,$6q = 2$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{3}$।
अतः,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$np = 6$ में $p$ का मान रखने पर,$n \times \frac{2}{3} = 6$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
हमें $P(5 \leq X \leq 7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)$ की गणना करनी है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=5) = {}^9C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^4 = 126 \times \frac{32}{3^9} = \frac{4032}{19683}$।
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^3 = 84 \times \frac{64}{3^9} = \frac{5376}{19683}$।
$P(X=7) = {}^9C_7 (\frac{2}{3})^7 (\frac{1}{3})^2 = 36 \times \frac{128}{3^9} = \frac{4608}{19683}$।
इन मानों को जोड़ने पर: $P(5 \leq X \leq 7) = \frac{4032 + 5376 + 4608}{19683} = \frac{14016}{19683}$।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर: $\frac{4672}{6561}$।

(A) माना $X$ एक बॉक्स में दोषपूर्ण तालों की संख्या है। चूंकि तालों की संख्या $n=100$ बड़ी है और दोष की प्रायिकता $p=0.02$ छोटी है,इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे,जहाँ माध्य $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$ है।
$r$ दोषपूर्ण तालों की प्रायिकता $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-2} 2^r}{r!}$ द्वारा दी जाती है।
निर्माता गारंटी देता है कि $2$ से अधिक ताले दोषपूर्ण नहीं हैं,जिसका अर्थ है कि यदि $X \le 2$ है तो बॉक्स गुणवत्ता मानकों को पूरा करता है।
बॉक्स गारंटी को पूरा करने में विफल रहता है यदि $X > 2$ है।
विफलता की प्रायिकता $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ है।
मान रखने पर:
$P(X > 2) = 1 - [\frac{e^{-2} 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} 2^1}{1!} + \frac{e^{-2} 2^2}{2!}] = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 5e^{-2}$.

(C) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = \frac{4}{3}$ $(i)$ द्वारा और प्रसरण $npq = \frac{8}{9}$ $(ii)$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{8/9}{4/3} \implies q = \frac{8}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p = \frac{1}{3}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$n \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \implies n = 4$.
द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
$k=2$ के लिए,$P(X=2) = {}^4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^{4-2}$.
$P(X=2) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$.

(C) दिया गया है कि $n=6$ और $P(X=2)=9 P(X=4)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {}^n C_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
${}^6 C_2 p^2 q^4 = 9 \cdot {}^6 C_4 p^4 q^2$
चूंकि ${}^6 C_2 = 15$ और ${}^6 C_4 = 15$,इसलिए:
$15 p^2 q^4 = 9 \cdot 15 p^4 q^2$
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$q^2 = 9 p^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$q = 3p$
हम जानते हैं कि $p + q = 1$,इसलिए $q = 3p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p + 3p = 1 \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$
अतः $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $npq$ द्वारा दिया जाता है:
$\text{प्रसरण} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(D) द्विपद बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $n=4$ और $P(X=0) = \frac{16}{81}$ है।
सूत्र में $k=0$ रखने पर: $P(X=0) = \binom{4}{0} p^0 q^{4-0} = q^4$ प्राप्त होता है।
अतः,$q^4 = \frac{16}{81} = (\frac{2}{3})^4$ है।
इसका अर्थ है कि $q = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $p+q=1$ होता है,इसलिए $p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
अब,हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है:
$P(X=4) = \binom{4}{4} p^4 q^{4-4} = 1 \times (\frac{1}{3})^4 \times 1 = \frac{1}{81}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है।
दिया गया है $\mu = 2\sigma^2$,इसलिए $np = 2npq$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,हमें $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\mu + \sigma^2 = 3$,इसलिए $np + npq = 3$।
$p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} = 3$ प्राप्त होता है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $2n + n = 12$ मिलता है,इसलिए $3n = 12$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर,हमें $P(X=4) = {^4C_4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(D) माना $p$ छात्र के गणित में अच्छा होने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.6 = \frac{3}{5}$।
माना $q$ छात्र के गणित में अच्छा न होने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$।
$n = 8$ छात्रों के समूह के लिए,गणित में अच्छे होने वाले ठीक $X = 2$ छात्रों के होने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = { }^n C_k \times p^k \times q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P(X=2) = { }^8 C_2 \times (0.6)^2 \times (0.4)^6$।
$P(X=2) = \frac{8 \times 7}{2} \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^6$।
$P(X=2) = 28 \times \frac{3^2}{5^2} \times \frac{2^6}{5^6} = (2^2 \times 7) \times \frac{3^2 \times 2^6}{5^8} = \frac{2^8 \times 3^2 \times 7}{5^8}$।

(D) माना $X$ नमूने $n = 8$ में इंजीनियरिंग छात्रों की संख्या है। यह द्विपद वितरण का पालन करता है जहाँ $p = \frac{1}{5}$ और $q = \frac{4}{5}$ है।
हमें $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{5})^0 (\frac{4}{5})^8 = (\frac{4}{5})^8 = \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^7 = 8 \times \frac{1}{5} \times \frac{4^7}{5^7} = 2 \times \frac{4^8}{5^8}$.
$P(X=2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^6 = 28 \times \frac{4^6}{5^8}$.
योग करने पर: $P(X \le 2) = \frac{4^8 + 2 \times 4^8 + 28 \times 4^6}{5^8} = \frac{76 \times 4^6}{5^8} = 19 \times \frac{4^7}{5^8}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जहाँ योग अधिकतम $7$ है:
योग $= 2: (1,1)$ ($1$ परिणाम)
योग $= 3: (1,2), (2,1)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 1+2+3+4+5+6 = 21$.
अतः,$x = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.
$y$ के लिए,एक बार फेंकने पर $7$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है। $7$ का योग न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
जब $n$ बार फेंका जाता है,तो कम से कम एक बार $7$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता $y = 1 - q^n = 1 - (\frac{5}{6})^n$ है।
हमें $y > x$ चाहिए,इसलिए $1 - (\frac{5}{6})^n > \frac{7}{12} \Rightarrow (\frac{5}{6})^n < \frac{5}{12}$.
$n=1$ के लिए: $\frac{5}{6} \approx 0.833 > 0.416$
$n=2$ के लिए: $\frac{25}{36} \approx 0.694 > 0.416$
$n=3$ के लिए: $\frac{125}{216} \approx 0.578 > 0.416$
$n=4$ के लिए: $\frac{625}{1296} \approx 0.482 > 0.416$
$n=5$ के लिए: $\frac{3125}{7776} \approx 0.401 < 0.416$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $5$ है।

(C) माना कि बम के लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता $p = \frac{3}{4}$ है।
अतः,बम के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
माना $n$ गिराए गए बमों की संख्या है। यदि कम से कम $2$ हिट हों तो लक्ष्य नष्ट हो जाता है।
माना $X$ हिट की संख्या है। हम $P(X \geq 2) \geq 0.99$ चाहते हैं।
यह $1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] \geq 0.99$ के बराबर है।
$P(X = 0) + P(X = 1) \leq 0.01 = \frac{1}{100}$।
द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए: $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$।
${}^{n}C_{0} (\frac{3}{4})^{0} (\frac{1}{4})^{n} + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4})^{1} (\frac{1}{4})^{n-1} \leq \frac{1}{100}$।
$\frac{1 + 3n}{4^{n}} \leq \frac{1}{100} \Rightarrow 4^{n} \geq 300n + 100$।
$n = 5$ के लिए: $4^{5} = 1024$ और $300(5) + 100 = 1600$। ($1024 < 1600$,गलत)।
$n = 6$ के लिए: $4^{6} = 4096$ और $300(6) + 100 = 1900$। ($4096 \geq 1900$,सही)।
अतः,बमों की न्यूनतम संख्या $6$ है।

(B) दिया गया है कि एक निष्पक्ष सिक्के को $K$ बार उछाला जाता है,$X$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करती है।
दिया है $P(X=4) = P(X=6)$।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=r) = {}^K C_r p^r q^{K-r}$ का उपयोग करने पर:
${}^K C_4 (\frac{1}{2})^K = {}^K C_6 (\frac{1}{2})^K$
${}^K C_4 = {}^K C_6$
चूंकि ${}^n C_x = {}^n C_y$ का अर्थ है $n = x + y$ (जब $x \neq y$),हमें $K = 4 + 6 = 10$ प्राप्त होता है।
$p = q = \frac{1}{2}$ वाले द्विपद वितरण के लिए,प्रायिकता $P(X=r)$ माध्य मान पर अधिकतम होती है।
$n = 10$ के लिए,अधिकतम प्रायिकता $r = \frac{n}{2} = \frac{10}{2} = 5$ पर होती है।

(C) माना $n = 5$ पासे फेंके जाते हैं।
किसी विशिष्ट अंक के लिए,एक पासे पर वह अंक आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है और न आने की प्रायिकता $q = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि $6$ संभावित अंक हैं,इसलिए कम से कम $3$ पासों पर समान अंक आने की प्रायिकता $6 \times P(X \geq 3)$ है,जहाँ $X$ द्विपद बंटन $B(5, \frac{1}{6})$ का पालन करता है।
$P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^2 = \frac{250}{6^5}$.
$P(X = 4) = \binom{5}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^1 = \frac{25}{6^5}$.
$P(X = 5) = \binom{5}{5} (\frac{1}{6})^5 = \frac{1}{6^5}$.
कुल प्रायिकता $= 6 \times (\frac{250 + 25 + 1}{6^5}) = \frac{276}{6^4}$.

(A) द्विपद प्रायिकता वितरण के अनुसार,मान लीजिए कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
$5$ चित आने की प्रायिकता $P(X=5) = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{n}$ है।
$7$ चित आने की प्रायिकता $P(X=7) = {}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,${}^{n}C_{5} = {}^{n}C_{7}$ है,इसलिए $n = 5+7 = 12$ प्राप्त होता है।
अब,$4$ चित आने की प्रायिकता $P(X=4) = {}^{12}C_{4} (\frac{1}{2})^{12}$ है।
$P(X=4) = \frac{495}{4096}$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) कुल परिणामों की संख्या $= 2^4 = 16$ है।
मान लीजिए $X$ लड़कियों की संख्या है।
हमें कम से कम दो लड़कियों की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \ge 2)$।
इसकी गणना $P(X \ge 2) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1)\}$ के रूप में की जा सकती है।
$P(X=0)$ के लिए (कोई लड़की नहीं,सभी लड़के): एकमात्र परिणाम $\{BBBB\}$ है,इसलिए $P(X=0) = \frac{1}{16}$।
$P(X=1)$ के लिए (ठीक एक लड़की): परिणाम $\{GBBB, BGBB, BBGB, BBBG\}$ हैं,इसलिए $P(X=1) = \frac{4}{16}$।
अतः,$P(X \ge 2) = 1 - \left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16}\right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(B) एकल प्रयास में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{\alpha}{\beta}$ है।
एकल प्रयास में विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{\beta - \alpha}{\beta}$ है।
हमें $n$ प्रयासों में कम से कम $(n-1)$ बार विफल होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $(n-1)$ बार विफलता या $n$ बार विफलता।
यह अधिकतम $1$ बार सफलता के बराबर है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = {}^{n}C_{0} p^0 q^n = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^n = \frac{(\beta - \alpha)^n}{\beta^n}$
$P(X = 1) = {}^{n}C_{1} p^1 q^{n-1} = n \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) \cdot \left(\frac{\beta - \alpha}{\beta}\right)^{n-1} = \frac{n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P = \frac{(\beta - \alpha)^n + n \alpha (\beta - \alpha)^{n-1}}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} [(\beta - \alpha) + n \alpha]}{\beta^n}$
$P = \frac{(\beta - \alpha)^{n-1} (n \alpha + \beta - \alpha)}{\beta^n}$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना कि सिक्का $n$ बार उछाला जाता है। एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=5) = P(X=4)$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{n-5} = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{n-4}$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^n$
${}^nC_5 = {}^nC_4$
गुणधर्म ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $n = 5 + 4 = 9$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $6$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है:
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^3 = {}^9C_3 (\frac{1}{2})^9$
$P(X=6) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{512} = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{21}{128}$.

(A) मान लीजिए $H$ चित को और $T$ पट को दर्शाता है। प्राप्त अंक $H$ के लिए $2$ और $T$ के लिए $1$ हैं।
जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो मान लीजिए $n_H$ चितों की संख्या है और $n_T$ पटों की संख्या है।
कुल अंक $S = 2n_H + 1n_T$ हैं।
चूंकि $n_H + n_T = 3$,इसलिए $n_T = 3 - n_H$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$S = 2n_H + (3 - n_H) = n_H + 3$ प्राप्त होता है।
$S$ के विषम होने के लिए $n_H + 3$ का विषम होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि $n_H$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$n_H$ के संभावित मान $0$ और $2$ हैं।
स्थिति $1$: $n_H = 0$ (सभी पट)। प्रायिकता $\binom{3}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।
स्थिति $2$: $n_H = 2$ (दो चित,एक पट)। प्रायिकता $\binom{3}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ है।
कुल प्रायिकता $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया है $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=7$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
$P(X=3) = P(X=5)$ के अनुसार:
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^{7-3} = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^{7-5}$
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^4 = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^2$
चूँकि $\binom{7}{3} = 35$ और $\binom{7}{5} = 21$ है,इसलिए:
$35 p^3 (1-p)^4 = 21 p^5 (1-p)^2$
दोनों पक्षों को $7 p^3 (1-p)^2$ से विभाजित करने पर:
$5 (1-p)^2 = 3 p^2$
$5 (1 - 2p + p^2) = 3 p^2$
$5 - 10p + 5p^2 = 3p^2$
$2p^2 - 10p + 5 = 0$
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 40}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{15}}{2}$
चूँकि $0 \le p \le 1$ है,इसलिए $p = \frac{5 - \sqrt{15}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = \frac{4}{3}$ और प्रसरण $npq = \frac{10}{9}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{10/9}{4/3} = \frac{10}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ है।
$np = \frac{4}{3}$ में $p = \frac{1}{6}$ रखने पर,$n(\frac{1}{6}) = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $n = 8$।
हमें $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ ज्ञात करना है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{8}{k} (\frac{1}{6})^k (\frac{5}{6})^{8-k}$ है।
$P(X=6) = \binom{8}{6} (\frac{1}{6})^6 (\frac{5}{6})^2 = 28 \times \frac{25}{6^8} = \frac{700}{6^8}$।
$P(X=7) = \binom{8}{7} (\frac{1}{6})^7 (\frac{5}{6})^1 = 8 \times \frac{5}{6^8} = \frac{40}{6^8}$।
$P(X=8) = \binom{8}{8} (\frac{1}{6})^8 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{6^8} = \frac{1}{6^8}$।
इनका योग करने पर,$P(X \geq 6) = \frac{700 + 40 + 1}{6^8} = \frac{741}{6^8}$।

(A) माना $X$,$n = 5$ इकाइयों के नमूने में दोषपूर्ण इकाइयों की संख्या है।
इकाई के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $p = \frac{1}{8}$ है,और इकाई के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{7}{8}$ है।
चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं,$X$ द्विपद बंटन $B(n, p) = B(5, \frac{1}{8})$ का पालन करता है।
अधिकतम एक दोषपूर्ण इकाई होने की प्रायिकता $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{8})^0 (\frac{7}{8})^5 = 1 \times 1 \times (\frac{7}{8})^5 = \frac{16807}{32768}$.
$P(X = 1) = \binom{5}{1} (\frac{1}{8})^1 (\frac{7}{8})^4 = 5 \times \frac{1}{8} \times \frac{2401}{4096} = \frac{12005}{32768}$.
$P(X \le 1) = \frac{16807 + 12005}{32768} = \frac{28812}{32768} = \frac{7203}{8192}$.
दिए गए विकल्पों में से कोई भी गणना किए गए परिणाम $\frac{7203}{8192}$ से मेल नहीं खाता है।

(A) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np = 1$ है।
अतः,$p = \frac{1}{n}$ और $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
दिया गया है $P(X=2) = \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \frac{27}{128}$।
$p$ और $q$ का मान रखने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} \times (\frac{1}{n})^2 \times (\frac{n-1}{n})^{n-2} = \frac{27}{128}$
$\frac{n-1}{2n} \times \frac{(n-1)^{n-2}}{n^{n-2}} = \frac{27}{128}$
$\frac{(n-1)^{n-1}}{2n^{n-1}} = \frac{27}{128}$
यदि $n=4$ हो:
$\frac{(4-1)^{4-1}}{2(4)^{4-1}} = \frac{3^3}{2(4^3)} = \frac{27}{2(64)} = \frac{27}{128}$।
यह दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।
प्रसरण $Var(X) = npq = 1 \times q = q$ है।
चूंकि $p = \frac{1}{4}$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,प्रसरण $\frac{3}{4}$ है।

(D) दिया गया है कि $X \sim B(6, p)$ एक द्विपद चर है जहाँ $n=6$ और सफलता की प्रायिकता $p$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = {}^{6}C_{x} p^{x} q^{6-x}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{1}{9}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{6}C_{4} p^{4} q^{2}}{{}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}} = \frac{1}{9}$।
चूँकि ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,व्यंजक सरल होकर हो जाता है: $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{1}{9}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{p}{q} = \frac{1}{3}$ (चूँकि $p, q > 0$)।
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p}{1-p} = \frac{1}{3}$।
$3p = 1-p \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$।

(C) मान लीजिए $X$ सही उत्तरों की संख्या है। चूंकि प्रत्येक प्रश्न में दो विकल्प (सही या गलत) हैं,इसलिए सही उत्तर की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और गलत उत्तर की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
छात्र उत्तीर्ण होता है यदि उसे $4, 5,$ या $6$ सही उत्तर मिलते हैं।
उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ है।
सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=4) = {}^6C_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{15}{64}$.
$P(X=5) = {}^6C_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^1 = 6 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{6}{64}$.
$P(X=6) = {}^6C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{15+6+1}{64} = \frac{22}{64} = \frac{11}{32}$.

(A) हम जानते हैं कि द्विपद बंटन के लिए:
माध्य $= np = 4$
प्रसरण $= npq = \frac{4}{3}$
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{4/3}{4} \Rightarrow q = \frac{1}{3}$
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$p$ का मान माध्य के समीकरण में रखने पर:
$n \times \frac{2}{3} = 4 \Rightarrow n = 6$
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है
$X=2$ के लिए:
$P(X=2) = {}^6C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^4$
$P(X=2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81}$
$P(X=2) = 15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(B) माना सफलता की प्रायिकता $p$ है और विफलता की प्रायिकता $q$ है। दिया गया है कि $p = 5q$। हम जानते हैं कि $p + q = 1$,इसलिए $5q + q = 1$,जिसका अर्थ है कि $6q = 1$,अतः $q = \frac{1}{6}$ और $p = \frac{5}{6}$।
$n = 5$ परीक्षणों के लिए,अधिकतम एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = ^5C_0 \left(\frac{5}{6}\right)^0 \left(\frac{1}{6}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{6^5} = \frac{1}{6^5}$।
$P(X = 1) = ^5C_1 \left(\frac{5}{6}\right)^1 \left(\frac{1}{6}\right)^4 = 5 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6^4} = \frac{25}{6^5}$।
अतः,$P(X \le 1) = \frac{1}{6^5} + \frac{25}{6^5} = \frac{26}{6^5}$।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) $n$ परीक्षणों में $k$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n=15$,$p=1/2$ (टेल आने की प्रायिकता),और $q=1/2$ (हेड आने की प्रायिकता) है।
हमें कम से कम $3$ बार टेल आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X \geq 3)$।
इसकी गणना $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ के रूप में की जा सकती है।
$P(X=0) = {}^{15}C_0 (1/2)^0 (1/2)^{15} = 1 \times (1/2)^{15} = 1/2^{15}$।
$P(X=1) = {}^{15}C_1 (1/2)^1 (1/2)^{14} = 15 \times (1/2)^{15} = 15/2^{15}$।
$P(X=2) = {}^{15}C_2 (1/2)^2 (1/2)^{13} = \frac{15 \times 14}{2} \times (1/2)^{15} = 105/2^{15}$।
इन प्रायिकताओं का योग: $P(X < 3) = \frac{1 + 15 + 105}{2^{15}} = \frac{121}{2^{15}}$।
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{121}{2^{15}}$।

(B) जब $2n$ निष्पक्ष सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $2^{2n}$ होती है।
$2n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(r) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{r}$।
चितों की संख्या पटों की संख्या के बराबर तब होती है जब चितों की संख्या ठीक $n$ हो।
ठीक $n$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(n) = \frac{1}{2^{2n}} \binom{2n}{n} = \frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ है।
इस बात की प्रायिकता कि चितों की संख्या पटों की संख्या के बराबर न हो,$1 - P(n)$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{2^{2n}}$ है।

(C) मान लीजिए कि $n=4$ के नमूने में दोषपूर्ण बोल्ट की संख्या $X$ है। बोल्ट के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $p = 20\% = 0.2 = \frac{1}{5}$ है।
अतः,बोल्ट के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि चयन यादृच्छिक है,$X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=4$ और $p=\frac{1}{5}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $2$ से कम बोल्ट के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,अर्थात $P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1)$.
$P(X=0) = {}^4C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625}$.
$P(X=1) = {}^4C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^3 = 4 \times \frac{1}{5} \times \frac{64}{125} = \frac{256}{625}$.
इसलिए,$P(X < 2) = \frac{256}{625} + \frac{256}{625} = \frac{512}{625} = 0.8192$.

(C) यह द्विपद बंटन (binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ परीक्षणों की संख्या $n = 3$ है।
सफलता को पासे पर $1$ या $6$ प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है।
एक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
द्विपद बंटन के लिए,प्रसरण का सूत्र $Var(X) = npq$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Var(X) = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) माना हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है।
तब हेड न प्राप्त करने की प्रायिकता $1-p$ है।
व्यक्ति विषम संख्या के उछाल में खेल जीतता है यदि पहला हेड $1, 3, 5, \dots$ उछाल पर आता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है: $p + (1-p)^2 p + (1-p)^4 p + \dots = 3/4$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = p$ और $r = (1-p)^2$:
$\frac{p}{1-(1-p)^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{1-(1-2p+p^2)} = \frac{3}{4}$
$\frac{p}{2p-p^2} = \frac{3}{4}$
$\frac{1}{2-p} = \frac{3}{4}$
$4 = 6 - 3p \implies 3p = 2 \implies p = 2/3$.
यदि $5$ सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं,तो सभी $5$ सिक्कों पर हेड आने की प्रायिकता $p^5 = (2/3)^5 = 32/243$ है।

(C) माना $n=10$ प्रयासों की संख्या है,$p$ सफलता की प्रायिकता (चित आना) $= \frac{1}{2}$ है,और $q$ असफलता की प्रायिकता (पट आना) $= \frac{1}{2}$ है।
माना $X$ सफलताओं की संख्या है। हमें असफलताओं की संख्या सफलताओं से अधिक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसका अर्थ है $10-X > X$,अर्थात $2X < 10$,या $X < 5$।
अतः,हमें $P(X \leq 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ की गणना करनी है।
चूंकि वितरण सममित है,$P(X \leq 4) = P(X \geq 6)$ होगा।
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$।
$P(X \geq 6) = \sum_{r=6}^{10} {}^{10}C_r (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} ({}^{10}C_6 + {}^{10}C_7 + {}^{10}C_8 + {}^{10}C_9 + {}^{10}C_{10})$।
$= \frac{1}{2^{10}} (210 + 120 + 45 + 10 + 1) = \frac{386}{2^{10}} = \frac{193}{2^9}$।

(B) द्विपद प्रायिकता वितरण पर विचार करें जहाँ $n = 5$ और $p = 0.2 = \frac{1}{5}$ है।
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{5}$,इसलिए विफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि कम से कम दो ग्राहकों को प्रचार मिले,जो $P(X \geq 2)$ है।
इसकी गणना $P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ के रूप में की जा सकती है।
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 1 \times 1 \times \frac{1024}{3125} = \frac{1024}{3125}$.
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{5} \times \frac{256}{625} = \frac{256}{625} = \frac{1280}{3125}$.
अतः,$P(X \geq 2) = 1 - \left(\frac{1024 + 1280}{3125}\right) = 1 - \frac{2304}{3125} = \frac{3125 - 2304}{3125} = \frac{821}{3125}$.