Word problem of Linear programming Questions in Gujarati

(C) આપેલ સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન ($L$.$P$.$P$.) માટે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x_1+x_2 \leq 10$,$-2x_1+3x_2 \leq 15$,$x_1 \leq 6$,અને $x_1, x_2 \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$E(6,0)$,$F(6,4)$,$G(3,7)$,અને $D(0,5)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=x_1+x_2$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:
$z(O) = 0+0 = 0$
$z(E) = 6+0 = 6$
$z(F) = 6+4 = 10$
$z(G) = 3+7 = 10$
$z(D) = 0+5 = 5$
$z$ ની મહત્તમ કિંમત $10$ છે,જે શિરોબિંદુઓ $F(6,4)$ અને $G(3,7)$ બંને પર મળે છે.
જ્યારે હેતુલક્ષી વિધેય બે અલગ-અલગ શિરોબિંદુઓ પર મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે,ત્યારે તે બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના દરેક બિંદુ પર સમાન મહત્તમ કિંમત ધરાવશે.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી મર્યાદાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $2x + 3y \geqslant 12$: પ્રદેશ રેખા $2x + 3y = 12$ પર અથવા તેની ઉપર છે.
$2$. $-x + y \leqslant 3$: પ્રદેશ રેખા $-x + y = 3$ પર અથવા તેની નીચે છે.
$3$. $x \leqslant 4$: પ્રદેશ રેખા $x = 4$ ની ડાબી બાજુએ છે.
$4$. $y \geqslant 3$: પ્રદેશ રેખા $y = 3$ પર અથવા તેની ઉપર છે.
આલેખનું અવલોકન કરીને અને મર્યાદાઓ ચકાસીને:
- પ્રદેશ $S_4$ એ $y=3$,$x=4$,$-x+y=3$ અને $2x+3y=12$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. $S_4$ માં એક બિંદુ $(1, 4)$ ચકાસતા:
- $2(1) + 3(4) = 14 \geqslant 12$ (સાચું)
- $-(1) + 4 = 3 \leqslant 3$ (સાચું)
- $1 \leqslant 4$ (સાચું)
- $4 \geqslant 3$ (સાચું)
બધી મર્યાદાઓ પ્રદેશ $S_4$ માં સંતોષાય છે.

(B) આપેલ અસમતાઓ છે:
$1$) $x - 2 \leqslant y \implies y \geqslant x - 2$
$2$) $x \geqslant y - 1 \implies y \leqslant x + 1$
$3$) $x \geqslant 2$
$4$) $y \leqslant 4$
$5$) $x, y \geqslant 0$
આ અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
- રેખા $y = x - 2$ એ $(2, 0)$ અને $(4, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $y \geqslant x - 2$ આ રેખાની ઉપર છે.
- રેખા $y = x + 1$ એ $(0, 1)$ અને $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $y \leqslant x + 1$ આ રેખાની નીચે છે.
- અસમતા $x \geqslant 2$ એ પ્રદેશને શિરોલંબ રેખા $x = 2$ ની જમણી બાજુ મર્યાદિત કરે છે.
- અસમતા $y \leqslant 4$ એ પ્રદેશને આડી રેખા $y = 4$ ની નીચે મર્યાદિત કરે છે.
આ બધાને જોડતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ $x = 2$,$y = x - 2$,$y = x + 1$ અને $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છાયાંકિત પ્રદેશને અનુરૂપ છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
આલેખ પરથી,રેખાઓ $x = 5$,$y = 4$,$x + y = 15$ અને $x - y = 10$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(5, 5)$,$B(5, 10)$ અને $C(11, 4)$ છે.
- $A(5, 5)$ પર: $z = 550(5) + 300(5) = 2750 + 1500 = 4250$.
- $B(5, 10)$ પર: $z = 550(5) + 300(10) = 2750 + 3000 = 5750$.
- $C(11, 4)$ પર: $z = 550(11) + 300(4) = 6050 + 1200 = 7250$.
મહત્તમ કિંમત $7250$ છે.

(B) $L$.$P$.$P$. ઉકેલવા માટે,આપણે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય પ્રદેશને ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x + y \leqslant 8$
$2$. $x + 2y \geqslant 4$
$3$. $6x + 4y \geqslant 12$ (અથવા $3x + 2y \geqslant 6$)
$4$. $x \geqslant 0, y \geqslant 0$
શક્ય પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે:
- $x + 2y = 4$ અને $3x + 2y = 6$ નું છેદબિંદુ: બાદબાકી કરતા $2x = 2$ મળે,તેથી $x = 1$. પછી $1 + 2y = 4 \implies y = 1.5$. બિંદુ: $(1, 1.5)$.
- $x + y = 8$ અને $x + 2y = 4$ નું છેદબિંદુ: $y = -4$,જે પ્રથમ ચરણની બહાર છે.
- $x + y = 8$ અને $3x + 2y = 6$ નું છેદબિંદુ: $y = -18$,પ્રથમ ચરણની બહાર છે.
- અક્ષો પરના બિંદુઓ: $3x + 2y = 6$ થી $(0, 3)$,$x + 2y = 4$ થી $(0, 2)$,$x + y = 8$ થી $(8, 0)$,$3x + 2y = 6$ થી $(2, 0)$.
ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 30x + 20y$ ની કિંમત:
- $(0, 3)$ પર,$z = 30(0) + 20(3) = 60$.
- $(1, 1.5)$ પર,$z = 30(1) + 20(1.5) = 30 + 30 = 60$.
- $(8, 0)$ પર,$z = 30(8) + 20(0) = 240$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 30(2) + 20(0) = 60$.
જેમ કે હેતુલક્ષી વિધેય $z$ એ $(0, 3)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના અનેક બિંદુઓ પર સમાન ન્યૂનતમ મૂલ્ય $60$ લે છે,તેથી $L$.$P$.$P$. ને અસંખ્ય ઉકેલો છે.

(C) પ્રતિબંધોને આધીન $z = x + y$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે:
$1$) $x + y \geqslant 2$
$2$) $x + 2y \leqslant 8$
$3$) $y \leqslant 3$
$4$) $x, y \geqslant 0$
પ્રથમ,આપણે રેખાઓ દોરીને શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ:
- $x + y = 2$ એ $(2, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
- $x + 2y = 8$ એ $(8, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
- $y = 3$ એ આડી રેખા છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
- $x + y = 2$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ છે.
- $x + y = 2$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(2, 0)$ છે.
- $x + 2y = 8$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $x + 6 = 8 \implies x = 2$,એટલે કે $(2, 3)$ છે.
- $x = 0$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 2), (2, 0), (2, 3), (0, 3)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $z = x + y$ ની કિંમત શોધતા:
- $(0, 2)$ પર,$z = 0 + 2 = 2$.
- $(2, 0)$ પર,$z = 2 + 0 = 2$.
- $(2, 3)$ પર,$z = 2 + 3 = 5$.
- $(0, 3)$ પર,$z = 0 + 3 = 3$.
ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે,જે $(0, 2)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે. રેખાખંડ અસંખ્ય બિંદુઓ ધરાવે છે,તેથી ઉકેલ ગણ અસંખ્ય બિંદુઓ ધરાવે છે.

(C) શરતો $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$ અને $x \geqslant 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. $y = 5$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $(0, 5)$.
$2$. $x + y = 20$ અને $y = 5$ નું છેદબિંદુ: $(15, 5)$.
$3$. $x + y = 20$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $(0, 20)$.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 7x - 8y$ ની કિંમત શોધીએ:
$(0, 5)$ પર: $z = 7(0) - 8(5) = -40$.
$(15, 5)$ પર: $z = 7(15) - 8(5) = 105 - 40 = 65$.
$(0, 20)$ પર: $z = 7(0) - 8(20) = -160$.
મહત્તમ મૂલ્ય $65$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-160$ છે.
તફાવત $65 - (-160) = 65 + 160 = 225$ છે.
આપેલ તફાવત $5k + 200$ હોવાથી,$5k + 200 = 225$.
$5k = 25$,તેથી $k = 5$.

(C) મર્યાદાઓ શોધવા માટે,આપણે આલેખ પરથી રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ ના સમીકરણો નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. રેખા $L_1$ એ $(-1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow y-x = 1$ છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,મર્યાદા $y-x \geqslant 1$ છે.
$2$. રેખા $L_2$ એ $(0, 2)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1 \Rightarrow 2x+5y = 10$ છે. પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી,મર્યાદા $2x+5y \leqslant 10$ છે.
$3$. રેખા $L_3$ એ $(0, 1)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1 \Rightarrow x+y = 1$ છે. પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,મર્યાદા $x+y \geqslant 1$ છે.
આને બિન-ઋણાત્મક મર્યાદાઓ $x, y \geqslant 0$ સાથે જોડતા,આપણને સિસ્ટમ મળે છે: $y-x \geqslant 1, 2x+5y \leqslant 10, x+y \geqslant 1, x, y \geqslant 0$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી શરતોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1. 2x + y \leqslant 10$: રેખા $(0, 10)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$2. y \leqslant x$: રેખા $(0, 0)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ રેખાની નીચે છે.
$3. y \leqslant 2$: પ્રદેશ આડી રેખા $y = 2$ ની નીચે છે.
$4. x, y \geqslant 0$: પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે.
છેદબિંદુઓ:
- $y = 2$ અને $y = x$ માટે,આપણને $x = 2$ મળે છે. બિંદુ $(2, 2)$ છે.
- $y = 2$ અને $2x + y = 10$ માટે,આપણને $2x + 2 = 10 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$ મળે છે. બિંદુ $(4, 2)$ છે.
- $y = x$ અને $2x + y = 10$ માટે,આપણને $2x + x = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = 10/3$ મળે છે. બિંદુ $(10/3, 10/3)$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(2, 2)$,$(4, 2)$ અને $x$-અક્ષના ભાગ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,જે આલેખ આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $C$ માં છે.

(D) શરતો $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x = y$,અને $x, y \geqslant 0$ છે.
શરતોમાં $x = y$ મૂકતા:
$1$) $x + 3x \leqslant 60 \implies 4x \leqslant 60 \implies x \leqslant 15$.
$2$) $x + x \geqslant 10 \implies 2x \geqslant 10 \implies x \geqslant 5$.
$x = y$ હોવાથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ $(5, 5)$ થી $(15, 15)$ સુધીનો રેખાખંડ છે.
હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 5y$ છે.
$z$ માં $y = x$ મૂકતા,આપણને $z = 3x + 5x = 8x$ મળે છે.
$(5, 5)$ બિંદુએ,$z = 8(5) = 40$.
$(15, 15)$ બિંદુએ,$z = 8(15) = 120$.
મહત્તમ મૂલ્ય $120$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $40$ છે.
તફાવત $120 - 40 = 80$ છે.

(B) $Z = 6x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધીએ:
$1) x + y = 5$
$2) x + 2y = 4$
$3) 4x + y = 12$
$4) x \geq 0, y \geq 0$
રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધતા:
- $x + y = 5$ અને $4x + y = 12$ નું છેદબિંદુ: બાદબાકી કરતા $3x = 7 \implies x = 7/3$. તેથી $y = 5 - 7/3 = 8/3$. બિંદુ: $(7/3, 8/3)$.
- $x + 2y = 4$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ: $y = -1$ મળે છે,જે પ્રથમ ચરણમાં નથી.
- $x + 2y = 4$ અને $4x + y = 12$ નું છેદબિંદુ: $x = 4 - 2y$. કિંમત મૂકતા: $4(4 - 2y) + y = 12 \implies 16 - 8y + y = 12 \implies 7y = 4 \implies y = 4/7$. તેથી $x = 4 - 8/7 = 20/7$. બિંદુ: $(20/7, 4/7)$.
- અક્ષો પરના બિંદુઓ: $(3, 0), (4, 0), (0, 2), (0, 5)$.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર $Z = 6x + 3y$ ની કિંમત:
- $(3, 0)$ પર: $Z = 6(3) + 3(0) = 18$
- $(7/3, 8/3)$ પર: $Z = 6(7/3) + 3(8/3) = 14 + 8 = 22$
- $(20/7, 4/7)$ પર: $Z = 6(20/7) + 3(4/7) = 132/7$
- $(0, 2)$ પર: $Z = 6(0) + 3(2) = 6$
આમ,મહત્તમ કિંમત $22$ છે.

(B) ધારો કે $x$ એ વસ્તુ $A$ ની સંખ્યા છે અને $y$ એ વસ્તુ $B$ ની સંખ્યા છે.
મહત્તમ કરવા માટેનું નફાનું વિધેય $z = 25x + 18y$ છે.
મશીન $I$ ની મર્યાદા: $20x + 15y \leqslant 640$ (કારણ કે $10$ કલાક $40$ મિનિટ $= 640$ મિનિટ).
મશીન $II$ ની મર્યાદા: $5x + 8y \leqslant 500$ (કારણ કે $8$ કલાક $20$ મિનિટ $= 500$ મિનિટ).
અન-ઋણતાની શરતો: $x \geqslant 0, y \geqslant 0$.
આમ,સાચું સૂત્રીકરણ છે: Maximize $z = 25x + 18y$ subject to $20x + 15y \leqslant 640, 5x + 8y \leqslant 500, x, y \geqslant 0$.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ મર્યાદાઓ $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y \leqslant 0$,$x \geqslant 0$,અને $y \geqslant 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રથમ,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ મેળવીએ છીએ:
$1$. $x - y = 0$ અને $x + y = 10$ નું છેદબિંદુ: $2x = 10 \implies x = 5, y = 5$. શિરોબિંદુ: $(5, 5)$.
$2$. $x - y = 0$ અને $x + 3y = 60$ નું છેદબિંદુ: $4y = 60 \implies y = 15, x = 15$. શિરોબિંદુ: $(15, 15)$.
$3$. $x + y = 10$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $y = 10$. શિરોબિંદુ: $(0, 10)$.
$4$. $x + 3y = 60$ અને $x = 0$ નું છેદબિંદુ: $3y = 60 \implies y = 20$. શિરોબિંદુ: $(0, 20)$.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 3x + 5y$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
- $(5, 5)$ પર: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$.
- $(15, 15)$ પર: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$.
- $(0, 10)$ પર: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$.
- $(0, 20)$ પર: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$.
મહત્તમ મૂલ્ય $120$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $40$ છે.
તેથી તફાવત $120 - 40 = 80$ છે.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $x - y \geqslant 0 \implies y \leqslant x$. આ રેખા $y = x$ પર અથવા તેની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $x - 5y \leqslant -5 \implies 5y \geqslant x + 5 \implies y \geqslant \frac{1}{5}x + 1$. આ રેખા $y = \frac{1}{5}x + 1$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ બધાને જોડતા,આપણે એવો પ્રદેશ શોધીએ છીએ જે $y = x$ ની નીચે,$y = \frac{1}{5}x + 1$ ની ઉપર અને પ્રથમ ચરણમાં હોય.
છેદબિંદુ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{1}{5}x + 1 \implies \frac{4}{5}x = 1 \implies x = 1.25$. તેથી $y = 1.25$. છેદબિંદુ $(1.25, 1.25)$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ત્રિકોણાકાર પ્રદેશ છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,આ અસમતાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y = 12$ અને $2x + y = 20$ રેખાઓની ઉગમબિંદુ તરફની બાજુએ છે અને તે પ્રથમ ચરણમાં છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$B(10, 0)$,$C(8, 4)$ અને $D(0, 12)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 10x + 6y$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0, 0)$ પર,$z = 10(0) + 6(0) = 0$.
$B(10, 0)$ પર,$z = 10(10) + 6(0) = 100$.
$C(8, 4)$ પર,$z = 10(8) + 6(4) = 80 + 24 = 104$.
$D(0, 12)$ પર,$z = 10(0) + 6(12) = 72$.
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $104$ છે,જે બિંદુ $C(8, 4)$ પર મળે છે.

(A) સુરેખ અસમતાઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $(0, 25)$ અને $(50, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{50} + \frac{y}{25} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 50$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,અસમતા $x + 2y \geq 50$ છે.
$2$. $(0, 100)$ અને $(50, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{50} + \frac{y}{100} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + y = 100$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી,અસમતા $2x + y \leq 100$ છે.
$3$. $(0, 0)$ અને $(10, 20)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = 2x$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y = 0$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી (દા.ત.,ટેસ્ટ પોઈન્ટ $(0, 10)$ લેતા $2(0) - 10 = -10 \leq 0$),અસમતા $2x - y \leq 0$ છે.
$4$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x, y \geq 0$.
આમ,સાચો અસમતાઓનો ગણ $x + 2y \geq 50, 2x + y \leq 100, 2x - y \leq 0, x, y \geq 0$ છે.

(D) સુરેખ પ્રતિબંધો નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત વિસ્તારની સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x=1$ માંથી પસાર થતી ઉભી રેખા,જેમાં છાયાંકિત વિસ્તાર જમણી બાજુ છે,તે પ્રતિબંધ $x \geqslant 1$ આપે છે.
$2$. $y=3$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા,જેમાં છાયાંકિત વિસ્તાર તેની નીચે છે,તે પ્રતિબંધ $y \leqslant 3$ આપે છે.
$3$. $(2, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2} - \frac{y}{1} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y = 2$ થાય છે. છાયાંકિત વિસ્તાર આ રેખાની ઉપર હોવાથી (દા.ત.,બિંદુ $(3, 1)$ ચકાસતા $3 - 2(1) = 1 \leqslant 2$ મળે છે),પ્રતિબંધ $x - 2y \leqslant 2$ છે.
$4$. $(7, 0)$ અને $(0, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{7} + \frac{y}{6} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $6x + 7y = 42$ થાય છે. છાયાંકિત વિસ્તાર આ રેખાની નીચે હોવાથી (દા.ત.,બિંદુ $(1, 1)$ ચકાસતા $6(1) + 7(1) = 13 \leqslant 42$ મળે છે),પ્રતિબંધ $6x + 7y \leqslant 42$ છે.
$5$. અન-ઋણતા પ્રતિબંધો $x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ છે.
આ બધાને જોડતા,સાચો પ્રતિબંધોનો સેટ $x \geqslant 1, y \leqslant 3, x-2y \leqslant 2, 6x+7y \leqslant 42, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ છે.

(D) શરતો $3x+2y \leq 12$,$x+y \geq 4$,અને $x, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓ $3x+2y=12$ અને $x+y=4$ દોરીએ છીએ.
રેખાઓના અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$3x+2y=12$ માટે: $(4,0)$ અને $(0,6)$.
$x+y=4$ માટે: $(4,0)$ અને $(0,4)$.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $A(4,0)$,$B(0,4)$,અને $C(0,6)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+6y$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$A(4,0)$ પર: $z = 4(4) + 6(0) = 16$.
$B(0,4)$ પર: $z = 4(0) + 6(4) = 24$.
$C(0,6)$ પર: $z = 4(0) + 6(6) = 36$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ છે,જે બિંદુ $C(0,6)$ પર મળે છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાઓ $x+y=10$,$5x+3y=15$,$x=6$ અને અક્ષો $x=0, y=0$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0,5)$,$B(0,10)$,$C(6,4)$ અને $E(3,0)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+y$ ની કિંમત શોધીએ:
$A(0,5)$ પર,$z = 0+5 = 5$.
$B(0,10)$ પર,$z = 0+10 = 10$.
$C(6,4)$ પર,$z = 6+4 = 10$.
$E(3,0)$ પર,$z = 3+0 = 3$.
$z$ ની મહત્તમ કિંમત $10$ છે,જે $B(0,10)$ અને $C(6,4)$ બંને બિંદુઓ પર મળે છે.
જ્યારે મહત્તમ કિંમત બે શિરોબિંદુઓ પર મળતી હોય,ત્યારે તે બિંદુઓ $B$ અને $C$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર મળે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત અસંખ્ય બિંદુઓ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x+4y=12$,$x+y=5$ રેખાઓ અને પ્રથમ ચરણમાં અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશના ખૂણાઓ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $3x+4y=12$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ નું છેદબિંદુ: $3x=12 \implies x=4$. બિંદુ $A(4, 0)$ છે.
$2$. $x+y=5$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ નું છેદબિંદુ: $x=5$. બિંદુ $B(5, 0)$ છે.
$3$. $x+y=5$ અને $y$-અક્ષ $(x=0)$ નું છેદબિંદુ: $y=5$. બિંદુ $C(0, 5)$ છે.
$4$. $3x+4y=12$ અને $y$-અક્ષ $(x=0)$ નું છેદબિંદુ: $4y=12 \implies y=3$. બિંદુ $D(0, 3)$ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z=4x+2y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $A(4, 0)$ પર: $z = 4(4) + 2(0) = 16$
- $B(5, 0)$ પર: $z = 4(5) + 2(0) = 20$
- $C(0, 5)$ પર: $z = 4(0) + 2(5) = 10$
- $D(0, 3)$ પર: $z = 4(0) + 2(3) = 6$
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $B(5, 0)$ બિંદુ પર $20$ છે.

(D) સુરેખ પ્રતિબંધો શોધવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા બનાવતી ત્રણ રેખાઓના સમીકરણો નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $(0, 3)$ અને $(8, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{8} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 8y = 24$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર (ઉગમબિંદુથી દૂર) હોવાથી,પ્રતિબંધ $3x + 8y \geq 24$ છે.
$2$. $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x + 5y = 20$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે (ઉગમબિંદુ તરફ) હોવાથી,પ્રતિબંધ $4x + 5y \leq 20$ છે.
$3$. $(0, 5)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y = 15$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે (ઉગમબિંદુ તરફ) હોવાથી,પ્રતિબંધ $5x + 3y \leq 15$ છે.
આને અન-ઋણ પ્રતિબંધો $x \geq 0, y \geq 0$ સાથે જોડતા,આપણને સિસ્ટમ મળે છે: $3x + 8y \geq 24, 4x + 5y \leq 20, 5x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આલેખિત ઉકેલ ગણ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓની પ્રણાલીનું વિશ્લેષણ કરીએ: $x+y \geq 1$,$7x+9y \leq 63$,$y \leq 5$,$x \leq 6$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.
$1$. $x+y \geq 1$ માટે: રેખા $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$2$. $7x+9y \leq 63$ માટે: રેખા $(9, 0)$ અને $(0, 7)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$3$. $x \leq 6$ અને $y \leq 5$ માટે: આ પ્રથમ ચરણમાં $x=6$ અને $y=5$ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. આ તમામ પ્રદેશોનો છેદગણ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આપે છે. આ રેખાઓ દોરવાથી,આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (0, 7), (2.57, 5), (6, 5), (6, 2.33)$ અને $(1, 0)$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
આને આપેલી આકૃતિઓ સાથે સરખાવતા,સાચી આલેખિત રજૂઆત આકૃતિ $2$ છે.

(C) ચાલો છાયાંકિત પ્રદેશ અને તેના સુરેખ અવરોધોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. આલેખ જોતા,પ્રદેશ રેખાઓ $y=x$ અને $-x+3y=3$ તથા અક્ષો $x=0$ અને $y=0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$2$. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $-x+3y=3$ ની નીચે આવેલો છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,આપણને $-0+3(0) = 0 \leq 3$ મળે છે,જે અસમતાનું પાલન કરે છે. તેથી,અવરોધ $-x+3y \leq 3$ છે.
$3$. આ પ્રદેશ રેખા $y=x$ ની જમણી બાજુએ છે. પ્રદેશમાં કોઈ બિંદુ,જેમ કે $(2, 0)$ ચકાસતા,આપણને $x-y = 2-0 = 2 \geq 0$ મળે છે. તેથી,અવરોધ $x-y \geq 0$ છે.
$4$. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(C)$ આ શરતો સાથે મેળ ખાય છે: $x-y \geq 0, -x+3y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$.

(B) ધારો કે $x$ અને $y$ અનુક્રમે તાંબા અને પિત્તળની માત્રા ગ્રામમાં દર્શાવે છે.
ન્યૂનતમ કરવા માટેનું ઉદ્દેશ્ય વિધેય ખર્ચ છે: $z = 8x + 5y$.
સમસ્યાના આધારે અવરોધો છે:
$1) \ x + y \geq 5$ (કુલ વજન ઓછામાં ઓછું $5 \text{ gms}$)
$2) \ x \geq 2$ (ઓછામાં ઓછું $2 \text{ gms}$ તાંબુ)
$3) \ y \leq 4$ (મહત્તમ $4 \text{ gms}$ પિત્તળ)
$4) \ x \geq 0, y \geq 0$ (બિન-ઋણાત્મક અવરોધો)
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આ અસમતાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ સીમા રેખાઓના છેદન દ્વારા મળે છે:
- બિંદુ $A$: $x = 2$ અને $y = 4$ નું છેદન,તેથી $A = (2, 4)$.
- બિંદુ $B$: $x = 2$ અને $x + y = 5$ નું છેદન,તેથી $B = (2, 3)$.
- બિંદુ $C$: $x + y = 5$ અને $y = 0$ નું છેદન,તેથી $C = (5, 0)$.
હવે,આ ખૂણાના બિંદુઓ પર ઉદ્દેશ્ય વિધેય $z = 8x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
- $A(2, 4)$ પર: $z = 8(2) + 5(4) = 16 + 20 = 36$.
- $B(2, 3)$ પર: $z = 8(2) + 5(3) = 16 + 15 = 31$.
- $C(5, 0)$ પર: $z = 8(5) + 5(0) = 40 + 0 = 40$.
$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $31$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ ખર્ચ $₹ 31$ છે.

(A) આપેલ શરતો $2x \geq 4$ (એટલે કે $x \geq 2$),$y \leq 3$,$x+y \leq 8$ અને $x, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાઓ $x=2, y=3, x+y=8$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$A(2, 0)$ ($x=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ)
$B(8, 0)$ ($x+y=8$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ)
$C(5, 3)$ ($x+y=8$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ)
$D(2, 3)$ ($x=2$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ)
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $Z=100x+70y$ ની કિંમત શોધીએ:
$A(2, 0)$ પર: $Z = 100(2) + 70(0) = 200$
$B(8, 0)$ પર: $Z = 100(8) + 70(0) = 800$
$C(5, 3)$ પર: $Z = 100(5) + 70(3) = 500 + 210 = 710$
$D(2, 3)$ પર: $Z = 100(2) + 70(3) = 200 + 210 = 410$
આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $800$ છે જે બિંદુ $B(8, 0)$ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(6,0)$,$B(6,4)$,$C(3,7)$ અને $D(0,5)$ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+3y$ ની કિંમત શોધીએ:
$O(0,0)$ પર,$z=4(0)+3(0)=0$
$A(6,0)$ પર,$z=4(6)+3(0)=24$
$B(6,4)$ પર,$z=4(6)+3(4)=24+12=36$
$C(3,7)$ પર,$z=4(3)+3(7)=12+21=33$
$D(0,5)$ પર,$z=4(0)+3(5)=15$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ મળે છે.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશ ત્રણ રેખાઓ અને પ્રથમ ચરણમાં અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલ છે:
$1$. $(0, 3)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 4y = 12$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,અસમતા $3x + 4y \leq 12$ છે.
$2$. $(0, 0)$ અને $(3, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = x$ છે,એટલે કે $y - x = 0$. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર છે,તેથી અસમતા $y \geq x$ અથવા $y - x \geq 0$ છે.
$3$. $(0, 3)$ માંથી પસાર થતી આડી રેખા $y = 3$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે છે,તેથી અસમતા $y \leq 3$ છે.
$4$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
આમ,સંબંધિત અસમતાઓ $3x + 4y \leq 12, y - x \geq 0, y \leq 3, x, y \geq 0$ છે.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ ચરણ $(x \geq 0, y \geq 0)$ માં આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x-2y \leq 2$ માટે: રેખા $(2, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ બિંદુ ચકાસતા,$0-0 \leq 2$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$2$. $5x+2y \geq 10$ માટે: રેખા $(2, 0)$ અને $(0, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ બિંદુ ચકાસતા,$0+0 \geq 10$ અસત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$3$. $4x+5y \leq 20$ માટે: રેખા $(5, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ બિંદુ ચકાસતા,$0+0 \leq 20$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
આ બધાને જોડતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો ત્રિકોણાકાર વિસ્તાર છે,જે આકૃતિ $3$ ને અનુરૂપ છે.

(B) છાયાંકિત પ્રદેશ માટે સુરેખ પ્રતિબંધો નક્કી કરવા,આપણે દરેક રેખાની સાપેક્ષમાં પ્રદેશનું સ્થાન તપાસીએ છીએ:
$1$. રેખા $2x + y = 2$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ આવેલો છે. બિંદુ $(1, 1)$ ચકાસતા,આપણને $2(1) + 1 = 3 \geq 2$ મળે છે. તેથી,પ્રતિબંધ $2x + y \geq 2$ છે.
$2$. રેખા $x - y = 1$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ ધરાવતી બાજુએ આવેલો છે. બિંદુ $(0, 0)$ ચકાસતા,આપણને $0 - 0 = 0 \leq 1$ મળે છે. તેથી,પ્રતિબંધ $x - y \leq 1$ છે.
$3$. રેખા $x + 2y = 8$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ ધરાવતી બાજુએ આવેલો છે. બિંદુ $(0, 0)$ ચકાસતા,આપણને $0 + 2(0) = 0 \leq 8$ મળે છે. તેથી,પ્રતિબંધ $x + 2y \leq 8$ છે.
આમ,જરૂરી સુરેખ પ્રતિબંધો $2x + y \geq 2, x - y \leq 1, x + 2y \leq 8$ છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 5y$ છે.
મર્યાદાઓ $3x + 2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $O(0, 0)$,$A(4, 0)$,$B(4, 3)$,$C(2, 6)$ અને $D(0, 6)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0, 0)$ પર: $z = 3(0) + 5(0) = 0$
$A(4, 0)$ પર: $z = 3(4) + 5(0) = 12$
$B(4, 3)$ પર: $z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$C(2, 6)$ પર: $z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$D(0, 6)$ પર: $z = 3(0) + 5(6) = 30$
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $36$ છે જે બિંદુ $(2, 6)$ પર મળે છે.

(C) આપેલ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ $OCDBO$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$C(10, 10)$,$D(10, 20)$ અને $B(0, 25)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 4y$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:
$1$. $O(0, 0)$ પર: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $C(10, 10)$ પર: $z = 3(10) + 4(10) = 30 + 40 = 70$
$3$. $D(10, 20)$ પર: $z = 3(10) + 4(20) = 30 + 80 = 110$
$4$. $B(0, 25)$ પર: $z = 3(0) + 4(25) = 0 + 100 = 100$
કિંમતો $0, 70, 110$ અને $100$ ની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $110$ મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x+y \leq 20, y \geq 5, x \leq 10, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0, 5), B(10, 5), C(10, 10)$ અને $D(0, 20)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 7x + 8y$ ની કિંમત તપાસતા:
$A(0, 5)$ પર: $z = 7(0) + 8(5) = 40$
$B(10, 5)$ પર: $z = 7(10) + 8(5) = 70 + 40 = 110$
$C(10, 10)$ પર: $z = 7(10) + 8(10) = 70 + 80 = 150$
$D(0, 20)$ પર: $z = 7(0) + 8(20) = 160$
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $160$ છે.

(B) $1$. પ્રદેશને સીમિત કરતી રેખાઓ ઓળખો: રેખાઓ $3x + 4y = 12$ (અંતઃખંડ $(4,0)$ અને $(0,3)$),$4x + 7y = 28$ (અંતઃખંડ $(7,0)$ અને $(0,4)$),અને $y = 1$ છે.
$2$. અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરો:
- રેખા $3x + 4y = 12$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે,તેથી અસમતા $3x + 4y \geq 12$ છે.
- રેખા $4x + 7y = 28$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે,તેથી અસમતા $4x + 7y \leq 28$ છે.
- રેખા $y = 1$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ઉપર છે,તેથી અસમતા $y \geq 1$ છે.
- પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ મળે.
$3$. આ બધાને જોડતા,અસમતાઓનું તંત્ર $3x + 4y \geq 12, 4x + 7y \leq 28, y \geq 1, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $(0,0)$,$(3,0)$,$(3,2)$,$(2,3)$,અને $(0,3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=10x+25y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$(0,0)$ આગળ,$z=10(0)+25(0)=0$
$(3,0)$ આગળ,$z=10(3)+25(0)=30$
$(3,2)$ આગળ,$z=10(3)+25(2)=30+50=80$
$(2,3)$ આગળ,$z=10(2)+25(3)=20+75=95$
$(0,3)$ આગળ,$z=10(0)+25(3)=75$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $95$ મળે છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $4x + 3y \leq 60$: આ રેખા $(15, 0)$ અને $(0, 20)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $y \geq 2x$: આ રેખા $(0, 0)$ અને $(3, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $x \geq 3$: આ શિરોલંબ રેખા $x = 3$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. $x, y \geq 0$: આ પ્રથમ ચરણ દર્શાવે છે.
$S_2$ પ્રદેશમાં આવેલ બિંદુ $(4, 10)$ ચકાસતા:
- $4(4) + 3(10) = 16 + 30 = 46 \leq 60$ (સાચું)
- $10 \geq 2(4) = 8$ (સાચું)
- $4 \geq 3$ (સાચું)
- $4, 10 \geq 0$ (સાચું)
બધી શરતો સંતોષાય છે,તેથી ઉકેલ ગણ $S_2$ પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) સુરેખ પ્રતિબંધો નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશની સીમા રેખાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $(3, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $2x + 3y = 6$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર હોવાથી,પ્રતિબંધ $2x + 3y \geq 6$ છે.
$2$. $(0, 3)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $3x + 6y = 18$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,પ્રતિબંધ $3x + 6y \leq 18$ છે.
$3$. $(3, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x - 3y = 3$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,પ્રતિબંધ $x - 3y \leq 3$ છે.
$4$. $(0, 1)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $-x + 2y = 2$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,પ્રતિબંધ $-x + 2y \leq 2$ છે.
$5$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આમ,સાચા પ્રતિબંધો $2x + 3y \geq 6, 3x + 6y \leq 18, x - 3y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(D) આપેલ અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$x+y \leq 70$
$x+2y \leq 100$
$2x+y \leq 120$
$x \geq 0, y \geq 0$
અહીં,બધી અસમતાઓ $x+y \leq 70$,$x+2y \leq 100$,અને $2x+y \leq 120$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ દ્વારા સંતોષાય છે (કારણ કે $0+0 \leq 70$,$0+0 \leq 100$,અને $0+0 \leq 120$ એ સાચું છે),તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં ઉગમબિંદુ તરફ હોવો જોઈએ.
રેખાઓ અને શરતો $x \geq 0, y \geq 0$ નું વિશ્લેષણ કરતા,સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ જે આ તમામ શરતોને સંતોષે છે તે આકૃતિ $3$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x+3y \leq 12$,$2x+y \leq 8$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(4, 0)$,$(3, 2)$ અને $(0, 4)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+5y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 0)$ પર: $z = 4(0) + 5(0) = 0$
$(4, 0)$ પર: $z = 4(4) + 5(0) = 16$
$(3, 2)$ પર: $z = 4(3) + 5(2) = 12 + 10 = 22$
$(0, 4)$ પર: $z = 4(0) + 5(4) = 20$
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(3, 2)$ પર $22$ મળે છે.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 80)$,$(14, 33)$ અને $(80, 0)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 4x + 6y$ ની કિંમત મેળવતા:
$1$. $(0, 80)$ પર: $Z = 4(0) + 6(80) = 480$
$2$. $(14, 33)$ પર: $Z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$
$3$. $(80, 0)$ પર: $Z = 4(80) + 6(0) = 320$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $254$ છે,જે બિંદુ $(14, 33)$ પર મળે છે.

(A) $Z = 5x + 2y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ (feasible region) નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $2x - y \geq 2$
$2$. $x + 2y \leq 8$
$3$. $x, y \geq 0$
સીમા રેખાઓ $2x - y = 2$ અને $x + 2y = 8$ છે.
- $2x - y = 2$ માટે,અંતઃખંડો $(1, 0)$ અને $(0, -2)$ છે.
- $x + 2y = 8$ માટે,અંતઃખંડો $(8, 0)$ અને $(0, 4)$ છે.
$2x - y = 2$ અને $x + 2y = 8$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે:
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4x - 2y = 4$.
આને $x + 2y = 8$ માં ઉમેરતા,આપણને $5x = 12$ મળે છે,તેથી $x = 2.4$.
$x = 2.4$ ને $2x - y = 2$ માં મૂકતા: $2(2.4) - y = 2 \implies 4.8 - y = 2 \implies y = 2.8$.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$,$(8, 0)$,અને $(2.4, 2.8)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 5x + 2y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(1, 0)$ પર: $Z = 5(1) + 2(0) = 5$
- $(8, 0)$ પર: $Z = 5(8) + 2(0) = 40$
- $(2.4, 2.8)$ પર: $Z = 5(2.4) + 2(2.8) = 12 + 5.6 = 17.6$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $(8, 0)$ પર $40$ મળે છે.

(D) $z=50x+15y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેયની કિંમત મેળવીશું.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(20, 0)$,$(10, 50)$ અને $(0, 60)$ છે.
દરેક બિંદુ પર $z$ ની કિંમત:
$1$. $(0, 0)$ પર: $z = 50(0) + 15(0) = 0$
$2$. $(20, 0)$ પર: $z = 50(20) + 15(0) = 1000$
$3$. $(10, 50)$ પર: $z = 50(10) + 15(50) = 500 + 750 = 1250$
$4$. $(0, 60)$ પર: $z = 50(0) + 15(60) = 900$
આમ,મહત્તમ કિંમત $1250$ છે,જે બિંદુ $(10, 50)$ પર મળે છે.

(D) છાયાંકિત પ્રદેશ માટે સુરેખ અવરોધો નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક સીમા રેખાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. રેખા $x+2y=6$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ છે (કારણ કે બિંદુ $(7, 6)$ એ $7+12=19 \geq 6$ નું પાલન કરે છે). તેથી,અવરોધ $x+2y \geq 6$ છે.
$2$. રેખા $5x+3y=15$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ છે (કારણ કે બિંદુ $(7, 6)$ એ $35+18=53 \geq 15$ નું પાલન કરે છે). તેથી,અવરોધ $5x+3y \geq 15$ છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x=7$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ તેની ડાબી બાજુએ છે,તેથી $x \leq 7$.
$4$. આડી રેખા $y=6$ માટે છાયાંકિત પ્રદેશ તેની નીચેની બાજુએ છે,તેથી $y \leq 6$.
$5$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x, y \geq 0$.
આ બધાને જોડતા,અવરોધો $x+2y \geq 6, 5x+3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ છે.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ રેખાઓ $x+y=5$,$4x+3y=24$,$x=0$,અને $y=0$ દ્વારા સીમિત છે.
ખૂણાના બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છાયાંકિત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x=0$ અને $4x+3y=24$ નું છેદબિંદુ $(0, 8)$ આપે છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=5$ નું છેદબિંદુ $(0, 5)$ આપે છે.
$3$. આલેખ જોતા,શિરોબિંદુઓ $(0, 5)$,$(0, 8)$,$(6, 0)$ અને $(5, 0)$ છે.
ખૂણાના બિંદુઓ પર $Z=2x+y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 5)$ પર,$Z = 2(0) + 5 = 5$.
$(0, 8)$ પર,$Z = 2(0) + 8 = 8$.
$(5, 0)$ પર,$Z = 2(5) + 0 = 10$.
$(6, 0)$ પર,$Z = 2(6) + 0 = 12$.
મહત્તમ કિંમત $12$ છે જે $(6, 0)$ બિંદુએ મળે છે.

(C) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં બિંદુ શોધવા માટે,આપણે તપાસવું પડશે કે કયું બિંદુ આપેલી તમામ અસમતાઓનું પાલન કરે છે:
$1$) $x+y \leq 3$
$2$) $2x+5y \geq 10$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
ચાલો આપેલા વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(A)$ $(2,2)$ માટે: $2+2 = 4 \not\leq 3$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(B)$ $(4,2)$ માટે: $4+2 = 6 \not\leq 3$. (ખોટું)
વિકલ્પ $(C)$ $(1,2)$ માટે: $1+2 = 3 \leq 3$ (સાચું),$2(1)+5(2) = 2+10 = 12 \geq 10$ (સાચું),અને $1 \geq 0, 2 \geq 0$ (સાચું). (સાચું)
વિકલ્પ $(D)$ $(2,1)$ માટે: $2(2)+5(1) = 4+5 = 9 \not\geq 10$. (ખોટું)
આમ,બિંદુ $(1,2)$ તમામ અસમતાઓનું પાલન કરે છે અને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં આવેલું છે.

(B) રેખીય અવરોધો નક્કી કરવા માટે,આપણે છાયાંકિત વિસ્તાર માટે દરેક રેખા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-સમતલોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. રેખા $3x + 4y = 18$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $3(0) + 4(0) = 0 \leq 18$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત વિસ્તારમાં આ રેખાની સાપેક્ષમાં ઉગમબિંદુ હોવાથી,અવરોધ $3x + 4y \leq 18$ છે.
$2$. રેખા $2x + 3y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $2(0) + 3(0) = 0 \leq 3$ આપે છે. છાયાંકિત વિસ્તાર ઉગમબિંદુથી દૂરની બાજુએ હોવાથી,અવરોધ $2x + 3y \geq 3$ છે.
$3$. રેખા $x - 6y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $0 - 0 = 0 \leq 3$ આપે છે. છાયાંકિત વિસ્તાર ઉગમબિંદુ ધરાવતી બાજુએ હોવાથી,અવરોધ $x - 6y \leq 3$ છે.
$4$. રેખા $-x + 2y = 2$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $0 + 0 = 0 \leq 2$ આપે છે. છાયાંકિત વિસ્તાર ઉગમબિંદુ ધરાવતી બાજુએ હોવાથી,અવરોધ $-x + 2y \leq 2$ છે.
$5$. આ વિસ્તાર પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આમ,સાચો અવરોધોનો સેટ $3x + 4y \leq 18, 2x + 3y \geq 3, x - 6y \leq 3, -x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(A) $1$. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાઓ $x=0$ ($Y$-અક્ષ),$y=0$ ($X$-અક્ષ),$x=5$,$y=3$ અને $(0,0)$ તથા $(3,3)$ માંથી પસાર થતી રેખા દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$2$. $(0,0)$ અને $(3,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y=x$ છે,જેને $x-y=0$ તરીકે લખી શકાય. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે આવેલો હોવાથી,અવરોધ $x-y \geq 0$ છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x=5$ પ્રદેશને જમણી બાજુએ મર્યાદિત કરે છે,તેથી $x \leq 5$.
$4$. આડી રેખા $y=3$ પ્રદેશને ઉપરની બાજુએ મર્યાદિત કરે છે,તેથી $y \leq 3$.
$5$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$6$. આ બધાને જોડતા,અવરોધો $x, y \geq 0, x-y \geq 0, x \leq 5, y \leq 3$ મળે છે.

(B) શરતો $2x + y \geq 7$,$2x + 3y \leq 15$,$y \leq 3$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(3.5, 0)$,$B(7.5, 0)$,$C(3, 3)$ અને $D(2, 3)$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુ વિધેય $z = 4x + 5y$ ની કિંમત શોધીએ:
$z(A) = 4(3.5) + 5(0) = 14 + 0 = 14$
$z(B) = 4(7.5) + 5(0) = 30 + 0 = 30$
$z(C) = 4(3) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$z(D) = 4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$
ન્યૂનતમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $A(3.5, 0)$ પર મળે છે. બિંદુ $A$ એ $X$-અક્ષ પર આવેલું હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $X$-અક્ષ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ અને $x + y \leq 5$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ છે:
$O(0, 0)$,$A(3, 0)$,$B(3, 2)$,$C(2, 3)$ અને $D(0, 3)$.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10x + 25y$ ની કિંમત મેળવતા:

શિરોબિંદુ	$Z = 10x + 25y$
$O(0, 0)$	$10(0) + 25(0) = 0$
$A(3, 0)$	$10(3) + 25(0) = 30$
$B(3, 2)$	$10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
$C(2, 3)$	$10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
$D(0, 3)$	$10(0) + 25(3) = 75$

કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $95$ છે,જે બિંદુ $(2, 3)$ પર મળે છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0, 4)$,$B(2, 0)$,$C(5, 0)$ અને $D(0, 5)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 2x + 3y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$A(0, 4)$ પર: $z = 2(0) + 3(4) = 12$.
$B(2, 0)$ પર: $z = 2(2) + 3(0) = 4$.
$C(5, 0)$ પર: $z = 2(5) + 3(0) = 10$.
$D(0, 5)$ પર: $z = 2(0) + 3(5) = 15$.
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $15$ છે,જે બિંદુ $D(0, 5)$ પર મળે છે.