Word problem of Linear programming Questions in Hindi

(A) आकृति में छायांकित क्षेत्र अवरोधों $(2)$ से $(4)$ द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र है। हम देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र $OABC$ परिबद्ध है। इसलिए,अब हम $Z$ का अधिकतम मान निर्धारित करने के लिए कोणीय बिंदु विधि का उपयोग करते हैं।
कोणीय बिंदुओं $O, A, B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(0, 0), (30, 0), (20, 30)$ और $(0, 50)$ हैं। अब हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 4x + y$ का संगत मान
$(0, 0)$	$4(0) + 0 = 0$
$(30, 0)$	$4(30) + 0 = 120$
$(20, 30)$	$4(20) + 30 = 110$
$(0, 50)$	$4(0) + 50 = 50$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(30, 0)$ पर $120$ है।

(B) मान लीजिए कि मिश्रण में $x$ किग्रा खाद्य $'I'$ और $y$ किग्रा खाद्य $'II'$ है। स्पष्ट रूप से,$x \geq 0, y \geq 0$.
दी गई जानकारी से हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:

संसाधन	खाद्य $I$ $(x)$	खाद्य $II$ $(y)$	न्यूनतम आवश्यकता
विटामिन $A$ (इकाई/किग्रा)	$2$	$1$	$8$
विटामिन $C$ (इकाई/किग्रा)	$1$	$2$	$10$
लागत (रुपये/किग्रा)	$50$	$70$	$Z$ का न्यूनीकरण

चूंकि मिश्रण में कम से कम $8$ इकाई विटामिन $A$ और $10$ इकाई विटामिन $C$ होना चाहिए,हमारे पास बाधाएं हैं:
$2x + y \geq 8$
$x + 2y \geq 10$
$x$ किग्रा खाद्य $'I'$ और $y$ किग्रा खाद्य $'II'$ खरीदने की कुल लागत $Z = 50x + 70y$ है।
अतः,समस्या का गणितीय सूत्रीकरण है:
न्यूनतम $Z = 50x + 70y$ निम्नलिखित बाधाओं के अधीन:
$2x + y \geq 8$
$x + 2y \geq 10$
$x, y \geq 0$
असमिकाओं का आलेख खींचने पर,सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। कोणीय बिंदुओं $A(0, 8)$,$B(2, 4)$ और $C(10, 0)$ पर $Z$ का मान ज्ञात करने पर:

कोणीय बिंदु	$Z = 50x + 70y$
$(0, 8)$	$560$
$(2, 4)$	$380$ (न्यूनतम)
$(10, 0)$	$500$

$Z$ का न्यूनतम मान $(2, 4)$ बिंदु पर $380$ है। चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम असमिका $50x + 70y < 380$ अर्थात $5x + 7y < 38$ की जाँच करते हैं। चूंकि इस क्षेत्र का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है,इसलिए न्यूनतम मान $380$ ही है।
अतः,इष्टतम मिश्रण रणनीति $2$ किग्रा खाद्य $'I'$ और $4$ किग्रा खाद्य $'II'$ को मिलाना है,जिसकी न्यूनतम लागत $380$ रुपये होगी।

(A) मान लीजिए कि फसल $X$ के लिए $x$ हेक्टेयर भूमि और फसल $Y$ के लिए $y$ हेक्टेयर भूमि आवंटित की गई है।
स्पष्ट रूप से,$x \geq 0, y \geq 0.$
फसल $X$ पर प्रति हेक्टेयर लाभ = रु. $10,500$
फसल $Y$ पर प्रति हेक्टेयर लाभ = रु. $9,000$
अतः,कुल लाभ $Z = 10,500x + 9,000y$
समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है:
अधिकतम करें $Z = 10,500x + 9,000y$
प्रतिबंधों के अधीन:
$x + y \leq 50$ (भूमि से संबंधित प्रतिबंध) $... (1)$
$20x + 10y \leq 800$ (शाकनाशी के उपयोग से संबंधित प्रतिबंध)
अर्थात,$2x + y \leq 80$ $... (2)$
$x \geq 0, y \geq 0$ (गैर-ऋणात्मक प्रतिबंध) $... (3)$
सुसंगत क्षेत्र $OABC$ शीर्षों $O(0,0), A(40,0), B(30,20),$ और $C(0,50)$ द्वारा घिरा हुआ है।
इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $Z = 10,500x + 9,000y$ का मूल्यांकन करने पर:

कोणीय बिंदु	$Z = 10,500x + 9,000y$
$O(0,0)$	$0$
$A(40,0)$	$4,20,000$
$B(30,20)$	$10,500(30) + 9,000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$ (अधिकतम)
$C(0,50)$	$4,50,000$

अतः,समिति फसल $X$ के लिए $30$ हेक्टेयर और फसल $Y$ के लिए $20$ हेक्टेयर भूमि आवंटित करके रु. $4,95,000$ का अधिकतम लाभ प्राप्त करेगी।

(A) माना $x$ मॉडल $A$ के नगों की संख्या है और $y$ मॉडल $B$ के नगों की संख्या है।
उद्देश्य फलन लाभ $Z = 8000x + 12000y$ को अधिकतम करना है।
श्रम घंटों के आधार पर बाधाएं:
$9x + 12y \leq 180 \implies 3x + 4y \leq 60$ (निर्माण)
$x + 3y \leq 30$ (फिनिशिंग)
$x \geq 0, y \geq 0$ (अऋणता)
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(20,0)$,$B(12,6)$,और $C(0,10)$ हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान ज्ञात करने पर:

कोणीय बिंदु	$Z = 8000x + 12000y$
$O(0,0)$	$0$
$A(20,0)$	$8000(20) + 0 = 1,60,000$
$B(12,6)$	$8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 1,68,000$
$C(0,10)$	$8000(0) + 12000(10) = 1,20,000$

अधिकतम लाभ $1,68,000$ रुपये है जो $x=12$ और $y=6$ पर प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि मिश्रण में $x$ kg भोजन $P$ और $y$ kg भोजन $Q$ है। इसलिए,$x \geq 0$ और $y \geq 0$। दी गई जानकारी नीचे दी गई तालिका में संकलित है:

भोजन	विटामिन $A$ (इकाई/kg)	विटामिन $B$ (इकाई/kg)	लागत (Rs/kg)
$P$	$3$	$5$	$60$
$Q$	$4$	$2$	$80$
आवश्यकता	$8$	$11$	-

प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$3x + 4y \geq 8$
$5x + 2y \geq 11$
$x, y \geq 0$
न्यूनतम करने के लिए उद्देश्य फलन: $Z = 60x + 80y$.
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(\frac{8}{3}, 0)$,$B(2, \frac{1}{2})$,और $C(0, \frac{11}{2})$ हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान:

कोणीय बिंदु	$Z = 60x + 80y$
$A(\frac{8}{3}, 0)$	$60(\frac{8}{3}) + 80(0) = 160$
$B(2, \frac{1}{2})$	$60(2) + 80(\frac{1}{2}) = 120 + 40 = 160$
$C(0, \frac{11}{2})$	$60(0) + 80(\frac{11}{2}) = 440$

चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम जांचते हैं कि क्या $60x + 80y < 160$ का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है। रेखा $3x + 4y < 8$ सुसंगत क्षेत्र को नहीं काटती है। अतः,मिश्रण की न्यूनतम लागत Rs $160$ है जो $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर किसी भी बिंदु पर प्राप्त होती है।

(30) माना पहले प्रकार के केक की संख्या $x$ है और दूसरे प्रकार के केक की संख्या $y$ है।
अतः,$x \geq 0$ और $y \geq 0$.
दी गई जानकारी को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है:

केक का प्रकार	मैदा $(g)$	वसा $(g)$
पहला प्रकार $(x)$	$200$	$25$
दूसरा प्रकार $(y)$	$100$	$50$
उपलब्धता	$5000$	$1000$

प्रतिबंध:
$200x + 100y \leq 5000 \Rightarrow 2x + y \leq 50$
$25x + 50y \leq 1000 \Rightarrow x + 2y \leq 40$
उद्देश्य फलन: $Z = x + y$ को अधिकतम करें।
सुसंगत क्षेत्र प्रतिबंधों $2x + y \leq 50$,$x + 2y \leq 40$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(25, 0)$,$B(20, 10)$,और $C(0, 20)$ हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z = x + y$ का मान:

कोणीय बिंदु	$Z = x + y$
$O(0, 0)$	$0$
$A(25, 0)$	$25$
$B(20, 10)$	$30$ (अधिकतम)
$C(0, 20)$	$20$

अतः,बनाए जा सकने वाले केक की अधिकतम संख्या $30$ है ($20$ पहले प्रकार के और $10$ दूसरे प्रकार के)।

(A) मान लीजिए टेनिस रैकेट की संख्या $x$ है और क्रिकेट बैट की संख्या $y$ है।
मशीन के समय की बाधा $1.5x + 3y \leq 42$ है।
कारीगर के समय की बाधा $3x + y \leq 24$ है।
चूंकि फैक्ट्री पूर्ण क्षमता पर काम करती है, इसलिए हम इन्हें उपलब्ध अधिकतम समय के बराबर करते हैं:
$1.5x + 3y = 42$ --- $(1)$
$3x + y = 24$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से, हमें $y = 24 - 3x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1.5x + 3(24 - 3x) = 42$
$1.5x + 72 - 9x = 42$
$-7.5x = 42 - 72$
$-7.5x = -30$
$x = \frac{30}{7.5} = 4$
अब, $x = 4$ को $y = 24 - 3x$ में रखने पर:
$y = 24 - 3(4) = 24 - 12 = 12$.
अतः, फैक्ट्री को $4$ टेनिस रैकेट और $12$ क्रिकेट बैट बनाने चाहिए।

(A) दी गई जानकारी को निम्नलिखित तालिका में संकलित किया जा सकता है:

वस्तु	टेनिस रैकेट $(x)$	क्रिकेट बैट $(y)$	उपलब्धता
मशीन समय (घंटे)	$1.5$	$3$	$42$
कारीगर समय (घंटे)	$3$	$1$	$24$

माना $x$ टेनिस रैकेटों की संख्या है और $y$ क्रिकेट बैटों की संख्या है।
अवरोध निम्नलिखित हैं:
$1.5x + 3y \leq 42$
$3x + y \leq 24$
$x, y \geq 0$
उद्देश्य फलन लाभ $Z = 20x + 10y$ को अधिकतम करना है।
रेखाओं $1.5x + 3y = 42$ और $3x + y = 24$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$3x + y = 24$ से,$y = 24 - 3x$ प्राप्त होता है।
$1.5x + 3(24 - 3x) = 42$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1.5x + 72 - 9x = 42$
$-7.5x = -30$
$x = 4$
अतः $y = 24 - 3(4) = 12$.
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0), (8, 0), (4, 12), (0, 14)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $Z = 20x + 10y$ का मान ज्ञात करने पर:
- $(0, 0)$ पर: $Z = 0$
- $(8, 0)$ पर: $Z = 20(8) + 10(0) = 160$
- $(4, 12)$ पर: $Z = 20(4) + 10(12) = 80 + 120 = 200$
- $(0, 14)$ पर: $Z = 20(0) + 10(14) = 140$
अधिकतम लाभ $Rs. 200$ है।

(B) माना कि निर्माता $x$ नट के पैकेज और $y$ बोल्ट के पैकेज का उत्पादन करता है।
अतः,$x \geq 0$ और $y \geq 0$.
दी गई जानकारी को निम्नलिखित तालिका में संकलित किया जा सकता है:

मशीन	नट	बोल्ट	उपलब्धता
मशीन $A$ $(h)$	$1$	$3$	$12$
मशीन $B$ $(h)$	$3$	$1$	$12$

नट के एक पैकेज पर लाभ $Rs.\,17.50$ है और बोल्ट के एक पैकेज पर लाभ $Rs.\,7$ है। इसलिए,बाधाएं इस प्रकार हैं:
$x + 3y \leq 12$
$3x + y \leq 12$
कुल लाभ,$Z = 17.5x + 7y$.
दी गई समस्या का गणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$Z = 17.5x + 7y$ को अधिकतम करें,जो निम्नलिखित बाधाओं के अधीन है:
$x + 3y \leq 12$
$3x + y \leq 12$
$x, y \geq 0$
बाधाओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$,$A(4,0)$,$B(3,3)$,और $C(0,4)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मान इस प्रकार हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = 17.5x + 7y$
$O(0,0)$	$0$
$A(4,0)$	$70$
$B(3,3)$	$73.5$ (अधिकतम)
$C(0,4)$	$28$

$Z$ का अधिकतम मान $(3,3)$ पर $Rs.\,73.50$ है।
इस प्रकार,अधिकतम $Rs.\,73.50$ का लाभ प्राप्त करने के लिए प्रतिदिन $3$ नट के पैकेज और $3$ बोल्ट के पैकेज का उत्पादन किया जाना चाहिए।

(A) मान लीजिए कि फैक्ट्री प्रतिदिन स्क्रू $A$ के $x$ पैकेट और स्क्रू $B$ के $y$ पैकेट बनाती है।
दी गई जानकारी को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है:

मशीन	स्क्रू $A$ (मिनट)	स्क्रू $B$ (मिनट)	उपलब्धता (मिनट)
स्वचालित	$4$	$6$	$240$
हाथ से चलने वाली	$6$	$3$	$240$

उद्देश्य लाभ $Z = 7x + 10y$ को अधिकतम करना है।
प्रतिबंधों के अधीन:
$4x + 6y \leq 240 \implies 2x + 3y \leq 120$
$6x + 3y \leq 240 \implies 2x + y \leq 80$
$x, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0,0)$, $A(40,0)$, $B(30,20)$, और $C(0,40)$ हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान:

कोणीय बिंदु	$Z = 7x + 10y$
$O(0,0)$	$0$
$A(40,0)$	$7(40) + 10(0) = 280$
$B(30,20)$	$7(30) + 10(20) = 210 + 200 = 410$
$C(0,40)$	$7(0) + 10(40) = 400$

अधिकतम लाभ $x = 30$ और $y = 20$ पर $Rs. \, 410$ है।

(A) मान लीजिए कि कुटीर उद्योग $x$ पेडस्टल लैंप और $y$ लकड़ी के शेड का निर्माण करता है।
इसलिए,$x \geq 0$ और $y \geq 0$.
दी गई जानकारी को निम्नलिखित तालिका में संकलित किया जा सकता है:

वस्तु	लैंप $(x)$	शेड $(y)$	उपलब्धता
ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन (घंटे)	$2$	$1$	$12$
स्प्रेयर (घंटे)	$3$	$2$	$20$

एक लैंप पर लाभ $Rs. 5$ है और एक शेड पर लाभ $Rs. 3$ है।
इसलिए,बाधाएं इस प्रकार हैं:
$2x + y \leq 12$
$3x + 2y \leq 20$
कुल लाभ,$Z = 5x + 3y$.
समस्या का गणितीय सूत्रीकरण है:
अधिकतम $Z = 5x + 3y$ बाधाओं के अधीन:
$2x + y \leq 12$
$3x + 2y \leq 20$
$x, y \geq 0$
व्यवहार्य क्षेत्र इन बाधाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है। व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदु $O(0,0)$,$A(6,0)$,$B(4,4)$,और $C(0,10)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान इस प्रकार है:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 3y$
$O(0,0)$	$0$
$A(6,0)$	$5(6) + 3(0) = 30$
$B(4,4)$	$5(4) + 3(4) = 20 + 12 = 32$
$C(0,10)$	$5(0) + 3(10) = 30$

$Z$ का अधिकतम मान $32$ है जो बिंदु $B(4,4)$ पर प्राप्त होता है।
इस प्रकार,निर्माता को अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए $4$ पेडस्टल लैंप और $4$ लकड़ी के शेड का उत्पादन करना चाहिए।

(A) मान लीजिए कंपनी प्रकार $A$ के $x$ और प्रकार $B$ के $y$ स्मृति चिन्ह बनाती है।
दी गई जानकारी को तालिका में इस प्रकार संकलित किया जा सकता है:

प्रक्रिया	प्रकार $A$	प्रकार $B$	उपलब्धता
काटना (मिनट)	$5$	$8$	$200$
असेंबल (मिनट)	$10$	$8$	$240$

प्रतिबंध हैं:
$5x + 8y \leq 200$
$10x + 8y \leq 240 \implies 5x + 4y \leq 120$
$x, y \geq 0$
लाभ को अधिकतम करने के लिए उद्देश्य फलन $Z = 5x + 6y$ है।
संभाव्य क्षेत्र $O(0,0)$,$A(24,0)$,$B(8,20)$,और $C(0,25)$ कोणीय बिंदुओं द्वारा घिरा हुआ है।
कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 6y$
$A(24,0)$	$5(24) + 6(0) = 120$
$B(8,20)$	$5(8) + 6(20) = 40 + 120 = 160$
$C(0,25)$	$5(0) + 6(25) = 150$

अधिकतम लाभ $(8, 20)$ पर $Rs. 160$ है। अतः,कंपनी को प्रकार $A$ के $8$ और प्रकार $B$ के $20$ स्मृति चिन्ह बनाने चाहिए।

(A) मान लीजिए व्यापारी $x$ डेस्कटॉप मॉडल और $y$ पोर्टेबल मॉडल का स्टॉक रखता है।
डेस्कटॉप मॉडल की लागत $Rs.\,25000$ और पोर्टेबल मॉडल की लागत $Rs.\,40000$ है।
दिया गया है कि व्यापारी अधिकतम $Rs.\,70$ लाख $(Rs.\,70,00,000)$ का निवेश कर सकता है:
$25000x + 40000y \leq 7000000$
$5000$ से भाग देने पर,हमें मिलता है:
$5x + 8y \leq 1400$ ... $(1)$
कंप्यूटरों की कुल मासिक मांग $250$ यूनिट से अधिक नहीं होगी:
$x + y \leq 250$ ... $(2)$
साथ ही,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ ... $(3)$
अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए लाभ फलन:
$Z = 4500x + 5000y$
समीकरण $5x + 8y = 1400$ और $x + y = 250$ को हल करके हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x + y = 250$ से,$y = 250 - x$. समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5x + 8(250 - x) = 1400$
$5x + 2000 - 8x = 1400$
$-3x = -600 \implies x = 200$
$y = 250 - 200 = 50$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(250, 0)$,$(200, 50)$,और $(0, 175)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $Z$ का मान ज्ञात करने पर:

कोणीय बिंदु	$Z = 4500x + 5000y$
$(0, 0)$	$0$
$(250, 0)$	$4500(250) = 1125000$
$(200, 50)$	$4500(200) + 5000(50) = 900000 + 250000 = 1150000$
$(0, 175)$	$5000(175) = 875000$

अधिकतम लाभ $(200, 50)$ बिंदु पर $Rs.\,1150000$ है।
अतः,व्यापारी को $200$ डेस्कटॉप मॉडल और $50$ पोर्टेबल मॉडल का स्टॉक रखना चाहिए।

(A) मान लीजिए कि आहार में $x$ इकाई खाद्य $F_{1}$ और $y$ इकाई खाद्य $F_{2}$ है।
दी गई जानकारी को तालिका में इस प्रकार संकलित किया जा सकता है:

खाद्य	विटामिन $A$ (इकाई)	खनिज (इकाई)	लागत (Rs)
$F_{1} (x)$	$3$	$4$	$4$
$F_{2} (y)$	$6$	$3$	$6$
आवश्यकता	$80$	$100$	-

गणितीय सूत्रीकरण:
न्यूनतम $Z = 4x + 6y$ शर्तों के अधीन:
$3x + 6y \geq 80$
$4x + 3y \geq 100$
$x, y \geq 0$
व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदु $A(\frac{80}{3}, 0)$,$B(24, \frac{4}{3})$,और $C(0, \frac{100}{3})$ हैं।
कोने के बिंदुओं पर $Z$ का मूल्यांकन:
- $A(\frac{80}{3}, 0)$ पर,$Z = 4(\frac{80}{3}) + 6(0) = \frac{320}{3} \approx 106.67$
- $B(24, \frac{4}{3})$ पर,$Z = 4(24) + 6(\frac{4}{3}) = 96 + 8 = 104$
- $C(0, \frac{100}{3})$ पर,$Z = 4(0) + 6(\frac{100}{3}) = 200$
चूंकि व्यवहार्य क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम जांचते हैं कि क्या $4x + 6y < 104$ का व्यवहार्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु है। रेखा $4x + 6y = 104$ (या $2x + 3y = 52$) व्यवहार्य क्षेत्र को नहीं काटती है। अतः,न्यूनतम लागत $Rs. 104$ है।

(A) माना किसान $x\,kg$ उर्वरक $F_{1}$ और $y\,kg$ उर्वरक $F_{2}$ खरीदता है।
प्रतिबंध:
$1$. नाइट्रोजन की आवश्यकता: $0.10x + 0.05y \geq 14 \implies 2x + y \geq 280$.
$2$. फॉस्फोरिक एसिड की आवश्यकता: $0.06x + 0.10y \geq 14 \implies 3x + 5y \geq 700$.
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$.
उद्देश्य फलन: $Z = 6x + 5y$ को न्यूनतम करना।
कोणीय बिंदु:
- $2x + y = 280$ और $3x + 5y = 700$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(100, 80)$ है।
- अन्य बिंदु $A(700/3, 0)$ और $C(0, 280)$ हैं।
$Z$ का मान:
- $Z(A) = 1400$
- $Z(B) = 1000$
- $Z(C) = 1400$
अतः,न्यूनतम लागत $Rs\,1000$ है।

(A) मान लीजिए $x$ और $y$ क्रमशः खाद्य $P$ और $Q$ के पैकेटों की संख्या हैं। उद्देश्य $Z = 6x + 3y$ (विटामिन $A$) को न्यूनतम करना है।
प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$12x + 3y \geq 240 \implies 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \implies x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \implies 3x + 2y \leq 150$
$x, y \geq 0$
संभाव्य क्षेत्र कोणीय बिंदुओं $L(2, 72)$,$M(15, 20)$,और $N(40, 15)$ द्वारा सीमित है।

कोणीय बिंदु	$Z = 6x + 3y$
$L(2, 72)$	$6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$M(15, 20)$	$6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$N(40, 15)$	$6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$

$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(15, 20)$ पर $150$ है। अतः,$15$ पैकेट खाद्य $P$ और $20$ पैकेट खाद्य $Q$ का उपयोग किया जाना चाहिए।

(A) माना $x$ और $y$ क्रमशः उत्पादित वस्तु $M$ और $N$ की इकाइयां हैं।
कुल लाभ $Z = 600x + 400y$.
प्रतिबंध:
$x + 2y \leq 12$ (मशीन $I$)
$2x + y \leq 12$ (मशीन $II$)
$x + 1.25y \geq 5$ (मशीन $III$)
$x, y \geq 0$
असमिकाओं के निकाय को हल करने पर,सुसंगत क्षेत्र शीर्ष बिंदुओं $(5, 0), (6, 0), (4, 4), (0, 6), (0, 4)$ द्वारा परिबद्ध है।
कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मूल्यांकन करने पर:
$(5, 0)$ पर: $Z = 600(5) + 400(0) = 3000$
$(6, 0)$ पर: $Z = 600(6) + 400(0) = 3600$
$(4, 4)$ पर: $Z = 600(4) + 400(4) = 2400 + 1600 = 4000$
$(0, 6)$ पर: $Z = 600(0) + 400(6) = 2400$
$(0, 4)$ पर: $Z = 600(0) + 400(4) = 1600$
अधिकतम लाभ $x = 4, y = 4$ पर $Rs. \, 4000$ है।

(A) माना कारखाने $P$ से डिपो $A$ और $B$ में भेजी गई इकाइयाँ क्रमशः $x$ और $y$ हैं। तब,$P$ से $C$ में $8-x-y$ इकाइयाँ भेजी जाएंगी।
कारखाने $Q$ से भेजी गई इकाइयाँ:
$A$ के लिए: $5-x$
$B$ के लिए: $5-y$
$C$ के लिए: $6-(5-x)-(5-y) = x+y-4$
प्रतिबंध:
$x \geq 0, y \geq 0$
$x \leq 5, y \leq 5$
$x+y \leq 8$
$x+y \geq 4$
कुल लागत फलन $Z$:
$Z = 160x + 100y + 150(8-x-y) + 100(5-x) + 120(5-y) + 100(x+y-4)$
$Z = 10(x - 7y + 190)$
संभाव्य क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान:
$(0,4): Z = 1620$
$(0,5): Z = 1550$
$(3,5): Z = 1580$
$(5,3): Z = 1740$
$(5,0): Z = 1950$
$(4,0): Z = 1940$
न्यूनतम लागत $1550$ है,जो $(0,5)$ बिंदु पर प्राप्त होती है।

(A) मान लीजिए कि आहार में खाद्य $P$ और $Q$ के क्रमशः $x$ और $y$ पैकेट हैं। उद्देश्य $Z = 6x + 3y$ को अधिकतम करना है। बाधाएं इस प्रकार हैं:
$12x + 3y \geq 240 \implies 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \implies x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \implies 3x + 2y \leq 150$
$x, y \geq 0$।
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर:
$4x + y = 80$ और $x + 5y = 115$ से $A(15, 20)$ प्राप्त होता है।
$4x + y = 80$ और $3x + 2y = 150$ से $B(2, 72)$ प्राप्त होता है।
$x + 5y = 115$ और $3x + 2y = 150$ से $C(40, 15)$ प्राप्त होता है।
कोणीय बिंदुओं पर $Z = 6x + 3y$ का मान:

कोणीय बिंदु	$Z = 6x + 3y$
$A(15, 20)$	$6(15) + 3(20) = 150$
$B(2, 72)$	$6(2) + 3(72) = 228$
$C(40, 15)$	$6(40) + 3(15) = 285$

अधिकतम मान $(40, 15)$ पर $285$ है। अतः,$P$ के $40$ पैकेट और $Q$ के $15$ पैकेट की आवश्यकता है।

(A) माना किसान ब्रांड $P$ के $x$ बैग और ब्रांड $Q$ के $y$ बैग मिलाता है।
उद्देश्य लागत $Z = 250x + 200y$ को न्यूनतम करना है।
प्रतिबंध:
$3x + 1.5y \geq 18$ (पोषक तत्व $A$)
$2.5x + 11.25y \geq 45$ (पोषक तत्व $B$)
$2x + 3y \geq 24$ (पोषक तत्व $C$)
$x, y \geq 0$
रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना:
$1$. $3x + 1.5y = 18$ और $2x + 3y = 24$ बिंदु $(3, 6)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$. $2.5x + 11.25y = 45$ और $2x + 3y = 24$ बिंदु $(9, 2)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$. सीमा रेखाएं अक्षों को $(18, 0)$ और $(0, 12)$ पर काटती हैं।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(18, 0), (9, 2), (3, 6), (0, 12)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $Z = 250x + 200y$ का मान ज्ञात करना:
- $(18, 0)$ पर: $Z = 250(18) + 200(0) = 4500$
- $(9, 2)$ पर: $Z = 250(9) + 200(2) = 2250 + 400 = 2650$
- $(3, 6)$ पर: $Z = 250(3) + 200(6) = 750 + 1200 = 1950$
- $(0, 12)$ पर: $Z = 250(0) + 200(12) = 2400$
चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम जांचते हैं कि क्या $250x + 200y < 1950$ का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु है। रेखा $250x + 200y = 1950$ (या $5x + 4y = 39$) सुसंगत क्षेत्र को $(3, 6)$ के अलावा कहीं नहीं काटती है। अतः,न्यूनतम लागत $x=3, y=6$ पर $Rs. 1950$ है।

(A) मान लीजिए कि मिश्रण में $x$ $kg$ भोजन $X$ और $y$ $kg$ भोजन $Y$ है।
दी गई समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है:
न्यूनतम $Z = 16x + 20y$ ... $(1)$
प्रतिबंधों के अधीन:
$x + 2y \geq 10$ ... $(2)$
$2x + 2y \geq 12$ (जो $x + y \geq 6$ में सरल हो जाता है) ... $(3)$
$3x + y \geq 8$ ... $(4)$
$x, y \geq 0$ ... $(5)$
प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(10, 0)$,$B(2, 4)$,$C(1, 5)$ और $D(0, 8)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मान इस प्रकार हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = 16x + 20y$
$A(10, 0)$	$160$
$B(2, 4)$	$112$
$C(1, 5)$	$116$
$D(0, 8)$	$160$

चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम जांचते हैं कि क्या $16x + 20y < 112$ का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं।
चूंकि रेखा $16x + 20y = 112$ सुसंगत क्षेत्र के आंतरिक भाग से नहीं गुजरती है,इसलिए न्यूनतम मान $(2, 4)$ पर $112$ है।
अतः,मिश्रण की न्यूनतम लागत $Rs. 112$ है।

(A) मान लीजिए कि एक दिन में निर्मित $A$ प्रकार के खिलौनों की संख्या $x$ और $B$ प्रकार के खिलौनों की संख्या $y$ है।
मशीन के समय (मिनटों में) के आधार पर बाधाएं इस प्रकार हैं:
मशीन $I$: $12x + 6y \leq 360 \implies 2x + y \leq 60$
मशीन $II$: $18x + 0y \leq 360 \implies x \leq 20$
मशीन $III$: $6x + 9y \leq 360 \implies 2x + 3y \leq 120$
अऋणता: $x, y \geq 0$
लाभ को अधिकतम करने के लिए उद्देश्य फलन: $Z = 7.5x + 5y$
सुसंगत क्षेत्र शीर्ष बिंदुओं $(0, 0), (20, 0), (20, 20), (15, 30), (0, 40)$ द्वारा घिरा हुआ है।
कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $(0, 0)$ पर: $Z = 0$
$2$. $(20, 0)$ पर: $Z = 7.5(20) + 5(0) = 150$
$3$. $(20, 20)$ पर: $Z = 7.5(20) + 5(20) = 150 + 100 = 250$
$4$. $(15, 30)$ पर: $Z = 7.5(15) + 5(30) = 112.5 + 150 = 262.5$
$5$. $(0, 40)$ पर: $Z = 7.5(0) + 5(40) = 200$
अधिकतम लाभ $(15, 30)$ बिंदु पर $Rs. \, 262.5$ है। अतः,अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए $15$ खिलौने प्रकार $A$ के और $30$ खिलौने प्रकार $B$ के बनाए जाने चाहिए。

(D) मान लीजिए गोदाम $A$ दुकानों $D$ और $E$ को क्रमशः $x$ और $y$ क्विंटल अनाज की आपूर्ति करता है। तब,$(100-x-y)$ क्विंटल दुकान $F$ को आपूर्ति की जाएगी।
दुकान $D$ पर आवश्यकता $60$ क्विंटल है। चूंकि $x$ क्विंटल गोदाम $A$ से ले जाए जाते हैं,इसलिए शेष $(60-x)$ क्विंटल गोदाम $B$ से ले जाए जाएंगे।
इसी प्रकार,$(50-y)$ क्विंटल और $40-(100-x-y) = (x+y-60)$ क्विंटल गोदाम $B$ से क्रमशः दुकान $E$ और $F$ तक ले जाए जाएंगे।
कुल परिवहन लागत $z$ इस प्रकार है:
$z = 6x + 3y + 2.5(100-x-y) + 4(60-x) + 2(50-y) + 3(x+y-60)$
$z = 6x + 3y + 250 - 2.5x - 2.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180$
$z = 2.5x + 1.5y + 410$
समस्या $z = 2.5x + 1.5y + 410$ को न्यूनतम करना है,जिसके प्रतिबंध हैं:
$x+y \leq 100, x \leq 60, y \leq 50, x+y \geq 60, x, y \geq 0$.
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50),$ और $D(10, 50)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$z = 2.5x + 1.5y + 410$
$A(60, 0)$	$560$
$B(60, 40)$	$620$
$C(50, 50)$	$610$
$D(10, 50)$	$510$ (न्यूनतम)

$z$ का न्यूनतम मान $(10, 50)$ पर $510$ है।
अतः,$A$ से $D, E, F$ को ले जाया गया अनाज क्रमशः $10, 50, 40$ क्विंटल है,और $B$ से $D, E, F$ को ले जाया गया अनाज क्रमशः $50, 0, 0$ क्विंटल है।

(A) मान लीजिए कि फल उत्पादक ब्रांड $P$ के $x$ बैग और ब्रांड $Q$ के $y$ बैग का उपयोग करता है।
उद्देश्य फलन नाइट्रोजन को अधिकतम करना है: $Z = 3x + 3.5y$.
तालिका के आधार पर बाधाएं:
$1$. फॉस्फोरिक एसिड: $x + 2y \geq 240$
$2$. पोटाश: $3x + 1.5y \geq 270 \implies 2x + y \geq 180$
$3$. क्लोरीन: $1.5x + 2y \leq 310$
$4$. ऋणेतर बाधाएं: $x, y \geq 0$
असमिकाओं के निकाय को हल करने पर,सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A(140, 50)$,$B(20, 140)$ और $C(40, 100)$ प्राप्त होते हैं।
कोणीय बिंदुओं पर $Z = 3x + 3.5y$ का मान:
- $A(140, 50)$ पर: $Z = 3(140) + 3.5(50) = 420 + 175 = 595$
- $B(20, 140)$ पर: $Z = 3(20) + 3.5(140) = 60 + 490 = 550$
- $C(40, 100)$ पर: $Z = 3(40) + 3.5(100) = 120 + 350 = 470$
अतः,$x = 140$ और $y = 50$ पर नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा $595 \, kg$ है।

(A) मान लीजिए कि $x$ और $y$ प्रति सप्ताह उत्पादित $A$ और $B$ प्रकार की गुड़ियों की संख्या है।
दी गई समस्या को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:
अधिकतम $z = 12x + 16y$ .....$(1)$
प्रतिबंधों के अधीन:
$x + y \leq 1200$ .....$(2)$
$y \leq \frac{x}{2} \Rightarrow x \geq 2y$ .....$(3)$
$x - 3y \leq 600$ .....$(4)$
$x, y \geq 0$ .....$(5)$
संभाव्य क्षेत्र प्रतिबंधों की प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है। संभावित क्षेत्र के कोने के बिंदु $O(0,0)$,$A(600,0)$,$B(1050,150)$,और $C(800,400)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $z$ के मान इस प्रकार हैं:

कोणीय बिंदु	$z = 12x + 16y$
$O(0,0)$	$0$
$A(600,0)$	$7200$
$B(1050,150)$	$12(1050) + 16(150) = 15000$
$C(800,400)$	$12(800) + 16(400) = 16000$

$z$ का अधिकतम मान $(800, 400)$ पर $16000$ है।
इस प्रकार,अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रति सप्ताह $800$ गुड़िया $A$ प्रकार की और $400$ गुड़िया $B$ प्रकार की बनाई जानी चाहिए।

मान लीजिए कि निर्माता प्रकार $A$ सर्किट की $x$ इकाइयाँ और प्रकार $B$ सर्किट की $y$ इकाइयाँ बनाता है।
दी गई जानकारी से,हमारे पास निम्नलिखित बाधा तालिका है:

घटक	प्रकार $A$ $(x)$	प्रकार $B$ $(y)$	अधिकतम स्टॉक
प्रतिरोधक	$20$	$10$	$200$
ट्रांजिस्टर	$10$	$20$	$120$
संधारित्र	$10$	$30$	$150$
लाभ	$Rs. 50$	$Rs. 60$	-

अतः,लाभ के लिए उद्देश्य फलन $Z = 50x + 60y$ है।
अब,दी गई समस्या के लिए हमारे पास निम्नलिखित गणितीय मॉडल है:
अधिकतम $Z = 50x + 60y$
बाधाओं के अधीन:
$20x + 10y \leq 200$ (प्रतिरोधक बाधा) $\Rightarrow 2x + y \leq 20$
$10x + 20y \leq 120$ (ट्रांजिस्टर बाधा) $\Rightarrow x + 2y \leq 12$
$10x + 30y \leq 150$ (संधारित्र बाधा) $\Rightarrow x + 3y \leq 15$
$x \geq 0, y \geq 0$ (अऋणता बाधाएँ)
अतः,$LPP$ का उद्देश्य $Z = 50x + 60y$ को अधिकतम करना है,जो बाधाओं $2x + y \leq 20, x + 2y \leq 12, x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ के अधीन है।

(A) माना $x$ बड़ी वैनों की संख्या है और $y$ छोटी वैनों की संख्या है।
उद्देश्य कुल लागत $Z$ को न्यूनतम करना है। एक बड़ी वैन की लागत $Rs. 400$ है और एक छोटी वैन की लागत $Rs. 200$ है। अतः,उद्देश्य फलन $Z = 400x + 200y$ है।
प्रतिबंध:
$1$. परिवहन किए जाने वाले कुल पैकेज कम से कम $1200$ होने चाहिए: $200x + 80y \geq 1200$,जो सरल होकर $5x + 2y \geq 30$ हो जाता है।
$2$. कुल लागत $Rs. 3000$ से अधिक नहीं हो सकती: $400x + 200y \leq 3000$,जो सरल होकर $2x + y \leq 15$ हो जाता है।
$3$. बड़ी वैनों की संख्या छोटी वैनों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती: $x \leq y$.
$4$. ऋणेतर प्रतिबंध: $x \geq 0, y \geq 0$.
अतः,$LPP$ इस प्रकार है:
न्यूनतम $Z = 400x + 200y$
प्रतिबंधों के अधीन:
$5x + 2y \geq 30$
$2x + y \leq 15$
$x \leq y$
$x, y \geq 0$

(A) मान लीजिए कि कंपनी $x$ संख्या में प्रकार $A$ के स्वेटर और $y$ संख्या में प्रकार $B$ के स्वेटर बनाती है।
कंपनी एक दिन में अधिकतम $Rs. 72000$ खर्च करती है। इसलिए,$360x + 120y \leq 72000$.
$120$ से विभाजित करने पर,हमें $3x + y \leq 600 \dots (i)$ प्राप्त होता है।
कंपनी कुल मिलाकर अधिकतम $300$ स्वेटर बना सकती है। इसलिए,$x + y \leq 300 \dots (ii)$.
प्रकार $B$ के स्वेटरों की संख्या प्रकार $A$ के स्वेटरों की संख्या से $100$ से अधिक नहीं हो सकती है। इसका अर्थ है $y - x \leq 100$,जिसे $-x + y \leq 100 \dots (iii)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कंपनी को प्रकार $A$ के प्रत्येक स्वेटर पर $Rs. 200$ और प्रकार $B$ के प्रत्येक स्वेटर पर $Rs. 120$ का लाभ होता है। लाभ को अधिकतम करने के लिए उद्देश्य फलन $Z = 200x + 120y$ है।
अतः,$LPP$ का निरूपण इस प्रकार है:
अधिकतम $Z = 200x + 120y$
प्रतिबंधों के अधीन:
$3x + y \leq 600$
$x + y \leq 300$
$-x + y \leq 100$
$x \geq 0, y \geq 0$

(A) माना कि आदमी $50 \, km/h$ की गति से $x \, km$ की दूरी और $80 \, km/h$ की गति से $y \, km$ की दूरी तय करता है।
दूरी $x$ के लिए पेट्रोल की लागत $2x$ है और दूरी $y$ के लिए $3y$ है। चूंकि उसके पास खर्च करने के लिए अधिकतम $Rs. \, 120$ हैं,इसलिए लागत बाधा $2x + 3y \leq 120$ है।
दूरी $x$ तय करने में लगा समय $\frac{x}{50}$ घंटे है और दूरी $y$ के लिए $\frac{y}{80}$ घंटे है। चूंकि उसके पास अधिकतम $1$ घंटा है,इसलिए समय की बाधा $\frac{x}{50} + \frac{y}{80} \leq 1$ है,जो सरल होकर $8x + 5y \leq 400$ हो जाती है।
चूंकि दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
उद्देश्य फलन कुल दूरी $Z = x + y$ को अधिकतम करना है।
अतः,रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या इस प्रकार है:
अधिकतम $Z = x + y$
प्रतिबंध:
$2x + 3y \leq 120$
$8x + 5y \leq 400$
$x, y \geq 0$

(A) मान लीजिए कि निर्माता $x$ संख्या में मॉडल $X$ और $y$ संख्या में मॉडल $Y$ बाइक बनाता है।
मॉडल $X$ को बनाने में $6$ मानव-घंटे और मॉडल $Y$ को $10$ मानव-घंटे प्रति इकाई लगते हैं। प्रति सप्ताह कुल $450$ मानव-घंटे उपलब्ध हैं।
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
हैंडलिंग और मार्केटिंग लागत क्रमशः $Rs. 2000$ और $Rs. 1000$ प्रति इकाई है,और कुल धनराशि $Rs. 80,000$ प्रति सप्ताह है।
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0$।
हमें लाभ फलन $Z = 1000x + 500y$ को निम्नलिखित बाधाओं के अधीन अधिकतम करना है:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0), (40,0), (25,30),$ और $(0,45)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 1000x + 500y$ का मान
$(0,0)$	$0$
$(40,0)$	$1000(40) + 500(0) = 40000$
$(25,30)$	$1000(25) + 500(30) = 25000 + 15000 = 40000$
$(0,45)$	$1000(0) + 500(45) = 22500$

अधिकतम लाभ $Rs. 40,000$ है। यह मान $(40,0)$ और $(25,30)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर किसी भी बिंदु पर प्राप्त होता है। अतः,अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए निर्माता $40$ इकाई मॉडल $X$ और $0$ इकाई मॉडल $Y$,या $25$ इकाई मॉडल $X$ और $30$ इकाई मॉडल $Y$ का उत्पादन कर सकता है।

(C) माना व्यक्ति $X$ प्रकार की $x$ गोलियाँ और $Y$ प्रकार की $y$ गोलियाँ लेता है।
दी गई सारणीबद्ध जानकारी से,हमारे पास निम्नलिखित बाधाएँ हैं:
$6x + 2y \geq 18 \Rightarrow 3x + y \geq 9$
$3x + 3y \geq 21 \Rightarrow x + y \geq 7$
$2x + 4y \geq 16 \Rightarrow x + 2y \geq 8$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0$.
उद्देश्य लागत $Z = 2x + y$ को न्यूनतम करना है।
असमिकाओं को आलेखित करने पर,सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु $A(8, 0)$,$B(3, 4)$,$C(1, 6)$,और $D(0, 9)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 2x + y$ का मान
$(8, 0)$	$16$
$(3, 4)$	$10$
$(1, 6)$	$8$ (न्यूनतम)
$(0, 9)$	$9$

चूंकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है,हम असमिका $2x + y < 8$ की जाँच करते हैं। $2x + y < 8$ द्वारा परिभाषित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसलिए,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(1, 6)$ पर $8$ है।
अतः,व्यक्ति को न्यूनतम $Rs. 8$ की लागत पर आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए $X$ की $1$ गोली और $Y$ की $6$ गोलियाँ लेनी चाहिए।

(B) मान लीजिए फैक्ट्री $I, x$ दिन और फैक्ट्री $II, y$ दिन चलती है।
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $A$ के $50$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $A$ के $40$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $A$ के लिए कम से कम $6400$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 50x + 40y \geq 6400 \Rightarrow 5x + 4y \geq 640$
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $B$ के $50$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $B$ के $20$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $B$ के लिए कम से कम $4000$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 50x + 20y \geq 4000 \Rightarrow 5x + 2y \geq 400$
फैक्ट्री $I$ में मॉडल $C$ के $30$ और फैक्ट्री $II$ में मॉडल $C$ के $40$ कैलकुलेटर प्रतिदिन बनते हैं। कंपनी के पास मॉडल $C$ के लिए कम से कम $4800$ कैलकुलेटर के ऑर्डर हैं।
$\therefore 30x + 40y \geq 4800 \Rightarrow 3x + 4y \geq 480$
साथ ही,$x \geq 0, y \geq 0.$
हमें लागत $Z = 12000x + 15000y$ को कम करना है,जो निम्नलिखित बाधाओं के अधीन है:
$5x + 4y \geq 640$
$5x + 2y \geq 400$
$3x + 4y \geq 480$
$x, y \geq 0$
संभाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध है जिसके कोणीय बिंदु $A(160, 0), B(80, 60), C(32, 120),$ और $D(0, 200)$ हैं।

कोणीय बिंदु	$Z = 12000x + 15000y$ का मान
$(160, 0)$	$1920000$
$(80, 60)$	$1860000$ (न्यूनतम)
$(32, 120)$	$2184000$
$(0, 200)$	$3000000$

न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम $12000x + 15000y < 1860000$ या $4x + 5y < 620$ का आलेख खींचते हैं। चित्र में दिखाए अनुसार,संभाव्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है,इसलिए न्यूनतम मान $1860000$ है।
अतः,फैक्ट्री $I$ को $80$ दिन और फैक्ट्री $II$ को $60$ दिन चलना चाहिए।

(C) दी गई बाधाएँ हैं:
$1$) $-x + y \leq 1$
$2$) $2x + y \leq 2$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाएँ खींचते हैं:
- $-x + y = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
- $2x + y = 2$ के लिए,अंतःखंड $(0, 2)$ और $(1, 0)$ हैं।
$-x + y = 1$ और $2x + y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$(2x + y) - (-x + y) = 2 - 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3$.
$x = 1/3$ को $2x + y = 2$ में रखने पर:
$2(1/3) + y = 2 \implies y = 2 - 2/3 = 4/3$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1/3, 4/3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(1, 0)$,और $(1/3, 4/3)$ हैं।
अब,इन बिंदुओं पर $z = 2x + 6y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(0, 0)$ पर: $z = 2(0) + 6(0) = 0$.
- $(1, 0)$ पर: $z = 2(1) + 6(0) = 2$.
- $(1/3, 4/3)$ पर: $z = 2(1/3) + 6(4/3) = 2/3 + 24/3 = 26/3$.
अधिकतम मान $26/3$ है।

(A) सुसंगत क्षेत्र निम्नलिखित प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित होता है:
$1) 0 \leq x \leq 4$
$2) 1 \leq y \leq 6$
$3) x + y \leq 5$
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को हल करते हैं:
- $x = 0$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
- $x = 0$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 5)$ है।
- $y = 1$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 1)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 1), (0, 5),$ और $(4, 1)$ हैं।
अब,प्रत्येक शीर्ष पर $z = -3x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(0, 1)$ पर: $z = -3(0) + 2(1) = 2$
- $(0, 5)$ पर: $z = -3(0) + 2(5) = 10$
- $(4, 1)$ पर: $z = -3(4) + 2(1) = -12 + 2 = -10$
अतः,$z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(4, 1)$ पर $-10$ है।

(A) माना केक $A$ की संख्या $x$ है और केक $B$ की संख्या $y$ है।

सामग्री	केक $A$ $(g)$	केक $B$ $(g)$	कुल उपलब्ध $(g)$
आटा	$200$	$100$	$5000$
वसा	$25$	$50$	$1000$

आटे के लिए बाधाएं: $200x + 100y \leq 5000$. $100$ से भाग देने पर,हमें $2x + y \leq 50$ प्राप्त होता है।
वसा के लिए बाधाएं: $25x + 50y \leq 1000$. $25$ से भाग देने पर,हमें $x + 2y \leq 40$ प्राप्त होता है।
गैर-ऋणात्मक बाधाएं: $x \geq 0, y \geq 0$.
उद्देश्य फलन: $Z = x + y$.
अतः,गणितीय रूप $Z = x + y, 2x + y \leq 50, x + 2y \leq 40, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(B) $Z = 3x_{1} + 5x_{2}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान ज्ञात करते हैं,जो निम्नलिखित प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित है:
$1$. $3x_{1} + 2x_{2} \leq 18$
$2$. $x_{1} \leq 4$
$3$. $x_{2} \leq 6$
$4$. $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$
कोणीय बिंदु इस प्रकार हैं:
- $x_{1} = 0$ और $x_{2} = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ है। $Z = 0$।
- $x_{1} = 4$ और $x_{2} = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 0)$ है। $Z = 3(4) + 5(0) = 12$।
- $x_{1} = 4$ और $3x_{1} + 2x_{2} = 18$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ है। $Z = 3(4) + 5(3) = 27$।
- $3x_{1} + 2x_{2} = 18$ और $x_{2} = 6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 6)$ है। $Z = 3(2) + 5(6) = 36$।
- $x_{1} = 0$ और $x_{2} = 6$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 6)$ है। $Z = 3(0) + 5(6) = 30$।
सभी कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $36$ है जो बिंदु $(2, 6)$ पर प्राप्त होता है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा बिंदु हल समुच्चय में नहीं है,हम प्रत्येक बिंदु को दी गई असमिकाओं $x+2y \leq 2000$,$x+y \leq 1500$,$y \leq 600$ और $x \geq 0$ के लिए जांचते हैं।
$(1000, 0)$ के लिए:
$1000 + 2(0) = 1000 \leq 2000$ (सत्य)
$1000 + 0 = 1000 \leq 1500$ (सत्य)
$0 \leq 600$ (सत्य)
$1000 \geq 0$ (सत्य)
यह बिंदु क्षेत्र में है।
$(0, 500)$ के लिए:
$0 + 2(500) = 1000 \leq 2000$ (सत्य)
$0 + 500 = 500 \leq 1500$ (सत्य)
$500 \leq 600$ (सत्य)
$0 \geq 0$ (सत्य)
यह बिंदु क्षेत्र में है।
$(2, 0)$ के लिए:
$2 + 2(0) = 2 \leq 2000$ (सत्य)
$2 + 0 = 2 \leq 1500$ (सत्य)
$0 \leq 600$ (सत्य)
$2 \geq 0$ (सत्य)
यह बिंदु क्षेत्र में है।
$(2000, 0)$ के लिए:
$2000 + 2(0) = 2000 \leq 2000$ (सत्य)
$2000 + 0 = 2000 \leq 1500$ (असत्य)
चूंकि असमिका $x+y \leq 1500$ का पालन नहीं होता है,इसलिए बिंदु $(2000, 0)$ हल समुच्चय में नहीं है।

(C) असमिकाएं इस प्रकार हैं:
$1$) $2x + 3y \leq 6$
$2$) $x + 4y \leq 4$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को खोजने के लिए,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की पहचान करते हैं:
- रेखा $2x + 3y = 6$ अक्षों को $(3, 0)$ और $(0, 2)$ पर काटती है।
- रेखा $x + 4y = 4$ अक्षों को $(4, 0)$ और $(0, 1)$ पर काटती है।
समीकरणों $2x + 3y = 6$ और $x + 4y = 4$ को हल करने पर:
दूसरे समीकरण से,$x = 4 - 4y$.
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(4 - 4y) + 3y = 6 \implies 8 - 8y + 3y = 6 \implies -5y = -2 \implies y = \frac{2}{5}$.
अतः $x = 4 - 4(\frac{2}{5}) = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$.
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(3, 0)$,$(0, 1)$ और $(\frac{12}{5}, \frac{2}{5})$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,बिंदु $(\frac{12}{5}, \frac{2}{5})$ एक कोणीय बिंदु है।

(B) अधिकतम लाभ के लिए उद्देश्य फलन निर्धारित करने हेतु,हम प्रत्येक वस्तु की प्रति इकाई अर्जित लाभ पर विचार करते हैं।
माना $x$ चावल की मात्रा (क्विंटल में) है और $y$ गेहूं की मात्रा (क्विंटल में) है।
$x$ क्विंटल चावल से प्राप्त लाभ = $200 \times x = 200x$.
$y$ क्विंटल गेहूं से प्राप्त लाभ = $125 \times y = 125y$.
कुल लाभ $Z$ चावल और गेहूं से प्राप्त लाभ का योग है।
अतः,उद्देश्य फलन $Z = 200x + 125y$ है।

(D) अधिकतम लाभ ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $z = 2000x + 5000y$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु $(x, y)$	$z = 2000x + 5000y$ का मान
$(1, 0)$	$z = 2000(1) + 5000(0) = 2000$
$(2, 0)$	$z = 2000(2) + 5000(0) = 4000$
$(0, 2)$	$z = 2000(0) + 5000(2) = 10000$ (अधिकतम)
$(0, 1)$	$z = 2000(0) + 5000(1) = 5000$

मानों की तुलना करने पर,अधिकतम लाभ $10000$ है।

(A) $z = 2x + 4y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करते हैं:
$1$) $x + 2y \geq 10$
$2$) $3x + y \geq 10$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
- $x + 2y = 10$ और $3x + y = 10$ के लिए:
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करें: $6x + 2y = 20$.
पहले समीकरण को घटाएं: $(6x + 2y) - (x + 2y) = 20 - 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2$.
$x = 2$ को $x + 2y = 10$ में रखने पर: $2 + 2y = 10 \implies 2y = 8 \implies y = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु: $(2, 4)$.
- $x + 2y = 10$ के लिए अंतःखंड: $(10, 0)$ और $(0, 5)$.
- $3x + y = 10$ के लिए अंतःखंड: $(10/3, 0)$ और $(0, 10)$.
असीमित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 10)$,$(2, 4)$,और $(10, 0)$ हैं।
इन कोणीय बिंदुओं पर $z = 2x + 4y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 10)$ पर: $z = 2(0) + 4(10) = 40$.
- $(2, 4)$ पर: $z = 2(2) + 4(4) = 4 + 16 = 20$.
- $(10, 0)$ पर: $z = 2(10) + 4(0) = 20$.
चूंकि सुसंगत क्षेत्र असीमित है,हम जांचते हैं कि क्या $z < 20$ संभव है। रेखा $2x + 4y = 20$ (या $x + 2y = 10$) एक सीमा रेखा है। अतः न्यूनतम मान $20$ है।

(D) उद्देश्य फलन $F = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $F$ का मान निकालते हैं:

कोणीय बिंदु $(x, y)$	उद्देश्य फलन $F = 4x + 6y$
$(0, 2)$	$F = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3, 0)$	$F = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6, 0)$	$F = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6, 8)$	$F = 4(6) + 6(8) = 72$
$(0, 5)$	$F = 4(0) + 6(5) = 30$

$F$ का न्यूनतम मान $12$ है,जो दोनों कोणीय बिंदुओं $(0, 2)$ और $(3, 0)$ पर प्राप्त होता है।
रैखिक प्रोग्रामन के गुणधर्म के अनुसार,यदि उद्देश्य फलन का मान दो कोणीय बिंदुओं पर समान न्यूनतम होता है,तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर भी फलन का मान वही न्यूनतम होता है।
अतः,$F$ का न्यूनतम मान $(0, 2)$ और $(3, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित किसी भी बिंदु पर होता है।

(A) उद्देश्य फलन $z = 6xy + y^2$ है। प्रतिबंध $3x + 4y \leq 100$,$4x + 3y \leq 75$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
प्रतिबंधों के अनुसार,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 0)$,$(18.75, 0)$ और $(0, 25)$ हैं।
शीर्षों पर $z$ का मान:
$(0, 0)$ पर,$z = 6(0)(0) + 0^2 = 0$.
$(18.75, 0)$ पर,$z = 6(18.75)(0) + 0^2 = 0$.
$(0, 25)$ पर,$z = 6(0)(25) + 25^2 = 625$.
चूंकि $z$ एक रैखिक फलन नहीं है,हम सीमा $4x + 3y = 75$ की जाँच करते हैं,जिसका अर्थ है $x = \frac{75-3y}{4}$.
इसे $z$ में प्रतिस्थापित करने पर: $z = 6y(\frac{75-3y}{4}) + y^2 = \frac{3y(75-3y)}{2} + y^2 = \frac{225y - 9y^2 + 2y^2}{2} = \frac{225y - 7y^2}{2}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$y$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखने पर: $\frac{dz}{dy} = \frac{225 - 14y}{2} = 0 \implies y = \frac{225}{14} \approx 16.07$.
तब $x = \frac{75 - 3(225/14)}{4} = \frac{375}{56} \approx 6.7$.
इन मानों को $z$ में रखने पर: $z = \frac{354375}{392} \approx 904.0178$.
अतः,अधिकतम मान लगभग $904$ है.

(A) हमें उद्देश्य फलन $Z = 5x + 4y$ दिया गया है,जो प्रतिबंधों $y \leq 2x$,$x \leq 2y$,$x+y \leq 3$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ के अधीन है।
सबसे पहले,हम $y = 2x$,$x = 2y$,और $x+y = 3$ रेखाओं को आलेखित करके सुसंगत क्षेत्र (feasible region) निर्धारित करते हैं।
$1$. $y = 2x$ और $x+y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y=2x$ को $x+y=3$ में प्रतिस्थापित करने पर $x+2x=3$ प्राप्त होता है,जिससे $3x=3$,अर्थात $x=1$ मिलता है। तब $y=2(1)=2$ होगा। अतः,बिंदु $A(1, 2)$ है।
$2$. $x = 2y$ और $x+y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x=2y$ को $x+y=3$ में प्रतिस्थापित करने पर $2y+y=3$ प्राप्त होता है,जिससे $3y=3$,अर्थात $y=1$ मिलता है। तब $x=2(1)=2$ होगा। अतः,बिंदु $B(2, 1)$ है।
$3$. मूल बिंदु $O(0, 0)$ भी एक कोणीय बिंदु है।
सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज $OAB$ है। हम कोणीय बिंदुओं पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:

कोणीय बिंदु	$Z = 5x + 4y$
$O(0, 0)$	$5(0) + 4(0) = 0$
$A(1, 2)$	$5(1) + 4(2) = 5 + 8 = 13$
$B(2, 1)$	$5(2) + 4(1) = 10 + 4 = 14$

अतः,$Z$ का अधिकतम मान $14$ है,जो बिंदु $B(2, 1)$ पर प्राप्त होता है।

(C) उद्देश्य फलन $z = ax + by$ है,जहाँ $a, b > 0$ है। प्रतिबंध $x \leq 2, y \leq 2, x + y \geq 3, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
इन प्रतिबंधों को आलेख पर दर्शाने पर,हमें शीर्षों $A(2, 1)$,$B(1, 2)$ और $C(2, 2)$ वाला त्रिभुज सुसंगत क्षेत्र के रूप में प्राप्त होता है।
चूंकि $z$ का न्यूनतम मान केवल $(2, 1)$ पर प्राप्त होता है,इसलिए $(2, 1)$ पर $z$ का मान अन्य शीर्ष बिंदुओं पर $z$ के मान से कम होना चाहिए।
$A(2, 1)$ और $B(1, 2)$ पर $z$ की तुलना करने पर:
$z(2, 1) = 2a + b$
$z(1, 2) = a + 2b$
न्यूनतम मान $(2, 1)$ पर होने के लिए,$z(2, 1) < z(1, 2)$ होना चाहिए।
$2a + b < a + 2b$
$2a - a < 2b - b$
$a < b$
अतः,सही शर्त $a < b$ है।

(B) हमें उद्देश्य फलन दिया गया है: अधिकतम $z = 4x_1 + 2x_2$।
प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$1) 3x_1 + 2x_2 \geq 9$
$2) x_1 - x_2 \leq 3$
$3) x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$
इन रेखाओं को निर्देशांक तल पर आलेखित करने पर:
$3x_1 + 2x_2 = 9$ के लिए,अंतःखंड $(3, 0)$ और $(0, 4.5)$ हैं। यह क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है।
$x_1 - x_2 = 3$ के लिए,अंतःखंड $(3, 0)$ और $(0, -3)$ हैं। यह क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है।
संभाव्य क्षेत्र का विश्लेषण करने पर,हम देखते हैं कि प्रथम चतुर्थांश में यह क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है। एक अपरिबद्ध संभाव्य क्षेत्र के लिए,यदि उद्देश्य फलन का मान सीमा के साथ बढ़ता रहता है,तो $L$.$P$.$P$. का समाधान अपरिबद्ध होता है। यहाँ,जैसे-जैसे $x_1$ और $x_2$ बढ़ते हैं,$z = 4x_1 + 2x_2$ का मान संभाव्य क्षेत्र के भीतर अनिश्चित रूप से बढ़ सकता है। इसलिए,इस $L$.$P$.$P$. का समाधान अपरिबद्ध है।

(A) उद्देश्य फलन $z = 10x + 25y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले $0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ और $x + y \geq 5$ प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदुओं को रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है:
$1$. $x = 3$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन $y = 2$ देता है,इसलिए बिंदु $(3, 2)$ है।
$2$. $x = 3$ और $y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 3)$ देता है।
$3$. $y = 3$ और $x + y = 5$ का प्रतिच्छेदन $x = 2$ देता है,इसलिए बिंदु $(2, 3)$ है।
अब,हम इन शीर्ष बिंदुओं पर $z = 10x + 25y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(3, 2)$ पर: $z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$.
- $(3, 3)$ पर: $z = 10(3) + 25(3) = 30 + 75 = 105$.
- $(2, 3)$ पर: $z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$.
इन मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $80$ है।

(D) दी गई शर्तें $3x+2y \leq 12$,$2x+3y \leq 12$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम इन असमिकाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (corner points) की पहचान करते हैं।
रेखाएं $L_1: 3x+2y=12$ और $L_2: 2x+3y=12$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $E$ समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जाता है:
$3x+2y=12$ ($3$ से गुणा करने पर) $\Rightarrow 9x+6y=36$
$2x+3y=12$ ($2$ से गुणा करने पर) $\Rightarrow 4x+6y=24$
घटाने पर $5x=12$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=2.4$।
$x=2.4$ को $3(2.4)+2y=12$ में रखने पर $7.2+2y=12$ प्राप्त होता है,इसलिए $2y=4.8$,$y=2.4$।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(4,0)$,$(0,4)$ और $(2.4, 2.4)$ हैं।
अब इन बिंदुओं पर $z=9x+11y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$z(0,0) = 9(0)+11(0) = 0$
$z(4,0) = 9(4)+11(0) = 36$
$z(0,4) = 9(0)+11(4) = 44$
$z(2.4, 2.4) = 9(2.4)+11(2.4) = 21.6+26.4 = 48$
अधिकतम मान $48$ है।

(A) $Z = 2x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $3x + 5y \leq 26$,$5x + 3y \leq 30$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करते हैं।
$1$. रेखाओं $3x + 5y = 26$ और $5x + 3y = 30$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
पहले समीकरण को $5$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर:
$15x + 25y = 130$
$15x + 9y = 90$
समीकरणों को घटाने पर: $16y = 40 \implies y = \frac{40}{16} = 2.5$.
$y = 2.5$ को $3x + 5(2.5) = 26$ में रखने पर: $3x + 12.5 = 26 \implies 3x = 13.5 \implies x = 4.5$.
अतः,बिंदु $B$ $(4.5, 2.5)$ है।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$,$(6, 0)$,$(4.5, 2.5)$ और $(0, 5.2)$ हैं।
$3$. प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 2x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर: $Z = 2(0) + 0 = 0$
$(6, 0)$ पर: $Z = 2(6) + 0 = 12$
$(4.5, 2.5)$ पर: $Z = 2(4.5) + 2.5 = 9 + 2.5 = 11.5$
$(0, 5.2)$ पर: $Z = 2(0) + 5.2 = 5.2$
अतः,अधिकतम मान $12$ है जो बिंदु $(6, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ है।
प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$1) 2 x_1 + x_2 \geq 7$
$2) 2 x_1 + 3 x_2 \leq 15$
$3) x_2 \leq 3$
$4) x_1, x_2 \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$2 x_1 + x_2 = 7$ के लिए,अंतःखंड $(3.5, 0)$ और $(0, 7)$ हैं।
$2 x_1 + 3 x_2 = 15$ के लिए,अंतःखंड $(7.5, 0)$ और $(0, 5)$ हैं।
रेखा $x_2 = 3$ एक क्षैतिज रेखा है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को हल करने पर:
- $2 x_1 + x_2 = 7$ और $x_2 = 3$ का प्रतिच्छेदन: $2 x_1 + 3 = 7 \implies 2 x_1 = 4 \implies x_1 = 2$. बिंदु: $(2, 3)$.
- $2 x_1 + 3 x_2 = 15$ और $x_2 = 3$ का प्रतिच्छेदन: $2 x_1 + 9 = 15 \implies 2 x_1 = 6 \implies x_1 = 3$. बिंदु: $(3, 3)$.
- $x_1$-अक्ष पर अंतःखंड $(3.5, 0)$ और $(7.5, 0)$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(3.5, 0), (7.5, 0), (3, 3), (2, 3)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ का मान ज्ञात करने पर:

कोणीय बिंदु	$Z = 4 x_1 + 5 x_2$
$(3.5, 0)$	$4(3.5) + 5(0) = 14$
$(7.5, 0)$	$4(7.5) + 5(0) = 30$
$(3, 3)$	$4(3) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$(2, 3)$	$4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$

$Z$ का न्यूनतम मान $14$ है,जो बिंदु $(3.5, 0)$ पर प्राप्त होता है। चूँकि $x_2$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए यह बिंदु $x_1$-अक्ष पर स्थित है।