Word problem of Linear programming Questions in Gujarati

(A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ છાયાંકિત પ્રદેશ એ શરતો $(2)$ થી $(4)$ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ છે. આપણે જોઈએ છીએ કે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $OABC$ સીમિત છે. તેથી,હવે આપણે $Z$ ની મહત્તમ કિંમત નક્કી કરવા માટે કોર્નર પોઈન્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કોર્નર પોઈન્ટ $O, A, B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(0, 0), (30, 0), (20, 30)$ અને $(0, 50)$ છે. હવે આપણે દરેક કોર્નર પોઈન્ટ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ.

કોર્નર પોઈન્ટ	$Z = 4x + y$ ની અનુરૂપ કિંમત
$(0, 0)$	$4(0) + 0 = 0$
$(30, 0)$	$4(30) + 0 = 120$
$(20, 30)$	$4(20) + 30 = 110$
$(0, 50)$	$4(0) + 50 = 50$

આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(30, 0)$ પર $120$ છે.

(B) ધારો કે મિશ્રણમાં $x$ કિગ્રા ખોરાક $'I'$ અને $y$ કિગ્રા ખોરાક $'II'$ છે. સ્પષ્ટપણે,$x \geq 0, y \geq 0$.
આપેલ માહિતી પરથી આપણે નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

સંસાધનો	ખોરાક $I$ $(x)$	ખોરાક $II$ $(y)$	ન્યૂનતમ જરૂરિયાત
વિટામિન $A$ (એકમ/કિગ્રા)	$2$	$1$	$8$
વિટામિન $C$ (એકમ/કિગ્રા)	$1$	$2$	$10$
ખર્ચ (રૂ./કિગ્રા)	$50$	$70$	$Z$ ન્યૂનતમ કરો

મિશ્રણમાં ઓછામાં ઓછા $8$ એકમ વિટામિન $A$ અને $10$ એકમ વિટામિન $C$ હોવા જોઈએ,તેથી આપણી પાસે શરતો છે:
$2x + y \geq 8$
$x + 2y \geq 10$
$x$ કિગ્રા ખોરાક $'I'$ અને $y$ કિગ્રા ખોરાક $'II'$ ખરીદવાનો કુલ ખર્ચ $Z = 50x + 70y$ છે.
આમ,સમસ્યાનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે:
ન્યૂનતમ $Z = 50x + 70y$ શરતોને આધીન:
$2x + y \geq 8$
$x + 2y \geq 10$
$x, y \geq 0$
અસમતાઓનો આલેખ દોરતા,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત છે. ખૂણાના બિંદુઓ $A(0, 8)$,$B(2, 4)$ અને $C(10, 0)$ પર $Z$ ની કિંમત તપાસતા:

ખૂણાનું બિંદુ	$Z = 50x + 70y$
$(0, 8)$	$560$
$(2, 4)$	$380$ (ન્યૂનતમ)
$(10, 0)$	$500$

$Z$ ની સૌથી નાની કિંમત $(2, 4)$ બિંદુએ $380$ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે $50x + 70y < 380$ એટલે કે $5x + 7y < 38$ અસમતા તપાસીએ છીએ. આ પ્રદેશમાં શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $380$ છે.
આમ,શ્રેષ્ઠ મિશ્રણ વ્યૂહરચના $2$ કિગ્રા ખોરાક $'I'$ અને $4$ કિગ્રા ખોરાક $'II'$ મિશ્ર કરવાની છે,જેનો ન્યૂનતમ ખર્ચ રૂ. $380$ થશે.

(A) ધારો કે પાક $X$ માટે $x$ હેક્ટર જમીન અને પાક $Y$ માટે $y$ હેક્ટર જમીન ફાળવવામાં આવી છે.
સ્પષ્ટપણે,$x \geq 0, y \geq 0.$
પાક $X$ પર પ્રતિ હેક્ટર નફો = રૂ. $10,500$
પાક $Y$ પર પ્રતિ હેક્ટર નફો = રૂ. $9,000$
તેથી,કુલ નફો $Z = 10,500x + 9,000y$
સમસ્યાનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
મહત્તમ $Z = 10,500x + 9,000y$
શરતોને આધીન:
$x + y \leq 50$ (જમીન સંબંધિત શરત) $... (1)$
$20x + 10y \leq 800$ (નીંદણનાશકના ઉપયોગ સંબંધિત શરત)
એટલે કે,$2x + y \leq 80$ $... (2)$
$x \geq 0, y \geq 0$ (અન-ઋણ શરત) $... (3)$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $OABC$ એ શિરોબિંદુઓ $O(0,0), A(40,0), B(30,20),$ અને $C(0,50)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 10,500x + 9,000y$ ની કિંમત શોધતા:

શિરોબિંદુ	$Z = 10,500x + 9,000y$
$O(0,0)$	$0$
$A(40,0)$	$4,20,000$
$B(30,20)$	$10,500(30) + 9,000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$ (મહત્તમ)
$C(0,50)$	$4,50,000$

આમ,મંડળી પાક $X$ માટે $30$ હેક્ટર અને પાક $Y$ માટે $20$ હેક્ટર જમીન ફાળવીને રૂ. $4,95,000$ નો મહત્તમ નફો મેળવશે.

(A) ધારો કે $x$ એ મોડેલ $A$ ના નંગની સંખ્યા છે અને $y$ એ મોડેલ $B$ ના નંગની સંખ્યા છે.
હેતુલક્ષી વિધેય નફો $Z = 8000x + 12000y$ ને મહત્તમ કરવાનું છે.
શ્રમ કલાકોના આધારે મર્યાદાઓ:
$9x + 12y \leq 180 \implies 3x + 4y \leq 60$ (ફેબ્રિકેશન)
$x + 3y \leq 30$ (ફિનિશિંગ)
$x \geq 0, y \geq 0$ (અન-ઋણતા)
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(20,0)$,$B(12,6)$,અને $C(0,10)$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત શોધતા:

શિરોબિંદુ	$Z = 8000x + 12000y$
$O(0,0)$	$0$
$A(20,0)$	$8000(20) + 0 = 1,60,000$
$B(12,6)$	$8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 1,68,000$
$C(0,10)$	$8000(0) + 12000(10) = 1,20,000$

મહત્તમ નફો રૂ. $1,68,000$ છે જે $x=12$ અને $y=6$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે મિશ્રણમાં $x$ kg ખોરાક $P$ અને $y$ kg ખોરાક $Q$ છે. તેથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$. આપેલી માહિતી નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

ખોરાક	વિટામિન $A$ (એકમ/kg)	વિટામિન $B$ (એકમ/kg)	કિંમત (Rs/kg)
$P$	$3$	$5$	$60$
$Q$	$4$	$2$	$80$
જરૂરિયાત	$8$	$11$	-

શરતો નીચે મુજબ છે:
$3x + 4y \geq 8$
$5x + 2y \geq 11$
$x, y \geq 0$
ન્યૂનતમ કરવા માટેનું હેતુલક્ષી વિધેય: $Z = 60x + 80y$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(\frac{8}{3}, 0)$,$B(2, \frac{1}{2})$,અને $C(0, \frac{11}{2})$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:

શિરોબિંદુ	$Z = 60x + 80y$
$A(\frac{8}{3}, 0)$	$60(\frac{8}{3}) + 80(0) = 160$
$B(2, \frac{1}{2})$	$60(2) + 80(\frac{1}{2}) = 120 + 40 = 160$
$C(0, \frac{11}{2})$	$60(0) + 80(\frac{11}{2}) = 440$

શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $60x + 80y < 160$ ને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ છે. રેખા $3x + 4y < 8$ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશને છેદતી નથી. આમ,મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત Rs $160$ છે જે $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના કોઈપણ બિંદુએ મળે છે.

(30) ધારો કે પ્રથમ પ્રકારની કેકની સંખ્યા $x$ છે અને બીજા પ્રકારની કેકની સંખ્યા $y$ છે.
તેથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આપેલ માહિતીને નીચેના કોષ્ટકમાં સારાંશ આપી શકાય છે:

કેકનો પ્રકાર	મેંદો $(g)$	ચરબી $(g)$
પ્રથમ પ્રકાર $(x)$	$200$	$25$
બીજો પ્રકાર $(y)$	$100$	$50$
ઉપલબ્ધતા	$5000$	$1000$

શરતો:
$200x + 100y \leq 5000 \Rightarrow 2x + y \leq 50$
$25x + 50y \leq 1000 \Rightarrow x + 2y \leq 40$
હેતુલક્ષી વિધેય: $Z = x + y$ ને મહત્તમ બનાવો.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + y \leq 50$,$x + 2y \leq 40$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(25, 0)$,$B(20, 10)$,અને $C(0, 20)$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z = x + y$ ની કિંમત:

શિરોબિંદુ	$Z = x + y$
$O(0, 0)$	$0$
$A(25, 0)$	$25$
$B(20, 10)$	$30$ (મહત્તમ)
$C(0, 20)$	$20$

આમ,બનાવી શકાતી કેકની મહત્તમ સંખ્યા $30$ છે ($20$ પ્રથમ પ્રકારની અને $10$ બીજા પ્રકારની).

(A) ધારો કે ટેનિસ રેકેટની સંખ્યા $x$ છે અને ક્રિકેટ બેટની સંખ્યા $y$ છે.
મશીનના સમયની મર્યાદા $1.5x + 3y \leq 42$ છે.
કારીગરના સમયની મર્યાદા $3x + y \leq 24$ છે.
ફેક્ટરી સંપૂર્ણ ક્ષમતા પર કામ કરતી હોવાથી, આપણે તેને ઉપલબ્ધ મહત્તમ સમય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$1.5x + 3y = 42$ --- $(1)$
$3x + y = 24$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી, આપણને $y = 24 - 3x$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1.5x + 3(24 - 3x) = 42$
$1.5x + 72 - 9x = 42$
$-7.5x = 42 - 72$
$-7.5x = -30$
$x = \frac{30}{7.5} = 4$
હવે, $x = 4$ ને $y = 24 - 3x$ માં મૂકતા:
$y = 24 - 3(4) = 24 - 12 = 12$.
તેથી, ફેક્ટરીએ $4$ ટેનિસ રેકેટ અને $12$ ક્રિકેટ બેટ બનાવવા જોઈએ.

(A) આપેલ માહિતીને નીચે મુજબ કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય છે:

વસ્તુ	ટેનિસ રેકેટ $(x)$	ક્રિકેટ બેટ $(y)$	ઉપલબ્ધતા
મશીન સમય (કલાક)	$1.5$	$3$	$42$
કારીગર સમય (કલાક)	$3$	$1$	$24$

ધારો કે $x$ એ ટેનિસ રેકેટની સંખ્યા છે અને $y$ એ ક્રિકેટ બેટની સંખ્યા છે.
મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1.5x + 3y \leq 42$
$3x + y \leq 24$
$x, y \geq 0$
હેતુલક્ષી વિધેય નફો $Z = 20x + 10y$ ને મહત્તમ કરવાનું છે.
રેખાઓ $1.5x + 3y = 42$ અને $3x + y = 24$ નું છેદબિંદુ શોધતા:
$3x + y = 24$ પરથી,$y = 24 - 3x$ મળે.
$1.5x + 3(24 - 3x) = 42$ માં મૂકતા:
$1.5x + 72 - 9x = 42$
$-7.5x = -30$
$x = 4$
તેથી $y = 24 - 3(4) = 12$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (8, 0), (4, 12), (0, 14)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $Z = 20x + 10y$ ની કિંમત શોધતા:
- $(0, 0)$ પર: $Z = 0$
- $(8, 0)$ પર: $Z = 20(8) + 10(0) = 160$
- $(4, 12)$ પર: $Z = 20(4) + 10(12) = 80 + 120 = 200$
- $(0, 14)$ પર: $Z = 20(0) + 10(14) = 140$
મહત્તમ નફો $Rs. 200$ છે.

(B) ધારો કે ઉત્પાદક $x$ નટના પેકેજ અને $y$ બોલ્ટના પેકેજનું ઉત્પાદન કરે છે.
તેથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આપેલ માહિતીને નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય છે:

મશીન	નટ	બોલ્ટ	ઉપલબ્ધતા
મશીન $A$ $(h)$	$1$	$3$	$12$
મશીન $B$ $(h)$	$3$	$1$	$12$

નટના એક પેકેજ પરનો નફો $Rs.\,17.50$ છે અને બોલ્ટના એક પેકેજ પરનો નફો $Rs.\,7$ છે. તેથી,મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$x + 3y \leq 12$
$3x + y \leq 12$
કુલ નફો,$Z = 17.5x + 7y$.
આપેલ સમસ્યાનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$Z = 17.5x + 7y$ ને મહત્તમ બનાવો,જે નીચેની શરતોને આધીન છે:
$x + 3y \leq 12$
$3x + y \leq 12$
$x, y \geq 0$
શરતોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(4,0)$,$B(3,3)$,અને $C(0,4)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 17.5x + 7y$
$O(0,0)$	$0$
$A(4,0)$	$70$
$B(3,3)$	$73.5$ (મહત્તમ)
$C(0,4)$	$28$

$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(3,3)$ બિંદુએ $Rs.\,73.50$ છે.
આમ,મહત્તમ $Rs.\,73.50$ નફો મેળવવા માટે દરરોજ $3$ નટના પેકેજ અને $3$ બોલ્ટના પેકેજનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.

(A) ધારો કે ફેક્ટરી દરરોજ સ્ક્રૂ $A$ ના $x$ પેકેજ અને સ્ક્રૂ $B$ ના $y$ પેકેજ બનાવે છે.
આપેલ માહિતી નીચે મુજબના કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય છે:

મશીન	સ્ક્રૂ $A$ (મિનિટ)	સ્ક્રૂ $B$ (મિનિટ)	ઉપલબ્ધતા (મિનિટ)
ઓટોમેટિક	$4$	$6$	$240$
હાથથી ચાલતું	$6$	$3$	$240$

હેતુ નફો $Z = 7x + 10y$ ને મહત્તમ કરવાનો છે.
શરતોને આધીન:
$4x + 6y \leq 240 \implies 2x + 3y \leq 120$
$6x + 3y \leq 240 \implies 2x + y \leq 80$
$x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$, $A(40,0)$, $B(30,20)$, અને $C(0,40)$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:

શિરોબિંદુ	$Z = 7x + 10y$
$O(0,0)$	$0$
$A(40,0)$	$7(40) + 10(0) = 280$
$B(30,20)$	$7(30) + 10(20) = 210 + 200 = 410$
$C(0,40)$	$7(0) + 10(40) = 400$

મહત્તમ નફો $x = 30$ અને $y = 20$ પર $Rs. \, 410$ છે.

(A) ધારો કે કુટીર ઉદ્યોગ $x$ પેડેસ્ટલ લેમ્પ અને $y$ લાકડાના શેડનું ઉત્પાદન કરે છે.
તેથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આપેલ માહિતીને નીચે મુજબ કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય છે:

વસ્તુ	લેમ્પ $(x)$	શેડ $(y)$	ઉપલબ્ધતા
ગ્રાઇન્ડિંગ/કટીંગ મશીન (કલાક)	$2$	$1$	$12$
સ્પ્રેયર (કલાક)	$3$	$2$	$20$

લેમ્પ પરનો નફો $Rs. 5$ અને શેડ પરનો નફો $Rs. 3$ છે.
તેથી,શરતો નીચે મુજબ છે:
$2x + y \leq 12$
$3x + 2y \leq 20$
કુલ નફો,$Z = 5x + 3y$.
સમસ્યાનું ગાણિતિક સ્વરૂપ:
મહત્તમ $Z = 5x + 3y$ શરતોને આધીન:
$2x + y \leq 12$
$3x + 2y \leq 20$
$x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આ શરતોના છેદથી નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(6,0)$,$B(4,4)$,અને $C(0,10)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 3y$
$O(0,0)$	$0$
$A(6,0)$	$5(6) + 3(0) = 30$
$B(4,4)$	$5(4) + 3(4) = 20 + 12 = 32$
$C(0,10)$	$5(0) + 3(10) = 30$

$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $32$ છે જે બિંદુ $B(4,4)$ પર મળે છે.
આમ,ઉત્પાદકે તેનો નફો મહત્તમ કરવા માટે $4$ પેડેસ્ટલ લેમ્પ અને $4$ લાકડાના શેડનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.

(A) ધારો કે કંપની પ્રકાર $A$ ના $x$ અને પ્રકાર $B$ ના $y$ સ્મૃતિચિહ્નો બનાવે છે.
આપેલ માહિતી નીચે મુજબ કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય:

પ્રક્રિયા	પ્રકાર $A$	પ્રકાર $B$	ઉપલબ્ધતા
કાપવું (મિનિટ)	$5$	$8$	$200$
એસેમ્બલ (મિનિટ)	$10$	$8$	$240$

શરતો:
$5x + 8y \leq 200$
$10x + 8y \leq 240 \implies 5x + 4y \leq 120$
$x, y \geq 0$
મહત્તમ નફો મેળવવા માટેનું હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 5x + 6y$.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $O(0,0)$,$A(24,0)$,$B(8,20)$,અને $C(0,25)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 6y$
$A(24,0)$	$5(24) + 6(0) = 120$
$B(8,20)$	$5(8) + 6(20) = 40 + 120 = 160$
$C(0,25)$	$5(0) + 6(25) = 150$

મહત્તમ નફો $(8, 20)$ બિંદુએ $Rs. 160$ છે. તેથી,કંપનીએ પ્રકાર $A$ ના $8$ અને પ્રકાર $B$ ના $20$ સ્મૃતિચિહ્નો બનાવવા જોઈએ.

(A) ધારો કે વેપારી $x$ ડેસ્કટોપ મોડેલ અને $y$ પોર્ટેબલ મોડેલનો સ્ટોક રાખે છે.
ડેસ્કટોપ મોડેલની કિંમત $Rs.\,25000$ અને પોર્ટેબલ મોડેલની કિંમત $Rs.\,40000$ છે.
આપેલ છે કે વેપારી મહત્તમ $Rs.\,70$ લાખ $(Rs.\,70,00,000)$ નું રોકાણ કરી શકે છે:
$25000x + 40000y \leq 7000000$
$5000$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$5x + 8y \leq 1400$ ... $(1)$
કોમ્પ્યુટરની કુલ માસિક માંગ $250$ યુનિટથી વધશે નહીં:
$x + y \leq 250$ ... $(2)$
વધુમાં,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ... $(3)$
મહત્તમ નફો મેળવવા માટેનું વિધેય:
$Z = 4500x + 5000y$
સમીકરણો $5x + 8y = 1400$ અને $x + y = 250$ ઉકેલીને આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$x + y = 250$ પરથી,$y = 250 - x$. સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5x + 8(250 - x) = 1400$
$5x + 2000 - 8x = 1400$
$-3x = -600 \implies x = 200$
$y = 250 - 200 = 50$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(250, 0)$,$(200, 50)$,અને $(0, 175)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત શોધતા:

શિરોબિંદુ	$Z = 4500x + 5000y$
$(0, 0)$	$0$
$(250, 0)$	$4500(250) = 1125000$
$(200, 50)$	$4500(200) + 5000(50) = 900000 + 250000 = 1150000$
$(0, 175)$	$5000(175) = 875000$

મહત્તમ નફો $(200, 50)$ બિંદુએ $Rs.\,1150000$ છે.
આમ,વેપારીએ $200$ ડેસ્કટોપ મોડેલ અને $50$ પોર્ટેબલ મોડેલનો સ્ટોક રાખવો જોઈએ.

(A) ધારો કે આહારમાં $x$ એકમ ખોરાક $F_{1}$ અને $y$ એકમ ખોરાક $F_{2}$ છે.
આપેલ માહિતીને નીચે મુજબ કોષ્ટકમાં દર્શાવી શકાય:

ખોરાક	વિટામિન $A$ (એકમ)	ખનિજો (એકમ)	કિંમત (Rs)
$F_{1} (x)$	$3$	$4$	$4$
$F_{2} (y)$	$6$	$3$	$6$
જરૂરિયાત	$80$	$100$	-

ગાણિતિક સૂત્રીકરણ:
ન્યૂનતમ $Z = 4x + 6y$ શરતોને આધીન:
$3x + 6y \geq 80$
$4x + 3y \geq 100$
$x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(\frac{80}{3}, 0)$,$B(24, \frac{4}{3})$,અને $C(0, \frac{100}{3})$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
- $A(\frac{80}{3}, 0)$ પર,$Z = 4(\frac{80}{3}) + 6(0) = \frac{320}{3} \approx 106.67$
- $B(24, \frac{4}{3})$ પર,$Z = 4(24) + 6(\frac{4}{3}) = 96 + 8 = 104$
- $C(0, \frac{100}{3})$ પર,$Z = 4(0) + 6(\frac{100}{3}) = 200$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે તપાસીએ છીએ કે $4x + 6y < 104$ ને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ છે કે નહીં. રેખા $4x + 6y = 104$ (અથવા $2x + 3y = 52$) શક્ય ઉકેલના પ્રદેશને છેદતી નથી. તેથી,ન્યૂનતમ ખર્ચ $Rs. 104$ છે.

(A) ધારો કે ખેડૂત $x\,kg$ ખાતર $F_{1}$ અને $y\,kg$ ખાતર $F_{2}$ ખરીદે છે.
શરતો:
$1$. નાઈટ્રોજનની જરૂરિયાત: $0.10x + 0.05y \geq 14 \implies 2x + y \geq 280$.
$2$. ફોસ્ફોરિક એસિડની જરૂરિયાત: $0.06x + 0.10y \geq 14 \implies 3x + 5y \geq 700$.
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$.
હેતુલક્ષી વિધેય: $Z = 6x + 5y$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું.
સીમાવર્તી બિંદુઓ:
- $2x + y = 280$ અને $3x + 5y = 700$ નું છેદબિંદુ $B(100, 80)$ છે.
- અન્ય બિંદુઓ $A(700/3, 0)$ અને $C(0, 280)$ છે.
$Z$ ની કિંમતો:
- $Z(A) = 1400$
- $Z(B) = 1000$
- $Z(C) = 1400$
આમ,ન્યૂનતમ ખર્ચ $Rs\,1000$ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ અનુક્રમે ખોરાક $P$ અને $Q$ ના પેકેટની સંખ્યા છે. હેતુ $Z = 6x + 3y$ (વિટામિન $A$) ને ન્યૂનતમ કરવાનો છે.
શરતો નીચે મુજબ છે:
$12x + 3y \geq 240 \implies 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \implies x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \implies 3x + 2y \leq 150$
$x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $L(2, 72)$,$M(15, 20)$,અને $N(40, 15)$ દ્વારા સીમિત છે.

શિરોબિંદુ	$Z = 6x + 3y$
$L(2, 72)$	$6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$M(15, 20)$	$6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$N(40, 15)$	$6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$

$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બિંદુ $(15, 20)$ પર $150$ છે. આમ,$15$ પેકેટ ખોરાક $P$ અને $20$ પેકેટ ખોરાક $Q$ નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ અનુક્રમે વસ્તુ $M$ અને $N$ ના ઉત્પાદિત એકમો છે.
કુલ નફો $Z = 600x + 400y$.
શરતો:
$x + 2y \leq 12$ (મશીન $I$)
$2x + y \leq 12$ (મશીન $II$)
$x + 1.25y \geq 5$ (મશીન $III$)
$x, y \geq 0$
અસમતાઓનો ઉકેલ મેળવતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(5, 0), (6, 0), (4, 4), (0, 6), (0, 4)$ દ્વારા સીમિત છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત શોધતા:
$(5, 0)$ પર: $Z = 600(5) + 400(0) = 3000$
$(6, 0)$ પર: $Z = 600(6) + 400(0) = 3600$
$(4, 4)$ પર: $Z = 600(4) + 400(4) = 2400 + 1600 = 4000$
$(0, 6)$ પર: $Z = 600(0) + 400(6) = 2400$
$(0, 4)$ પર: $Z = 600(0) + 400(4) = 1600$
મહત્તમ નફો $x = 4, y = 4$ પર $Rs. \, 4000$ છે.

(A) ધારો કે ફેક્ટરી $P$ થી ડેપો $A$ અને $B$ માં મોકલવામાં આવતા એકમો અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે. તો,$P$ થી $C$ માં $8-x-y$ એકમો મોકલવામાં આવશે.
ફેક્ટરી $Q$ થી મોકલવામાં આવતા એકમો:
$A$ માટે: $5-x$
$B$ માટે: $5-y$
$C$ માટે: $6-(5-x)-(5-y) = x+y-4$
શરતો:
$x \geq 0, y \geq 0$
$x \leq 5, y \leq 5$
$x+y \leq 8$
$x+y \geq 4$
કુલ ખર્ચ વિધેય $Z$:
$Z = 160x + 100y + 150(8-x-y) + 100(5-x) + 120(5-y) + 100(x+y-4)$
$Z = 10(x - 7y + 190)$
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
$(0,4): Z = 1620$
$(0,5): Z = 1550$
$(3,5): Z = 1580$
$(5,3): Z = 1740$
$(5,0): Z = 1950$
$(4,0): Z = 1940$
ન્યૂનતમ ખર્ચ $1550$ છે,જે $(0,5)$ બિંદુએ મળે છે.

(A) ધારો કે આહારમાં ખોરાક $P$ અને $Q$ ના અનુક્રમે $x$ અને $y$ પેકેટ છે. હેતુ $Z = 6x + 3y$ ને મહત્તમ કરવાનો છે. શરતો નીચે મુજબ છે:
$12x + 3y \geq 240 \implies 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \implies x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \implies 3x + 2y \leq 150$
$x, y \geq 0$.
રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધતા:
$4x + y = 80$ અને $x + 5y = 115$ થી $A(15, 20)$ મળે છે.
$4x + y = 80$ અને $3x + 2y = 150$ થી $B(2, 72)$ મળે છે.
$x + 5y = 115$ અને $3x + 2y = 150$ થી $C(40, 15)$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z = 6x + 3y$ ની કિંમત:

શિરોબિંદુ	$Z = 6x + 3y$
$A(15, 20)$	$6(15) + 3(20) = 150$
$B(2, 72)$	$6(2) + 3(72) = 228$
$C(40, 15)$	$6(40) + 3(15) = 285$

મહત્તમ કિંમત $(40, 15)$ પર $285$ છે. આમ,$P$ ના $40$ પેકેટ અને $Q$ ના $15$ પેકેટની જરૂર છે.

(A) ધારો કે ખેડૂત બ્રાન્ડ $P$ ની $x$ બેગ અને બ્રાન્ડ $Q$ ની $y$ બેગ મિશ્રિત કરે છે.
હેતુ $Z = 250x + 200y$ કિંમતને ન્યૂનતમ કરવાનો છે.
શરતો:
$3x + 1.5y \geq 18$ (પોષક તત્વ $A$)
$2.5x + 11.25y \geq 45$ (પોષક તત્વ $B$)
$2x + 3y \geq 24$ (પોષક તત્વ $C$)
$x, y \geq 0$
રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધતા:
$1$. $3x + 1.5y = 18$ અને $2x + 3y = 24$ બિંદુ $(3, 6)$ પર છેદે છે.
$2$. $2.5x + 11.25y = 45$ અને $2x + 3y = 24$ બિંદુ $(9, 2)$ પર છેદે છે.
$3$. સીમા રેખાઓ અક્ષોને $(18, 0)$ અને $(0, 12)$ પર છેદે છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(18, 0), (9, 2), (3, 6), (0, 12)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $Z = 250x + 200y$ ની કિંમત શોધતા:
- $(18, 0)$ પર: $Z = 250(18) + 200(0) = 4500$
- $(9, 2)$ પર: $Z = 250(9) + 200(2) = 2250 + 400 = 2650$
- $(3, 6)$ પર: $Z = 250(3) + 200(6) = 750 + 1200 = 1950$
- $(0, 12)$ પર: $Z = 250(0) + 200(12) = 2400$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $250x + 200y < 1950$ ને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ છે. રેખા $250x + 200y = 1950$ (અથવા $5x + 4y = 39$) શક્ય ઉકેલના પ્રદેશને $(3, 6)$ સિવાય ક્યાંય છેદતી નથી. આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $x=3, y=6$ પર $Rs. 1950$ છે.

(A) ધારો કે મિશ્રણમાં $x$ $kg$ ખોરાક $X$ અને $y$ $kg$ ખોરાક $Y$ છે.
આપેલ સમસ્યાનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
ન્યૂનતમ $Z = 16x + 20y$ ... $(1)$
શરતોને આધીન:
$x + 2y \geq 10$ ... $(2)$
$2x + 2y \geq 12$ (જે $x + y \geq 6$ માં સરળ બને છે) ... $(3)$
$3x + y \geq 8$ ... $(4)$
$x, y \geq 0$ ... $(5)$
શરતો દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(10, 0)$,$B(2, 4)$,$C(1, 5)$ અને $D(0, 8)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 16x + 20y$
$A(10, 0)$	$160$
$B(2, 4)$	$112$
$C(1, 5)$	$116$
$D(0, 8)$	$160$

શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે તપાસીએ છીએ કે $16x + 20y < 112$ ને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ છે કે નહીં.
રેખા $16x + 20y = 112$ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના અંદરના ભાગમાંથી પસાર થતી નથી,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(2, 4)$ પર $112$ છે.
આમ,મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત $Rs. 112$ છે.

(A) ધારો કે દિવસમાં ઉત્પાદિત $A$ પ્રકારના રમકડાંની સંખ્યા $x$ અને $B$ પ્રકારના રમકડાંની સંખ્યા $y$ છે.
મશીનના સમય (મિનિટમાં) પર આધારિત મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
મશીન $I$: $12x + 6y \leq 360 \implies 2x + y \leq 60$
મશીન $II$: $18x + 0y \leq 360 \implies x \leq 20$
મશીન $III$: $6x + 9y \leq 360 \implies 2x + 3y \leq 120$
અન-ઋણતા: $x, y \geq 0$
નફો મહત્તમ કરવા માટેનું હેતુલક્ષી વિધેય: $Z = 7.5x + 5y$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (20, 0), (20, 20), (15, 30), (0, 40)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત શોધતા:
$1$. $(0, 0)$ પર: $Z = 0$
$2$. $(20, 0)$ પર: $Z = 7.5(20) + 5(0) = 150$
$3$. $(20, 20)$ પર: $Z = 7.5(20) + 5(20) = 150 + 100 = 250$
$4$. $(15, 30)$ પર: $Z = 7.5(15) + 5(30) = 112.5 + 150 = 262.5$
$5$. $(0, 40)$ પર: $Z = 7.5(0) + 5(40) = 200$
મહત્તમ નફો $(15, 30)$ બિંદુએ $Rs. \, 262.5$ છે. આમ,મહત્તમ નફો મેળવવા માટે $15$ રમકડાં પ્રકાર $A$ ના અને $30$ રમકડાં પ્રકાર $B$ ના બનાવવા જોઈએ.

(D) ધારો કે ગોડાઉન $A$ દુકાન $D$ અને $E$ ને અનુક્રમે $x$ અને $y$ ક્વિન્ટલ અનાજ મોકલે છે. તો,$(100-x-y)$ ક્વિન્ટલ દુકાન $F$ ને મોકલવામાં આવશે.
દુકાન $D$ ની જરૂરિયાત $60$ ક્વિન્ટલ છે. ગોડાઉન $A$ માંથી $x$ ક્વિન્ટલ મોકલવામાં આવે છે,તેથી બાકીના $(60-x)$ ક્વિન્ટલ ગોડાઉન $B$ માંથી મોકલવામાં આવશે.
તે જ રીતે,$(50-y)$ ક્વિન્ટલ અને $40-(100-x-y) = (x+y-60)$ ક્વિન્ટલ ગોડાઉન $B$ માંથી અનુક્રમે દુકાન $E$ અને $F$ ને મોકલવામાં આવશે.
કુલ પરિવહન ખર્ચ $z$ નીચે મુજબ છે:
$z = 6x + 3y + 2.5(100-x-y) + 4(60-x) + 2(50-y) + 3(x+y-60)$
$z = 6x + 3y + 250 - 2.5x - 2.5y + 240 - 4x + 100 - 2y + 3x + 3y - 180$
$z = 2.5x + 1.5y + 410$
સમસ્યા $z = 2.5x + 1.5y + 410$ ને ન્યૂનતમ કરવાની છે,જેની શરતો:
$x+y \leq 100, x \leq 60, y \leq 50, x+y \geq 60, x, y \geq 0$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50),$ અને $D(10, 50)$ છે.

શિરોબિંદુ	$z = 2.5x + 1.5y + 410$
$A(60, 0)$	$560$
$B(60, 40)$	$620$
$C(50, 50)$	$610$
$D(10, 50)$	$510$ (ન્યૂનતમ)

$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(10, 50)$ પર $510$ છે.
આમ,$A$ થી $D, E, F$ ને મોકલેલ અનાજ અનુક્રમે $10, 50, 40$ ક્વિન્ટલ છે,અને $B$ થી $D, E, F$ ને મોકલેલ અનાજ અનુક્રમે $50, 0, 0$ ક્વિન્ટલ છે.

(A) ધારો કે ફળ ઉગાડનાર બ્રાન્ડ $P$ ની $x$ થેલીઓ અને બ્રાન્ડ $Q$ ની $y$ થેલીઓનો ઉપયોગ કરે છે.
હેતુલક્ષી વિધેય નાઈટ્રોજનને મહત્તમ કરવાનું છે: $Z = 3x + 3.5y$.
કોષ્ટક મુજબની મર્યાદાઓ:
$1$. ફોસ્ફોરિક એસિડ: $x + 2y \geq 240$
$2$. પોટાશ: $3x + 1.5y \geq 270 \implies 2x + y \geq 180$
$3$. ક્લોરીન: $1.5x + 2y \leq 310$
$4$. અનૃણતા: $x, y \geq 0$
અસમતાઓનો ઉકેલ મેળવતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(140, 50)$,$B(20, 140)$ અને $C(40, 100)$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ પર $Z = 3x + 3.5y$ ની કિંમત:
- $A(140, 50)$ પર: $Z = 3(140) + 3.5(50) = 420 + 175 = 595$
- $B(20, 140)$ પર: $Z = 3(20) + 3.5(140) = 60 + 490 = 550$
- $C(40, 100)$ પર: $Z = 3(40) + 3.5(100) = 120 + 350 = 470$
આમ,$x = 140$ અને $y = 50$ પર નાઈટ્રોજનનું મહત્તમ પ્રમાણ $595 \, kg$ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ સાપ્તાહિક ઉત્પાદિત $A$ અને $B$ પ્રકારની ઢીંગલીઓની સંખ્યા છે.
આપેલ સમસ્યાને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
મહત્તમ $z = 12x + 16y$ .....$(1)$
શરતોને આધીન:
$x + y \leq 1200$ .....$(2)$
$y \leq \frac{x}{2} \Rightarrow x \geq 2y$ .....$(3)$
$x - 3y \leq 600$ .....$(4)$
$x, y \geq 0$ .....$(5)$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતોની સિસ્ટમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(600,0)$,$B(1050,150)$,અને $C(800,400)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $z$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$z = 12x + 16y$
$O(0,0)$	$0$
$A(600,0)$	$7200$
$B(1050,150)$	$12(1050) + 16(150) = 15000$
$C(800,400)$	$12(800) + 16(400) = 16000$

$z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(800, 400)$ પર $16000$ છે.
આમ,મહત્તમ નફો મેળવવા માટે સાપ્તાહિક $800$ ઢીંગલી $A$ પ્રકારની અને $400$ ઢીંગલી $B$ પ્રકારની બનાવવી જોઈએ.

ધારો કે ઉત્પાદક પ્રકાર $A$ સર્કિટના $x$ એકમો અને પ્રકાર $B$ સર્કિટના $y$ એકમોનું ઉત્પાદન કરે છે.
આપેલ માહિતી પરથી,આપણી પાસે નીચે મુજબનું મર્યાદા કોષ્ટક છે:

ઘટક	પ્રકાર $A$ $(x)$	પ્રકાર $B$ $(y)$	મહત્તમ સ્ટોક
રઝિસ્ટર	$20$	$10$	$200$
ટ્રાન્ઝિસ્ટર	$10$	$20$	$120$
કેપેસિટર	$10$	$30$	$150$
નફો	$Rs. 50$	$Rs. 60$	-

આમ,નફા માટેનું હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 50x + 60y$ છે.
હવે,આપેલ સમસ્યા માટે આપણી પાસે નીચે મુજબનું ગાણિતિક મોડેલ છે:
મહત્તમ $Z = 50x + 60y$
શરતોને આધીન:
$20x + 10y \leq 200$ (રઝિસ્ટરની મર્યાદા) $\Rightarrow 2x + y \leq 20$
$10x + 20y \leq 120$ (ટ્રાન્ઝિસ્ટરની મર્યાદા) $\Rightarrow x + 2y \leq 12$
$10x + 30y \leq 150$ (કેપેસિટરની મર્યાદા) $\Rightarrow x + 3y \leq 15$
$x \geq 0, y \geq 0$ (અન-ઋણતા શરતો)
તેથી,$LPP$ એ $Z = 50x + 60y$ ને મહત્તમ કરવાનું છે,જે શરતો $2x + y \leq 20, x + 2y \leq 12, x + 3y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ ને આધીન છે.

(A) ધારો કે $x$ એ મોટી વાનની સંખ્યા છે અને $y$ એ નાની વાનની સંખ્યા છે.
ઉદ્દેશ્ય કુલ ખર્ચ $Z$ ને ન્યૂનતમ કરવાનો છે. એક મોટી વાનનો ખર્ચ $Rs. 400$ અને એક નાની વાનનો ખર્ચ $Rs. 200$ છે. તેથી,ઉદ્દેશ્ય વિધેય $Z = 400x + 200y$ છે.
શરતો:
$1$. પરિવહન કરવાના કુલ પેકેજો ઓછામાં ઓછા $1200$ હોવા જોઈએ: $200x + 80y \geq 1200$,જેનું સાદું રૂપ $5x + 2y \geq 30$ થાય છે.
$2$. કુલ ખર્ચ $Rs. 3000$ થી વધુ ન હોવો જોઈએ: $400x + 200y \leq 3000$,જેનું સાદું રૂપ $2x + y \leq 15$ થાય છે.
$3$. મોટી વાનની સંખ્યા નાની વાનની સંખ્યા કરતા વધી શકતી નથી: $x \leq y$.
$4$. અઋણતાની શરતો: $x \geq 0, y \geq 0$.
આમ,$LPP$ નીચે મુજબ છે:
ન્યૂનતમ $Z = 400x + 200y$
શરતોને આધીન:
$5x + 2y \geq 30$
$2x + y \leq 15$
$x \leq y$
$x, y \geq 0$

(A) ધારો કે કંપની $x$ નંગ પ્રકાર $A$ ના સ્વેટર અને $y$ નંગ પ્રકાર $B$ ના સ્વેટર બનાવે છે.
કંપની દિવસના વધુમાં વધુ $Rs. 72000$ ખર્ચે છે. તેથી,$360x + 120y \leq 72000$.
$120$ વડે ભાગતા,આપણને $3x + y \leq 600 \dots (i)$ મળે છે.
કંપની કુલ વધુમાં વધુ $300$ સ્વેટર બનાવી શકે છે. તેથી,$x + y \leq 300 \dots (ii)$.
પ્રકાર $B$ ના સ્વેટરની સંખ્યા પ્રકાર $A$ ના સ્વેટરની સંખ્યા કરતા $100$ થી વધુ ન હોવી જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $y - x \leq 100$,જેને $-x + y \leq 100 \dots (iii)$ તરીકે લખી શકાય છે.
કંપનીને પ્રકાર $A$ ના દરેક સ્વેટર પર $Rs. 200$ અને પ્રકાર $B$ ના દરેક સ્વેટર પર $Rs. 120$ નો નફો થાય છે. નફો મહત્તમ કરવા માટેનું હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 200x + 120y$ છે.
આમ,$LPP$ નું સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
મહત્તમ $Z = 200x + 120y$
શરતોને આધીન:
$3x + y \leq 600$
$x + y \leq 300$
$-x + y \leq 100$
$x \geq 0, y \geq 0$

(A) ધારો કે માણસ $50 \, km/h$ ની ઝડપે $x \, km$ અંતર અને $80 \, km/h$ ની ઝડપે $y \, km$ અંતર કાપે છે.
અંતર $x$ માટે પેટ્રોલનો ખર્ચ $2x$ અને અંતર $y$ માટે $3y$ છે. તેની પાસે વધુમાં વધુ $Rs. \, 120$ ખર્ચવા માટે હોવાથી,ખર્ચની મર્યાદા $2x + 3y \leq 120$ છે.
$x$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\frac{x}{50}$ કલાક અને $y$ અંતર માટે $\frac{y}{80}$ કલાક છે. તેની પાસે વધુમાં વધુ $1$ કલાક હોવાથી,સમયની મર્યાદા $\frac{x}{50} + \frac{y}{80} \leq 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $8x + 5y \leq 400$ થાય છે.
અંતર ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
હેતુલક્ષી વિધેય કુલ અંતર $Z = x + y$ ને મહત્તમ કરવાનું છે.
આમ,સુરેખ આયોજન સમસ્યા નીચે મુજબ છે:
મહત્તમ $Z = x + y$
શરતો:
$2x + 3y \leq 120$
$8x + 5y \leq 400$
$x, y \geq 0$

(A) ધારો કે ઉત્પાદક $x$ નંગ મોડેલ $X$ અને $y$ નંગ મોડેલ $Y$ બાઇક બનાવે છે.
મોડેલ $X$ માટે $6$ માનવ-કલાક અને મોડેલ $Y$ માટે $10$ માનવ-કલાક પ્રતિ એકમ લાગે છે. અઠવાડિયામાં કુલ $450$ માનવ-કલાક ઉપલબ્ધ છે.
$\therefore 6x + 10y \leq 450 \Rightarrow 3x + 5y \leq 225$
હેન્ડલિંગ અને માર્કેટિંગ ખર્ચ અનુક્રમે $Rs. 2000$ અને $Rs. 1000$ પ્રતિ એકમ છે,અને કુલ ભંડોળ $Rs. 80,000$ પ્રતિ અઠવાડિયું છે.
$\therefore 2000x + 1000y \leq 80000 \Rightarrow 2x + y \leq 80$
વધુમાં,$x \geq 0, y \geq 0$.
આપણે નફાનું વિધેય $Z = 1000x + 500y$ ને નીચેની શરતોને આધીન મહત્તમ બનાવવાનું છે:
$3x + 5y \leq 225$
$2x + y \leq 80$
$x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $(0,0), (40,0), (25,30),$ અને $(0,45)$ દ્વારા નક્કી થાય છે.

શિરોબિંદુઓ	$Z = 1000x + 500y$ ની કિંમત
$(0,0)$	$0$
$(40,0)$	$1000(40) + 500(0) = 40000$
$(25,30)$	$1000(25) + 500(30) = 25000 + 15000 = 40000$
$(0,45)$	$1000(0) + 500(45) = 22500$

મહત્તમ નફો $Rs. 40,000$ છે. આ કિંમત $(40,0)$ અને $(25,30)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના કોઈપણ બિંદુએ મળે છે. આમ,ઉત્પાદક મહત્તમ નફો મેળવવા માટે $40$ નંગ મોડેલ $X$ અને $0$ નંગ મોડેલ $Y$,અથવા $25$ નંગ મોડેલ $X$ અને $30$ નંગ મોડેલ $Y$ બનાવી શકે છે.

(C) ધારો કે વ્યક્તિ $X$ પ્રકારની $x$ ગોળીઓ અને $Y$ પ્રકારની $y$ ગોળીઓ લે છે.
આપેલ માહિતી પરથી,આપણી પાસે નીચે મુજબની શરતો છે:
$6x + 2y \geq 18 \Rightarrow 3x + y \geq 9$
$3x + 3y \geq 21 \Rightarrow x + y \geq 7$
$2x + 4y \geq 16 \Rightarrow x + 2y \geq 8$
વધુમાં,$x \geq 0, y \geq 0$.
ધ્યેય ખર્ચ $Z = 2x + y$ ને ન્યૂનતમ કરવાનો છે.
અસમતાઓનો આલેખ દોરતા,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસીમિત છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(8, 0)$,$B(3, 4)$,$C(1, 6)$,અને $D(0, 9)$ છે.

શિરોબિંદુઓ	$Z = 2x + y$ ની કિંમત
$(8, 0)$	$16$
$(3, 4)$	$10$
$(1, 6)$	$8$ (ન્યૂનતમ)
$(0, 9)$	$9$

શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસીમિત હોવાથી,આપણે અસમતા $2x + y < 8$ તપાસીએ છીએ. $2x + y < 8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખુલ્લા અર્ધતલને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી. તેથી,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત બિંદુ $(1, 6)$ પર $8$ છે.
આમ,વ્યક્તિએ ન્યૂનતમ $Rs. 8$ ના ખર્ચે જરૂરિયાતો સંતોષવા માટે $X$ પ્રકારની $1$ ગોળી અને $Y$ પ્રકારની $6$ ગોળીઓ લેવી જોઈએ.

(B) ધારો કે ફેક્ટરી $I, x$ દિવસ અને ફેક્ટરી $II, y$ દિવસ ચાલે છે.
ફેક્ટરી $I$ માં મોડેલ $A$ ના $50$ અને ફેક્ટરી $II$ માં મોડેલ $A$ ના $40$ કેલ્ક્યુલેટર દરરોજ બને છે. કંપની પાસે મોડેલ $A$ માટે ઓછામાં ઓછા $6400$ કેલ્ક્યુલેટરના ઓર્ડર છે.
$\therefore 50x + 40y \geq 6400 \Rightarrow 5x + 4y \geq 640$
ફેક્ટરી $I$ માં મોડેલ $B$ ના $50$ અને ફેક્ટરી $II$ માં મોડેલ $B$ ના $20$ કેલ્ક્યુલેટર દરરોજ બને છે. કંપની પાસે મોડેલ $B$ માટે ઓછામાં ઓછા $4000$ કેલ્ક્યુલેટરના ઓર્ડર છે.
$\therefore 50x + 20y \geq 4000 \Rightarrow 5x + 2y \geq 400$
ફેક્ટરી $I$ માં મોડેલ $C$ ના $30$ અને ફેક્ટરી $II$ માં મોડેલ $C$ ના $40$ કેલ્ક્યુલેટર દરરોજ બને છે. કંપની પાસે મોડેલ $C$ માટે ઓછામાં ઓછા $4800$ કેલ્ક્યુલેટરના ઓર્ડર છે.
$\therefore 30x + 40y \geq 4800 \Rightarrow 3x + 4y \geq 480$
વધુમાં,$x \geq 0, y \geq 0.$
આપણે ખર્ચ $Z = 12000x + 15000y$ ને ન્યૂનતમ બનાવવો છે,જે નીચેની શરતોને આધીન છે:
$5x + 4y \geq 640$
$5x + 2y \geq 400$
$3x + 4y \geq 480$
$x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનંત છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(160, 0), B(80, 60), C(32, 120),$ અને $D(0, 200)$ છે.

શિરોબિંદુઓ	$Z = 12000x + 15000y$ નું મૂલ્ય
$(160, 0)$	$1920000$
$(80, 60)$	$1860000$ (ન્યૂનતમ)
$(32, 120)$	$2184000$
$(0, 200)$	$3000000$

ન્યૂનતમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે,આપણે $12000x + 15000y < 1860000$ અથવા $4x + 5y < 620$ આલેખિત કરીએ છીએ. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1860000$ છે.
આમ,ફેક્ટરી $I$ એ $80$ દિવસ અને ફેક્ટરી $II$ એ $60$ દિવસ ચલાવવી જોઈએ.

(C) આપેલ શરતો છે:
$1$) $-x + y \leq 1$
$2$) $2x + y \leq 2$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓ દોરીએ છીએ:
- $-x + y = 1$ માટે,અંતઃખંડ $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
- $2x + y = 2$ માટે,અંતઃખંડ $(0, 2)$ અને $(1, 0)$ છે.
$-x + y = 1$ અને $2x + y = 2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે સમીકરણોની બાદબાકી કરીએ:
$(2x + y) - (-x + y) = 2 - 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3$.
$x = 1/3$ ને $2x + y = 2$ માં મૂકતા:
$2(1/3) + y = 2 \implies y = 2 - 2/3 = 4/3$.
તેથી,છેદબિંદુ $(1/3, 4/3)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(1, 0)$,અને $(1/3, 4/3)$ છે.
હવે,આ બિંદુઓ પર $z = 2x + 6y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(0, 0)$ પર: $z = 2(0) + 6(0) = 0$.
- $(1, 0)$ પર: $z = 2(1) + 6(0) = 2$.
- $(1/3, 4/3)$ પર: $z = 2(1/3) + 6(4/3) = 2/3 + 24/3 = 26/3$.
મહત્તમ કિંમત $26/3$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નીચેની શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે:
$1) 0 \leq x \leq 4$
$2) 1 \leq y \leq 6$
$3) x + y \leq 5$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
- $x = 0$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
- $x = 0$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $(0, 5)$ છે.
- $y = 1$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $(4, 1)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (0, 5),$ અને $(4, 1)$ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z = -3x + 2y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(0, 1)$ પર: $z = -3(0) + 2(1) = 2$
- $(0, 5)$ પર: $z = -3(0) + 2(5) = 10$
- $(4, 1)$ પર: $z = -3(4) + 2(1) = -12 + 2 = -10$
આમ,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(4, 1)$ બિંદુ પર $-10$ મળે છે.

(A) ધારો કે કેક $A$ ની સંખ્યા $x$ છે અને કેક $B$ ની સંખ્યા $y$ છે.

ઘટક	કેક $A$ $(g)$	કેક $B$ $(g)$	કુલ ઉપલબ્ધ $(g)$
લોટ	$200$	$100$	$5000$
ચરબી	$25$	$50$	$1000$

લોટ માટેની મર્યાદાઓ: $200x + 100y \leq 5000$. $100$ વડે ભાગતા,આપણને $2x + y \leq 50$ મળે છે.
ચરબી માટેની મર્યાદાઓ: $25x + 50y \leq 1000$. $25$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 2y \leq 40$ મળે છે.
બિન-ઋણાત્મક મર્યાદાઓ: $x \geq 0, y \geq 0$.
હેતુલક્ષી વિધેય: $Z = x + y$.
આમ,ગાણિતિક સ્વરૂપ $Z = x + y, 2x + y \leq 50, x + 2y \leq 40, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(B) $Z = 3x_{1} + 5x_{2}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ શરતો દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેયની કિંમત તપાસીશું:
$1$. $3x_{1} + 2x_{2} \leq 18$
$2$. $x_{1} \leq 4$
$3$. $x_{2} \leq 6$
$4$. $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$
શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
- $x_{1} = 0$ અને $x_{2} = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે. $Z = 0$.
- $x_{1} = 4$ અને $x_{2} = 0$ નું છેદબિંદુ $(4, 0)$ છે. $Z = 3(4) + 5(0) = 12$.
- $x_{1} = 4$ અને $3x_{1} + 2x_{2} = 18$ નું છેદબિંદુ $(4, 3)$ છે. $Z = 3(4) + 5(3) = 27$.
- $3x_{1} + 2x_{2} = 18$ અને $x_{2} = 6$ નું છેદબિંદુ $(2, 6)$ છે. $Z = 3(2) + 5(6) = 36$.
- $x_{1} = 0$ અને $x_{2} = 6$ નું છેદબિંદુ $(0, 6)$ છે. $Z = 3(0) + 5(6) = 30$.
બધા શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $36$ છે જે $(2, 6)$ બિંદુ પર મળે છે.

(D) કયો બિંદુ ઉકેલ ગણમાં નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક બિંદુને આપેલી અસમતાઓ $x+2y \leq 2000$,$x+y \leq 1500$,$y \leq 600$ અને $x \geq 0$ માટે ચકાસીએ છીએ.
$(1000, 0)$ માટે:
$1000 + 2(0) = 1000 \leq 2000$ (સાચું)
$1000 + 0 = 1000 \leq 1500$ (સાચું)
$0 \leq 600$ (સાચું)
$1000 \geq 0$ (સાચું)
આ બિંદુ પ્રદેશમાં છે.
$(0, 500)$ માટે:
$0 + 2(500) = 1000 \leq 2000$ (સાચું)
$0 + 500 = 500 \leq 1500$ (સાચું)
$500 \leq 600$ (સાચું)
$0 \geq 0$ (સાચું)
આ બિંદુ પ્રદેશમાં છે.
$(2, 0)$ માટે:
$2 + 2(0) = 2 \leq 2000$ (સાચું)
$2 + 0 = 2 \leq 1500$ (સાચું)
$0 \leq 600$ (સાચું)
$2 \geq 0$ (સાચું)
આ બિંદુ પ્રદેશમાં છે.
$(2000, 0)$ માટે:
$2000 + 2(0) = 2000 \leq 2000$ (સાચું)
$2000 + 0 = 2000 \leq 1500$ (ખોટું)
અસમતા $x+y \leq 1500$ નું પાલન થતું નથી,તેથી બિંદુ $(2000, 0)$ ઉકેલ ગણમાં નથી.

(C) અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$) $2x + 3y \leq 6$
$2$) $x + 4y \leq 4$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ:
- રેખા $2x + 3y = 6$ અક્ષોને $(3, 0)$ અને $(0, 2)$ પર છેદે છે.
- રેખા $x + 4y = 4$ અક્ષોને $(4, 0)$ અને $(0, 1)$ પર છેદે છે.
સમીકરણો $2x + 3y = 6$ અને $x + 4y = 4$ નો ઉકેલ મેળવતા:
બીજા સમીકરણ પરથી,$x = 4 - 4y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2(4 - 4y) + 3y = 6 \implies 8 - 8y + 3y = 6 \implies -5y = -2 \implies y = \frac{2}{5}$.
તેથી $x = 4 - 4(\frac{2}{5}) = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 0)$,$(3, 0)$,$(0, 1)$ અને $(\frac{12}{5}, \frac{2}{5})$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,બિંદુ $(\frac{12}{5}, \frac{2}{5})$ એ ખૂણાનું બિંદુ છે.

(B) મહત્તમ નફા માટેનું ઉદ્દેશ્ય વિધેય નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વસ્તુના એકમ દીઠ થતા નફાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
ધારો કે $x$ એ ચોખાનો જથ્થો (ક્વિન્ટલમાં) છે અને $y$ એ ઘઉંનો જથ્થો (ક્વિન્ટલમાં) છે.
$x$ ક્વિન્ટલ ચોખામાંથી મળતો નફો = $200 \times x = 200x$.
$y$ ક્વિન્ટલ ઘઉંમાંથી મળતો નફો = $125 \times y = 125y$.
કુલ નફો $Z$ એ ચોખા અને ઘઉંમાંથી મળતા નફાનો સરવાળો છે.
તેથી,ઉદ્દેશ્ય વિધેય $Z = 200x + 125y$ છે.

(D) મહત્તમ નફો શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 2000x + 5000y$ ની કિંમત શોધીશું:

શિરોબિંદુ $(x, y)$	$z = 2000x + 5000y$ ની કિંમત
$(1, 0)$	$z = 2000(1) + 5000(0) = 2000$
$(2, 0)$	$z = 2000(2) + 5000(0) = 4000$
$(0, 2)$	$z = 2000(0) + 5000(2) = 10000$ (મહત્તમ)
$(0, 1)$	$z = 2000(0) + 5000(1) = 5000$

કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ નફો $10000$ છે.

(A) $z = 2x + 4y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને ઓળખીએ છીએ:
$1$) $x + 2y \geq 10$
$2$) $3x + y \geq 10$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધો:
- $x + 2y = 10$ અને $3x + y = 10$ માટે:
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણો: $6x + 2y = 20$.
પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરો: $(6x + 2y) - (x + 2y) = 20 - 10 \implies 5x = 10 \implies x = 2$.
$x = 2$ ને $x + 2y = 10$ માં મૂકતા: $2 + 2y = 10 \implies 2y = 8 \implies y = 4$.
છેદબિંદુ: $(2, 4)$.
- $x + 2y = 10$ માટે અંત:ખંડો: $(10, 0)$ અને $(0, 5)$.
- $3x + y = 10$ માટે અંત:ખંડો: $(10/3, 0)$ અને $(0, 10)$.
અસીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $(0, 10)$,$(2, 4)$,અને $(10, 0)$ છે.
આ ખૂણાના બિંદુઓ પર $z = 2x + 4y$ ની કિંમત તપાસો:
- $(0, 10)$ પર: $z = 2(0) + 4(10) = 40$.
- $(2, 4)$ પર: $z = 2(2) + 4(4) = 4 + 16 = 20$.
- $(10, 0)$ પર: $z = 2(10) + 4(0) = 20$.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસીમિત હોવાથી,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $z < 20$ શક્ય છે. રેખા $2x + 4y = 20$ (અથવા $x + 2y = 10$) એ સીમા રેખા છે. તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $20$ છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $F = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $F$ ની કિંમત મેળવીએ:

શિરોબિંદુ $(x, y)$	હેતુલક્ષી વિધેય $F = 4x + 6y$
$(0, 2)$	$F = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3, 0)$	$F = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6, 0)$	$F = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6, 8)$	$F = 4(6) + 6(8) = 72$
$(0, 5)$	$F = 4(0) + 6(5) = 30$

$F$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે,જે શિરોબિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(3, 0)$ બંને પર મળે છે.
સુરેખ આયોજનના ગુણધર્મ મુજબ,જો હેતુલક્ષી વિધેય બે શિરોબિંદુઓ પર સમાન ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવતું હોય,તો તે આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર સમાન ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
તેથી,$F$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(0, 2)$ અને $(3, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના કોઈપણ બિંદુ પર મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 6xy + y^2$ છે. શરતો $3x + 4y \leq 100$,$4x + 3y \leq 75$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
શરતો મુજબ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(18.75, 0)$ અને $(0, 25)$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમત:
$(0, 0)$ પર,$z = 6(0)(0) + 0^2 = 0$.
$(18.75, 0)$ પર,$z = 6(18.75)(0) + 0^2 = 0$.
$(0, 25)$ પર,$z = 6(0)(25) + 25^2 = 625$.
જોકે,$z$ એ સુરેખ વિધેય ન હોવાથી,આપણે સીમા $4x + 3y = 75$ તપાસીએ,જેનો અર્થ છે $x = \frac{75-3y}{4}$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા: $z = 6y(\frac{75-3y}{4}) + y^2 = \frac{3y(75-3y)}{2} + y^2 = \frac{225y - 9y^2 + 2y^2}{2} = \frac{225y - 7y^2}{2}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$y$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવતા: $\frac{dz}{dy} = \frac{225 - 14y}{2} = 0 \implies y = \frac{225}{14} \approx 16.07$.
ત્યારબાદ $x = \frac{75 - 3(225/14)}{4} = \frac{375}{56} \approx 6.7$.
આ કિંમતો $z$ માં મૂકતા: $z = \frac{354375}{392} \approx 904.0178$.
આમ,મહત્તમ કિંમત આશરે $904$ છે.

(A) અહીં આપણને હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 5x + 4y$ આપેલ છે,જે શરતો $y \leq 2x$,$x \leq 2y$,$x+y \leq 3$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ ને આધીન છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $y = 2x$,$x = 2y$,અને $x+y = 3$ રેખાઓ દોરીને શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. $y = 2x$ અને $x+y = 3$ નું છેદબિંદુ: $y=2x$ ને $x+y=3$ માં મૂકતા,$x+2x=3$ મળે,તેથી $3x=3$,જેનો અર્થ છે કે $x=1$. તેથી $y=2(1)=2$. આમ,બિંદુ $A(1, 2)$ મળે છે.
$2$. $x = 2y$ અને $x+y = 3$ નું છેદબિંદુ: $x=2y$ ને $x+y=3$ માં મૂકતા,$2y+y=3$ મળે,તેથી $3y=3$,જેનો અર્થ છે કે $y=1$. તેથી $x=2(1)=2$. આમ,બિંદુ $B(2, 1)$ મળે છે.
$3$. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ત્રિકોણ $OAB$ છે. આપણે શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 4y$
$O(0, 0)$	$5(0) + 4(0) = 0$
$A(1, 2)$	$5(1) + 4(2) = 5 + 8 = 13$
$B(2, 1)$	$5(2) + 4(1) = 10 + 4 = 14$

આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $B(2, 1)$ પર મળે છે.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z = ax + by$ છે,જ્યાં $a, b > 0$. શરતો $x \leq 2, y \leq 2, x + y \geq 3, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
આ શરતોને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(1, 2)$ અને $C(2, 2)$ વાળો ત્રિકોણ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ તરીકે મળે છે.
કારણ કે $z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય માત્ર $(2, 1)$ આગળ મળે છે,તેથી $(2, 1)$ આગળ $z$ નું મૂલ્ય અન્ય શિરોબિંદુઓ આગળના $z$ ના મૂલ્ય કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
$A(2, 1)$ અને $B(1, 2)$ આગળ $z$ ની સરખામણી કરતા:
$z(2, 1) = 2a + b$
$z(1, 2) = a + 2b$
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(2, 1)$ આગળ હોવા માટે,$z(2, 1) < z(1, 2)$ હોવું જરૂરી છે.
$2a + b < a + 2b$
$2a - a < 2b - b$
$a < b$
આમ,સાચી શરત $a < b$ છે.

(B) અહીં આપણને હેતુલક્ષી વિધેય આપેલ છે: મહત્તમ $z = 4x_1 + 2x_2$.
શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) 3x_1 + 2x_2 \geq 9$
$2) x_1 - x_2 \leq 3$
$3) x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$
આ રેખાઓને આલેખ પર દોરતા:
$3x_1 + 2x_2 = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(3, 0)$ અને $(0, 4.5)$ છે. આ વિસ્તાર ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$x_1 - x_2 = 3$ માટે,અંતઃખંડો $(3, 0)$ અને $(0, -3)$ છે. આ વિસ્તાર ઉગમબિંદુ તરફ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રથમ ચરણમાં આ પ્રદેશ અસીમિત (unbounded) છે. જ્યારે શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસીમિત હોય અને હેતુલક્ષી વિધેયની કિંમત વધતી જતી હોય,ત્યારે $L$.$P$.$P$. નો ઉકેલ અસીમિત હોય છે. અહીં,જેમ $x_1$ અને $x_2$ વધે છે,તેમ $z = 4x_1 + 2x_2$ ની કિંમત શક્ય પ્રદેશમાં અનંત સુધી વધી શકે છે. તેથી,આ $L$.$P$.$P$. નો ઉકેલ અસીમિત છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 10x + 25y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $0 \leq x \leq 3$,$0 \leq y \leq 3$ અને $x + y \geq 5$ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$1$. $x = 3$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $y = 2$ આપે છે,તેથી બિંદુ $(3, 2)$ છે.
$2$. $x = 3$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(3, 3)$ બિંદુ આપે છે.
$3$. $y = 3$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ $x = 2$ આપે છે,તેથી બિંદુ $(2, 3)$ છે.
હવે,આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 10x + 25y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(3, 2)$ પર: $z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$.
- $(3, 3)$ પર: $z = 10(3) + 25(3) = 30 + 75 = 105$.
- $(2, 3)$ પર: $z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $80$ છે.

(D) આપેલ શરતો $3x+2y \leq 12$,$2x+3y \leq 12$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આ અસમતાઓ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
રેખાઓ $L_1: 3x+2y=12$ અને $L_2: 2x+3y=12$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$3x+2y=12$ ($3$ વડે ગુણતા) $\Rightarrow 9x+6y=36$
$2x+3y=12$ ($2$ વડે ગુણતા) $\Rightarrow 4x+6y=24$
બાદબાકી કરતા $5x=12$ મળે,તેથી $x=2.4$.
$x=2.4$ ને $3(2.4)+2y=12$ માં મૂકતા $7.2+2y=12$ મળે,તેથી $2y=4.8$,$y=2.4$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(4,0)$,$(0,4)$ અને $(2.4, 2.4)$ છે.
હવે આ બિંદુઓ પર $z=9x+11y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$z(0,0) = 9(0)+11(0) = 0$
$z(4,0) = 9(4)+11(0) = 36$
$z(0,4) = 9(0)+11(4) = 44$
$z(2.4, 2.4) = 9(2.4)+11(2.4) = 21.6+26.4 = 48$
મહત્તમ કિંમત $48$ છે.

(A) $Z = 2x + y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $3x + 5y \leq 26$,$5x + 3y \leq 30$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધીએ.
$1$. રેખાઓ $3x + 5y = 26$ અને $5x + 3y = 30$ નું છેદબિંદુ શોધો:
પ્રથમ સમીકરણને $5$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$15x + 25y = 130$
$15x + 9y = 90$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $16y = 40 \implies y = \frac{40}{16} = 2.5$.
$y = 2.5$ ને $3x + 5(2.5) = 26$ માં મૂકતા: $3x + 12.5 = 26 \implies 3x = 13.5 \implies x = 4.5$.
તેથી,બિંદુ $B$ એ $(4.5, 2.5)$ છે.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(6, 0)$,$(4.5, 2.5)$ અને $(0, 5.2)$ છે.
$3$. દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = 2x + y$ ની કિંમત તપાસો:
$(0, 0)$ પર: $Z = 2(0) + 0 = 0$
$(6, 0)$ પર: $Z = 2(6) + 0 = 12$
$(4.5, 2.5)$ પર: $Z = 2(4.5) + 2.5 = 9 + 2.5 = 11.5$
$(0, 5.2)$ પર: $Z = 2(0) + 5.2 = 5.2$
આમ,મહત્તમ કિંમત $12$ છે જે બિંદુ $(6, 0)$ પર મળે છે.

(A) હેતુ વિધેય $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ છે.
શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) 2 x_1 + x_2 \geq 7$
$2) 2 x_1 + 3 x_2 \leq 15$
$3) x_2 \leq 3$
$4) x_1, x_2 \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$2 x_1 + x_2 = 7$ માટે,અંતઃખંડો $(3.5, 0)$ અને $(0, 7)$ છે.
$2 x_1 + 3 x_2 = 15$ માટે,અંતઃખંડો $(7.5, 0)$ અને $(0, 5)$ છે.
રેખા $x_2 = 3$ એ આડી રેખા છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના છેદબિંદુઓ શોધતા:
- $2 x_1 + x_2 = 7$ અને $x_2 = 3$ નું છેદબિંદુ: $2 x_1 + 3 = 7 \implies 2 x_1 = 4 \implies x_1 = 2$. બિંદુ: $(2, 3)$.
- $2 x_1 + 3 x_2 = 15$ અને $x_2 = 3$ નું છેદબિંદુ: $2 x_1 + 9 = 15 \implies 2 x_1 = 6 \implies x_1 = 3$. બિંદુ: $(3, 3)$.
- $x_1$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો $(3.5, 0)$ અને $(7.5, 0)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(3.5, 0), (7.5, 0), (3, 3), (2, 3)$ છે.
આ બિંદુઓ પર $Z = 4 x_1 + 5 x_2$ ની કિંમત શોધતા:

શિરોબિંદુ	$Z = 4 x_1 + 5 x_2$
$(3.5, 0)$	$4(3.5) + 5(0) = 14$
$(7.5, 0)$	$4(7.5) + 5(0) = 30$
$(3, 3)$	$4(3) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$(2, 3)$	$4(2) + 5(3) = 8 + 15 = 23$

$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $(3.5, 0)$ પર મળે છે. અહીં $x_2$-યામ $0$ હોવાથી,આ બિંદુ $x_1$-અક્ષ પર આવેલું છે.