MCQ based Question Questions in Gujarati

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $(2)$ થી $(4)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. રેખા $x + 2y = 10$ માટે,અંતઃખંડો $(10, 0)$ અને $(0, 5)$ છે.
$2$. રેખા $3x + 4y = 24$ માટે,અંતઃખંડો $(8, 0)$ અને $(0, 6)$ છે.
$3$. $x + 2y = 10$ અને $3x + 4y = 24$ નું છેદબિંદુ સમીકરણો ઉકેલીને મળે છે:
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = 20$.
આને $3x + 4y = 24$ માંથી બાદ કરતા $x = 4$ મળે છે.
$x = 4$ ને $x + 2y = 10$ માં મૂકતા $4 + 2y = 10$,તેથી $2y = 6$,$y = 3$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(4, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 5)$,$(0, 6)$ અને $(4, 3)$ છે.

શિરોબિંદુ	$Z = 200x + 500y$ નું મૂલ્ય
$(0, 5)$	$200(0) + 500(5) = 2500$
$(0, 6)$	$200(0) + 500(6) = 3000$
$(4, 3)$	$200(4) + 500(3) = 800 + 1500 = 2300$

$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2300$ બિંદુ $(4, 3)$ પર મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે સુરેખ અસમતાઓ $(2)$ થી $(5)$ ના તંત્રનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આલેખીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ $ABCD$ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. નોંધો કે આ પ્રદેશ સીમિત છે.
શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ ના યામ અનુક્રમે $(0,10), (5,5), (15,15)$ અને $(0,20)$ છે.

શિરોબિંદુ	$Z=3x+9y$ નું અનુરૂપ મૂલ્ય
$A(0,10)$	$90$
$B(5,5)$	$60$ (ન્યૂનતમ)
$C(15,15)$	$180$ (મહત્તમ)
$D(0,20)$	$180$ (મહત્તમ)

આપણે $Z$ નું ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ. કોષ્ટક પરથી,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બિંદુ $B(5,5)$ પર $60$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ પર $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે શિરોબિંદુઓ $C(15,15)$ અને $D(0,20)$ પર મળે છે. બંને બિંદુઓ પર મહત્તમ મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$C$ અને $D$ ને જોડતા રેખાખંડ પરનું કોઈપણ બિંદુ પણ $180$ જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય આપશે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે અસમતાઓ $(2)$ થી $(5)$ ના તંત્રનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આલેખીએ છીએ.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અનિયંત્રિત (unbounded) છે.
આપણે શિરોબિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય શોધીએ:

શિરોબિંદુ	$Z = -50x + 20y$
$(0, 5)$	$100$
$(0, 3)$	$60$
$(1, 0)$	$-50$
$(6, 0)$	$-300$

કોષ્ટક પરથી,શિરોબિંદુ $(6, 0)$ પર સૌથી નાનું મૂલ્ય $-300$ મળે છે.
કારણ કે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અનિયંત્રિત છે,આપણે ચકાસવું પડશે કે $-300$ એ ખરેખર ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે કે નહીં.
આપણે અસમતા $-50x + 20y < -300$ નો આલેખ દોરીએ,જેનું સાદું રૂપ $-5x + 2y < -30$ થાય છે.
જો આ ખુલ્લા અર્ધતલને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે સામાન્ય બિંદુઓ હોય,તો $-300$ એ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.
આલેખમાં જોતા,રેખા $-5x + 2y = -30$ એ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાંથી પસાર થાય છે અને પ્રદેશ $-5x + 2y < -30$ માં શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,આપેલ શરતો હેઠળ હેતુ લક્ષી વિધેય $Z = -50x + 20y$ નું કોઈ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(N/A) ચાલો અસમતાઓ $(1)$ થી $(3)$ નો આલેખ દોરીએ.
અસમતા $x + y \geqslant 8$ માટે,પ્રદેશ $(8, 0)$ અને $(0, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર અથવા તેની ઉપર છે.
અસમતા $3x + 5y \leqslant 15$ માટે,પ્રદેશ $(5, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર અથવા તેની નીચે છે.
$x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ હોવાથી,આપણે પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત છીએ.
આલેખનું અવલોકન કરતા,$x + y \geqslant 8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે,જ્યારે $3x + 5y \leqslant 15$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
એવો કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી જે આપેલી તમામ મર્યાદાઓને એકસાથે સંતોષે.
તેથી,આ સમસ્યા માટે કોઈ શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નથી અને પરિણામે કોઈ શક્ય ઉકેલ નથી.

(B) શરતો $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $O(0,0), A(4,0),$ અને $B(0,4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના ખૂણાના બિંદુઓ $O(0,0), A(4,0),$ અને $B(0,4)$ છે.
દરેક ખૂણાના બિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 4y$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:

ખૂણાનું બિંદુ	$Z = 3x + 4y$
$O(0,0)$	$3(0) + 4(0) = 0$
$A(4,0)$	$3(4) + 4(0) = 12$
$B(0,4)$	$3(0) + 4(4) = 16$

આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $16$ છે જે બિંદુ $B(0,4)$ પર મળે છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નીચેની શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે:
$x + 2y \leq 8$
$3x + 2y \leq 12$
$x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(4,0)$,$B(2,3)$,અને $C(0,4)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = -3x + 4y$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = -3x + 4y$
$O(0,0)$	$-3(0) + 4(0) = 0$
$A(4,0)$	$-3(4) + 4(0) = -12$
$B(2,3)$	$-3(2) + 4(3) = -6 + 12 = 6$
$C(0,4)$	$-3(0) + 4(4) = 16$

આ બિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-12$ બિંદુ $(4,0)$ પર મળે છે.

(A) શરતોની સિસ્ટમ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ:
$3x + 5y \leq 15$,$5x + 2y \leq 10$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(2, 0)$,અને $B(0, 3)$ છે. રેખાઓ $3x + 5y = 15$ અને $5x + 2y = 10$ નું છેદબિંદુ $C$ સમીકરણો ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા:
$6x + 10y = 30$
$25x + 10y = 50$
બીજામાંથી પ્રથમ બાદ કરતા: $19x = 20 \implies x = \frac{20}{19}$.
$x$ ની કિંમત $5x + 2y = 10$ માં મૂકતા: $5(\frac{20}{19}) + 2y = 10 \implies \frac{100}{19} + 2y = 10 \implies 2y = 10 - \frac{100}{19} = \frac{90}{19} \implies y = \frac{45}{19}$.
તેથી,$C = (\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતો:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 3y$
$O(0, 0)$	$0$
$A(2, 0)$	$10$
$B(0, 3)$	$9$
$C(\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$	$5(\frac{20}{19}) + 3(\frac{45}{19}) = \frac{100 + 135}{19} = \frac{235}{19}$

આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(\frac{20}{19}, \frac{45}{19})$ પર $\frac{235}{19}$ છે.

(A) શરતો $x + 3y \geq 3$,$x + y \geq 2$,અને $x, y \geq 0$ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનિયંત્રિત (unbounded) છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(3, 0)$,$B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,અને $C(0, 2)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમતો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 3x + 5y$
$A(3, 0)$	$3(3) + 5(0) = 9$
$B(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$	$3(\frac{3}{2}) + 5(\frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$C(0, 2)$	$3(0) + 5(2) = 10$

શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનિયંત્રિત હોવાથી,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $Z < 7$ નો કોઈ ભાગ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે સામાન્ય છે કે નહીં.
આપણે રેખા $3x + 5y = 7$ દોરીએ છીએ. આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે અર્ધતલ $3x + 5y < 7$ અને શક્ય ઉકેલના પ્રદેશમાં કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.
તેથી,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે જે બિંદુ $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + 2y \leq 10$,$3x + y \leq 15$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(5,0)$,$B(4,3)$ અને $C(0,5)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 2y$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 3x + 2y$
$O(0,0)$	$3(0) + 2(0) = 0$
$A(5,0)$	$3(5) + 2(0) = 15$
$B(4,3)$	$3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18$
$C(0,5)$	$3(0) + 2(5) = 10$

આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(4,3)$ પર $18$ મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $2x + y \geq 3$,$x + 2y \geq 6$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રથમ,આપણે રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $2x + y = 3$ માટે,અંતઃખંડો $(1.5, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
$2$. $x + 2y = 6$ માટે,અંતઃખંડો $(6, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં બંને રેખાઓની ઉપરનો અનંત પ્રદેશ છે. આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(6, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = x + 2y$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ	$Z = x + 2y$
$(6, 0)$	$6 + 2(0) = 6$
$(0, 3)$	$0 + 2(3) = 6$

બંને શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત $6$ હોવાથી,$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $6$ છે. આ ન્યૂનતમ કિંમત $(6, 0)$ અને $(0, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુએ મળે છે.

(A) શરતો $x + 2y \leq 120, x + y \geq 60, x - 2y \geq 0, x \geq 0, y \geq 0$ દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આલેખમાં દર્શાવેલ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(60, 0), C(60, 30), D(40, 20)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 5x + 10y$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 10y$
$A(60, 0)$	$5(60) + 10(0) = 300$
$C(60, 30)$	$5(60) + 10(30) = 600$
$D(40, 20)$	$5(40) + 10(20) = 400$

નોંધ: જો હેતુલક્ષી વિધેય $Z = x + 2y$ હોય,તો રેખાખંડ $CD$ પર $Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય સમાન રહે છે,તેથી ન્યૂનતમ મૂલ્ય અનંત બિંદુઓ પર મળે છે.

(N/A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નીચેની શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે:
$x + 2y \geq 100, 2x - y \leq 0, 2x + y \leq 200, x \geq 0, y \geq 0$.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0, 50), B(20, 40),$ અને $C(50, 100)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = x + 2y$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = x + 2y$
$A(0, 50)$	$0 + 2(50) = 100$ (ન્યૂનતમ)
$B(20, 40)$	$20 + 2(40) = 100$ (ન્યૂનતમ)
$C(50, 100)$	$50 + 2(100) = 250$

$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $100$ એ $A(0, 50)$ અને $B(20, 40)$ બંને બિંદુઓ પર મળે છે,તેથી $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે. આમ,ન્યૂનતમ મૂલ્ય બે કરતાં વધુ બિંદુઓ પર મળે છે.

(A) $x \geq 3, x + y \geq 5, x + 2y \geq 6,$ અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા નિર્ધારિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનિયંત્રિત (unbounded) છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(6, 0), B(4, 1),$ અને $C(3, 2)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = -x + 2y$ નું મૂલ્ય:

શિરોબિંદુ	$Z = -x + 2y$
$A(6, 0)$	$Z = -6 + 2(0) = -6$
$B(4, 1)$	$Z = -4 + 2(1) = -2$
$C(3, 2)$	$Z = -3 + 2(2) = 1$

શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અનિયંત્રિત હોવાથી,આપણે $-x + 2y < -6$ અસમતાનો આલેખ દોરીને ચકાસીએ છીએ કે શું $Z = -6$ ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
રેખા $-x + 2y = -6$ એ $(6, 0)$ અને $(4, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. $-x + 2y < -6$ વાળો પ્રદેશ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ ધરાવતો નથી.
આમ,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-6$ છે,જે બિંદુ $A(6, 0)$ પર મળે છે.

(N/A) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) x - y \leq -1 \implies y \geq x + 1$
$2) -x + y \leq 0 \implies y \leq x$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
શરતોનું વિશ્લેષણ:
શરત $1$ મુજબ $y$ એ $x + 1$ કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
શરત $2$ મુજબ $y$ એ $x$ કરતા નાનું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
આ બંને અસમતાઓ,$y \geq x + 1$ અને $y \leq x$,એકબીજાથી વિરોધાભાસી છે કારણ કે $x + 1$ એ હંમેશા $x$ કરતા મોટું હોય છે.
તેથી,એવું કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરે.
કોઈ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ન હોવાથી,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = x + y$ નું કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળતું નથી.

(B) જો $Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર મળતું હોય,તો આ બંને બિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓ $(3,4)$ અને $(0,5)$ માટે,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = px + qy$ ને આ બિંદુઓ પર સમાન લેતા:
$Z(3,4) = Z(0,5)$
યામો મૂકતા:
$p(3) + q(4) = p(0) + q(5)$
$3p + 4q = 5q$
બંને બાજુથી $4q$ બાદ કરતા:
$3p = 5q - 4q$
$3p = q$
આમ,શરત $q = 3p$ છે. સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) ધારો કે એરલાઇન એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસની $x$ ટિકિટો અને ઇકોનોમી ક્લાસની $y$ ટિકિટો વેચે છે.
આપેલ સમસ્યાનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
મહત્તમ $z = 1000x + 600y$ ...... $(1)$
શરતોને આધીન:
$x + y \leq 200$ ...... $(2)$
$x \geq 20$ ...... $(3)$
$y \geq 4x$ ...... $(4)$
$x, y \geq 0$ ...... $(5)$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આ શરતોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(20, 80)$,$B(40, 160)$,અને $C(20, 180)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમતો નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$z = 1000x + 600y$
$A(20, 80)$	$1000(20) + 600(80) = 20000 + 48000 = 68000$
$B(40, 160)$	$1000(40) + 600(160) = 40000 + 96000 = 136000$ (મહત્તમ)
$C(20, 180)$	$1000(20) + 600(180) = 20000 + 108000 = 128000$

$z$ ની મહત્તમ કિંમત $B(40, 160)$ બિંદુ પર $136000$ છે.
આમ,નફો મહત્તમ કરવા માટે એક્ઝિક્યુટિવ ક્લાસની $40$ ટિકિટો અને ઇકોનોમી ક્લાસની $160$ ટિકિટો વેચવી જોઈએ અને મહત્તમ નફો $Rs. 136000$ છે.

(A) ધારો કે ડેપો $A$ થી પેટ્રોલ પંપ $D$ અને $E$ ને અનુક્રમે $x$ અને $y$ લિટર તેલ પૂરું પાડવામાં આવે છે.
તેથી,$(7000 - x - y) \, L$ તેલ ડેપો $A$ થી પેટ્રોલ પંપ $F$ ને પૂરું પાડવામાં આવશે.
પેટ્રોલ પંપ $D, E, F$ પરની જરૂરિયાત અનુક્રમે $4500 \, L, 3000 \, L, 3500 \, L$ છે.
આમ,ડેપો $B$ થી $D, E, F$ ને પૂરો પાડવામાં આવતો જથ્થો:
$D: 4500 - x \, L$
$E: 3000 - y \, L$
$F: 3500 - (7000 - x - y) = x + y - 3500 \, L$
શરતો:
$x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 7000$
$x \leq 4500, y \leq 3000, x + y \geq 3500$
$10 \, L$ ના પરિવહનનો ખર્ચ $Rs. \, 1$ પ્રતિ $km$ છે,તેથી $1 \, L$ નો ખર્ચ $Rs. \, 0.1$ પ્રતિ $km$ થાય.
કુલ ખર્ચ $Z = 0.1 [7x + 6y + 3(7000 - x - y) + 3(4500 - x) + 4(3000 - y) + 2(x + y - 3500)]$
$Z = 0.1 [3x + y + 39500] = 0.3x + 0.1y + 3950$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમત:
$A(3500, 0): Z = 0.3(3500) + 3950 = 5000$
$B(4500, 0): Z = 0.3(4500) + 3950 = 5300$
$C(4500, 2500): Z = 0.3(4500) + 0.1(2500) + 3950 = 5550$
$D(4000, 3000): Z = 0.3(4000) + 0.1(3000) + 3950 = 5450$
$E(500, 3000): Z = 0.3(500) + 0.1(3000) + 3950 = 4400$
ન્યૂનતમ ખર્ચ $Rs. \, 4400$ છે જે $(500, 3000)$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે ફળ ઉત્પાદક બ્રાન્ડ $P$ ની $x$ થેલીઓ અને બ્રાન્ડ $Q$ ની $y$ થેલીઓનો ઉપયોગ કરે છે.
સમસ્યાને નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે:
ન્યૂનતમ $z = 3x + 3.5y$ (નાઈટ્રોજન માટે ઉદ્દેશ્ય વિધેય)
શરતોને આધીન:
$x + 2y \geq 240$ (ફોસ્ફોરિક એસિડ)
$3x + 1.5y \geq 270 \implies 2x + y \geq 180$ (પોટાશ)
$1.5x + 2y \leq 310$ (ક્લોરિન)
$x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ રેખાઓ $x + 2y = 240$,$2x + y = 180$,અને $1.5x + 2y = 310$ દ્વારા સીમિત છે.
આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ મેળવીને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો:
$1$. $x + 2y = 240$ અને $1.5x + 2y = 310$ નું છેદબિંદુ: બાદબાકી કરતા $0.5x = 70 \implies x = 140$. તેથી $140 + 2y = 240 \implies 2y = 100 \implies y = 50$. બિંદુ $A(140, 50)$.
$2$. $2x + y = 180$ અને $1.5x + 2y = 310$ નું છેદબિંદુ: પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 2y = 360$. બાદબાકી કરતા $2.5x = 50 \implies x = 20$. તેથી $2(20) + y = 180 \implies y = 140$. બિંદુ $B(20, 140)$.
$3$. $x + 2y = 240$ અને $2x + y = 180$ નું છેદબિંદુ: $y = 180 - 2x$. કિંમત મૂકતા: $x + 2(180 - 2x) = 240 \implies x + 360 - 4x = 240 \implies -3x = -120 \implies x = 40$. તેથી $y = 180 - 2(40) = 100$. બિંદુ $C(40, 100)$.
શિરોબિંદુઓ પર $z = 3x + 3.5y$ ની કિંમત:
- $A(140, 50)$ પર: $z = 3(140) + 3.5(50) = 420 + 175 = 595$
- $B(20, 140)$ પર: $z = 3(20) + 3.5(140) = 60 + 490 = 550$
- $C(40, 100)$ પર: $z = 3(40) + 3.5(100) = 120 + 350 = 470$
$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(40, 100)$ પર $470$ છે.
આમ,નાઈટ્રોજનનું પ્રમાણ ઘટાડવા માટે બ્રાન્ડ $P$ ની $40$ થેલીઓ અને બ્રાન્ડ $Q$ ની $100$ થેલીઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ,અને ન્યૂનતમ નાઈટ્રોજન $470\,kg$ છે.

(D) આપણે મર્યાદાઓને આધીન $Z=11 x+7 y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવાની છે:
$2 x+y \leq 6$
$x \leq 2$
$x \geq 0, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $2x+y=6$,$x=2$,$x=0$,અને $y=0$ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ છે. છાયાંકિત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(2,0)$,$B(2,2)$,અને $C(0,6)$ છે.

શિરોબિંદુ	$Z = 11x + 7y$ ની કિંમત
$O(0,0)$	$11(0) + 7(0) = 0$
$A(2,0)$	$11(2) + 7(0) = 22$
$B(2,2)$	$11(2) + 7(2) = 22 + 14 = 36$
$C(0,6)$	$11(0) + 7(6) = 42$

બધા શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $42$ છે જે બિંદુ $(0,6)$ પર મળે છે.

(D) શરતો $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ ને આધીન $Z=3x+4y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે:
$1$. અસમતાઓનો આલેખ કાર્તેઝિયન સમતલ પર દોરો. $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ એ $O(0,0)$,$A(1,0)$ અને $B(0,1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુએ હેતુલક્ષી વિધેય $Z=3x+4y$ નું મૂલ્ય શોધો:

ખૂણાનું બિંદુ	$Z=3x+4y$ નું મૂલ્ય
$O(0,0)$	$3(0)+4(0) = 0$
$A(1,0)$	$3(1)+4(0) = 3$
$B(0,1)$	$3(0)+4(1) = 4$

$3$. મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $4$ છે,જે બિંદુ $(0,1)$ પર મળે છે.

(B) આપણે $x \leq 3, y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$ શરતોને આધીન $Z = 11x + 7y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવાનું છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $x = 0, x = 3, y = 0$ અને $y = 2$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલ લંબચોરસ છે. આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0), A(3, 0), B(3, 2)$ અને $C(0, 2)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z = 11x + 7y$ નું મૂલ્ય
$O(0, 0)$	$11(0) + 7(0) = 0$
$A(3, 0)$	$11(3) + 7(0) = 33$
$B(3, 2)$	$11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$
$C(0, 2)$	$11(0) + 7(2) = 14$

આમ,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બિંદુ $(3, 2)$ પર $47$ મળે છે.

(C) આપણે શરતો $x + y \leq 7$,$2x - 3y + 6 \geq 0$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ને આધીન $Z = 13x - 15y$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવાનું છે. આ અસમતાઓ દ્વારા દર્શાવેલ શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશ એ $O(0, 0)$,$A(7, 0)$,$B(3, 4)$ અને $C(0, 2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.

શિરોબિંદુ	$Z = 13x - 15y$ નું મૂલ્ય
$O(0, 0)$	$13(0) - 15(0) = 0$
$A(7, 0)$	$13(7) - 15(0) = 91$
$B(3, 4)$	$13(3) - 15(4) = 39 - 60 = -21$
$C(0, 2)$	$13(0) - 15(2) = -30$

આ શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય બિંદુ $(0, 2)$ પર $-30$ મળે છે.

(N/A) રેખાઓ $x+2y=76$ અને $2x+y=104$ બિંદુ $E$ પર છેદે છે. છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$x+2y=76$ $(1)$
$2x+y=104$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$x=76-2y$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$2(76-2y)+y=104$
$152-4y+y=104$
$-3y=-48 \implies y=16$
તેથી $x=76-2(16)=76-32=44$.
આમ,છેદબિંદુ $E(44, 16)$ છે.
આલેખ પરથી,સીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(52,0)$,$E(44,16)$ અને $D(0,38)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર $Z=3x+4y$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ	$Z=3x+4y$ ની કિંમત
$(0,0)$	$3(0)+4(0)=0$
$(52,0)$	$3(52)+4(0)=156$
$(44,16)$	$3(44)+4(16)=132+64=196$
$(0,38)$	$3(0)+4(38)=152$

આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(44,16)$ પર $196$ મળે છે.

(N/A) છાયાંકિત પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(7,0)$,$B(3,4)$ અને $C(0,2)$ દ્વારા બંધાયેલ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 5x + 7y$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ	$Z = 5x + 7y$ ની કિંમત
$O(0,0)$	$5(0) + 7(0) = 0$
$A(7,0)$	$5(7) + 7(0) = 35$
$B(3,4)$	$5(3) + 7(4) = 15 + 28 = 43$
$C(0,2)$	$5(0) + 7(2) = 14$

$Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $43$ છે,જે બિંદુ $B(3,4)$ પર મળે છે.

(A) રેખાઓ $x+y=5$ અને $x+3y=9$ બિંદુ $(3,2)$ પર છેદે છે. આકૃતિ પરથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $C(0,3)$,$A(3,2)$ અને $B(0,5)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=11x+7y$ ની કિંમત નીચે મુજબ છે:

શિરોબિંદુ	$Z=11x+7y$ ની કિંમત
$C(0,3)$	$11(0)+7(3) = 21$
$A(3,2)$	$11(3)+7(2) = 33+14 = 47$
$B(0,5)$	$11(0)+7(5) = 35$

$Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $21$ છે જે બિંદુ $(0,3)$ પર મળે છે.

(47) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $C(0,3)$,$A(3,2)$ અને $B(0,5)$ દ્વારા સીમિત છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=11x+7y$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ $(x, y)$	$Z = 11x + 7y$ ની કિંમત
$C(0, 3)$	$11(0) + 7(3) = 21$
$A(3, 2)$	$11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$
$B(0, 5)$	$11(0) + 7(5) = 35$

આ બિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $47$ છે,જે બિંદુ $A(3, 2)$ પર મળે છે.

(N/A) રેખાઓ $x + 2y = 4$ અને $x + y = 3$ બિંદુ $(2, 1)$ પર છેદે છે. આકૃતિ પરથી,તે એક અનંત છાયાંકિત પ્રદેશ છે જેના ખૂણાના બિંદુઓ $A(4, 0)$,$B(2, 1)$ અને $C(0, 3)$ છે.
આ ખૂણાના બિંદુઓ પર $Z = 4x + y$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:

ખૂણાના બિંદુઓ	$Z$ નું અનુરૂપ મૂલ્ય
$(4, 0)$	$Z = 4(4) + 0 = 16$
$(2, 1)$	$Z = 4(2) + 1 = 9$
$(0, 3)$	$Z = 4(0) + 3 = 3$

મળતું સૌથી નાનું મૂલ્ય $3$ છે જે બિંદુ $(0, 3)$ પર મળે છે. પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે તપાસવું પડશે કે શું $4x + y < 3$ નો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુ છે કે નહીં.
અસમતા $4x + y < 3$ નો આલેખ દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ખુલ્લા અર્ધતલ $4x + y < 3$ અને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી. તેથી,$Z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $3$ છે,જે બિંદુ $(0, 3)$ પર મળે છે.

(A) આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે $P\left(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}\right)$,$Q\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{4}\right)$,$R\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\right)$,અને $S\left(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}\right)$ શિરોબિંદુઓ વાળો સીમિત પ્રદેશ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = x + 2y$ ની કિંમત શોધીએ:

શિરોબિંદુ $(x, y)$	$Z = x + 2y$ ની કિંમત
$P\left(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}\right)$	$\frac{3}{13} + 2\left(\frac{24}{13}\right) = \frac{3+48}{13} = \frac{51}{13} \approx 3.92$
$Q\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{4}\right)$	$\frac{3}{2} + 2\left(\frac{15}{4}\right) = \frac{6+30}{4} = \frac{36}{4} = 9$
$R\left(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\right)$	$\frac{7}{2} + 2\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{14+6}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$S\left(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}\right)$	$\frac{18}{7} + 2\left(\frac{2}{7}\right) = \frac{18+4}{7} = \frac{22}{7} \approx 3.14$

બધા શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $9$ (બિંદુ $Q$ પર) અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{22}{7}$ (બિંદુ $S$ પર) મળે છે.

(A) આપણે $x - 2y \leq 0$,$-3x + y \leq 4$,$x - y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતોને આધીન $Z = 3x - 4y$ નું મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવાનું છે.
આ અસમતાઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનો શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ બનાવે છે. આ પ્રદેશ અનિયંત્રિત (unbounded) છે અને તેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(12, 6)$ અને $B(0, 4)$ છે.

શિરોબિંદુઓ	$Z = 3x - 4y$ નું મૂલ્ય
$O(0, 0)$	$0$
$A(12, 6)$	$3(12) - 4(6) = 12$
$B(0, 4)$	$3(0) - 4(4) = -16$

શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અનિયંત્રિત હોવાથી,આપણે તપાસવું પડશે કે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે નહીં.
$1$. ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે: આપણે અસમતા $3x - 4y < -16$ તપાસીએ છીએ. $3x - 4y < -16$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખુલ્લા અર્ધતલને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે સામાન્ય બિંદુઓ છે. તેથી,$Z$ નું કોઈ ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.
$2$. મહત્તમ મૂલ્ય માટે: આપણે અસમતા $3x - 4y > 12$ તપાસીએ છીએ. $3x - 4y > 12$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ખુલ્લા અર્ધતલને શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સાથે કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી. તેથી,$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $12$ છે,જે બિંદુ $A(12, 6)$ પર મળે છે.

(B) રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા $(LPP)$ માં,ઉદ્દેશ્ય વિધેય એ $Z = ax + by$ સ્વરૂપનું એક રેખીય વિધેય છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
આ સમસ્યાનો ધ્યેય અમુક મર્યાદાઓને આધીન રહીને આ વિધેયને મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ બનાવવાનો છે.
તેથી,ઉદ્દેશ્ય વિધેય એ એવું વિધેય છે જેને ઓપ્ટિમાઇઝ (ઇષ્ટતમ) કરવાની જરૂર હોય છે.

(B) સુરેખ આયોજન $(LP)$ સમસ્યામાં,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ બહિર્મુખ ગણ (convex set) છે.
જો $x$ અને $y$ બે શ્રેષ્ઠ ઉકેલો હોય,તો આ બિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોય છે,ધારો કે $Z^*$.
કારણ કે હેતુલક્ષી વિધેય સુરેખ છે,તેથી કોઈપણ બહિર્મુખ સંયોજન $z = \lambda x + (1 - \lambda) y$ માટે જ્યાં $0 \leq \lambda \leq 1$,હેતુલક્ષી વિધેયનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$f(z) = f(\lambda x + (1 - \lambda) y) = \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) = \lambda Z^* + (1 - \lambda) Z^* = Z^*$.
આમ,બે શ્રેષ્ઠ ઉકેલોનું કોઈપણ બહિર્મુખ સંયોજન પણ એક શ્રેષ્ઠ ઉકેલ જ હોય છે.

(C) સુરેખ આયોજનના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,જો સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન માટે ઇષ્ટતમ ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના કોઈ એક શિરોબિંદુ (corner point) પર જ મળે છે. તેથી,હેતુ લક્ષી વિધેયનું ઇષ્ટતમ મૂલ્ય શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થાય છે.

(D) ધારો કે $z_0$ એ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં $z$ ની મહત્તમ કિંમત છે.
કારણ કે મહત્તમ કિંમત $(15,15)$ અને $(0,20)$ બંને બિંદુઓ પર મળે છે,તેથી $z_0$ ની કિંમત બંને બિંદુઓ પર સમાન હોવી જોઈએ.
આમ,$z_0 = p(15) + q(15)$ અને $z_0 = p(0) + q(20)$.
$z_0$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$15p + 15q = 0p + 20q$
$15p = 20q - 15q$
$15p = 5q$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3p = q$ અથવા $q = 3p$.

(C) $LP$ સમસ્યાઓમાં,જો હેતુલક્ષી વિધેય શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના બે અલગ-અલગ ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે,તો આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરનું દરેક બિંદુ પણ શ્રેષ્ઠ ઉકેલ હોય છે. કારણ કે રેખાખંડમાં અનંત બિંદુઓ હોય છે,તેથી સમસ્યાને અનંત શ્રેષ્ઠ ઉકેલો હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) વધારાની શરતો ઓળખવા માટે,આપણે આપેલી શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x \geq 6$
$2$. $y \geq 2$
$3$. $2x + y \geq 10$
$4$. $x \geq 0, y \geq 0$
જો $x \geq 6$ અને $y \geq 2$ હોય,તો $2x + y \geq 2(6) + 2 = 12 + 2 = 14$ થાય. કારણ કે $14 > 10$,શરત $2x + y \geq 10$ આપમેળે સંતોષાય છે જ્યારે $x \geq 6$ અને $y \geq 2$ સંતોષાય છે.
તે જ રીતે,જો $x \geq 6$ અને $y \geq 2$ હોય,તો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ આપમેળે સંતોષાય છે.
આમ,શરતો $2x + y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$ વધારાની છે કારણ કે તે $x \geq 6$ અને $y \geq 2$ કરતા વધુ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને મર્યાદિત કરતી નથી.

(D) આપેલ શરતો છે:
$1) 3x + 6y \leq 6 \implies x + 2y \leq 2$
$2) 4x + 8y \geq 16 \implies x + 2y \geq 4$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
રેખાઓ $x + 2y = 2$ અને $x + 2y = 4$ ને ધ્યાનમાં લો.
આ સમાંતર રેખાઓ છે. પ્રથમ અસમતા $x + 2y \leq 2$ એ રેખા $x + 2y = 2$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
બીજી અસમતા $x + 2y \geq 4$ એ રેખા $x + 2y = 4$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એવું નથી જે $x + 2y \leq 2$ અને $x + 2y \geq 4$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે,તેથી કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી જે બધી શરતોનું પાલન કરે.
તેથી,આ સમસ્યા માટે કોઈ શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નથી.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 2x + 3y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. બિંદુ $A(3, 3)$ પર: $z = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15$
$2$. બિંદુ $B(20, 3)$ પર: $z = 2(20) + 3(3) = 40 + 9 = 49$
$3$. બિંદુ $C(20, 10)$ પર: $z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$
$4$. બિંદુ $D(18, 12)$ પર: $z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$
$5$. બિંદુ $E(12, 12)$ પર: $z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $72$ મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 2x + 3y$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીએ:
$1$. $A(3, 3)$ પર: $z = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15$
$2$. $B(20, 3)$ પર: $z = 2(20) + 3(3) = 40 + 9 = 49$
$3$. $C(20, 10)$ પર: $z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$
$4$. $D(18, 12)$ પર: $z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$
$5$. $E(12, 12)$ પર: $z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $15$ છે,જે બિંદુ $A(3, 3)$ પર મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 5x + 4y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમત શોધીશું.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 40)$,$(5, 30)$,$(20, 15)$ અને $(50, 0)$ છે.
દરેક બિંદુ પર $z$ ની કિંમતની ગણતરી:
$1$. $(0, 40)$ પર: $z = 5(0) + 4(40) = 0 + 160 = 160$
$2$. $(5, 30)$ પર: $z = 5(5) + 4(30) = 25 + 120 = 145$
$3$. $(20, 15)$ પર: $z = 5(20) + 4(15) = 100 + 60 = 160$
$4$. $(50, 0)$ પર: $z = 5(50) + 4(0) = 250 + 0 = 250$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $145$ છે જે બિંદુ $(5, 30)$ પર મળે છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 8x + 12y$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ:
$1. (0,4) \text{ પર: } z = 8(0) + 12(4) = 48$
$2. (6,0) \text{ પર: } z = 8(6) + 12(0) = 48$
$3. (12,0) \text{ પર: } z = 8(12) + 12(0) = 96$
$4. (12,16) \text{ પર: } z = 8(12) + 12(16) = 96 + 192 = 288$
$5. (0,10) \text{ પર: } z = 8(0) + 12(10) = 120$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા:
- ન્યૂનતમ કિંમત $48$ છે,જે $(0,4)$ અને $(6,0)$ બંને પર મળે છે.
- મહત્તમ કિંમત $288$ છે,જે $(12,16)$ પર મળે છે.
આપેલ જરૂરિયાતો સાથે મેળવતા:
$(i)$ ન્યૂનતમ કિંમત $(0,4)$ પર મળે છે.
$(ii)$ મહત્તમ કિંમત $(12,16)$ પર મળે છે.
$(iii)$ $z$ ની મહત્તમ કિંમત $288$ છે.
$(iv)$ $z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $48$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(D) $Z = 22x + 18y$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $(0,0)$ પર: $Z = 22(0) + 18(0) = 0$
$2$. $(16,0)$ પર: $Z = 22(16) + 18(0) = 352$
$3$. $(8,12)$ પર: $Z = 22(8) + 18(12) = 176 + 216 = 392$
$4$. $(0,20)$ પર: $Z = 22(0) + 18(20) = 360$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $m = 392$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $n = 0$ મળે છે.
તેથી,$m + n = 392 + 0 = 392$.

(C) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓ $x+2y = 10$ અને $3x+4y = 24$ નું અક્ષો સાથે અને એકબીજા સાથેનું છેદબિંદુ તપાસીએ છીએ.
$1$. $(0, 6)$ માટે:
$x+2y = 0 + 12 = 12 \geq 10$ (સાચું)
$3x+4y = 0 + 24 = 24 \leq 24$ (સાચું)
તે બધી શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી $(0, 6)$ એ શિરોબિંદુ છે.
$2$. $(4, 3)$ માટે:
$x+2y = 4 + 6 = 10 \geq 10$ (સાચું)
$3x+4y = 12 + 12 = 24 \leq 24$ (સાચું)
તે બધી શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી $(4, 3)$ એ શિરોબિંદુ છે.
$3$. $(3, 4)$ માટે:
$x+2y = 3 + 8 = 11 \geq 10$ (સાચું)
$3x+4y = 9 + 16 = 25 \not\leq 24$ (ખોટું)
તે $3x+4y \leq 24$ શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે,તેથી $(3, 4)$ એ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશમાં નથી.
$4$. $(0, 5)$ માટે:
$x+2y = 0 + 10 = 10 \geq 10$ (સાચું)
$3x+4y = 0 + 20 = 20 \leq 24$ (સાચું)
તે બધી શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી $(0, 5)$ એ શિરોબિંદુ છે.
તેથી,$(3, 4)$ એ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું શિરોબિંદુ નથી.

(B) આપેલ શરતો $x \geq 6, y \geq 2, 2x + y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
$1$. $x \geq 6$ હોવાથી,તે આપોઆપ $x \geq 0$ સૂચવે છે. તેથી,$x \geq 0$ એ વધારાની શરત છે.
$2$. $y \geq 2$ હોવાથી,તે આપોઆપ $y \geq 0$ સૂચવે છે. તેથી,$y \geq 0$ એ વધારાની શરત છે.
$3$. શરત $2x + y \geq 10$ માટે,આપણે ન્યૂનતમ કિંમતો $x = 6$ અને $y = 2$ મૂકીએ: $2(6) + 2 = 12 + 2 = 14$. $14 \geq 10$ હોવાથી,$2x + y \geq 10$ શરત $x \geq 6$ અને $y \geq 2$ દ્વારા સંતોષાય છે. તેથી,$2x + y \geq 10$ પણ વધારાની શરત છે.
આમ,વધારાની શરતો $2x + y \geq 10, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 2x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક ખૂણાના બિંદુ પર $Z$ ની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ:

ખૂણાનું બિંદુ $(x, y)$	$Z = 2x + 3y$ ની કિંમત
$A(3, 3)$	$Z = 2(3) + 3(3) = 6 + 9 = 15$
$B(20, 3)$	$Z = 2(20) + 3(3) = 40 + 9 = 49$
$C(20, 10)$	$Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$
$D(18, 12)$	$Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$
$E(12, 12)$	$Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$

બધા ખૂણાના બિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $72$ છે જે બિંદુ $D(18, 12)$ પર મળે છે.

(B) આપેલ રેખા બિંદુઓ $B\left(-\frac{3}{4}, 0\right)$ અને $A\left(0, \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a = -\frac{3}{4}$ અને $b = \frac{3}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{-\frac{3}{4}} + \frac{y}{\frac{3}{2}} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-\frac{4x}{3} + \frac{2y}{3} = 1$ થાય છે.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $-4x + 2y = 3$ મળે છે,જેને $4x - 2y = -3$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
છાયાંકિત પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ નો સમાવેશ થતો નથી.
અસમતા $4x - 2y \leq -3$ માં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ની ચકાસણી કરતા,આપણને $4(0) - 2(0) \leq -3$ મળે છે,જેનો અર્થ $0 \leq -3$ થાય છે. આ અસત્ય છે.
કારણ કે ઉગમબિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી,તેથી છાયાંકિત પ્રદેશ એ અર્ધતલ $4x - 2y \leq -3$ દર્શાવે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x + 2y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(2, 0)$,અને $(0, 1)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 3x + 2y$ ની કિંમત તપાસતા:
$(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$(2, 0)$ પર: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$(0, 1)$ પર: $Z = 3(0) + 2(1) = 2$.
આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે,જે બિંદુ $(2, 0)$ પર મળે છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $2x+y \leq 20$,$x+2y \leq 20$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(10,0)$,$B(\frac{20}{3}, \frac{20}{3})$,અને $C(0,10)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર $Z = x+3y$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0,0)$ પર,$Z = 0 + 3(0) = 0$.
$A(10,0)$ પર,$Z = 10 + 3(0) = 10$.
$B(\frac{20}{3}, \frac{20}{3})$ પર,$Z = \frac{20}{3} + 3(\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} + 20 = \frac{80}{3} \approx 26.67$.
$C(0,10)$ પર,$Z = 0 + 3(10) = 30$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $30$ છે જે બિંદુ $C(0,10)$ પર મળે છે.

(C) કયું બિંદુ ઉકેલ ગણમાં છે તે જાણવા માટે,આપણે દરેક બિંદુને આપેલી તમામ અસમતાઓ માટે ચકાસીએ છીએ:
$1$. $(2, 3)$ માટે: $x + 2y = 2 + 2(3) = 8$. $8 \geq 11$ ખોટું હોવાથી,$(2, 3)$ ઉકેલ ગણમાં નથી.
$2$. $(3, 2)$ માટે: $x + 2y = 3 + 2(2) = 7$. $7 \geq 11$ ખોટું હોવાથી,$(3, 2)$ ઉકેલ ગણમાં નથી.
$3$. $(3, 4)$ માટે:
$x + 2y = 3 + 2(4) = 11$. $11 \geq 11$ સાચું છે.
$3x + 4y = 3(3) + 4(4) = 9 + 16 = 25$. $25 \leq 30$ સાચું છે.
$2x + 5y = 2(3) + 5(4) = 6 + 20 = 26$. $26 \leq 30$ સાચું છે.
બધી અસમતાઓ સંતોષાય છે,તેથી $(3, 4)$ ઉકેલ ગણમાં છે.
$4$. $(4, 3)$ માટે: $x + 2y = 4 + 2(3) = 10$. $10 \geq 11$ ખોટું હોવાથી,$(4, 3)$ ઉકેલ ગણમાં નથી.

(C) વધારાની અસમતા શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓ દ્વારા બનતા શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$) $2x - y \leq 8$
$2$) $x + y \leq 20$
$3$) $-x + y \geq -10$ (જેને $y \geq x - 10$ તરીકે લખી શકાય)
$4$) $x \geq 0$
$5$) $y \geq 0$
અસમતાઓ $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ને ધ્યાનમાં લો. જો $x \geq 0$ હોય,તો $x - 10 \geq -10$ થાય. કારણ કે $y \geq 0$ છે,તેથી $y \geq x - 10$ ની શરત $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ માટે આપોઆપ સંતોષાય છે,કારણ કે $y$ અ-ઋણ છે અને જ્યારે $x=0$ હોય ત્યારે $x - 10$ ની કિંમત $-10$ થાય છે. આમ,$-x + y \geq -10$ ની શરત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ કરતા વધુ મર્યાદિત કરતી નથી. તેથી,$-x + y \geq -10$ એ વધારાની (redundant) અસમતા છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 30x - 30y + 1800$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:

શિરોબિંદુ $(x, y)$	$z = 30x - 30y + 1800$ ની કિંમત
$(15, 0)$	$30(15) - 30(0) + 1800 = 450 + 1800 = 2250$
$(15, 15)$	$30(15) - 30(15) + 1800 = 450 - 450 + 1800 = 1800$
$(10, 20)$	$30(10) - 30(20) + 1800 = 300 - 600 + 1800 = 1500$
$(0, 20)$	$30(0) - 30(20) + 1800 = 0 - 600 + 1800 = 1200$
$(0, 15)$	$30(0) - 30(15) + 1800 = 0 - 450 + 1800 = 1350$

કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1200$ છે,જે $(0, 20)$ બિંદુએ મળે છે.