Word problem of Linear programming Questions in Gujarati

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ શરતો $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ અને $x, y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો:
- રેખા $x + 2y = 80$ એ $x$-અક્ષને $(80, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, 40)$ પર છેદે છે.
- રેખા $3x + y = 75$ એ $x$-અક્ષને $(25, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, 75)$ પર છેદે છે.
- $x + 2y = 80$ અને $3x + y = 75$ નું છેદબિંદુ $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 80 - 2y$
$3(80 - 2y) + y = 75 \implies 240 - 6y + y = 75 \implies 5y = 165 \implies y = 33$.
$x = 80 - 2(33) = 80 - 66 = 14$.
તેથી,$B = (14, 33)$.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(80, 0)$,$B(14, 33)$ અને $C(0, 75)$ છે.
$3$. આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 4x + 6y$ ની કિંમત તપાસો:
- $A(80, 0)$ પર: $z = 4(80) + 6(0) = 320$.
- $B(14, 33)$ પર: $z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$.
- $C(0, 75)$ પર: $z = 4(0) + 6(75) = 450$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $254$ છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $5x + y \geq 5$,$x + y \geq 3$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અનિયંત્રિત પ્રદેશ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના સમીકરણો ઉકેલીએ છીએ:
$1$) $5x + y = 5$ અને $x + y = 3$. પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા $4x = 2$ મળે,તેથી $x = 0.5$. $x + y = 3$ માં કિંમત મૂકતા $y = 2.5$ મળે. આમ,બિંદુ $P = (0.5, 2.5)$ છે.
$2$) $x + y = 3$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $C = (3, 0)$ છે.
$3$) $5x + y = 5$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $B = (0, 5)$ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $Z = 7x + y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$C(3, 0)$ પર: $Z = 7(3) + 0 = 21$.
$P(0.5, 2.5)$ પર: $Z = 7(0.5) + 2.5 = 3.5 + 2.5 = 6$.
$B(0, 5)$ પર: $Z = 7(0) + 5 = 5$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સીમા રેખાઓના અંતઃખંડો નક્કી કરીએ છીએ:

$\text{રેખા}$	$\text{અંતઃખંડો}$
$8x + 5y = 60$	$A(7.5, 0), B(0, 12)$
$4x + 5y = 40$	$C(10, 0), D(0, 8)$

સમીકરણો $8x + 5y = 60$ અને $4x + 5y = 40$ ને એકસાથે ઉકેલતા:
પ્રથમમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(8x - 4x) = 60 - 40 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$.
$x = 5$ ને $4x + 5y = 40$ માં મૂકતા: $4(5) + 5y = 40 \Rightarrow 20 + 5y = 40 \Rightarrow 5y = 20 \Rightarrow y = 4$.
તેથી,છેદબિંદુ $E(5, 4)$ છે.
શરતો $x \geq 0, y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(7.5, 0)$,$E(5, 4)$,અને $D(0, 8)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
અહીં ચાર શિરોબિંદુઓ હોવાથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એક ચતુષ્કોણ છે.

(B) ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x+y \leq 30$
$2$. $x \leq 15$
$3$. $y \leq 20$
$4$. $x+y \geq 15$
$5$. $x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી થાય છે:
- $x=15$ અને $y=20$ નું છેદબિંદુ $E(15, 20)$ છે.
- $x=0$ અને $y=20$ નું છેદબિંદુ $D(0, 20)$ છે.
- $x=0$ અને $x+y=15$ નું છેદબિંદુ $F(0, 15)$ છે.
- $x=15$ અને $x+y=15$ નું છેદબિંદુ $C(15, 0)$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ ચતુષ્કોણ $CDEF$ છે.
આપણે આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+y$ ની કિંમત તપાસીએ છીએ:
- $C(15, 0)$ પર: $z = 15+0 = 15$
- $D(0, 20)$ પર: $z = 0+20 = 20$
- $E(15, 20)$ પર: $z = 15+20 = 35$
- $F(0, 15)$ પર: $z = 0+15 = 15$
$z$ ની મહત્તમ કિંમત $35$ છે,જે અનન્ય શિરોબિંદુ $E(15, 20)$ પર મળે છે. તેથી,આપેલ $L$.$P$.$P$. નો ઉકેલ અનન્ય છે.

(D) $1$. રેખા $5x + 9y = 90$ એ $(18, 0)$ અને $(0, 10)$ માંથી પસાર થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે,તેથી અવરોધ $5x + 9y \leq 90$ છે.
$2$. રેખા $x + y = 4$ એ $(4, 0)$ અને $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે,તેથી અવરોધ $x + y \geq 4$ છે.
$3$. રેખા $y = 8$ એ આડી રેખા છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે છે,તેથી અવરોધ $y \leq 8$ છે.
$4$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
આ બધાને જોડતા,અવરોધો $5x + 9y \leq 90, x + y \geq 4, y \leq 8, x, y \geq 0$ મળે છે.

(C) $Z=3x+5y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $x+4y \leq 24$,$y \leq 4$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(24,0)$,$D(8,4)$,અને $C(0,4)$ છે.
આપણે દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=3x+5y$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$2$. $A(24,0)$ પર: $Z = 3(24) + 5(0) = 72$
$3$. $D(8,4)$ પર: $Z = 3(8) + 5(4) = 24 + 20 = 44$
$4$. $C(0,4)$ પર: $Z = 3(0) + 5(4) = 20$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $A(24,0)$ પર $72$ મળે છે.

(D) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $Z=10 x+25 y$ છે,જેની શરતો $0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શિરોબિંદુઓ $O(0,0), C(3,0), F(3,2), G(2,3), D(0,3)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત તપાસતા:
$1$. $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
$2$. $C(3,0)$ પર: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
$3$. $F(3,2)$ પર: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
$4$. $G(2,3)$ પર: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
$5$. $D(0,3)$ પર: $Z = 10(0) + 25(3) = 75$
આમ,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(2,3)$ પર $95$ મળે છે.

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + y \geq 16$,$x \geq 6$,અને $y \geq 1$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા મળે છે:
$1$. $x = 6$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ $(6, 1)$ છે,પરંતુ આ બિંદુ $2x + y \geq 16$ શરતનું પાલન કરતું નથી $(12 + 1 = 13 < 16)$.
$2$. $2x + y = 16$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ: $2x + 1 = 16 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$. તેથી,બિંદુ $E = (7.5, 1)$.
$3$. $2x + y = 16$ અને $x = 6$ નું છેદબિંદુ: $2(6) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4$. તેથી,બિંદુ $F = (6, 4)$.
પ્રદેશ અનંત હોવાથી,આપણે શિરોબિંદુઓ પર $Z$ ની કિંમતો તપાસીએ છીએ:
$Z(E) = Z(7.5, 1) = 6(7.5) + 2(1) = 45 + 2 = 47$.
$Z(F) = Z(6, 4) = 6(6) + 2(4) = 36 + 8 = 44$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $44$ છે.

(D) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y \leq 3$,$4x + y \leq 6$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(1.5, 0)$,$B(1, 2)$ અને $C(0, 3)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 8x + 3y$ ની કિંમત તપાસતા:
$1$. $O(0, 0)$ પર,$Z = 8(0) + 3(0) = 0$.
$2$. $A(1.5, 0)$ પર,$Z = 8(1.5) + 3(0) = 12$.
$3$. $B(1, 2)$ પર,$Z = 8(1) + 3(2) = 8 + 6 = 14$.
$4$. $C(0, 3)$ પર,$Z = 8(0) + 3(3) = 9$.
$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે,જે બિંદુ $(1, 2)$ પર મળે છે.
તેથી,શ્રેષ્ઠ ઉકેલ $x = 1, y = 2$ છે.

(C) આપેલ શરતો $x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,અને $y \geq 2$ છે.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x + y = 5$,$x = 4$,અને $y = 2$ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે:
$1$. $x + y = 5$ અને $y = 2$ નું છેદબિંદુ: $y = 2$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$x = 3$ મળે છે. તેથી,શિરોબિંદુ $P = (3, 2)$.
$2$. $x + y = 5$ અને $x = 4$ નું છેદબિંદુ: $x = 4$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$y = 1$ મળે છે. પરંતુ શરત $y \geq 2$ છે.
આલેખ મુજબ,શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $P(3, 2)$ અને $D(4, 2)$ છે.
હવે,$Z = 5x + 8y$ ની કિંમત આ બિંદુઓ પર તપાસતા:
$Z(P) = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
$Z(D) = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $31$ છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ અને $x, y \geq 0$ શરતો દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$D(4,0)$,$Q(4,3)$,$P(2,6)$ અને $C(0,6)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=3x+5y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$O(0,0)$ પર: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$D(4,0)$ પર: $Z = 3(4) + 5(0) = 12$
$Q(4,3)$ પર: $Z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$P(2,6)$ પર: $Z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$C(0,6)$ પર: $Z = 3(0) + 5(6) = 30$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત બિંદુ $(2,6)$ પર $36$ મળે છે.

(C) આપેલ મર્યાદાઓ $x \leq 3, y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.
સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીને આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ નક્કી કરીએ છીએ:
$1$. $x=0, y=0 \Rightarrow O(0,0)$
$2$. $x=3, y=0 \Rightarrow A(3,0)$
$3$. $x=3, x+y=5 \Rightarrow P(3,2)$
$4$. $x+y=5, y=3 \Rightarrow Q(2,3)$
$5$. $x=0, y=3 \Rightarrow D(0,3)$
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z=10x+25y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $O(0,0)$ પર: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
- $A(3,0)$ પર: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
- $P(3,2)$ પર: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
- $Q(2,3)$ પર: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
- $D(0,3)$ પર: $Z = 10(0) + 25(3) = 0 + 75 = 75$
$Z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $95$ છે,જે બિંદુ $(2,3)$ પર મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$) $x + y \leq 1$
$2$) $2x + 2y \geq 6 \implies x + y \geq 3$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ શરત મુજબ,પ્રદેશ $x + y = 1$ રેખા માટે ઉગમબિંદુ તરફ છે.
બીજી શરત મુજબ,પ્રદેશ $x + y = 3$ રેખા માટે ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એવું નથી કે જે $x + y \leq 1$ અને $x + y \geq 3$ બંનેનું એકસાથે પાલન કરે,તેથી કોઈ સામાન્ય શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નથી.
તેથી,આપેલ $L$.$P$.$P$. નો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ શરતો $x + y \geq 5$,$x \leq 4$,$y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x + y = 5$ અને $x = 4$ લેતા $4 + y = 5 \implies y = 1$. બિંદુ: $(4, 1)$.
$2$. $x + y = 5$ અને $y = 2$ લેતા $x + 2 = 5 \implies x = 3$. બિંદુ: $(3, 2)$.
$3$. $x = 4$ અને $y = 2$ લેતા બિંદુ $(4, 2)$ મળે છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(4, 1)$,$(4, 2)$,અને $(3, 2)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર હેતુ લક્ષી વિધેય $Z = 5x + 8y$ ની કિંમત શોધીએ:
- $(4, 1)$ પર: $Z = 5(4) + 8(1) = 20 + 8 = 28$.
- $(4, 2)$ પર: $Z = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
- $(3, 2)$ પર: $Z = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
ન્યૂનતમ કિંમત $28$ છે,જે બિંદુ $(4, 1)$ પર મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનું સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$) $-x_{1} + x_{2} \leq 1$
$2$) $-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$
$3$) $x_{1}, x_{2} \geq 0$
આ રેખાઓને કાર્ટેઝિયન સમતલ પર દોરતા:
- $-x_{1} + x_{2} = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
- $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
અન-ઋણતાની શરતો $x_{1}, x_{2} \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
અસમતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત અર્ધ-સમતલોના છેદને જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રદેશ $x_{1}$ વધવાની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ અસીમિત શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ અનુક્રમે ખોરાક $A$ અને ખોરાક $B$ ના એકમોની સંખ્યા છે.
ધ્યેય ખર્ચ $z = 4x + 3y$ ને ન્યૂનતમ કરવાનો છે.
પોષક તત્વોના આધારે મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. વિટામિન: $200x + 100y \geq 4000$
$2$. પ્રોટીન: $x + 2y \geq 50$
$3$. કેલરી: $40x + 40y \geq 1400$
$4$. અન-ઋણતા: $x \geq 0, y \geq 0$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ એ તૈયાર કરેલી મર્યાદાઓ અને ઉદ્દેશ્ય વિધેય સાથે મેળ ખાય છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ પ્રતિબંધો $x + y \leq 7$,$2x + 3y \leq 16$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 16/3)$,$B(5, 2)$ અને $C(7, 0)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 3x + 2y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$O(0, 0)$ પર: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$
$A(0, 16/3)$ પર: $Z = 3(0) + 2(16/3) = 32/3 \approx 10.67$
$B(5, 2)$ પર: $Z = 3(5) + 2(2) = 15 + 4 = 19$
$C(7, 0)$ પર: $Z = 3(7) + 2(0) = 21$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Z$ ની મહત્તમ કિંમત $21$ છે જે બિંદુ $C(7, 0)$ પર મળે છે.

(C) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $2x + 3y \leq 18$,$2x + y \leq 10$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(5, 0)$,$B(3, 4)$,અને $C(0, 6)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 9x + 13y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$1$. $O(0, 0)$ પર: $z = 9(0) + 13(0) = 0$
$2$. $A(5, 0)$ પર: $z = 9(5) + 13(0) = 45$
$3$. $B(3, 4)$ પર: $z = 9(3) + 13(4) = 27 + 52 = 79$
$4$. $C(0, 6)$ પર: $z = 9(0) + 13(6) = 78$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $79$ મળે છે.

(A) શરતો $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$,$x_{1} + x_{2} \leq 1$,$x_{2} \leq 4$,અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ છે.
$x_{1}, x_{2} \geq 0$ હોવાથી,શરત $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$ પ્રથમ ચરણમાં હંમેશા સંતોષાય છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x_{1} + x_{2} \leq 1$ અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ ના છેદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ પ્રદેશ $(0, 0)$,$(1, 0)$,અને $(0, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ બંધ અને સીમિત બહુકોણ હોવાથી,$LPP$ નો ઉકેલ સીમિત છે.

(B) વેપારી ચોખા પર $Rs \ 40$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ઘઉં પર $Rs \ 25$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ નફો મેળવે છે.
આપેલ છે કે તે $x$ ક્વિન્ટલ ચોખા અને $y$ ક્વિન્ટલ ઘઉંનો સંગ્રહ કરે છે.
કુલ નફો $Z$ એ ચોખા અને ઘઉંમાંથી મળતા નફાનો સરવાળો છે.
તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 40x + 25y$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ છે.
આલેખ પરથી,રેખાઓ $y = 3$,$x = 4$,$y = x + 3$,અને $2x + 3y = 12$ છે.
$1$. બિંદુ $A$ એ $y = 3$ અને $2x + 3y = 12$ નું છેદબિંદુ છે:
$2x + 3(3) = 12 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. તેથી,$A = (1.5, 3)$.
$2$. બિંદુ $B$ એ $y = 3$ અને $x = 4$ નું છેદબિંદુ છે. તેથી,$B = (4, 3)$.
$3$. બિંદુ $C$ એ $x = 4$ અને $y = x + 3$ નું છેદબિંદુ છે:
$y = 4 + 3 = 7$. તેથી,$C = (4, 7)$.
$4$. બિંદુ $D$ એ $y = x + 3$ અને $2x + 3y = 12$ નું છેદબિંદુ છે:
$2x + 3(x + 3) = 12 \implies 5x + 9 = 12 \implies 5x = 3 \implies x = 0.6$.
$y = 0.6 + 3 = 3.6$. તેથી,$D = (0.6, 3.6)$.
હવે,આ બિંદુઓ પર $Z = 3x + 5y$ ની કિંમત શોધો:
$Z(A) = 3(1.5) + 5(3) = 4.5 + 15 = 19.5$.
$Z(B) = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$.
$Z(C) = 3(4) + 5(7) = 12 + 35 = 47$.
$Z(D) = 3(0.6) + 5(3.6) = 1.8 + 18 = 19.8$.
$Z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $19.5$ છે.

(B) હેતુલક્ષી વિધેય $z=6x+8y$ છે. શરતો $x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $x-y=0$ અને $x+3y=12$ રેખાઓ દોરીએ છીએ.
$x-y=0$ અને $x+3y=12$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે $x=y$ ને $x+3y=12$ માં મૂકતા,$4y=12$ મળે છે,તેથી $y=3$ અને $x=3$. આમ,છેદબિંદુ $B(3, 3)$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એ $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ ($x=0$ હોય ત્યારે $x+3y=12$ પરથી),અને $B(3, 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
આ શિરોબિંદુઓ પર $z=6x+8y$ ની કિંમત તપાસતા:
$O(0, 0)$ પર: $z = 6(0) + 8(0) = 0$.
$A(0, 4)$ પર: $z = 6(0) + 8(4) = 32$.
$B(3, 3)$ પર: $z = 6(3) + 8(3) = 18 + 24 = 42$.
મહત્તમ કિંમત $42$ છે.

(C) મર્યાદાઓ $x+y \leq 4$,$x \leq 2$,$y \leq 1$,$x+y \geq 1$,અને $x, y \geq 0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x+y=1$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $A(1,0)$ આપે છે.
$2$. $x=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $B(2,0)$ આપે છે.
$3$. $x=2$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $C(2,1)$ આપે છે.
$4$. $x+y=1$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $D(0,1)$ આપે છે.
આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1,0), (2,0), (2,1), (0,1)$ છે.

(D) આપેલ શરતો $x + y < 5$,$x + y < 10$,$x > 0$,અને $y > 0$ છે.
$x + y < 5$ એ $x + y < 10$ નો ઉપગણ હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં $(x > 0, y > 0)$ અસરકારક શરત $x + y < 5$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એક ખુલ્લો ત્રિકોણાકાર પ્રદેશ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(5,0)$,અને $(0,5)$ ની નજીક છે.
પ્રદેશ ખુલ્લો હોવાથી અને સીમાબિંદુઓનો સમાવેશ થતો ન હોવાથી (કડક અસમતા $<$ ને કારણે),હેતુલક્ષી વિધેય $t = 7x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રદેશના કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર મેળવી શકાતી નથી.
જેમ $x$ અને $y$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે,તેમ $t$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે,પરંતુ $x > 0$ અને $y > 0$ હોવાથી,$t$ હંમેશા $0$ કરતા મોટું રહે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમતનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) આપેલ શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) x + y \geq 8$
$2) x + y \leq 5$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
પ્રથમ બે અસમતાઓનું અવલોકન કરો: $x + y \geq 8$ અને $x + y \leq 5$.
આ બે અસમતાઓ એવા પ્રદેશો દર્શાવે છે જે એકબીજાને છેદતા નથી.
જો $x + y$ એ $8$ કે તેથી વધુ હોય,તો તે એકસાથે $5$ કે તેથી ઓછું હોઈ શકે નહીં.
તેથી,એવા કોઈ બિંદુઓ $(x, y)$ નથી જે આપેલી તમામ શરતોને એકસાથે સંતોષે.
કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ ન હોવાથી,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ખાલી છે.
આમ,હેતુલક્ષી વિધેયનું ન્યૂનતમીકરણ કરી શકાતું નથી કારણ કે કોઈ શક્ય ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી.

(C) હેતુલક્ષી વિધેય $z=3x+4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે મર્યાદાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ ઓળખીએ છીએ:
$1$. $x+y \leq 40$
$2$. $x+2y \leq 60$
$3$. $x, y \geq 0$
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
- $x+y=40$ અને $x+2y=60$ નું છેદબિંદુ: બીજા સમીકરણમાંથી પહેલું બાદ કરતાં $y=20$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=20$. બિંદુ: $(20, 20)$.
- $x+y=40$ નું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ: બિંદુ $(40, 0)$.
- $x+2y=60$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ: બિંદુ $(0, 30)$.
- ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પણ એક શિરોબિંદુ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z=3x+4y$ ની કિંમત શોધો:
- $(0, 0)$ પર: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
- $(40, 0)$ પર: $z = 3(40) + 4(0) = 120$
- $(0, 30)$ પર: $z = 3(0) + 4(30) = 120$
- $(20, 20)$ પર: $z = 3(20) + 4(20) = 60 + 80 = 140$
આમ,મહત્તમ કિંમત $140$ છે જે બિંદુ $(20, 20)$ પર મળે છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ એ ખોરાક $X$ અને $Y$ ના પેકેટની સંખ્યા છે. શરતો નીચે મુજબ છે:
$12x + 3y \geq 240 \Rightarrow 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \Rightarrow x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \Rightarrow 3x + 2y \leq 150$
$x \geq 0, y \geq 0$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ:
$1$. $4x + y = 80$ અને $x + 5y = 115$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 15, y = 20$ મળે છે.
$2$. $4x + y = 80$ અને $3x + 2y = 150$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 2, y = 72$ મળે છે.
$3$. $x + 5y = 115$ અને $3x + 2y = 150$ નું છેદબિંદુ: ઉકેલતા,આપણને $x = 40, y = 15$ મળે છે.
આમ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(2,72), (40,15), (15,20)$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(5, 5)$,$(0, 10)$,$(0, 20)$,અને $(15, 15)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 9y$ ની કિંમત મેળવીએ:
બિંદુ $(5, 5)$ પર: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
બિંદુ $(0, 10)$ પર: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
બિંદુ $(0, 20)$ પર: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
બિંદુ $(15, 15)$ પર: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $60$ છે,જે બિંદુ $(5, 5)$ પર મળે છે.

(D) આપેલ હેતુલક્ષી વિધેય $z=x+4y$ અને મર્યાદાઓ:
$1) x+2y \leq 2$
$2) x+2y \geq 8$
$3) x, y \geq 0$
મર્યાદાઓનું વિશ્લેષણ:
મર્યાદા $(1)$ એ $x+2y=2$ રેખાની નીચેનો અથવા તેના પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે $(2,0)$ અને $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે. $0+2(0) \leq 2$ સત્ય હોવાથી,આ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે.
મર્યાદા $(2)$ એ $x+2y=8$ રેખાની ઉપરનો અથવા તેના પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે $(8,0)$ અને $(0,4)$ માંથી પસાર થાય છે. $0+2(0) \geq 8$ અસત્ય હોવાથી,આ વિસ્તારમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી.
મર્યાદા $(3)$ ઉકેલને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
$(1)$ અને $(2)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિસ્તારોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $x+2y \leq 2$ અને $x+2y \geq 8$ ને સંતોષતા વિસ્તારો અલગ-અલગ છે. એવું કોઈ બિંદુ $(x, y)$ નથી જે બંને અસમતાઓનું એકસાથે પાલન કરે.
તેથી,$LPP$ નો કોઈ શક્ય ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ છે,$z=11x+7y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ રેખાઓ અને અક્ષોના છેદબિંદુઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $x+y=5$ અને $x+3y=9$ નું છેદબિંદુ સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મેળવી શકાય છે: $(x+3y)-(x+y) = 9-5 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$. $y=2$ ને $x+y=5$ માં મૂકતા $x=3$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(3,2)$ છે.
$2$. $x+3y=9$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $(0,3)$ છે. તેથી,બિંદુ $A$ એ $(0,3)$ છે.
$3$. $x+y=5$ નું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $(0,5)$ છે. તેથી,બિંદુ $C$ એ $(0,5)$ છે.
હવે,આ શિરોબિંદુઓ પર $z=11x+7y$ ની કિંમત તપાસીએ:
$A(0,3)$ પર: $z = 11(0) + 7(3) = 21$.
$B(3,2)$ પર: $z = 11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$.
$C(0,5)$ પર: $z = 11(0) + 7(5) = 35$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $47$ છે,જે $(3,2)$ બિંદુએ મળે છે.

(B) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $3x + 5y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ મર્યાદાઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
પ્રથમ,રેખા $3x + 5y = 15$ ના અંતઃખંડો શોધો:
જો $x = 0$ હોય,તો $5y = 15 \implies y = 3$. તેથી,બિંદુ $(0, 3)$ મળે.
જો $y = 0$ હોય,તો $3x = 15 \implies x = 5$. તેથી,બિંદુ $(5, 0)$ મળે.
શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (5, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
હવે,દરેક શિરોબિંદુ પર $z = 5x + 3y$ ની કિંમત શોધો:
$(0, 0)$ પર: $z = 5(0) + 3(0) = 0$.
$(5, 0)$ પર: $z = 5(5) + 3(0) = 25$.
$(0, 3)$ પર: $z = 5(0) + 3(3) = 9$.
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.