Order and degree of differential equations Questions in Hindi

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0$ है।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^4y}{dx^4}$ है,इसलिए इसकी कोटि $4$ है।
किसी अवकल समीकरण की घात तभी परिभाषित होती है जब उसे उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सके।
इस समीकरण में,$\sin(y''')$ पद में अवकलज का त्रिकोणमितीय फलन शामिल है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
अतः,इसकी कोटि $4$ है और घात परिभाषित नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime} + 5y = 0$ है।
अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}$ है।
चूंकि उच्चतम अवकलज प्रथम कोटि का है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज $y^{\prime}$ की घात $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{ds}{dt}\right)^{4} + 3s \frac{d^{2}s}{dt^{2}} = 0$ है।
इस समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ है।
चूंकि उच्चतम कोटि का अवकलज द्वितीय कोटि का है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है।
यहाँ उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ की घात $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए इसकी कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इस समीकरण में,पद $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ में अवकलज का एक त्रिकोणमितीय फलन शामिल है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2} = \cos 3x + \sin 3x$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दिए गए समीकरण में,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ की घात $2$ है।
अतः,इसकी घात $2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(\frac{d^3y}{dx^3})^2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3 + (\frac{dy}{dx})^4 + y^5 = 0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,इसलिए इसकी कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है,यदि समीकरण अपने अवकलजों में एक बहुपद है। यहाँ,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ की घात $2$ है। अतः,इसकी घात $2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y''' + 2y'' + y' = 0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $y'''$ है,जो तृतीय कोटि का अवकलज है। अतः,इसकी कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है,यदि समीकरण अवकलजों में एक बहुपद हो। यहाँ,$y'''$ की घात $1$ है। अतः,इसकी घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime} + y = e^{x}$ है।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
चूंकि अवकल समीकरण अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद है,इसलिए घात उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है।
यहाँ $y^{\prime}$ की घात $1$ है। अतः,इसकी घात $1$ है।
इस प्रकार,कोटि $1$ है और घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y'' + (y')^2 + 2y = 0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $y''$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम कोटि के अवकलज $y''$ की घात $1$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime \prime} + 2y^{\prime} + \sin(y) = 0$ है।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime}$ है,जो द्वितीय अवकलज को दर्शाता है। अतः,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
एक अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद होता है यदि अवकलज $\sin$,$\cos$,$e^x$ जैसे पारलौकिक (transcendental) फलनों के तर्क न हों। इस समीकरण में,$\sin(y)$ पद में $y$ है,लेकिन अवकलज $y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ किसी पारलौकिक फलन के अंदर नहीं हैं। अतः,यह समीकरण अपने अवकलजों में एक बहुपद है।
उच्चतम कोटि के अवकलज $y^{\prime \prime}$ की उच्चतम घात $1$ है। इसलिए,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ है।
अवकल समीकरण की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब इसे इसके अवकलजों (derivatives) के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सके।
इस समीकरण में,पद $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ में अवकलज एक त्रिकोणमितीय फलन के तर्क (argument) के रूप में है,जो समीकरण को अवकलजों में बहुपद होने से रोकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,सही उत्तर $B$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि को समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस समीकरण में,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,जो कि द्वितीय कोटि का अवकलज है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
इसलिए,सही उत्तर $C$ है।

(D) हम जानते हैं कि $n$ क्रम के अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या उसके क्रम $n$ के बराबर होती है।
चूंकि दिया गया अवकल समीकरण चौथे क्रम का है,इसलिए इसका क्रम $n = 4$ है।
अतः,इसके व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $4$ होगी।
इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(A) $n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
विशिष्ट हल इन स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,एक विशिष्ट हल में कोई स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-6 y=\log x$
$1$. अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,जिसकी कोटि $2$ है। अतः,कोटि $2$ है।
$2$. अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,और इसका घातांक $1$ है। अतः,घात $1$ है।
इस प्रकार,कोटि $2$ है और घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}-4\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+7y=\sin x$
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जो प्रथम कोटि का अवकलज है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
अवकल समीकरण की घात,उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है जब समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ,प्रथम कोटि के अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की उच्चतम घात $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण है:
$\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-\sin \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=0$
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$ है,इसलिए इसकी कोटि $4$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूँकि पद $\sin \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)$ में अवकलज का त्रिकोणमितीय फलन शामिल है,इसलिए समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) परवलय $x^2 = 4y$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - am^2$ होता है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए समीकरण $y = mx - m^2$ है।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$.
$m = \frac{dy}{dx}$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = x(\frac{dy}{dx}) - (\frac{dy}{dx})^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(\frac{dy}{dx})^2 - x(\frac{dy}{dx}) + y = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि (order) $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात (degree) $2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[5]{\frac{dy}{d x}-5}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों की घात $10$ (जो $2$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) लेकर मूलों को हटाते हैं:
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{1/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{1/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{10/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{10/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^5 = (\frac{dy}{d x}-5)^2$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $2$ है।
अवकल समीकरण की घात समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम अवकलज की घात है,जो $5$ है।
अतः,घात और कोटि का योग $2 + 5 = 7$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=x^2 \log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ है।
एक अवकल समीकरण को उसके अवकलजों (derivatives) में बहुपद समीकरण कहा जाता है यदि इसे उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सके।
दिए गए समीकरण में,$\log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ पद में द्वितीय कोटि का अवकलज एक लघुगणकीय फलन के अंदर है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x\frac{dy}{dx} + 49x^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
अवकल समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद,उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $Ax^2 + By^2 = 1$ है।
चूँकि इसमें $2$ स्वेच्छ अचर ($A$ और $B$) हैं,हम समीकरण का दो बार अवकलन करेंगे।
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन: $2Ax + 2Byy' = 0$,जो सरल होकर $Ax + Byy' = 0$ हो जाता है।
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन: $A + B(y')^2 + Byy'' = 0$।
प्रथम अवकलन से,$A = -Byy'/x$।
$A$ का मान द्वितीय अवकलन में रखने पर: $-Byy'/x + B(y')^2 + Byy'' = 0$।
$B$ से भाग देने पर (मान लें $B \neq 0$): $-yy'/x + (y')^2 + yy'' = 0$।
$x$ से गुणा करने पर: $-yy' + x(y')^2 + xyy'' = 0$।
उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज $y''$ की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $3 - (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}} = (\frac{dy}{d x})^5$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3 - (\frac{dy}{d x})^5 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}}$।
दोनों पक्षों की घात $3$ करने पर: $(3 - (\frac{dy}{d x})^5)^3 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^7$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
समीकरण को भिन्नात्मक घातों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $7$ है,इसलिए घात $7$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right]^2 = kx$
सबसे पहले,भिन्नात्मक घात को हटाकर समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3} = kx$
अब,दोनों पक्षों को $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$ से गुणा करने पर:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2 = kx \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज की कोटि होती है,जो कि $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,अतः कोटि $2$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में हो,जो कि $3$ है।
अतः,कोटि $2$ और घात $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + 4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5}{\frac{d^3 y}{dx^3}} + \frac{d^3 y}{dx^3} = \sin x$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $\frac{d^3 y}{dx^3}$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 \cdot \frac{d^3 y}{dx^3} + 4\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + \left(\frac{d^3 y}{dx^3}\right)^2 = \sin x \cdot \frac{d^3 y}{dx^3}$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{dx^3}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$m^2 + n^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = (c_1 + c_2) \cos (x + c_3) - c_4 e^{x + c_5}$.
अचरों को समूहित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:
माना $A = c_1 + c_2$ और $B = c_4 e^{c_5}$.
तब समीकरण $y = A \cos (x + c_3) - B e^x$ हो जाता है।
कोसाइन पद का विस्तार करने पर: $y = A (\cos x \cos c_3 - \sin x \sin c_3) - B e^x$.
$y = (A \cos c_3) \cos x - (A \sin c_3) \sin x - B e^x$.
माना $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = -A \sin c_3$,और $K_3 = -B$.
इस प्रकार,$y = K_1 \cos x + K_2 \sin x + K_3 e^x$.
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(K_1, K_2, K_3)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,दिए गए अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2} = 8 \frac{d^2y}{dx^2}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घात को हटाना होगा:
$\left[\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2}\right]^2 = \left[8 \frac{d^2y}{dx^2}\right]^2$
$\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^5 = 64 \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2$ है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को परिमेय बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,हम दोनों पक्षों को $6$ (जो $2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) की घात तक बढ़ाते हैं:
$\left(\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^6$
$\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया वक्रों का कुल: $y^2 = 2C(x + \sqrt{C}) \quad \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2C$
$\Rightarrow C = y \frac{dy}{dx} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ से $C$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \left( y \frac{dy}{dx} \right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $1$ और $3$ हैं।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y = \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^2 p^2 - b^2}$ है,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dp}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d^2y}{dx^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $y = \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - \frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y - \frac{d^2y}{dx^2})^2 = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$y^2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^2 - 2y(\frac{d^2y}{dx^2}) = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $m = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$m + n = 2 + 2 = 4$ होगा।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)}{\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)}+\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)=x^2-1$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right) \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5 + 4 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) + \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = (x^2-1) \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।
अतः,$m=3$ और $n=2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{\frac{d y}{d x}}$
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल के चिह्न को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \frac{d y}{d x}$
अवकल समीकरण की कोटि उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है,जो $2$ है ($\frac{d^2 y}{d x^2}$ से)।
अवकल समीकरण की घात समीकरण को वर्गमूल और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है। यहाँ,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}}-4 \frac{dy}{dx}-7x=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}}=4 \frac{dy}{dx}+7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x(\frac{dy}{dx}) + 49x^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(C) अवकल समीकरण की घात (degree) उच्चतम कोटि के अवकलज की घात के रूप में परिभाषित होती है,बशर्ते समीकरण को उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सके।
दिए गए समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} + (\frac{dy}{dx})^3 = x$ में,$e^{\frac{dy}{dx}}$ पद में अवकलज घातांक में है,जिसका अर्थ है कि इसे $\frac{dy}{dx}$ के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $3$ करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}\right)^{3} = \left(7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
यह सरल होकर $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 343 \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ हो जाता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{3/2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(\frac{dy}{dx})^2$ से गुणा करने पर,$(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद,उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{\frac{5}{3}}=5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों की घात $3$ लेकर भिन्नात्मक घातांक को हटाते हैं:
$\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = (5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$\left[\frac{(\frac{dy}{dx})^{2}+1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$((\frac{dy}{dx})^{2}+1)^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3} (\frac{dy}{dx})^{10}$
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ और घात $3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $y = px + \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y - px = \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y - px)^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$y^{2} - 2pxy + p^{2}x^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + x^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = a^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + b^{2}$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $1$ और $2$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा। दोनों पक्षों की घात $3$ करने पर:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 7^{3}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(C) प्रथम चतुर्थांश में स्थित और दोनों अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ वृत्त की त्रिज्या है।
इसे सरल करने पर $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ है।
यहाँ,केवल एक स्वेच्छ अचर $a$ है।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के कुल के सामान्य समीकरण में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ केवल $1$ स्वेच्छ अचर है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $3$ लेकर भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}\right]^3 = \left[7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)\right]^3$
$\Rightarrow \left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^7 = 343\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह शक्ति है जो समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद प्राप्त होती है,जो $3$ है।
अतः,घात $3$ है और कोटि $2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}}{\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)}+\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=x^{2}-1$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ से गुणा करके भिन्न को हटाते हैं:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5} \cdot \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right) + 4 \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2} = (x^{2}-1) \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)$.
समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है जब समीकरण अवकलजों में एक बहुपद के रूप में हो। यहाँ,$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt[3]{1-\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का घन करके करणी चिह्न को हटाते हैं:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 - \left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4 \frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें वर्गमूल के चिह्न को हटाना होगा।
समीकरण को $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4 \frac{dy}{dx} + 7x$ के रूप में लिखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{dy}{dx}) = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$.
$(\frac{dy}{dx}) = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$16(\frac{dy}{dx})^2 + (56x - 1)\frac{dy}{dx} + 49x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(B) दिया गया हल: $y=(C_1+C_2) e^x+C_3 e^{x+C_4}$
हम इस व्यंजक को इस प्रकार सरल कर सकते हैं:
$y = (C_1+C_2) e^x + C_3 e^x \cdot e^{C_4}$
मान लीजिए $A = C_1+C_2$ और $B = C_3 e^{C_4}$ है।
तब समीकरण $y = Ae^x + Be^x = (A+B) e^x$ बन जाता है।
मान लीजिए $D = A+B$,जहाँ $D$ एक स्वेच्छ अचर है।
इस प्रकार,समीकरण $y = De^x$ में सरल हो जाता है।
चूँकि हल के अंतिम रूप में केवल एक स्वेच्छ अचर है,इसलिए संबंधित अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों की घात $6$ ($2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य) लेकर मूलों को हटाते हैं:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2}\right)^6 = \left(\left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^{1/3}\right)^6$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^2$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
परिमेयकरण के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}$ है।
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,दोनों पक्षों की घात $12$ (जो $4$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) करने पर:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4}\right)^{12} = \left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}\right)^{12}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{15} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{16}$ मिलता है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $15$ है,इसलिए घात $15$ है।
अतः,कोटि $3$ और घात $15$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{d^2 y}{d x^2}} = x$ है।
कोटि ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज को देखते हैं,जो $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है। अतः,कोटि $2$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,अवकल समीकरण को अपने अवकलजों के बहुपद के रूप में होना चाहिए। चूँकि पद $\frac{d^2 y}{d x^2}$,$e$ के घातांक में है,इसलिए समीकरण को इसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^{\frac{3}{2}}=\frac{d^2y}{dx^2}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करना होगा:
$\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^3 = (\frac{d^2y}{dx^2})^2$.
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $p = 2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $q = 2$ है।
अतः,$p+q = 2+2 = 4$.