Order and degree of differential equations Questions in Hindi

(B) घात ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले अवकल समीकरण को उसके अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त करते हैं।
दिया गया है: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+2 x^2\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{5}{3}}+7 \frac{d y}{d x}+y=0$.
माना $D = \frac{d^2 y}{d x^2}$. समीकरण $x D^{1/3} + 2x^2 D^{5/3} + 7 \frac{dy}{dx} + y = 0$ है।
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,हम समीकरण को उपयुक्त घात से गुणा करते हैं।
समीकरण को $D^{1/3}$ से गुणा करने पर: $x D^{2/3} + 2x^2 D^2 + (7 \frac{dy}{dx} + y) D^{1/3} = 0$.
शेष भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर,हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसमें उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की अधिकतम घात $5$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $5$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^2}$
मूलों को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $6$ लेने पर:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{6}{2}} = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^{\frac{2 \times 6}{3}}$
$\Rightarrow \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left[y \frac{d y}{d x}+x \sin \left(\frac{d y}{d x}\right)\right]^4$
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज के बराबर होती है,जो कि $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि पद $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ अवकलज का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है,इसलिए समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,घात परिभाषित नहीं है।

(D) चरण $1$: कथन $(A)$ का विश्लेषण करें। दिया गया अवकल समीकरण $y'' + 2xy' + \log_e\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0$ है।
किसी अवकल समीकरण की घात परिभाषित होने के लिए,इसे अपने अवकलजों में एक बहुपद होना चाहिए। $\log_e\left(\frac{dy}{dx}\right)$ पद के कारण यह समीकरण अवकलज $\frac{dy}{dx}$ के संदर्भ में बहुपद नहीं है। इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
चरण $2$: कारण $(R)$ का विश्लेषण करें। कारण में दी गई परिभाषा बताती है कि घात,समीकरण को अवकल गुणांकों में बहुपद के रूप में व्यक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है। यह अवकल समीकरण की घात की मानक गणितीय परिभाषा है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
निष्कर्ष: चूँकि $(A)$ असत्य है और $(R)$ सत्य है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें अवकल समीकरण की कोटि (order) निर्धारित करनी होगी। स्वेच्छ अचरों की संख्या अवकल समीकरण की कोटि के बराबर होती है।
सबसे पहले,भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दिए गए समीकरण को फिर से लिखते हैं:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{3 / 2}=5 \frac{d^3 y}{d x^3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{d^4 y}{d x^4}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 25 \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2$
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^4 y}{d x^4}$ है,जिसकी कोटि $4$ है।
चूंकि अवकल समीकरण की कोटि $4$ है,इसलिए इसके व्यापक हल में $4$ स्वेच्छ अचर होंगे।

(B) दिया गया व्यापक हल $y = a x^2 + b \log x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y' = 2ax + \frac{b}{x}$।
$x$ से गुणा करने पर: $x y' = 2ax^2 + b$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x y'' + y' = 4ax$।
इस प्रकार,अवकल समीकरण $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ प्राप्त होता है।
$f(x) y'' + g(x) y' = \frac{4y}{x}$ से तुलना करने पर,$f(x) = x^2$ और $g(x) = x$ प्राप्त होता है।
यहाँ कोटि $l = 2$ और घात $m = 1$ है।
अतः,$f(m) + g(m) = f(1) + g(1) = 1^2 + 1 = 2$।
चूंकि $l = 2$ है,इसलिए $f(m) + g(m) = l$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y+\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2}=0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{3 / 2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)$.
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{d y}{d x}-\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}+y\right)^2$.
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $3$ है।

(C) $D_1: y=4 \frac{dy}{dx}+3x \frac{dx}{dy}$ के लिए। $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर,हमें $y \frac{dy}{dx}=4(\frac{dy}{dx})^2+3x$ प्राप्त होता है। उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
$D_2: \frac{d^2y}{dx^2}=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{4}{3}}$ के लिए। दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $(\frac{d^2y}{dx^2})^3=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^4$ प्राप्त होता है। उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है। उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
$D_3: [1+(\frac{dy}{dx})]^2=(\frac{dy}{dx})^2$ के लिए। विस्तार करने पर,$1+(\frac{dy}{dx})^2+2\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{dx})^2$,जो सरल होकर $1+2\frac{dy}{dx}=0$ हो जाता है। उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है। उच्चतम अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
कोटि का योग $= 1+2+1 = 4$.
घात का योग $= 2+3+1 = 6$.
अभीष्ट अनुपात $= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) $(h, k)$ पर केंद्रित सभी संकेंद्रीय वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
चूंकि $(h, k)$ निश्चित स्थिरांक हैं,इसलिए इस समीकरण में केवल एक ही स्वेच्छ अचर (parameter) $r$ है।
अवकल समीकरण की कोटि वक्रों के परिवार के व्यापक हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूंकि यहाँ केवल $1$ स्वेच्छ अचर $(r)$ है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{4}{3}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-y \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0$ है।
अवकल समीकरण की घात को परिभाषित करने के लिए,इसे अपने अवकलजों (derivatives) के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण होना चाहिए।
इस समीकरण में,पद $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ में अवकलज का एक पारलौकिक (transcendental) फलन शामिल है,जिसका अर्थ है कि समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(C) दिया गया है,$y^{2}=2 d(x+\sqrt{d})$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y_{1} = 2d \Rightarrow d = y y_{1}$
$d = y y_{1}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = 2(y y_{1})(x + \sqrt{y y_{1}})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y^{2} - 2y y_{1} x = 2y y_{1} \sqrt{y y_{1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = (2y y_{1})^{2} (y y_{1})$
$(y^{2} - 2y y_{1} x)^{2} = 4(y y_{1})^{3}$
यहाँ उच्चतम अवकलज $y_{1}$ (कोटि $1$) है,और इसकी उच्चतम घात $3$ है। अतः,अवकल समीकरण की घात $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y = x(\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dy}{dx}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरण को उस रूप में व्यक्त करते हैं जहाँ अवकलज करणी और भिन्नों से मुक्त हों।
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में लिखा जाता है।
यहाँ,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की अधिकतम घात $2$ है।
इसलिए,घात $2$ है और कोटि $1$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{1}{2!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{1}{3!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \dots$ है।
यह श्रेणी चरघातांकी फलन $e^{\frac{dy}{dx}}$ का विस्तार है।
अतः,समीकरण को $x = e^{\frac{dy}{dx}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(x) = \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \ln(x)$ है।
इस समीकरण में,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,जिसकी कोटि $1$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है।
इसलिए,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{1 - (\frac{dy}{dx})^2}$ है।
कोटि ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटि के अवकलज की पहचान करते हैं।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,जो $x$ के सापेक्ष $y$ का द्वितीय अवकलज दर्शाता है।
अवकल समीकरण की कोटि को समीकरण में शामिल उच्चतम अवकलज की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि उच्चतम अवकलज की कोटि $2$ है,इसलिए दिए गए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(D) घात ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले अवकल समीकरण को उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त करना होगा।
दिया गया समीकरण: $(1 + \frac{dy}{dx})^2 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3}$।
भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $3$ लेने पर: $((1 + \frac{dy}{dx})^2)^3 = ((\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3})^3$।
इसे सरल करने पर: $(1 + \frac{dy}{dx})^6 = \frac{d^3y}{dx^3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,जिसकी कोटि (order) $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उस उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में लिखा जाता है।
यहाँ,$\frac{d^3y}{dx^3}$ की घात $1$ है। अतः,इसकी घात (degree) $1$ है।

(D) कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पहले दोनों पक्षों की घात $6$ (जो $2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) लेकर करणी को हटाना होगा।
दिया गया समीकरण: $(1 + (y'')^2)^{1/2} = (x + (y')^3)^{1/3}$.
दोनों पक्षों की घात $6$ लेने पर:
$((1 + (y'')^2)^{1/2})^6 = ((x + (y')^3)^{1/3})^6$
$(1 + (y'')^2)^3 = (x + (y')^3)^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $1 + 3(y'')^2 + 3(y'')^4 + (y'')^6 = (x + (y')^3)^2$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को परिमेय बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज का घातांक $6$ है। अतः,घात $6$ है।

(D) $n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
विशिष्ट हल इन स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,एक विशिष्ट हल में $0$ स्वेच्छ अचर होते हैं।