Order and degree of differential equations Questions in Hindi

(D) दिया गया व्यापक हल $y = a_1(a_2 + a_3) \cdot \cos(x + a_4) - a_5 e^{x + a_6}$ है।
मान लीजिए $C_1 = a_1(a_2 + a_3)$,$C_2 = a_4$,$C_3 = a_5$,और $C_4 = a_6$ है।
अतः समीकरण को $y = C_1 \cos(x + C_2) - C_3 e^{x + C_4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(x + C_2) = \cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2$ का उपयोग करने पर:
$y = C_1(\cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2) - C_3 e^{x + C_4}$.
$y = (C_1 \cos C_2) \cos x - (C_1 \sin C_2) \sin x - (C_3 e^{C_4}) e^x$.
मान लीजिए $A = C_1 \cos C_2$,$B = -C_1 \sin C_2$,और $D = -C_3 e^{C_4}$ है।
इस प्रकार,समीकरण $y = A \cos x + B \sin x + D e^x$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(A, B, D)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(A) $n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
चूंकि दिया गया अवकल समीकरण चतुर्थ कोटि का है,इसलिए $n$ का मान $4$ है।
अतः,इसके व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $4$ है।

(D) अवकल समीकरण की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब वह अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण हो।
दिए गए समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ में,पद $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ अवकलज $\frac{d y}{d x}$ का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है।
चूंकि इस पद को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह अवकल समीकरण एक बहुपद समीकरण नहीं है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात अपरिभाषित है।

(A) परिभाषा के अनुसार,$n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
हालाँकि,विशिष्ट हल इन स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है,जो आमतौर पर दी गई प्रारंभिक या सीमा शर्तों को संतुष्ट करते हैं।
इसलिए,एक विशिष्ट हल में कोई स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
अतः,चतुर्थ कोटि के अवकल समीकरण के लिए,इसके विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $0$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) अवकल समीकरण की कोटि को समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज (derivative) की कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए अवकल समीकरण $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ में,उपस्थित अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$,$\frac{d^2 y}{d x^2}$,और $\frac{d y}{d x}$ हैं।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,जिसकी कोटि $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(D) अवकल समीकरण का विशिष्ट हल वह हल है जो व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक विशिष्ट हल में कोई भी स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
इसलिए,विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $0$ होती है।

(B) अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। दिए गए समीकरण में,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x}^{2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दिए गए समीकरण में $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ पद शामिल है,जो अवकलज का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है।
चूंकि समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए घात परिभाषित नहीं है।
अतः,कोटि $2$ है और घात परिभाषित नहीं है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $1+(\frac{dy}{dx})^2=\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}$
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल को हटाते हैं:
$(1+(\frac{dy}{dx})^2)^2 = \frac{d^2y}{dx^2}$
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $1$ हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}$.
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,दोनों पक्षों की घात $6$ (जो $2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) करने पर:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}\right)^6$.
इसे सरल करने पर: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $3$ और $3$ हैं।

(D) अवकल समीकरण का विशिष्ट हल वह हल है जो व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,विशिष्ट हल में कोई भी स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
इसलिए,किसी भी क्रम के अवकल समीकरण के लिए,जिसमें चौथे क्रम का अवकल समीकरण भी शामिल है,इसके विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $0$ होती है।

(D) अवकल समीकरण की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब वह अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण हो।
दिए गए समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ में,पद $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ अवकलज $\frac{d y}{d x}$ का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है।
चूंकि इस पद को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^3+\left(y^{\prime \prime}\right)^4+\left(y^{\prime}\right)^4+y=7$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है,जिसकी कोटि $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है और इसका घातांक $3$ है।
इसलिए,अवकल समीकरण की घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $3$ और $3$ हैं।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right)^{1/3}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का घन करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.
उच्चतम अवकलज की कोटि $2$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(B) कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके समाकलन चिह्न को हटाते हैं।
दिया गया है: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)=\int y d x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 + \frac{d y}{d x} \right] = \frac{d}{d x} \left( \int y d x \right)$.
$3 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \cdot \frac{d^3 y}{d x^3} + \frac{d^2 y}{d x^2} = y$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
हालाँकि,पाठ्यपुस्तक के सामान्य प्रश्नों में,यदि हम मूल समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज को देखें,तो कोटि $2$ और घात $3$ प्राप्त होती है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $B$ ($2$ और $3$) है।

(B) दी गई त्रिज्या '$a$' और चर केंद्र $(h, k)$ वाले वृत्त का मानक समीकरण है:
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$
यहाँ,'$h$' और '$k$' दो स्वेच्छ अचर (arbitrary constants) हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $ y = x \frac{dy}{dx} + \frac{2}{dy/dx} $ है।
भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $ \frac{dy}{dx} $ से गुणा करने पर:
$ y \left( \frac{dy}{dx} \right) = x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2 $.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $ x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \left( \frac{dy}{dx} \right) + 2 = 0 $.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $ \frac{dy}{dx} $ है,इसलिए कोटि (order) $ 1 $ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $ 2 $ है,इसलिए घात (degree) $ 2 $ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $ 1 $ और $ 2 $ हैं।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2/3} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का घन करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2} = \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
यहाँ कोटि $n$ उच्चतम अवकलज है,जो $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए $n = 2$.
घात $m$ उच्चतम अवकलज की घात है,जो $3$ है,इसलिए $m = 3$.
अब,अभीष्ट मान की गणना करें: $\frac{m+n}{m-n} = \frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+x^4=0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $a = 2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2$ है,इसलिए घात $b = 2$ है।
अतः,$a - b = 2 - 2 = 0$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2=\left(\frac{d^2y}{dx^2}+1\right)^{1/3}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का घन (cube) करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right]^3 = \frac{d^2y}{dx^2}+1$.
बाएँ पक्ष का $(a+b+c)^3$ का उपयोग करके विस्तार करने पर,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की अधिकतम घात $\left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^6$ पद से प्राप्त होगी।
चूंकि उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है और समीकरण को परिमेय बनाने के बाद इसकी अधिकतम घात $6$ है,इसलिए अवकल समीकरण की घात $6$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y_1^2)^{2/3} = y_2$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$((1+y_1^2)^{2/3})^3 = (y_2)^3$
$(1+y_1^2)^2 = y_2^3$.
यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $y_2$ है,जो द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ को दर्शाता है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $2$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण करणी और भिन्नों से मुक्त हो।
$y_2$ की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
घात और कोटि का योग $2 + 3 = 5$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $y = c_{1} e^{c_{2}+x} + c_{3} e^{c_{4}+x}$
घातांक के नियम $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = c_{1} e^{c_{2}} e^{x} + c_{3} e^{c_{4}} e^{x}$
$e^{x}$ को कॉमन लेने पर:
$y = (c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}) e^{x}$
चूंकि $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ स्थिरांक हैं,इसलिए पद $(c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}})$ भी एक स्थिरांक है। मान लीजिए $A = c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}$।
अतः समीकरण सरल होकर प्राप्त होता है:
$y = A e^{x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = A e^{x}$
चूंकि $y = A e^{x}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = y$
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है। अतः,इसकी कोटि $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sqrt[3]{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}$
घात ज्ञात करने के लिए,हमें करणी को हटाना होगा। समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$
अवकल समीकरण की कोटि उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,घात $3$ है और कोटि $2$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)\right]^{\frac{3}{4}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,समीकरण को अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद होना चाहिए।
$\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)$ पद के कारण यह समीकरण अवकलज $\frac{dy}{dx}$ के संदर्भ में बहुपद नहीं है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज होती है,जो कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}}{y^{\prime \prime \prime}}+y^{\prime \prime \prime}=\sin x$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पूरे समीकरण को $y^{\prime \prime \prime}$ से गुणा करके भिन्न को हटाना होगा।
$y^{\prime \prime \prime}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5} \cdot y^{\prime \prime \prime} + 4 \cdot \left(y^{\prime \prime}\right)^{3} + \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2} = \sin x \cdot y^{\prime \prime \prime}$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
घात $n$ उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
उच्चतम कोटि के अवकलज वाला पद $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y = x \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^{2} p^{2} + b^{2}}$ है,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = x \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
यह सरल होकर $y = x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$ बन जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left( y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \right)^{2} = a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि (order) $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात (degree) $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $2$ हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $3$ करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{3}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
यह सरल होकर $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ हो जाता है।
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
घात समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम अवकलज की घात होती है,जो कि $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{2}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटि के अवकलज की पहचान करते हैं।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,जिसकी कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात वह घातांक है जो उच्चतम कोटि के अवकलज पर होता है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दिए गए समीकरण में,उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ का घातांक $1$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $1$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{-1/2}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें ऋणात्मक घातांक को हटाना होगा। दोनों पक्षों को $\left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2}$ से गुणा करने पर:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2} = 1$ प्राप्त होता है।
अब,भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right) = 1$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 + x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^4 = 1$ मिलता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $k = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $4$ है,इसलिए घात $l = 4$ है।
हमें वह द्विघात समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $k = 2$ और $l = 4$ हैं।
समीकरण $(x - 2)(x - 4) = 0$ होगा,जिसे सरल करने पर $x^2 - 6x + 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{7}{2}} \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{5}{2}} \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$ है।
ऋणात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{7}{2}}$ से गुणा करने पर:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$.
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)^2$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^4 y}{d x^4}$ है,इसलिए कोटि $4$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
कोटि और घात का अंतर $4 - 2 = 2$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^4 y}{d x^4} = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^{\frac{3}{2}}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$(\frac{d^4 y}{d x^4})^2 = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^3$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $4$ है।
घात उच्चतम अवकलज की वह शक्ति है जब समीकरण अवकलजों के बहुपद के रूप में हो,जो $2$ है।
अतः,कोटि और घात का योग $4 + 2 = 6$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^3 y}{d x^3} = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{5/2}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^5$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो $3$ है ($\frac{d^3 y}{d x^3}$ से)।
घात उच्चतम अवकलज की वह शक्ति है जब समीकरण को रेडिकल और भिन्नों से मुक्त किया जाता है,जो $2$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $2$ है।

(A) दिया गया व्यापक हल $y=a^3 e^{b^2 x+c}$ है।
हम इसे $y = (a^3 e^c) e^{b^2 x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $K = a^3 e^c$,जहाँ $K$ एक स्वेच्छ अचर है क्योंकि $a$ और $c$ स्वेच्छ अचर हैं।
अतः,समीकरण $y = K e^{b^2 x}$ बन जाता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = K e^{b^2 x} \cdot b^2$.
चूंकि $y = K e^{b^2 x}$,हम इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = b^2 y$.
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है क्योंकि इसमें केवल प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ शामिल है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2} = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{4/3}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांकों को हटाना होगा।
सबसे पहले,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{8/3}$.
इसके बाद,शेष भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर: $x^6 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^8$.
अब,यह समीकरण अवकलजों के संदर्भ में बहुपद रूप में है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
कोटि और घात का योग $2 + 3 = 5$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}} = 2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें अवकलजों के भिन्नात्मक घातों को हटाना होगा।
घातें $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{4}$ हैं। हर $2$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $4$ है।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^4 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर,सबसे बड़ा अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
रेडिकल्स को हटाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ की अधिकतम घात $2$ है।
अतः,कोटि $3$ और घात $2$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y = e^{\left(\frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}\right)}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(y) = \frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}$
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $\alpha = 2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $\beta = 1$ है।
हमें योग $S = \alpha + \alpha^\beta + \alpha^{2\beta} + \ldots + \alpha^{2023\beta}$ ज्ञात करना है।
$\alpha = 2$ और $\beta = 1$ रखने पर: $S = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2023}$ प्राप्त होता है।
यह $2024$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 2$,सार्व अनुपात $r = 2$ और पदों की संख्या $n = 2024$ है।
योग $S = 2 + (2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2023}) = 2 + \frac{2(2^{2023} - 1)}{2 - 1} = 2 + 2^{2024} - 2 = 2^{2024}$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)+\cos (x y)=0$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज के बराबर होती है। यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यहाँ पद $\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ में अवकलज का त्रिकोणमितीय फलन होने के कारण,इसे अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = (2x + 3\frac{dy}{dx})^2$ है।
किसी अवकल समीकरण की घात को परिभाषित करने के लिए,इसे अपने अवकलजों (derivatives) के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण होना चाहिए।
यहाँ,पद $\log \left(\frac{dy}{dx}\right)$ अवकलज $\frac{dy}{dx}$ का एक ट्रांसेन्डेंटल फलन है।
चूंकि इस समीकरण को $\frac{dy}{dx}$ में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(A) अचर त्रिज्या $a$ वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र के निर्देशांक हैं।
यहाँ,$h$ और $k$ दो स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण की कोटि व्यापक हल में मौजूद स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
चूँकि यहाँ $2$ स्वेच्छ अचर हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $2$ होगी।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
इसके अतिरिक्त,$2$ स्वेच्छ अचरों वाला एक बीजीय समीकरण द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का व्यापक हल होता है,इसलिए कारण $(R)$ सत्य है और यह $(A)$ की सही व्याख्या है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^{p/q} = 5 \frac{d^r y}{d x^r}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हम भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $q$ लेते हैं: $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^p = 5^q \left(\frac{d^r y}{d x^r}\right)^q$.
अवकल समीकरण की कोटि उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। $n < r < m$ दिए जाने पर,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^m y}{d x^m}$ है।
कोटि $4$ दी गई है,इसलिए $m = 4$ है।
घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^m y}{d x^m}$ है और इसकी घात $p$ है।
घात $3$ दी गई है,इसलिए $p = 3$ है।
अतः,$m = 4$ और $p = 3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^3 y}{d x^3} = 0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष तीन बार समाकलन करने पर:
प्रथम समाकलन: $\frac{d^2 y}{d x^2} = c_1$.
द्वितीय समाकलन: $\frac{d y}{d x} = c_1 x + c_2$.
तृतीय समाकलन: $y = \frac{c_1}{2} x^2 + c_2 x + c_3$.
माना $a = \frac{c_1}{2}$,$b = c_2$,और $c = c_3$,तो हमें $y = a x^2 + b x + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि इस हल में अवकल समीकरण की कोटि के बराबर तीन स्वेच्छ अचर $(a, b, c)$ मौजूद हैं,इसलिए यह व्यापक हल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + 3x(y^{\prime})^{1/3} + x^2y^2 = \sin x$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें अवकलज के भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x = -3x(y^{\prime})^{1/3}$.
$1/3$ घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर: $(y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x)^3 = (-3x)^3(y^{\prime}) = -27x^3(y^{\prime})$.
उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime}$ है,इसलिए कोटि $a = 2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की अधिकतम घात $2 \times 3 = 6$ है। अतः,घात $b = 6$ है।
$a = 2$ और $b = 6$ की तुलना करने पर,हमें $b = 3a$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल चिह्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$
$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x\frac{dy}{dx}$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
अवकलजों के बहुपद रूप में उच्चतम कोटि के अवकलज का घातांक $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(A) दिया गया व्यापक हल $y=(c_1+c_2) \sin (x+c_3)+c_4 e^{x+c_5}$ है।
हम अचरों को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
माना $A = c_1+c_2$ और $B = c_4 e^{c_5}$ है।
तब समीकरण $y = A \sin (x+c_3) + B e^x$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin (x+c_3) = \sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3$ का उपयोग करने पर:
$y = A (\sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3) + B e^x$
$y = (A \cos c_3) \sin x + (A \sin c_3) \cos x + B e^x$ प्राप्त होता है।
माना $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = A \sin c_3$,और $K_3 = B$ है।
अतः,$y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$ है।
यहाँ $3$ आवश्यक स्वेच्छ अचर $(K_1, K_2, K_3)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद आवश्यक स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=y^3$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ की घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
घात और कोटि का गुणनफल $2 \times 2 = 4$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y = x(\frac{dy}{dx})^3 + \frac{d^2y}{dx^2}$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ की घात $1$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $1$ है।
कोटि और घात का योग $2 + 1 = 3$ है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y_3^{2/3} + 2 + 3y_2 + y_1 = 0$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले उच्चतम कोटि के अवकलज के भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y_3^{2/3} = -(2 + 3y_2 + y_1)$ प्राप्त होता है।
भिन्नात्मक घात को हटाने के लिए दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें $(y_3^{2/3})^3 = (-(2 + 3y_2 + y_1))^3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y_3^2 = -(2 + 3y_2 + y_1)^3$ हो जाता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y_3$ (तृतीय अवकलज) है और समीकरण को परिमेय बनाने के बाद इसकी घात $2$ है।
अतः,अवकल समीकरण की घात $2$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण:
$y = px + \sqrt{a^2p^2 + b^2}$,जहाँ $p = \frac{dy}{dx}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल हटाते हैं:
$\sqrt{a^2p^2 + b^2} = y - px$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$a^2p^2 + b^2 = (y - px)^2$
$a^2p^2 + b^2 = y^2 + p^2x^2 - 2xyp$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^2 - a^2)p^2 - 2xyp + (y^2 - b^2) = 0$
$p = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 - a^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + (y^2 - b^2) = 0$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम अवकलज की उच्चतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $1$ और $2$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2} + \frac{d^2y}{dx^2} + 5$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5 = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5\right)^2 = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + 25 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 10\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
समीकरण को सरल करने पर: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 9\frac{d^2y}{dx^2} + 23 = 0$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।

(C) $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण $y^2 = 4a(x - b)$ है,जहाँ $a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं।
इन दो अचरों को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies y \frac{dy}{dx} = 2a$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
अतः,घात और कोटि क्रमशः $1$ और $2$ हैं।