प्रतिस्थापन y = z^{alpha} अवकल समीकरण (x^2y^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2y^2 - 1)dy + 2xy^3dx = 0$ है। $y = z^{\alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = \alpha z^{\alpha - 1} dz$ प्राप्त होता है। समी

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$\alpha = -1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2y^2 - 1)dy + 2xy^3dx = 0$ है। $y = z^{\alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = \alpha z^{\alpha - 1} dz$ प्राप्त होता है। समीकरण में मान रखने पर: $(x^2(z^{\alpha})^2 - 1)(\alpha z^{\alpha - 1} dz) + 2x(z^{\alpha})^3 dx = 0$ $(x^2 z^{2\alpha} - 1)(\alpha z^{\alpha - 1} dz) + 2x z^{3\alpha} dx = 0$ $\alpha x^2 z^{3\alpha - 1} dz - \alpha z^{\alpha - 1} dz + 2x z^{3\alpha} dx = 0$ समीकरण के समघातीय होने के लिए,प्रत्येक पद में $x$ और $z$ के घातों का योग समान होना चाहिए। घातें इस प्रकार हैं: पद $1$: $x^2 z^{3\alpha - 1} \rightarrow 2 + (3\alpha - 1) = 3\alpha + 1$ पद $2$: $z^{\alpha - 1} \rightarrow 0 + (\alpha - 1) = \alpha - 1$ पद $3$: $x z^{3\alpha} \rightarrow 1 + 3\alpha = 3\alpha + 1$ घातों की तुलना करने पर: $3\alpha + 1 = \alpha - 1$ $2\alpha = -2 \Rightarrow \alpha = -1$.

प्रतिस्थापन $y = z^{\alpha}$ अवकल समीकरण $(x^2y^2 - 1)dy + 2xy^3dx = 0$ को एक समघातीय अवकल समीकरण में बदल देता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि एक वक्र $y=f(x),$ जो बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,अवकल समीकरण $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ का हल है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; जब $x = 1$ तब $y = 0$.

अवकल समीकरण $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ को संतुष्ट करने वाला और बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाला वक्र है

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$ का हल है

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