मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं। यदि $P(A) = \frac{1}{5}$ और $P(A \cup B) = \frac{7}{10}$ है,तो $P(\overline{B})$ का मान क्या होगा?

यदि $\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log |x|+\frac{\alpha}{2}$ अवकल समीकरण $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ का हल है और $y(1)=\frac{\pi}{3}$ है,तो $\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x}$ है,तो $\sin(\frac{y}{x})$ किसके बराबर है?

दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x-y) \frac{dy}{dx} = x+2y$ समघातीय है और इसे हल कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि अवकल समीकरण एक समघातीय समीकरण है और इसका हल ज्ञात कीजिए:
$\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y \, dx = \left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x \, dy$

एक वक्र बिंदु $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से होकर गुजरता है और किसी भी बिंदु पर इसका ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$ द्वारा दिया गया है। वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।