left( 1, frac{pi}{4} right) से गुजरने वाले एक | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} \right)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{

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$y = x	an^{-1}\left[ \log\left( \frac{e}{x} ight) ight]$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} ight)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$.यह सरल होकर $x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$,या $\sec^2(v) dv = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.$	an(v) = -\log|x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $	an\left( \frac{y}{x} ight) = -\log|x| + C$.वक्र $\left( 1, \frac{\pi}{4} ight)$ से गुजरता है,इसलिए $	an\left( \frac{\pi/4}{1} ight) = -\log(1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C = 1$.अतः,$	an\left( \frac{y}{x} ight) = -\log(x) + 1 = \log(e) - \log(x) = \log\left( \frac{e}{x} ight)$.इसलिए,$y = x	an^{-1}\left[ \log\left( \frac{e}{x} ight) ight]$.

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